diapositiva de matemática básica

2. D0CENTE ORIENTADOR MANFREDO KLEBER BARRETO
AÑO LECTIVO 2020
CONTENIDO
1. Introducción
2. Noción de conjunto.
3 Clases.
4. Relaciones.
5. Operaciones.
6. Propiedades.
7. Diagramas de Ven.
8. Cardinal de un conjunto.

3. INTRODUCCIÓN
Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su
primer tratamiento formal en 1870.
El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas, incluso más que la operación de
contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en las ramas de las
matemáticas puras y aplicadas.
En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para
construir proposiciones matemáticas claras y precisas y para explicar conceptos
abstractos como el infinito.
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de
conjuntos.
.

4. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS
Describo e interpreto variaciones representadas en gráfico.
Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o
gráfica.
Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas
verbales.
Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que
varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas,
sociales y de las ciencias naturales.
Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación
de relaciones entre distintos datos.
.

5. COMPETENCIAS BASICAS.
Estudia, analiza y profundiza los conceptos fundamentales de la teoría de
conjuntos, básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la
relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de
problemas.
Profundiza los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, básicos para
llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la relación del lenguaje natural,
a la vez que son aplicados en la solución de problemas.
Afianza los procesos operacionales en el conjunto de los números reales mediante
la solución y comprensión de situaciones problemas planteadas en contexto.
Propone diversas alternativas de solución a un problema planteado referido a la
lógica y los conjuntos.
Interpreta las diversas operaciones y relaciones que se dan entre los conjuntos.
Resuelve y formula problemas cuya estrategia de solución requiere de las
relaciones y propiedades de los conjuntos y sus operaciones

6. COMPETENCIAS CIUDADANAS
Fomenta y practica valores de convivencia cuando trabaja a nivel grupal.
Escucha e interpreta las ideas de otros en una situación dada y sustenta los
posibles desacuerdos con argumentos propios.
COMPETENCIAS LABORALES.
Comprendo que el espacio público es patrimonio de todos y todas por eso lo cuido
Escucho e interpreto las ideas de otros en una situación dada y sustento los
posibles desacuerdos con argumentos propios.
Identifica problemas en una situación dada, analiza formas para superarlos e
implementa la alternativa más adecuada
.

7. TEORIA DE CONJUNTO
SITUACIÓN PROBLEMA: ¿Que conceptos, habilidades y actitudes
relacionados con la lógica y los conjuntos se requieren para desarrollar el
pensamiento lógico de los estudiantes del PFC
.

8. FUNDAMENTOS CONCEPTUALES
TEORÍA DE CONJUNTOS.
Podemos entender por conjunto a la agrupación, asociación, colección, reunión,
unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden ser
naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por letras,
números, meses de un año, astros, países mares etc., a los integrantes en general
se les llama elementos del conjunto. Presentamos a continuación otros ejemplos.
Conjunto formado por los libros de un estante. Conjunto formado por los juguetes
de un niño. Conjunto formado por los países del África. Conjunto formado por los
elementos químicos.
NOTACIÓN DE CONJUNTO La notación la podemos realizar de la siguiente manera:
El conjunto formado por los cinco primeros números naturales A={2,4,6,8,10} se
lee:”A es el conjunto formado por los elementos 2,4,6,8,10” B= {m,n,r,o,p} se lee:” B
es conjunto formado por los elementos m,n,r,o,p”. C= {sódio, lítio, potasio} se Lee C
es conjunto formado por los elementos químicos, sódio, lítio, potasio.
“Los elementos siempre se separan por comas o puntos y comas, y son encerrados
entre llaves ({ }). Los conjuntos siempre se denotan o son representados por letras
Mayúsculas como A, B, C, D…” Si en un conjunto se repite el mismo elemento se
considera solo una vez. Ej. : R= {a, a, a} = {a} un solo elemento. RELACIÓN DE
PERTENENCIA (∈) Se dice que todo elemento de un conjunto pertenece a dicho
conjunto si

9. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈).
Se dice que todo elemento de un conjunto pertenece a dicho conjunto si
forma parte del conjunto en mención y para indicar esto lo representamos de la
siguiente manera ∈y en contrario de no pertenencia ∉.
Ej.: A= {d, u, r, o}
De donde: d ∈A Se lee “d pertenece al conjunto A “ u∈A
Se lee “u pertenece al conjunto A” s∉A
Se lee “s no pertenece al conjunto A”
CARDINALIDAD Y ORDENALIDAD 1. Número Cardinal.
Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto. Car (D)= n (D)=
número de elementos. Ej.: El número Cardinal del conjunto D= {a, e, i, o, u} Es = 5 a
e i o u 1 2 3 4 5 ←número Cardinal del conjunto D
∴ Nos dice que: D tiene 5 elementos
Si A= {6, 8, 10,12} A tiene 4 elementos. ∴
Número Ordinal. Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno de
los elementos del conjunto al contarlos.

10. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se determinan de dos
formas:
a) Por Extensión.- Llamado también por modo explicito, enumerativo o de
forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado
individualmente. Ej.: P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter} Q= {Juan, Iván,
Jorge}
R= {Rebeca, Mercedes, Victoria}
b) Por Comprensión.- Llamado también modo implícito, descriptivo o de
forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto,
enuncian una propiedad que los caracteriza a todos.
Ej.: P= {x/x es un planeta} Se lee El conjunto P formado por los
elementos x tal que x es un planeta Q= {x/x es un elemento químico} Se
lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento
químico.
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTO Por el número de elementos que poseen
los conjuntos se pueden clasificarse en:
Conjunto Vació.- Es carece de elementos, también llamado nulo se
denota por el símbolo ( ∅ ). Ej.: A= {x/x es un perro que tiene alas} B= {x/
x3 = 27 donde x es par}

11. C= {x/x ∈ N; 12< x< 13}
Conjunto Unitario.- Es aquel conjunto que esta formado por un solo y
único elemento.
Ej.: P= {x/x esta formado por satélites de la tierra} Q= {x/x + 2 =7} R= {2,
2, 2, 2} “ojo tiene un solo elemento”.
Conjunto Universal.- Se denota por la letra U; contiene, comprende o
dentro del cual están todos los demás conjuntos.
Ej.: Si consideramos U como el conjunto de todos los Elementos
Químicos, entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos
sólidos, líquidos, gaseosos, radiactivos, metales, etc.
Conjunto Finito.- Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma
usual desde primero hasta el último.
Ej.: A= {El número computadoras del salón de clase} B= {275 paginas del
libro}.
C= {números impares de 5 al 21}
Conjunto Infinito.- Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un
último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado.
Ej.: A= {x∈Z; x >2} B= {x/x Es un número real}

12. RELACIÓN ENTRE CONJUNTO
Inclusión (⊂).- Se dice que un conjunto “A” esta incluido en otro “B”,
cuando todo elemento de A, pertenece a B, matemáticamente se define:
Ej.: A= {radio, televisor, refrigeradora} B= {Artefactos eléctricos} ∴ A ⊂ B
(A esta incluido en B)
∴ A ⊂ B (A esta incluido en B)
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos su forma es:
A=B además se cumple:
.

13. Subconjunto Propio.
B es un subconjunto propio de A, si en primer lugar B es un subconjunto
de A, ó B esta incluido en A, y en segundo lugar B no es igual a A, en
todo caso no existe por lo menos un elemento de A que no esta en B es
decir: A= {1, 2, 3, 4,5} B= {2,4} B ⊂ A
Nota: Todo conjunto es subconjunto de si mismo, pero no es subconjunto
propio de si mismo. Ej.: Si: A= {r, s, t}, Entonces:
Subconjuntos de A P(A)= {∅, {r} ;{s} ;{t} ;{r, s} ;{s, t} ;{r, s, t}} Subconjunto
propios de A A 3.
Conjunto Potencia.- Se llama así al conjunto que esta formado por todos
los subconjuntos que se forman de un conjunto dado. Se simboliza por P
su notación P(A), se lee potencia del conjunto A.
Ej.: Hallar la potencia del siguiente conjunto: A= {1, 2,3} Donde A tiene 3
elementos
P(A)= {{1} ;{2} ;{3} ;{1,2} ;{1,3} ;{2,3} ;{1, 2, 3};∅} Donde: ∴2³ = 8
Donde: ∴2³ = 8

14. Ej.: Hallar el número de subconjuntos y el número de subconjuntos
propios en: B= {f, g, h, i}
P(B)={∅;{f};{g};{h};{i}:{f,g};{f,h};{f,i};{g,h};{g,i};{h,i};{f,g,h};{f,h,i}; {g, h, i};{f, g,
i};{f, g, h, i,}}
El número de elementos de B: n(B)=4
El número de conjuntos potencia de B será: n[P(B)]= 2n =16
El número de Subconjuntos de B: 16
El número de Subconjuntos Propios de B: 2n -1=15
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTO.
Diagrama de VENN Los conjuntos pueden ser representados haciendo
uso de gráficas como: círculos, elipses, rectángulos u otras figuras
geométricas de áreas plana, dentro de los cuales se ubican los
elementos que le pertenecen y fuera a los elementos que no pertenecen
al conjunto.
A continuacioin representamos algunos conjuntos: A={a,e,i,o,u} y
B={a,m,n,o,u} ∴
AUB={a,e,i,o,u,m,n} ∴ A ∩ B= {a, o, u}

15. Nota: “U” es el conjunto universal de todas las letras del
alfabeto.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Las operaciones de conjuntos son:
la unión, la intersección, la diferencia, la complementación, el conjunto
producto y la diferencia simétrica.
UNIÓN DE CONJUNTO.- La unión de conjunto A y B es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, se
simboliza por: AUB, y se lee “A” unión “B” Notación:
Gráficamente es:
Propiedades: Los más importantes son: 1) A U B = B U A (conmutativa) 2)
A U A = A (Idempotencia) 3) A U Ø = A 4) A U U = U; U: universo

16. Intersección (∩): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección
al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a
la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos
comunes a A y B.
Notación:
Gráficamente:
Propiedades: i) A ∩ B = B ∩ A
ii) A ∩ A = A
iii) A ∩ Ø = Ø
iv) A ∩ U = A; U: universo

17. Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al
conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B;
es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
exclusivamente a A.
Notación:
Ej.: Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 7, 8}
C = {4, 7, 8}
⇒ A - B = {1, 3}
B - C = {2, 6}
A - C = {1, 2, 3, 6}
Gráficamente:
Propiedades:
i) A - A = Ø
ii) A - Ø = A
iii) Ø - A = Ø
iv) A - B = B – A ⇔ A = B

18. Complemento de un conjunto (C(A), AC ): Dado un conjunto A que está
incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a
todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.
Notación:
Ejem:
Sean: U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8}
Ac = {2, 5, 6}
Gráficamente:

19. Diferencia Simétrica (∆).- Se llama diferencia simétrica de los conjuntos
A y B, al conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a
la intersección. Esto es, que pertenecen a A o a B
NOTA: PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE “A ∆ B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS
ELEMENTOS DE A B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN OTRAS
PALABRAS “A ∆ B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS
“EXCLUSIVOS” DE A O DE B.
Gráficamente:

20. CARDINAL DE UN CONJUNTO.
Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos “cardinal de A “al número de elementos
de A y lo notamos como n(A).
EJEMPLOS:
Si V = {x/x es estación del año}, entonces n (V) = 4.
Si P = {x/x es un primo par}, entonces n(P)= 1
Si L = {x/x es un par menor de 20}, entonces n(L) = 9
Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dadas, podemos obtener el cardinal de
otros conjuntos que son: unión, intersección, diferencia y complementos de los
conjuntos dados.
Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unión de estos
conjuntos de la siguiente forma:
n (AUB) = n(A) + n(B) – n (A∩B).
Si los conjuntos son disyuntos: (A∩B) =ø, entonces la relación anterior se reduce a:
n (AUB) = n(A) + n(B).
EJEMPLO 1: una farmacia rebajo el precio de una loción y el de una crema. La
contabilidad al final de un día índico que 66 personas habían comprado crema; 21,
loción y 12 personas ambos producto
a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción?
c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema?
C= {x/x compro crema}, entonces n (C) = 66
L= {x/x compro loción}, entonces n(L) = 21
n (A∩B) = 12.
a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
n (LUC) = n(L) + n(C) – n (L∩C) =
n (LUC) = 66 + 21 – 12
n (LUC) = 75

21. a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
n (LUC) = n(L) + n(C) – n (L∩C) =
n (LUC) = 66 + 21 – 12
n (LUC) = 75
b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción?
n (L) – n (L∩C) =
66- 12 = 54
c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema?
n (C) - n (L∩C) = 21- 12 = 9
.

22. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que 277 tenían casa
propia; 233, automóvil; 405, televisor; 165 automóvil y televisor; 120, automóvil y
casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.
a) ¿Cuantas personas fueron encuestadas?
a) ¿Cuántas personas tienen solamente cas y televisor?
c) ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?
n ( C ) = 233 n ( A ∩ TV ) = 165 n ( C ∩ A∩ TV ) = 105
n ( A ) = 233 n ( C ∩ A ) = 120
n ( TV ) = 405 n ( C ∩ TV ) = 120
n ( A ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
165 - 105 = 60
n ( A ∩ C ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
120 - 105 = 15
n ( C ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) =
190 - 105 = 85
n ( C ) - n ( A ∩ C ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
277 - 15 + 85 + 105 =
277 - 205 = 72, tienen casa propia.
n ( A ) - n ( A ∩ TV ) + n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
233 - 15 + 60 + 105 =
233 - 180 = 53
n ( TV ) - n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) =
405 - 60 + 85 + 105 =
405 - 250 = 15

23. a) Fueron encuestadas
n (C U A U TV ) = n ( C ) + n ( A ) + n ( TV ) - n ( C ∩ A ) - n ( C ∩ TV ) -
n ( A ∩ TV ) + + n ( C ∩ A∩ TV ) =
n (C U A U TV ) = 277 +233 +405 – 120 – 190 – 165 + 105
n (C U A U TV ) = 915 – 475 + 105
n (C U A U TV ) = 545
b) 85 personas tienen casa y televisor.
c) 72 personas tienen casa propia.
.

24. BIBLIOGRAFIA
Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill
Aurelio Baldor. Algebra Baldor
Universidad de Antioquia. Simbolismo lógico
SALAZAR, R. J.Iintroducción a la lógica deductiva y teoría de conjunto
Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5°
Sitios web donde se puede consultar el tema de conjuntos:
http://tareasplus.com
http://www.uanarino.edu.co/deans/dpto.matematicas/DISTANCIA/SISTEM
AS-MECANICA/TEORIA%20DE%20GRAFOS/GUIA2.pdf
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/conjuntos.html
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjunto