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Ejercicios complementarios cinemática.
Problema n° 1) En la figura se indica la posición de un móvil en
función del tiempo, hallar la velocidad media durante los
intervalos de tiempo a, b, c y d indicados.
Solución
Para calcular la velocidad media aplicamos:
Tramo a.
va = Δxa/Δta
va = (6 m - 3 m)/(3 s - 0 s)
Resultado, la velocidad media en el intervalo a es:
va = 1 m/s
Tramo b.
vb = Δxb/Δtb
vb = (2 m - 6 m)/(7 s - 3 s)
Resultado, la velocidad media en el intervalo b es:
Δvb = -1 m/s
Tramo c.
vc = Δxc/Δtc
vc = (-8 m - 2 m)/(9 s - 7 s)
Resultado, la velocidad media en el intervalo c es:
vc = -5 m/s
Tramo d.
vd = Δxd/Δtd
vd = (xdf - xd0)/(tdf - td0)
vd = (-8 m - (-8 m))/(15 s - 9 s)
Resultado, la velocidad media en el intervalo d es:
vd = 0 m/s
Problema n° 2) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresándolas en
las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la
izquierda del eje vertical.
Solución
Grafico 1
v1 = Δx1/Δt1
v1 = (x1f - x10)/(t1f - t10)
v1 = (40 km - 0 km)/(1 h - 0 h)
Resultado, la pendiente del gráfico (1) indica una velocidad de:
v1 = 40 km/h
Grafico 2
v2 = Δx2/Δt2
v2 = (x2f - x20)/(t2f - t20)
v2 = (10 km - 2 km)/(4 s - 0 s)
Resultado, la pendiente del gráfico (2) indica una velocidad de:
v2 = 2 km/s
Grafico 3
v3 = Δx3/Δt3
v3 = (x3f - x30)/(t3f - t30)
v3 = (0 m - 12 m)/(8 s - 0 s)
Resultado, la pendiente del gráfico (3) indica una velocidad de:
v3 = -1,5 m/s
No se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo
negativo
Problema n° 3) De estos dos gráficos, ¿cuál representa el movimiento
más veloz? y ¿por qué?
Solución
Para analizar o comparar gráficos siempre se debe tener en cuenta lo que
se representa en cada eje, así como la escala y las unidades en cada eje.
Son gráficos de posición en función del tiempo y se representan rectas, por
lo tanto, se trata de dos movimientos con velocidad constante, en este caso
la pendiente de la recta es la velocidad, para el caso:
Δv = Δx/Δt
Grafico 1
v1 = Δx1/Δt1
v1 = 10 m/4 s
v1 = 2,5 m/s
Grafico 2
Δv2 = Δx2/Δt2
v2 = 10 m/2 s
v2 = 5 m/s
El gráfico (2) representa un movimiento más veloz.
Problema n° 4) Para la gráfica de la figura, interpretar como ha variado la
velocidad, trazar el diagrama v = ƒ(t) y hallar la distancia recorrida en base
a ese diagrama.
Solución
A partir de la pendiente de cada tramo de recta obtenemos la velocidad.
vAB = ΔxAB/ΔtAB
vAB = (20 m - 0 m)/(10 s - 0 s)
Resultado, la velocidad en el tramo AB es:
vAB = 2 m/s
vBC = ΔxBC/ΔtBC
vBC = (30 m - 20 m)/(30 s - 10 s)
Resultado, la velocidad en el tramo BC es:
vBC = 0,5 m/s
vCD = ΔxCD/ΔtCD
vCD = (30 m - 30 m)/(40 s - 30 s)
Resultado, la velocidad en el tramo CD es:
vCD = 0 m/s
vDE = ΔxDE/ΔtDE
vDE = (10 m - 30 m)/(50 s - 40 s)
Resultado, la velocidad en el tramo DE es:
vDE = - 2 m/s
ΔxAE = xE - xA
ΔxAE = 10 m - 0 m
Resultado, la distancia en el recorrido AE es:
ΔxAE = 10 m
Esto se debe a que el móvil regresa por el mismo camino.
Problema n° 5) Calcular el espacio recorrido por el móvil correspondiente a
la gráfica:
Solución
En el gráfico de v = ƒ(t) la superficie bajo la curva es el espacio recorrido,
es decir:
x = (20 m/s)·(5 s) + (20 m/s)·(4 s)/2
x = 100 m + 40 m
Resultado:
x = 140 m
Problema n° 6) Calcular el espacio recorrido para el móvil de la gráfica:
Solución
Como en el caso anterior:
x = (100 m/s)·(250 s)/2
Resultado:
x = 12.500 m
Problema n° 7) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se
oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s,
¿cuál es la profundidad del pozo?
Usar g = 10 m/s²
Desarrollo
Datos:
vsonido = 330 m/s
t = 10 s
Fórmulas:
(1) vf =vo + g·t vf = g·t
(2) h = vo t + ½·g·t² h = ½·g·t²
Solución
El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra
en caer más el que tarda el sonido en llegar hasta el punto
de partida de la piedra:
t = tp + ts = 10 s ⇒ ts = 10 s - tp (3)
La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia
que recorre la piedra:
hs = hp (4)
Para el sonido:
vs = hs/ts MRU
hs = vs·ts (5)
Para la piedra.
hp = g·tp²/2 (6) MRUV
Igualando (5) y (6):
vs·ts = g·tp²/2 (7)
Reemplazando (3) en (7):
Reemplazando por los datos:
Resolvemos la ecuación cuadrática:
tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6)
reemplazamos con tp1 y resolvemos:
Resultado:
hp = 383,3 m
Problema n° 8) Desde un puente se deja caer una piedra verticalmente, si
la piedra tarda 2,5 s en llegar al agua, determinar:
1. ¿Con qué velocidad llega al agua?
2. ¿Cuál es la altura del puente?
Usar g = 10 m/s²
Desarrollo
Datos:
v0 = 0 m/s
t = 2,5 s
Fórmulas:
(1) vf = v0 + g·t
(2) y
h = v0·t + ½·g·t²
(3) vf² - v0² = 2·g·h
Solución
1)
De la ecuación (1):
vf = 0 m/s + (10 m/s²)·(2,5 s)
Resultado, la velocidad con que llega al agua es:
vf = 25 m/s
2).
Empleando la ecuación (2):
y = (0 m/s)·(2,5 s) + (10 m/s²)·(2,5 s)²/2
Resultado, la altura del puente es:
h = 31,25 m
Problema n° 9) Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de
la parte alta de un edificio de 14 pisos, llega al suelo en 1,5 s,
tomando en cuenta que cada piso mide 2,6 m de altura. Calcular
la velocidad inicial de la piedra y la velocidad al llegar al piso.
Desarrollo
Datos:
Número de pisos = 14
Altura de cada piso = 2,6 m
t = 1,5 s
g = 9,81 m/s²
Fórmulas:
1. h = v0·t + ½·g·t²
2. vf = v0 + g·t
Solución
La altura será:
h = 14 pisos x 2,6 m
h = 36,4 m
Despejando v0 de la ecuación (1):
h = v0·t + ½·g·t² ⇒ v0·t = h - ½·g·t² ⇒ v0 = (h - ½·g·t²)/t
v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²)·(1,5 s)²]/2)/(1,5 s)
v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²)·(2,25 s²)]/2)/(1,5 s)
v0 = (36,4 m - (22,0725 m)/2)/(1,5 s)
v0 = (36,4 m - 11,03625 m)/(1,5 s)
v0 = (25,36375 m)/(1,5 s)
Resultado:
v0 = 16,91 m/s
Luego, empleando la ecuación (2):
vf = v0 + g·t
vf = 16,91 m/s + (9,81 m/s²)·(1,5 s)
vf = 16,91 m/s + 14,715 m/s
Resultado:
vf = 31,625 m/s
:
¿Qué son las fórmulas cinemáticas?
Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que
relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación.
Desplazamiento
Velocidad inicial
Aceleración constante
Velocidad inicial
Velocidad final
Intervalo de tiempo
usar una fórmula cinemática (ver más abajo) para encontrar una
de las variables desconocidas.
Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes
cuatro ecuaciones.
v=vo+a t
e=
(𝑣+𝑣𝑜)
2
t2
e=vot+
1
2
at2
v2=v0
2+2ae
E-1Un globo lleno de agua de sabor se deja caer desde la azotea de
un edificio muy alto.
¿Cuál es la velocidad del globo con agua después de caer
durante t=2.35 s
v=vo+a t= 0+g t = 9.81 m/s2 x 2.35 s =
23.1 m/s
E-2 Un leopardo está corriendo con una rapidez de 6,20 m/s y,
después de ver un espejismo que tiene forma de un camión de
helados, aumenta su rapidez a 23,1 m/s en un tiempo de 3,3 s.
¿Cuánta distancia cubrió el leopardo al ir de 6,20 m/s a 23,1
m/s?
e=
(𝑣+𝑣𝑜)
2
t2 e=
(23.1 𝑚/𝑠+6.20𝑚/𝑠)
2
3.3 s = 48.3 m
E-3 Una estudiante está harta de hacer su tarea de fórmulas
cinemáticas, así que lanza su lápiz hacia arriba y de forma recta
a 18.3 m/s
¿Cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un
punto 12,2 m más alto de donde fue lanzado?
v0=18,3 m/s
h=12,2 m
a=- 9.81 m/s2
h=vot-
1
2
gt2 12.2=18.3t-
1
2
9.81t2
-
1
2
9.81t2 + 18.3 t – 12.2= 0
t1=0,869s t2=2,86 s
E-4 Un motociclista europeo comienza con una rapidez de 23,4 m/s
y, al ver tráfico adelante, decide frenar en una longitud de 50,2 m
con una desaceleración constante de magnitud 3,20 m/s2
. Supón
que la motocicleta se está moviendo hacia adelante durante todo el
recorrido.
¿Cuál es la nueva velocidad del motociclista después de frenar
en los 50,2 m?
v2=v0
2+2ae
v0=23,4 m/s
a=-3,20 m/s2
e=50,2 m
v2=(23.4)2+2(- 3.20) 50.2
v =√(23.4)2 + 2(− 3.20) 50.2
v = 15 m/s
Cuál fue la velocidad instantánea de la morsa en los siguientes
tiempos: 2text{ s}2 s2, start text, space, s, end text, 5text{ s}5 s5,
start text, space, s, end text, and 8text{ s}8 s8, start text, space, s,
end text?
El movimiento de un pájaro extraordinariamente jubiloso que vuela
de arriba para abajo está dado por la siguiente gráfica, que muestra
la posición vertical y como una función del tiempo t. Responde las
siguientes preguntas acerca del movimiento del pájaro.
Cuál fue la velocidad promedio del pájaro entre t=0 y t=10 s
¿Cuál fue la rapidez promedio del pájaro entre t=0 y t=10
Isabella deja caer accidentalmente un bolígrafo desde su balcón mientras celebra que resolvió
satisfactoriamente un problema de física.
Al suponer que la resistencia del aire es despreciable, ¿cuántos segundos tarda el
bolígrafo en alcanzar una rapidez de 19{,}62 ,dfrac{text {m}}{text
s}19,62sm19, comma, 62, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s,
end text, end fraction?
Por ejemplo, cuando una pelota se lanza hacia arriba en el aire, la
velocidad de la bola inicialmente es hacia arriba. Como la
gravedad la jala hacia la Tierra con una aceleración constante ggg,
la magnitud de la velocidad disminuye a medida que la pelota se
aproxima a la altura máxima.
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  • 1. Ejercicios complementarios cinemática. Problema n° 1) En la figura se indica la posición de un móvil en función del tiempo, hallar la velocidad media durante los intervalos de tiempo a, b, c y d indicados. Solución Para calcular la velocidad media aplicamos: Tramo a. va = Δxa/Δta va = (6 m - 3 m)/(3 s - 0 s) Resultado, la velocidad media en el intervalo a es: va = 1 m/s Tramo b. vb = Δxb/Δtb vb = (2 m - 6 m)/(7 s - 3 s) Resultado, la velocidad media en el intervalo b es: Δvb = -1 m/s Tramo c. vc = Δxc/Δtc vc = (-8 m - 2 m)/(9 s - 7 s) Resultado, la velocidad media en el intervalo c es: vc = -5 m/s
  • 2. Tramo d. vd = Δxd/Δtd vd = (xdf - xd0)/(tdf - td0) vd = (-8 m - (-8 m))/(15 s - 9 s) Resultado, la velocidad media en el intervalo d es: vd = 0 m/s Problema n° 2) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresándolas en las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la izquierda del eje vertical. Solución Grafico 1 v1 = Δx1/Δt1 v1 = (x1f - x10)/(t1f - t10) v1 = (40 km - 0 km)/(1 h - 0 h) Resultado, la pendiente del gráfico (1) indica una velocidad de: v1 = 40 km/h Grafico 2 v2 = Δx2/Δt2 v2 = (x2f - x20)/(t2f - t20) v2 = (10 km - 2 km)/(4 s - 0 s) Resultado, la pendiente del gráfico (2) indica una velocidad de: v2 = 2 km/s Grafico 3 v3 = Δx3/Δt3 v3 = (x3f - x30)/(t3f - t30)
  • 3. v3 = (0 m - 12 m)/(8 s - 0 s) Resultado, la pendiente del gráfico (3) indica una velocidad de: v3 = -1,5 m/s No se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo negativo Problema n° 3) De estos dos gráficos, ¿cuál representa el movimiento más veloz? y ¿por qué? Solución Para analizar o comparar gráficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, así como la escala y las unidades en cada eje. Son gráficos de posición en función del tiempo y se representan rectas, por lo tanto, se trata de dos movimientos con velocidad constante, en este caso la pendiente de la recta es la velocidad, para el caso: Δv = Δx/Δt Grafico 1 v1 = Δx1/Δt1 v1 = 10 m/4 s v1 = 2,5 m/s Grafico 2 Δv2 = Δx2/Δt2 v2 = 10 m/2 s v2 = 5 m/s El gráfico (2) representa un movimiento más veloz.
  • 4. Problema n° 4) Para la gráfica de la figura, interpretar como ha variado la velocidad, trazar el diagrama v = ƒ(t) y hallar la distancia recorrida en base a ese diagrama. Solución A partir de la pendiente de cada tramo de recta obtenemos la velocidad. vAB = ΔxAB/ΔtAB vAB = (20 m - 0 m)/(10 s - 0 s) Resultado, la velocidad en el tramo AB es: vAB = 2 m/s vBC = ΔxBC/ΔtBC vBC = (30 m - 20 m)/(30 s - 10 s) Resultado, la velocidad en el tramo BC es: vBC = 0,5 m/s vCD = ΔxCD/ΔtCD vCD = (30 m - 30 m)/(40 s - 30 s) Resultado, la velocidad en el tramo CD es: vCD = 0 m/s vDE = ΔxDE/ΔtDE vDE = (10 m - 30 m)/(50 s - 40 s) Resultado, la velocidad en el tramo DE es: vDE = - 2 m/s ΔxAE = xE - xA ΔxAE = 10 m - 0 m Resultado, la distancia en el recorrido AE es: ΔxAE = 10 m Esto se debe a que el móvil regresa por el mismo camino.
  • 5. Problema n° 5) Calcular el espacio recorrido por el móvil correspondiente a la gráfica: Solución En el gráfico de v = ƒ(t) la superficie bajo la curva es el espacio recorrido, es decir: x = (20 m/s)·(5 s) + (20 m/s)·(4 s)/2 x = 100 m + 40 m Resultado: x = 140 m Problema n° 6) Calcular el espacio recorrido para el móvil de la gráfica: Solución Como en el caso anterior: x = (100 m/s)·(250 s)/2 Resultado: x = 12.500 m
  • 6. Problema n° 7) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo? Usar g = 10 m/s² Desarrollo Datos: vsonido = 330 m/s t = 10 s Fórmulas: (1) vf =vo + g·t vf = g·t (2) h = vo t + ½·g·t² h = ½·g·t² Solución El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer más el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra: t = tp + ts = 10 s ⇒ ts = 10 s - tp (3) La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra: hs = hp (4) Para el sonido: vs = hs/ts MRU hs = vs·ts (5)
  • 7. Para la piedra. hp = g·tp²/2 (6) MRUV Igualando (5) y (6): vs·ts = g·tp²/2 (7) Reemplazando (3) en (7): Reemplazando por los datos: Resolvemos la ecuación cuadrática:
  • 8. tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos: Resultado: hp = 383,3 m Problema n° 8) Desde un puente se deja caer una piedra verticalmente, si la piedra tarda 2,5 s en llegar al agua, determinar: 1. ¿Con qué velocidad llega al agua? 2. ¿Cuál es la altura del puente? Usar g = 10 m/s² Desarrollo Datos: v0 = 0 m/s t = 2,5 s Fórmulas: (1) vf = v0 + g·t
  • 9. (2) y h = v0·t + ½·g·t² (3) vf² - v0² = 2·g·h Solución 1) De la ecuación (1): vf = 0 m/s + (10 m/s²)·(2,5 s) Resultado, la velocidad con que llega al agua es: vf = 25 m/s 2). Empleando la ecuación (2): y = (0 m/s)·(2,5 s) + (10 m/s²)·(2,5 s)²/2 Resultado, la altura del puente es: h = 31,25 m Problema n° 9) Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de la parte alta de un edificio de 14 pisos, llega al suelo en 1,5 s, tomando en cuenta que cada piso mide 2,6 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la piedra y la velocidad al llegar al piso. Desarrollo Datos: Número de pisos = 14 Altura de cada piso = 2,6 m t = 1,5 s g = 9,81 m/s² Fórmulas: 1. h = v0·t + ½·g·t² 2. vf = v0 + g·t Solución La altura será: h = 14 pisos x 2,6 m h = 36,4 m
  • 10. Despejando v0 de la ecuación (1): h = v0·t + ½·g·t² ⇒ v0·t = h - ½·g·t² ⇒ v0 = (h - ½·g·t²)/t v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²)·(1,5 s)²]/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²)·(2,25 s²)]/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - (22,0725 m)/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - 11,03625 m)/(1,5 s) v0 = (25,36375 m)/(1,5 s) Resultado: v0 = 16,91 m/s Luego, empleando la ecuación (2): vf = v0 + g·t vf = 16,91 m/s + (9,81 m/s²)·(1,5 s) vf = 16,91 m/s + 14,715 m/s Resultado: vf = 31,625 m/s
  • 11. :
  • 12. ¿Qué son las fórmulas cinemáticas? Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación. Desplazamiento Velocidad inicial Aceleración constante Velocidad inicial Velocidad final Intervalo de tiempo usar una fórmula cinemática (ver más abajo) para encontrar una de las variables desconocidas. Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes cuatro ecuaciones. v=vo+a t
  • 13. e= (𝑣+𝑣𝑜) 2 t2 e=vot+ 1 2 at2 v2=v0 2+2ae E-1Un globo lleno de agua de sabor se deja caer desde la azotea de un edificio muy alto. ¿Cuál es la velocidad del globo con agua después de caer durante t=2.35 s v=vo+a t= 0+g t = 9.81 m/s2 x 2.35 s = 23.1 m/s E-2 Un leopardo está corriendo con una rapidez de 6,20 m/s y, después de ver un espejismo que tiene forma de un camión de helados, aumenta su rapidez a 23,1 m/s en un tiempo de 3,3 s. ¿Cuánta distancia cubrió el leopardo al ir de 6,20 m/s a 23,1 m/s? e= (𝑣+𝑣𝑜) 2 t2 e= (23.1 𝑚/𝑠+6.20𝑚/𝑠) 2 3.3 s = 48.3 m E-3 Una estudiante está harta de hacer su tarea de fórmulas cinemáticas, así que lanza su lápiz hacia arriba y de forma recta a 18.3 m/s ¿Cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12,2 m más alto de donde fue lanzado?
  • 14. v0=18,3 m/s h=12,2 m a=- 9.81 m/s2 h=vot- 1 2 gt2 12.2=18.3t- 1 2 9.81t2 - 1 2 9.81t2 + 18.3 t – 12.2= 0 t1=0,869s t2=2,86 s E-4 Un motociclista europeo comienza con una rapidez de 23,4 m/s y, al ver tráfico adelante, decide frenar en una longitud de 50,2 m con una desaceleración constante de magnitud 3,20 m/s2 . Supón que la motocicleta se está moviendo hacia adelante durante todo el recorrido. ¿Cuál es la nueva velocidad del motociclista después de frenar en los 50,2 m? v2=v0 2+2ae v0=23,4 m/s a=-3,20 m/s2 e=50,2 m v2=(23.4)2+2(- 3.20) 50.2 v =√(23.4)2 + 2(− 3.20) 50.2 v = 15 m/s
  • 15. Cuál fue la velocidad instantánea de la morsa en los siguientes tiempos: 2text{ s}2 s2, start text, space, s, end text, 5text{ s}5 s5, start text, space, s, end text, and 8text{ s}8 s8, start text, space, s, end text? El movimiento de un pájaro extraordinariamente jubiloso que vuela de arriba para abajo está dado por la siguiente gráfica, que muestra la posición vertical y como una función del tiempo t. Responde las siguientes preguntas acerca del movimiento del pájaro. Cuál fue la velocidad promedio del pájaro entre t=0 y t=10 s ¿Cuál fue la rapidez promedio del pájaro entre t=0 y t=10 Isabella deja caer accidentalmente un bolígrafo desde su balcón mientras celebra que resolvió satisfactoriamente un problema de física. Al suponer que la resistencia del aire es despreciable, ¿cuántos segundos tarda el bolígrafo en alcanzar una rapidez de 19{,}62 ,dfrac{text {m}}{text s}19,62sm19, comma, 62, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction?
  • 16. Por ejemplo, cuando una pelota se lanza hacia arriba en el aire, la velocidad de la bola inicialmente es hacia arriba. Como la gravedad la jala hacia la Tierra con una aceleración constante ggg, la magnitud de la velocidad disminuye a medida que la pelota se aproxima a la altura máxima.