matematica

1. 1
I.P.A Fundamentos de la Matemática Curso 2020 Prof. Adrián Milano
Tema 2: NOCIONES SOBRE COJUNTOS
“Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”
David Hilbert (Matemático alemán 1862 – 1943)
INTRODUCCIÓN
La mayoría de las ramas de la matemática que hoy se estudian, como el álgebra, la geometría, el análisis y la probabilidad
y estadística se desarrollan apelando al lenguaje de los conjuntos. Por tal motivo se considera necesario que el lector
conozca y maneje fluidamente dicho lenguaje.
Uno de los responsables y fundador de la teoría de conjuntos fue el matemático ruso Georg Cantor (1845 – 1918).
Cantor observó que todos los objetos matemáticos podían definirse mediante un conjunto. Estableció que “Un conjunto
es cualquier colección C de determinados objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan
elementos de C ), reunidos en un todo”. En esta definición, Cantor aceptaba implícitamente que un conjunto es una
colección de objetos que cumplen una determinada propiedad, que cualquier conjunto puede ser contenido por otro
conjunto y que además dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales.
La teoría intuitiva e ingenua de Cantor sobre conjuntos generó contradicciones, como, por ejemplo, la paradoja de Russell,
formulada en 1901 por el matemático inglés Bertrand Russell (1872 – 1970). Esta paradoja es la siguiente:
Consideramos el conjunto U definido por la propiedad de que un objeto pertenece a U si, y solo si, dicho objeto no
pertenece a sí mismo, es decir,  
/
U x x x
  . La pregunta que surge es ¿ U pertenece o no pertenece a U ?
Si U pertenece a U , entonces U verifica la propiedad que define a U y por lo tanto U no pertenece a U , es decir,
U U U U
  
Si U no pertenece a U , entonces, por definición de U , U pertenece aU , es decir U U U U
  
Llegamos entonces a la contradicción U U U U
  
La paradoja de Russell fue uno de los tantos motivos que llevó a los matemáticos a realizar varios intentos para
axiomatizar la teoría de conjuntos. Actualmente, se considera como esquema básico de esta teoría la axiomática planteada
por Ernst Zermelo (1871 – 1953) en 1908 y mejorada en 1922 por Abraham Fraenkel (1891- 1965) aunque hasta hoy, no
se sabe si dicha teoría es o no consistente.
No es cometido de este material, por escapar a objetivos de este curso, presentar una axiomática para la teoría de
conjuntos. Nos limitaremos a desarrollar el tema desde un punto de vista informal y descriptivo, presentando algunos de
los conceptos básicos.
NOCIONES ELEMENTALES SOBRE CONJUNTOS
Sin ánimo de querer definir la palabra conjunto, podemos decir que un conjunto es una colección de objetos de cualquier
naturaleza, a los cuales llamamos elementos del conjunto. Por ejemplo, la familia de una persona cualquiera es un
conjunto y cada uno de sus integrantes es uno de sus elementos.
En general, en la mayoría de las ramas de la matemática, los conjuntos suelen representarse por letras mayúsculas y a sus
elementos con letras minúsculas, salvo en geometría, que se suele nombrar los conjuntos usando letras minúsculas y a sus
elementos con letras mayúsculas.
Si x es un elemento que forma parte del conjunto A , decimos que x pertenece a A y escribimos: x A
 , por el
contrario, si x no es un elemento del conjunto A , decimos que x no pertenece a A y escribiremos: x A
 .
La introducción del símbolo , que proviene de una forma elegante de escribir la letra griega épsilon, se debe al
matemático italiano Giuseppe Peano (1858 – 1932)).

2. 2
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Usando los conjuntos se pueden sustituir expresiones como “ x cumple la propiedad P ” por “ x A
 ” donde A es
el conjunto cuyos objetos verifican la propiedad P .
Las propiedades que utilizaremos para definir los conjuntos deben tener un valor de verdad definido para cada uno de los
elementos del conjunto y no presentar ambigüedad. Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales, la propiedad
“ser un número par” es una propiedad que tiene un valor de verdad definido para cada número natural, sin embargo, no
lo tiene la propiedad “ser un número pequeño”
Algunos conjuntos se representan escribiendo sus elementos entre llaves separados por una coma o por un punto y una
coma, teniendo en cuenta que el orden en que se escriben sus elementos es irrelevante.
Por ejemplo, el conjunto T cuyos elementos son solo a , b y c se puede escribir de cualquiera de las siguientes formas:
 
c
b
a
T ,
,
 ,  
b
c
a
T ,
,
 ,  
, ,
T b c a
 ,  
, ,
T b a c
 ,    
a
b
c
T
b
a
c
T ,
,
,
, o 

Existen dos formas de definir los conjuntos: por extensión o comprensión.
En el caso que un conjunto quede definido dando la lista completa de todos sus elementos, diremos que el conjunto está
definido por extensión o en forma explícita. Por ejemplo,  


 ,
4
,
5
,
3
,
,
1
, b
a
A está definido por extensión.
Cuando el conjunto está definido indicando una o varias propiedades que satisfacen única y exclusivamente sus elementos
decimos que el conjunto está definido por compresión. .
Los conjuntos definidos por comprensión se expresan de la forma:  
/ ( )
A x p x
 y se leen “ A es el conjunto cuyos
elementos son los x tales que cumplen la propiedad ( )
p x ”. Por ejemplo, el conjunto
 
es un número natural par
/
X x x
 es el conjunto de los x tales que x es un número natural par.
Algunos conjuntos, por su importancia en la matemática, han recibido nombres especiales, como el conjunto de los
números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números
reales. Estos se representan respectivamente por las letras: , , , .
Es común, en el caso de conjuntos que contengan muchos o infinitos elementos, usar notaciones como las siguientes:
Conjunto de los números naturales:  
0,1,2,3,4,5,...

Conjunto de los números enteros:  
..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...
    
Conjunto de todos los números naturales entre 1 y 100 :  
1,2,3,4,5,...,100
Conjunto de todos los números naturales pares:  
0,2,4,6,...
En todos estos casos, se dice que el conjunto está definido en forma explícita abreviada y se supone que el lector es
capaz de deducir cuales son los restantes elementos del conjunto.
Un conjunto muy particular y que utilizaremos muchas veces es el conjunto vacío, que tiene la característica de ser un
conjunto que no tiene elementos. El símbolo que utilizaremos para representar al conjunto vacío es:  o  .
El conjunto vacío puede ser definido por cualquier propiedad contradictoria, por ejemplo, podemos definirlo así:
 
/
x A x x
   
No es correcto utilizar el símbolo 
 para representar al conjunto vacío ya que este representa a un conjunto cuyo único
elemento es el conjunto vacío. Si  representara una bolsa vacía,  
 sería un conjunto que contiene una bolsa vacía
y por lo tanto no sería vacío.
El conjunto vacío desempeña un papel similar al que desempeña el cero en la aritmética.

3. 3
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS
En matemática, varios enunciados establecen que dos conjuntos definidos de distinta manera son el mismo conjunto.
Expliquemos a continuación que significa que dos conjuntos sean iguales.
DEFINICIÓN DE IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (y anotamos: B
A  ) si y solo si A y B tienen los mismos elementos
o son ambos vacíos.
Por ejemplo:
   
2
,
1
,
3
3
,
2
,
1  ,    
2
,
1
,
3
1
,
3
,
1
,
3
,
2
,
1  y    
2
/ 0 / 1 0
n n x x 
      
Dicho de otra manera, B
A  si, y solo si, todo elemento que pertenece a A pertenece a B y todo elemento que
pertenece a B pertenece a A .
La definición de igualdad de conjuntos puede escribirse simbólicamente de la siguiente manera:
( )( )
A B x x A x B
     
Diremos que dos conjuntos A y B son distintos y escribimos B
A  , cuando no se cumple que B
A  .
SUBCONJUNTOS
La igualdad entre conjuntos también puede ser definida a partir de la relación de inclusión.
DEFINICIÓN DE SUBCONJUNTO
Dados dos conjuntos A y B , decimos que A es un subconjunto de B , que A está incluido en B o que A es parte
de B y anotamos B
A  o A
B  , si y solo si, todo elemento que pertenece a A pertenece a B .
Simbólicamente, )
)(
( B
x
A
x
x
B
A 





Cuando B
A  , también decimos que B contiene a A o que A está contenido en B .
Por ejemplo,    
4
,
3
,
2
,
1
3
,
2  y 
Aclaramos que la notación B
A  no excluye la posibilidad A B
 .
En el caso que A no sea un subconjunto de B , escribiremos B
A  .
 
,( ) ,( )
A B x x A x B x x A x B
           
Es decir, B
A  quiere decir que existe algún elemento que pertenece a A y no pertenece a B .
Por ejemplo,  
7
,
3
,
1

A no es un subconjunto de  
9
,
5
,
3
,
1

B dado que A

7 y B

7 .
La pertenencia es una relación entre un elemento y un conjunto, mientras que la inclusión es una relación entre
dos conjuntos. Teniendo esto en cuenta, si x es un elemento del conjunto A es correcto escribir A
x  o   A
x 
pero no es correcto escribir A
x  o   A
x  .
Por ejemplo, si P es un punto perteneciente a la recta r , escribiremos r
P  y no r
P  .
Si todos los puntos que pertenecen a la recta r, pertenecen a un plano  , debemos escribir 

r y no 

r .
La relación de inclusión entre conjuntos cumple las siguientes propiedades, cuya demostración dejamos para el lector:
1) A


2) Propiedad reflexiva: A
A 
3) Propiedad antisimétrica: Si B
A  y A
B  , entonces B
A 
4) Propiedad transitiva: Si A , B y C son tres conjuntos tales que B
A  y C
B  , entonces C
A  .

4. 4
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Usando la relación de inclusión, la igualdad entre conjuntos puede definirse de la siguiente manera:
)
( A
B
B
A
B
A 


 
Esta equivalencia es la que en general se utiliza para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales.
Si demostramos que todo elemento que pertenece a A pertenece a B , es decir que B
A  y luego que todo elemento
que pertenece a B pertenece a A , es decir que A
B  , entonces podemos concluir que A y B son iguales.
DIAGRAMAS DE VENN
Es común, representar los conjuntos utilizando los llamados diagramas de Venn introducidos en 1880 por el lógico y
matemático inglés John Venn (1834 – 1923). Usando estos diagramas, que Venn llamaba “circuitos eulerianos”, se
representan los conjuntos mediante curvas cerradas y a veces, a sus elementos como puntos en el interior de dichas curvas.
Este tipo de representaciones permite visualizar las relaciones existentes entre dos o más conjuntos.
Por ejemplo, el hecho que A esté incluido en B se puede representar así:
B
A
Si B
A  , podemos tener las siguientes dos representaciones, la primera, que muestra que A y B tienen elementos
comunes y la segunda, que A y B no tienen elementos en común.
B A A B
Las figuras geométricas, que son conjuntos de puntos, como, por ejemplo, el segmento, la recta, la circunferencia, el cubo,
el cilindro, no son representadas utilizando los diagramas de Venn, éstas tienen otras representaciones que resultan más
útiles y que seguramente el lector ya conoce.
Ejercicio 1
a) Escribir todos los conjuntos X que cumplen:  
3
,
2
,
1

X
b) Escribir todos los conjuntos Y que cumplen:    
4
,
3
,
2
,
1
2
,
1 
 Y
Ejercicio 2
a) Dados los conjuntos  
1
A  y  
1;2
B  . Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
1) A B
 2) A B
 3) 1 B
 4) 1 A
 5) A B

b) Resolver la parte a) utilizando los conjuntos  
1
A  y  
 
1 ;1
B  .
Ejercicio 3
a) Hallar dos conjuntos A y B tales que A B
 y A B

b) Hallar tres conjuntos distintos entre sí Y
X
W ,
, tales que Y
X
X
W 
 , y W Y
 .

5. 5
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
CONJUNTO POTENCIA
Cuando decimos que un conjunto A tiene n elementos (donde n es un número natural), estamos asegurando que A
tiene exactamente n elementos distintos entre sí. En este caso, decimos que A tiene cardinal n y anotamos n
A
#
Si A tiene cardinal n , diremos que A es un conjunto finito. En el caso que A no sea un conjunto finito, diremos que
A es un conjunto infinito.
Por ejemplo,
El conjunto de los números naturales pares menores a 8 es un conjunto finito y tiene cardinal 4 .
El conjunto vacío es un conjunto finito y tiene cardinal 0 .
Los conjuntos : , , , son conjuntos infinitos.
Nos preguntamos ahora, dado un conjunto A que tiene n elementos, ¿Cuántos son los posibles subconjuntos de A ?
Si A tiene un solo elemento, los posibles subconjuntos de A son 2 :  y A .
Si  
b
a
A ,
 , los posibles subconjuntos de A son 4
22
 :  , A ,  
a y  
b
Si  
c
b
a
A ,
,
 los posibles subconjuntos de A son 8
23
 :  , A ,  
a ,  
b ,  
c ,  
b
a, ,  
c
a, y  
c
b,
En general, si A tiene n elementos, al construir un subconjunto de A , existen dos opciones para cada uno de sus
elementos: que pertenezca al subconjunto o que no pertenezca. Por tal motivo, existen 2n
subconjuntos de A .
Este hecho justifica el nombre que se le asigna al siguiente conjunto:
DEFINICIÓN DE CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES
Si A es un conjunto cualquiera, llamamos conjunto potencia o conjunto de partes de A al conjunto que simbolizamos,
)
(A
P , y cuyos elementos son todos los subconjuntos de A .
Por ejemplo, si  
c
b
a
A ,
,
 ,            
 
c
b
c
a
b
a
c
b
a
A
A
P ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
( 
 y si B 
 ,  
( )
P B 
 .
Se cumple la siguiente propiedad: Si A tiene n elementos, entonces )
(A
P tiene 2n
elementos.
Demostraremos esta propiedad más adelante.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
DEFINICIÓN DE COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si A
U y son dos conjuntos y U
A  , el complemento de A con respecto a U , es el conjunto cuyos elementos
pertenecen a U y no pertenecen a A . El complemento de A con respecto a U se suele simbolizar U
A .
Muchas veces, cuando no da lugar a confusión, U
A se simbolizará
C
A
o
A .
En símbolos: U
A =  
A
x
U
x
x
AC



 /
En este caso el conjunto U suele llamarse universo o
conjunto universal.
Por ejemplo,
Si U es el conjunto de todas las personas del planeta tierra y A es el conjunto de las personas que estudiaron matemática,
entonces A es el conjunto de las personas que no estudiaron matemática.
Si  
t
c
b
a
U ,
,
,
,
, 

 y  
t
c
a
A ,
,
, 
 entonces  
,
A b
  .

6. 6
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
El hecho que para cada U
x  , existan solo dos opciones posibles: A
x  o A
x  , es conocido como principio del
tercer excluido y que las proposiciones A
x  y A
x  no sean ambas verdaderas es el principio lógico de no
contradicción. Consecuencia de estos dos principios son las siguientes propiedades.
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
Si A y B son subconjuntos de un conjunto universal U entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1)  
A A
 2) Si B
A  entonces B A
 .
Demostraremos la propiedad 2) dejando al lector la demostración de 1).
Sea U
x  . Para demostrar que B A
 , basta con demostrar que si x B
 entonces x A
 .
En efecto, si x B
 entonces B
x  . Como por hipótesis B
A  , si B
x  entonces A
x  y por tanto x A
 .
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Introducimos a continuación las operaciones entre conjuntos que permiten generar nuevos conjuntos a partir de otros.
UNIÓN
DEFINICIÓN DE CONJUNTO UNIÓN
Dados los conjuntos A y B , llamamos conjunto unión de A y B al conjunto, que anotamos B
A  , cuyos
elementos pertenecen a A o pertenecen a B .
En símbolos:  
B
x
A
x
x
B
A 



 /
Decir que B
A
x 
 equivale a decir que A
x  o B
x  .
Hay que tener en cuenta que el “o” en matemática, no es exclusivo, es decir, cuando decimos que un elemento x pertenece
a A o pertenece a B queremos decir que x pertenece a A , pertenece a B o pertenece a ambos.
Por ejemplo: si  
E
C
B
A
T ,
,
,
 y  
E
M
C
A
S ,
,
,
 , entonces  
, , , ,
T S A B C M E
 
INTERSECCIÓN
DEFINICIÓN DE CONJUNTO INTERSECCIÓN
Dados los conjuntos A y B , llamamos conjunto intersección de A y B al conjunto, que anotamos B
A  , cuyos
elementos pertenecen a A y pertenecen a B .
En símbolos,  
B
x
A
x
x
B
A 



 /
Decir que B
A
x 
 significa que A
x  y B
x  .
Por ejemplo: si  
m
p
A ,
,
,
3
,
2 
 y  
b
m
a
B ,
,
,
,
2 
 , entonces  
m
B
A ,
,
2 

 .
En el caso que 

 B
A diremos que A y B son conjuntos disjuntos.

7. 7
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Ejercicio 4
Dados los conjuntos:  
c
b
a
A ,
,
 ,  
g
f
e
B ,
,
 ,  
h
g
e
b
a
C ,
,
,
,
 y  
h
g
f
e
d
c
b
a
U ,
,
,
,
,
,
,

Escribir por extensión los siguientes conjuntos:
a) C
B
A 
 )
( b) U
U B
A  c) U
C
C
A 
 )
(
Ejercicio 5
1) Hallar tres conjuntos no vacíos ,
A B y C tales que ( ) ( )
A B C A B C
     .
2) Hallar tres conjuntos no vacíos ,
D E y F tales que ( ) ( )
D E F D E F
     .
Las operaciones unión e intersección entre conjuntos cumplen ciertas propiedades que enunciamos a continuación.
PROPIEDADES DE LA UNIÓN E INTERSECCIÓN
Cualesquiera sean los conjuntos ,
A B y C contenidos en un universo U se cumplen las siguientes propiedades:
1) Idempotencia: A
A
A 
 y A
A
A 

2) Conmutativas: A
B
B
A 

 y A
B
B
A 


3) Asociativas: C
B
A
C
B
A 



 )
(
)
( y C
B
A
C
B
A 



 )
(
)
(
4) Distributivas: )
(
)
(
)
( C
A
B
A
C
B
A 




 y )
(
)
(
)
( C
A
B
A
C
B
A 





5) Neutro: A
A 
 y A
U
A 

6) Inverso: A A U
  y A A 
 
7) Dominación: U
U
A 
 y 
 

A
8) Absorción: A
B
A
A 

 )
( y A
B
A
A 

 )
(
9) Leyes de De Morgan: A B A B
   y A B A B
  
A modo de ejemplo, demostraremos una de las leyes de De Morgan, dejando a cargo del lector la demostración de las
restantes propiedades enunciadas anteriormente.
Para demostrar que A B A B
   probaremos que:
1) A B A B
   y 2) A B A B
  
Demostración
1) x A B x A B x A x B x A x B x A B
                .
Hemos demostrado así que A B A B
   .
2) x A B x A x B x A x B x A B x A B
                .
Por lo tanto, A B A B
   .
Podemos ahorrar la escritura resumiendo lo demostrado en 1) y 2) y escribir:
x A B x A B x A x B x A x B x A B
               

8. 8
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
DIFERENCIA
DEFINICIÓN DE CONJUNTO DIFERENCIA
Dados los conjuntos A y B , llamamos conjunto diferencia entre A y B al conjunto, que anotamos B
A  o B
A
cuyos elementos pertenecen a A y no pertenecen a B .
En símbolos:  
B
x
A
x
x
B
A
B
A 




 /
Si A y B son conjuntos contenidos en un universo U , decir que B
A
x 
 significa que A
x  y B
x  y
por tal motivo A B A B
   .
Por ejemplo, si  
m
p
A ,
,
,
3
,
2 
 y  
b
m
a
B ,
,
,
,
2 
 , entonces  
p
B
A ,
3

 y
 
b
a
A
B ,

 . Con este ejemplo, debe quedar claro, que en general, A
B
B
A 

 .
Observar que en el caso que A
B  , la diferencia B
A  es el complemento de B con respecto al conjunto A .
EJEMPLO
Si A y B son conjuntos contenidos en un universo U , expresemos A B
 como la unión de dos conjuntos.
Teniendo en cuenta que A B A B
   y usando las propiedades de la unión, intersección y complemento de conjuntos
podemos escribir:
De Morgan
A B A B A B
    
Ejercicio 6
Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera contenidos en un universo U .
Usando las propiedades de la unión y la intersección de conjuntos, demostrar que:
1)  
( )
A B C C B A
     2)    
A B A B A
   
RELACIÓN ENTRE LÓGICA Y CONJUNTOS
Como ya hemos mencionado, los conjuntos permiten sustituir expresiones como “ x cumple la propiedad p ” por
“ x A
 ” donde A es el conjunto cuyos objetos cumplen la propiedad p . En este caso decimos que la propiedad p
define al conjunto A y podemos escribir:  
p
x
x
A propiedad
la
cumple
/
 .
Existe una estrecha relación entre la lógica y los conjuntos. Por ejemplo, la relación de inclusión entre conjuntos, está
relacionada con la implicación lógica. Si la propiedad p define el conjunto A y la propiedad q define al conjunto
B entonces q
p  significa que B
A  .
Por otro lado, las operaciones entre conjuntos están relacionadas con los conectivos lógicos de la siguiente manera:
Operación Conectivo
lógico
C
A
p

A B
 p q

A B
 p q


9. 9
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Ejercicio 7
Considere los siguientes conjuntos:
F es el conjunto de todos los filósofos. M es el conjunto de todos los matemáticos.
C es el conjunto de todos los científicos. P es el conjunto de todos los profesores.
Escribir cada una de las siguientes proposiciones utilizando los conjuntos F , M , C o P y alguno de los siguientes
símbolos: 


 ,
,
, y 
1) Todos los matemáticos son científicos.
2) Todos los matemáticos son científicos y todos los científicos son matemáticos.
3) Todos los filósofos son científicos o profesores.
4) Todos los matemáticos son científicos y profesores.
5) Algunos matemáticos son científicos y profesores.
6) Los matemáticos son científicos, pero no profesores.
Ejercicio 8
Se seleccionó un grupo de 72 alumnos de quinto año de un determinado liceo y se constató que 52 aprobaron química,
50 aprobaron física, 14 biología, 43 física y química, 3 física y biología, 5 química y biología y 2 física, química y
biología.
1) Representar los datos en un diagrama de Venn.
2) ¿Cuántos alumnos del grupo aprobaron solo química?
3) ¿Cuántos alumnos del grupo no aprobaron física, ni química ni biología?
4) ¿Cuántos alumnos del grupo aprobaron solo física y química?
5) ¿Cuántos alumnos del grupo aprobaron física o química?
6) ¿Cuántos alumnos del grupo aprobaron por lo menos dos de estas materias?
Ejercicio 9
En una fiesta se invitó a 1000 personas. Se repartieron, en forma gratuita 600 refrescos cola, 450 jugos de naranja y
450 cervezas. No se llevó mucho control, así que poco después se observó que una misma persona se había apropiado
de más de una consumición. Un recuento de urgencia del equipo de relaciones públicas del local mostró que el %
20 de
los invitados consumió cerveza y refresco cola, el %
25 consumió jugo de naranja y refresco cola y que %
15 consumió
jugo de naranja y cerveza. Incluso 50 personas (avispadas) consumieron jugo, refresco cola y cerveza.
1) ¿Se quedó alguna persona sin consumición gratuita? En caso afirmativo ¿cuántos?
2) ¿Cuántos consumieron una sola bebida?
3) ¿Cuántos consumieron por lo menos una bebida?
4) ¿Qué porcentaje de los invitados tuvo acceso exactamente a dos tipos de bebidas?
Ejercicio 10
Se preguntó a 64 turistas las preferencias a viajar en avión, barco u ómnibus y todos contestaron cuáles son sus
preferencias. Los que prefieren viajar en avión son la misma cantidad de los que prefieren viajar en barco. Los que
prefieren solo viajar en ómnibus son 5 más que los que prefieren viajar solo en barco. Los que prefieren solo viajar en
barco son 3 más que los que prefieren viajar solo en avión.
Hay 29 turistas que prefieren viajar en ómnibus, 47 que prefieren solo un medio de transporte y 4 a los que les da lo
mismo los tres medios.
a) Calcular el número de turistas que prefieren viajar solo en avión.
b) Calcular el número de turistas que prefieren viajar en avión o en ómnibus, pero no en barco.
c) Calcular el número de turistas que prefieren viajar en avión y en barco.
Ejercicio 11
Sean A , B y D tres conjuntos cualesquiera contenidos en un universo  . Teniendo en cuenta que los complementos
que aparecen son todos los casos son con respecto a  , investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
Demostrar las verdaderas o dar un contraejemplo para las falsas.
1) Si A B A D
   entonces B D
 2) Si A B A D
   entonces B D

3) )
( B
A
A
B
A 


 4)   B
A
B
B
A 



5) ( ) ( )
A B D A B D
     6) ( ) ( )
A B D A D B
    
7) A B B A
   8) )
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P 


9) )
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P 

 10) ( ) ( )
A B P A P B
  

10. 10
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Ejercicio 12 (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
Dados dos conjuntos A y B , se llama diferencia simétrica entre A y B , al conjunto denotado por A B , cuyos
elementos pertenece a uno de los conjuntos pero no al otro. Es decir, ( ) ( )
A B A B B A
   
1) Si  
1;3;5
A  y  
1;2;3
B  , hallar A B .
2) Demostrar que cualesquiera sean los conjuntos A y B se cumple: ( ) ( )
A B A B A B
    . (Sugerencia:
se puede demostrar usando el hecho que A B A B
   )
3) Demostrar que A B A B 
   .
COMPLEMENTO
FAMILIAS DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN DE FAMILIA O COLECCIÓN DE CONJUNTOS
Llamamos familia o colección de conjuntos a cualquier conjunto cuyos elementos son conjuntos.
EJEMPLO
1) Cualquiera sea el conjunto A , el conjunto de partes de A es una familia de conjuntos.
2) Si por cada número real positivo  se define el conjunto  
/
A x R x
  
     , entonces el conjunto
 
/
F A  
  es una familia o colección de conjuntos la cual diremos que está indexada por el conjunto

de los números reales positivos.
DEFINICIÓN DE FAMILIA O COLECCIÓN DE CONJUNTOS INDEXADA
Si por cada elemento  de un conjunto I queda definido un conjunto A , la familia de conjuntos  
/
F A I
 
 
se llama familia indexada por el conjunto I e I se llama conjunto de índices.
La definición de unión de conjuntos se puede generalizar para una familia de conjuntos.
Si F es una familia de conjuntos, la unión de los elementos de la familia F , se denota F , y se define de la siguiente
manera:
 
para algún
/
F x x A A F
  
Si  
/
F A I
 
  es una familia indexada, se usa la notación
I
A

, para referirse a la unión de todos los conjuntos
de F . En este caso,  
para algún
/
I
A x x A I
 



   .
Al igual que para la unión, la definición de intersección de conjuntos se puede generalizar para una familia de conjuntos.
Si F es una familia de conjuntos, la intersección de los elementos de la familia F , se denota F , y se define de la
siguiente manera:  
para todo
/
F x x A A F
  
Si  
/
F A I
 
  es una familia indexada, entonces  
para todo
/
I
A x x A I
 



   es la intersección de
todos los conjuntos de F .
Las leyes de De Morgan, pueden generalizarse para una familia cualquiera  
/
F A I
 
  de la siguiente manera:
c
c
I I
A A
 
 
 
 

 
 
y
c
c
I I
A A
 
 
 
 

 
 

11. 11
TEMA 2 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Ejercicio 13
Para cada número natural 0
n  se define el conjunto
1
/
n
A x x n
n
 
   
 
 
.
Hallar y representar en la recta real cada uno de los siguientes conjuntos:
a) 3 4
A A
 b) 3 4
A A
 c) 1
n n
A A 
 d) 1
n n
A A 
 e)
 
0
n
n
A
 
f)
 
0
n
n
A
 
RESPUESTAS DE ALGUNOS DE LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1 a) Posibles conjuntos X :              
, 1 , 2 , 3 , 1;2 , 1;3 , 2;3 , 1;2;3

b) Posibles conjuntos Y :        
, 1;2 , 1;2;3 , 1;2;4 , 1;2;3;4

Ejercicio 2 a) Son verdaderas la 1) y 3) y las restantes son falsas. b) Son verdaderas la 1), 2) y 3) y la 4) y 5) son falsas.
Ejercicio 3 b) Existen infinitas soluciones, una posible es:    
 
1 , 1 ;2
W X
  e  
;3
Y X
 .
Ejercicio 4 a)  
( ) , , ,
A B C a b e g
   b)  
,
U U
A B d h
  c)   
( ) , ,
U
A C C c d f
  
Ejercicio 5 Para ambas partes del ejercicio hay infinitas soluciones, una posible es: 1)  
1;2
A  ,  
2;3;4
B 
y  
1;3;4;5
C  2)  
1
D  ,  
2;3;4
E  y  
1;3;4;5
F 
Ejercicio 8 2) 6 3) 5 4) 41 5) 59 6) 47
Ejercicio 9 1) 50 invitados no tuvieron acceso a consumición alguna 2) 450 3) 950 4) 45%
Ejercicio 10 a) 12 b) 36 c) 12
Ejercicio 11 1) Falsa 2) Falsa 3) Verdadera 4) Verdadera 5) Falsa y un contraejemplo es  
1;2;3;4;5
A  ,
 
2;3;7;8
B  y  
1;2;7;8;9
D  6) Verdadera 7) Falsa 8) Falsa 9) Verdadera
10) Verdadera. Directo: ( )
C P A C A
   . Como por hipótesis A B
 , tenemos que C B
 y por lo tanto
( )
C P B
 y entonces ( ) ( )
P A P B
 .
Recíproco:        
( ) ( )
a A a A a P A a P B a B a B
           . Hemos demostrado que A B
 .
Ejercicio 12 2) ( ) ( ) ( ) ( )
A B A B B A A B B A
        , aplicando las propiedades distributivas y
las leyes de De Morgan se obtiene el resultado pedido. 3) Para el directo, razonar por reducción al absurdo.
Ejercicio 13 a) 3 4 4
A A A
  b) 3 4 3
A A A
  c) 1 1
n n n
A A A
 
  d) 1
n n n
A A A

 
e)
 
 
0
/ 0
n
n
A x x x

 
     f)
 
 
0
1
n
n
A
 

BIBLIOGRAFÍA
Para la elaboración de este material se consultaron los siguientes textos:
Elon Lages Lima – Paulo Cezar Pinto Carvalho – Eduardo Wagner – Augusto César Morgado. (2006). A Matemática do
Ensino Médio. Volumen 1. Brasil: Sociedade Brasileira de Matemática.
Kenneth H. Rosen. (2004). Matemática Discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. Colombia: Mc Graw Hill.
Ralph P. Grimaldi. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con aplicaciones. 3ª Edición. México:
Adisson Wesley Longman.