Lecciones 05 Esc. Sabática. Fe contra todo pronóstico.
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1. • TEMA 8 CINEMÁTICA
(Temas 8 y 9 del libro)
La cinemática es la rama de la física que describe el movimiento de los
objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas). Se
limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo
2. CONTENIDO
Clases 1-2
1. El movimiento
1.1 Sistemas de referencia
a) Ppio. de relatividad de Galieo
1.2. Vectores posición y desplazamiento
1.3. Vector velocidad (media e instantánea)
1.4. Composición de movimientos MRU
a) MRU en 1D (encuentros)
b) MRU en 2D
Clases 3-4
2. MRUA en 1D y 2D
2.1 Vector aceleración
2.2. Movimientos acelerados (MRUA)
a) Caída libre y lanzamiento vertical (repaso)
b) Tiro parabólico
c) Tiro horizontal
3. 1.1. Sistemas de referencia
¿A qué distancia está la playa (en km)? ¿A qué distancia está Bea (en m)?
(pág. 212)
Es necesario seleccionar un sistema de referencias (un punto o un
conjunto de puntos) respecto al cual definir la posición y el
movimiento de los cuerpos
1D
X
P(x)
x
O
4º
ESO
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
, 𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
Y
X
Z
P(x,y,z)
O
3D
𝑣 =
Δ𝑟
Δ𝑡
, 𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
1º
Bach. P(x,y)
Y
X
y
x
O
2D
𝑖
𝑗
4. a) Principio de relatividad de Galileo
(pág. 214)
Sistemas de referencia
inerciales
El principio de la relatividad de Galieo establece que
Dos sistemas de referencia S y S’ que se mueven con
velocidad relativa constante son equivalentes desde el
punto de vista mecánico; es decir, los experimentos
mecánicos se desarrollan de igual manera en ambos, y
las leyes de la mecánica son las mismas
ANDÉN
𝒗 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
TREN
5. 1.2. Trayectoria de un móvil: vectores posición y desplazamiento
¿Cómo definir matemáticamente cada punto de la trayectoria?
Módulo (= distancia al origen)
Vector posición
(pág. 215)
La trayectoria es el conjunto de puntos del espacio por donde pasa el objeto
en movimiento
𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
| 𝑟 |= 𝑥2 + 𝑦2
Ecuación del
movimiento
Variación de la posición con el tiempo : 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
Ecuaciones paramétricas
Para calcular la trayectoria eliminamos la
dependencia temporal en las ec. paramétricas
F 𝑥, 𝑦 = 0 Ec. de la trayectoria
Ejercicios 36.a) (pág. 224)
6. Ejercicios 36.a) (pág. 224)
36. Una nave espacial evoluciona según las siguientes ecuaciones:
𝑥 𝑡 = 3𝑡2
− 1 , 𝑦 𝑡 = 𝑡2
a) Calcula la ecuación de la trayectoria
b) Escribe la Ecuación del movimiento
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 = (3𝑡2 − 1) 𝑖 + 𝑡2𝑗
𝑦 𝑡 = 𝑡2
Tenemos que despejar t de una de las ecuaciones paramétricas y sustituir en la
otra, de modo que la ecuación de la trayectoria no tenga dependencia explícita del
tiempo
𝑥 𝑡 = 3𝑡2
− 1 = 3𝑦 − 1 𝑥 𝑡 = 3𝑦 − 1
𝑥 𝑦 = 3𝑦 − 1 𝑦 𝑥 = (𝑥 + 1)
1
3
Ecuaciones de la trayectoria (son equivalentes).
Es más habitual dejar la coordenada 𝑦 despejada
,
7. ¿Cuánto se desplaza el móvil entre dos instantes de
tiempo?
Vectores de posición = Coordenadas de los
puntos A y B en el SR elegido
𝜟𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
(pág. 216)
1.2. Trayectoria de un móvil: vectores posición y desplazamiento
|𝛥𝑟| ≤ Distancia recorrida (ΔS)
𝛥𝑟 = Δ𝑆
𝛥𝑟 < Δ𝑆
𝒕𝟏
𝐴
𝑟 𝑡1 =
= 𝑟1= 𝑂𝐴 = (𝑥1, 𝑦1)
𝒕𝟐
𝐵
𝑟 𝑡2 =
= 𝑟2 = 𝑂𝐵 = (𝑥2, 𝑦2)
El vector desplazamiento (𝚫𝒓) entre dos puntos A y B, es el vector con origen en A y
final en B
Trayectoria recta
Trayectoria curva
8. 1. Un tren y un automóvil parten de Málaga hacia La Coruña. ¿Seguirán la
misma trayectoria? ¿y el mismo desplazamiento? Razona la respuesta
2. Una persona recorre 10 metros en línea recta y luego retrocede hasta el
punto de partida siguiendo la misma recta. ¿Cuánto vale el
desplazamiento? ¿y la trayectoria?
3. ¿En qué caso la trayectoria y el desplazamiento coinciden?. Justifica la
respuesta
Cuestiones de conceptos (trayectoria y desplazamiento)
Lo que ya sabemos
Trayectoria, s
Desplazamiento, Δ𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1
Vector posición, 𝑟
Ecuación del
movimiento
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
9. Ejercicios 16 17, 19, 21, 22 (pág. 224)
Ejercicios de trayectoria y desplazamiento
Lo que ya sabemos
Ec. del movimiento 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
Ecuaciones paramétricas
F 𝑥, 𝑦 = 0
(trayectoria)
Vector posición 𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Δr = r2 − r1
vector desplazamiento
10. 1.3. Vector velocidad
(pág. 217 y 218)
1h=3600s
Km/h m/s
(S.I)
(habitual)
Unidades de v
𝒗𝒎 =
𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
=
𝛥𝑟
𝛥𝑡
𝑣 =
27.77mi
7033𝑠
·
3600𝑠
ℎ
= 14.2𝑚𝑖/ℎ
Velocidad media
(𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) 𝑚á𝑥.
(𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) 𝑚í𝑛.
El vector velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria
Velocidad instantánea
𝒗 = lim
𝚫𝒕→𝟎
𝚫𝒓
𝚫𝒕
=
𝒅𝒓
𝒅𝒕
Trayectoria recta
11. Lo que ya sabemos
𝑣𝑚 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
Velocidad media
Ec. del movimiento 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
Ecuaciones paramétricas
F 𝑥, 𝑦 = 0
(trayectoria)
Vector posición 𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Δr = r2 − r1
vector desplazamiento
Ejercicios de ec. movimiento y velocidad
Razona sobre la información que te da la gráfica y
calcula la velocidad media en cada uno de los tramos
𝒗 =
𝚫𝒓
𝚫𝒕
Ejercicios 28 , 29, 34, 36 (pág. 225)
12. Lo que ya sabemos
𝑣𝑚 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
Velocidad media
Ec. del movimiento 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
Ecuaciones paramétricas
F 𝑥, 𝑦 = 0
(trayectoria)
Vector posición 𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Δr = r2 − r1
vector desplazamiento
𝒗 =
𝚫𝒓
𝚫𝒕
Ejercicios de ec. movimiento y velocidad
13. Tramo 1 (0≤t ≤1.5s)
Δr1 = r 𝑡1 − r t0 = 3 −0=3m
Δ𝑡1 = t1 − t0 = 1.5 − 0 = 1.5s
𝑣 =
Δr1
Δ𝑡1
=
3m
1.5s
=2m/s Velocidad media
en el tramo 1
Posición
(m)
t(s)
Tramo 2 (1.5≤t ≤2.5s) Tramo 3 (2.5≤t ≤5.5s)
Δ𝑡2 = 2.5 − 1.5 = 1s
Δr2 = 3 − 3 = 0
𝑣 =
0m
1s
= 0m/s
Posición cte en el
tramo 2
Δ𝑡3 = 5.5 − 2.5 = 3s
Δr3 = 0 − 3 = −3
𝑣 =
−3m
3s
= −1m/s
𝑣 <0 el móvil
retrocede
𝑣 >0 el móvil
avanza
Movimiento en 1D
Posición vs. tiempo → No es la
trayectoria
14. 1.4. Composición de movimientos MRU
a) MRU en 1D (encuentros)
b) MRU en 2D
MRU + MRUA
X Y
MRU + MRU
X X
MRU + MRU
X Y
Podemos descomponer el movimiento en
2D en varios movimientos simples (en X y
en Y) e independientes
15. 1.4. Composición de movimientos MRU
𝑣 =
Δ𝑟
Δ𝑡
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣 𝑡 − 𝑡0
MRU en 2D
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) - Ecuaciones
Vectores
𝑣 =
𝑣𝑥 = 𝑐𝑡𝑒 para mru
𝑣𝑦 = 𝑐𝑡𝑒para mru
𝑟0 =
𝑥0
𝑦0
𝑟 =
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥(𝑡 − 𝑡0)
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑦(𝑡 − 𝑡0)
Podemos descomponer el movimiento en 2D en varios
movimientos simples (en X y en Y) e independientes
𝑣 = 2m/s 𝑣 = 0 𝑣 = −1m/s
𝛼
𝛼
v = tan 𝛼 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Tramo 1
2m/s = tan 𝛼
𝛼 = arctan 2 = 63.4º
Tramo 2 𝛼 = 0º
Tramo 3
−1m/s = tan 𝛼
𝛼 = arctan −1 =135º
16. a) MRU en 1D
𝒗𝟎=0.4m/s
Cinta
transportadora
y
x
O
S y’
x’
O’
S’
𝒗′=1.1m/s
¿ 𝒗? Velocidad v’ medida
desde el sistema S
𝒗 = 𝒗′
+ 𝒗𝟎
𝑣 = 1.1
𝑚
𝑠
+ 0.4
𝑚
𝑠
= 1.5
𝑚
𝑠
17. a) MRU en 1D
𝒗𝑺′=0.4m/s
Cinta
transportadora
y
x
O
S y’
x’
O’
S’
𝒗′=- 1.1m/s
¿ 𝒗? Velocidad v’ medida
desde el sistema S
𝒗 = 𝒗′
+ 𝒗𝑺′
𝑣 = −1.1
𝑚
𝑠
+ 0.4
𝑚
𝑠
= −0.7
𝑚
𝑠
18. Lo que ya sabemos
Velocidad media
Ec. MRU
Ejercicios de encuentros (MRU en 1D)
𝑣 =
𝛥𝑟
𝛥𝑡
𝑣 =
𝑣𝑥 = 𝑐𝑡𝑒 para mru
𝑣𝑦 = 𝑐𝑡𝑒para mru
𝑟0 =
𝑥0
𝑦0
𝑟 =
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥(𝑡 − 𝑡0)
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑦(𝑡 − 𝑡0)
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣 𝑡 − 𝑡0
Descomposición del mov.
Ejercicios 18 , 19 (pág. 249)
19. 1.3.1. Repaso MRU (1D)
(pág. 247)
Lo que ya sabemos
1h=3600s
Km/h m/s
V es la pendiente v1 > v2
Eje X
Eje y
Trayectoria curva –> No MRU –
> Existen aceleraciones
Cambiar por el 15
20. 1.3.1. Repaso MRU (1D)
(pág. 247)
Lo que ya sabemos
1h=3600s
Km/h m/s
21. Las corrientes marinas. Un sistema
de referencia muy peligroso
¿Por qué no
consiguieron llegar a la
orilla
22. En 2D – Composición de movimientos
Problema en 1D ; suma o resta de velocidades
1 D( 0º 180º) y 3 en 2D (90º)
http://links.edebe.com/y8k7th
Usar para comprobar resultados
23. Ejercicio
En la playa de San Lorenzo nos encontramos inmersos en
una fuerte corriente con dirección O - E que nos acerca
peligrosamente a las rocas de El Rinconín (en el este).
Recuerda: En Gijón el mar está en el Norte, San Pedro en el
Oeste, y el Piles en el Este.
a) Identifica los sistemas de referencia del problema
b) ¿En qué dirección debemos nadar para llegar a la
orilla?
Si la velocidad de la corriente es de 3 m/s (en dirección O -
E) y tu velocidad máxima de natación es de 1.6 m/s
(Récord Mundial de Mireia Belmonte!)
c) ¿Cuál será nuestra velocidad de natación medida
desde tierra firme?.
d) Dibuja el vector velocidad en el sistema de referencia
de tierra firme.
e) Un observador situado en tierra firme, ¿cómo verá la
trayectoria de nuestro movimiento mientras nademos
para escapar de la corriente?
24. 𝒗𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
y
x
O 𝑖
𝑗
x’
𝑖
a) Sistema de referencia
firme (S) y sistema de
el agua (S’). El sistema
S’ se mueve con respe
velocidad de la corrie
𝒗𝒏𝒂𝒅𝒂𝒅𝒐𝒓
b) Debemos nadar
perpendicularmente
–> Hacia el Sur: El ve
de natación estará en
tendrá sentido negat
26. 1.4. Vector aceleración
(pág. 219 y 220)
m/s2 (S.I)
Unidades de a
Aceleración = Rapidez en el cambio de velocidad ; a=dv/dt=d2r/dt2
Velocidad = Rapidez en el cambio de posición ; v=dr/dt
28. 1.4. Vector aceleración
(pág. 219 y 220)
m/s2 (S.I)
Unidades de a
Aceleración = Rapidez en el cambio de velocidad ; a=dv/dt=d2r/dt2
Velocidad = Rapidez en el cambio de posición ; v=dr/dt
Un coche pasa de 0 a 100 km/h en 3s. Calcula su aceleración media
35. CONTENIDO
Clases
1-2
1. El movimiento
1.1 Sistemas de referencia
1.2. Vectores posición y desplazamiento
1.3. Vector velocidad (media e instantánea)
1.4. Composición de movimientos
a) Ppio. De relatividad de Galieo
a) MRU en 1D (encuentros)
b) MRU en 2D
2. MRUA en 1D y 2D
2.1 Vector aceleración
Meter las ecuaciones de cinemática y sin dependencia
temporal
2.2. Movimientos acelerados (MRUA)
a) Caída libre y lanzamiento vertical (repaso)
b) Tiro parabólico
c) Tiro horizontal
Clases 3-4
36. Tramo 1 (0≤t ≤1.5s)
Δr1 = r 𝑡1 − r t0 = 3 −0=3m
Δ𝑡1 = t1 − t0 = 1.5 − 0 = 1.5s
𝑣 =
Δr1
Δ𝑡1
=
3m
1.5s
=2m/s Velocidad media
en el tramo 1
Posición
(m)
t(s)
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡
𝑣 =
Δ𝑟
Δ𝑡
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣𝑡
MRU 1D MRU 2D
Ec. de una recta con t en el
eje X e x en el eje Y
r 𝑡 = r t0 + 𝑣𝑡 = 0 + 2𝑡 Ec. del mov. en
el tramo 1
Tramo 2 (1.5≤t ≤2.5s) Tramo 3 (2.5≤t ≤5.5s)
Δ𝑡2 = 2.5 − 1.5 = 1s
Δr2 = 3 − 3 = 0
𝑣 =
0m
1s
= 0m/s
r 𝑡 = 3 + 0𝑡 = 3
Posición cte en el
tramo 2
Δ𝑡3 = 5.5 − 2.5 = 3s
Δr3 = 0 − 3 = −3
𝑣 =
−3m
3s
= −1m/s
r 𝑡 = 3 − 𝑡 = 3
𝑣 <0 el móvil
retrocede
Notas del editor
En este tema de cinemática, vamos a estudiar el movimiento de los cuerpos y lo vamos a definir matemáticamente. Por ejemplo, todos sabemos a que al tirar a canasta el balón describe una trayectoria parabólica. Pues lo que vamos a aprender es a definir matemáticamente cada punto de esa trayectoria, el ángulo y velocidad inicial con el que hay que tirar el balón para encestar si la canasta está a 2.5m del suelo y tiramos desde la línea de triple o… si a un avión se le apagan los motores, si será capaz de salvar un obstáculo que tenga en frente y podrá realizar un aterrizaje de emergencia planeando y si es mejor que el piloto se eyecte… Ese tipos de cosas las Vamos a poder contestar después de este tema.
Para esto necesitamos, repasar el concepto de sistema de referencias y usar las notaciones vectoriales que ya habéis visto en matemáticas para descrbir en un sistema de referencias en 2D la posición y velocidad de los cuerpos. Y su aceleración.
Una vez que sepamos esto, vamos a aplicar las ecuaciones del movimiento que ya visteis el año pasado en 1D para calcular si un objeto caía y otro ascendía, donde se encontraban… pues las vamos a usar en 2D
Y lo que vamos a poder hacer con esas ecuaciones en 2D es lo que os comentaba antes, definir cualquier movimiento MRU o MRUA (caída libre, tiro parabólico o tiro horizaontal)
Voy a lanzaros una pregunta. Contestadme todos, vale, aunque os parezca muy fácil y trivial
¿A qué distancia está la playa?
Vale, estamos todos de acuerdo que la playa (desde aquí, está a 1km aprox.)
Y ahora, ¿A qué distancia está Bea?
Vale, ahora estamos todos de acuerdo en que la pregunta está incompleta. Necesitamos poner un origen; un sistema de referencia en el que definir el vector posición de cada uno de nosotros.
Antes también estaba incompleta, pero todos presupusimos que este aula era el origen desde el que mediamos la distancia.
Bueno, en ciencia no podemos dejar las cosas a las presunciones si queremos ser exactos y definir correctamente las cosas, principalmente porque da lugar a accidentes.
Sabéis la importancia de usar un mismo sistema de unidades, el sistema internacional…. No sé si os han contado la historia del accidente que pasó en una misión espacial (no tripulada) conjunta entre la NASA y la AEE? Los estadunidenses se encargaban de cantar la distancia a la que estaba del suelo una sonda y los de la AEE iniciaban las maniobras de alunizaje. Pues la NASA estaba cantando las distancias en pies 25, 20, 10….. Y la AEE estaba interpretando que eran metros…. 1 pie=1/4metro la AEE inició tarde las maniobras y la sonda se estampó contra el suelo
Bueno, pues los sistemas de referencia son esenciales para definir correctamente la dirección y el sentido de las magnitudes.
En este tema de cinemática, vamos a estudiar el movimiento de los cuerpos y lo vamos a definir matemáticamente. Por ejemplo, todos sabemos a que al tirar a canasta el balón describe una trayectoria parabólica. Pues lo que vamos a aprender es a definir matemáticamente cada punto de esa trayectoria, el ángulo y velocidad inicial con el que hay que tirar el balón para encestar si la canasta está a 2.5m del suelo y tiramos desde la línea de triple o… si a un avión se le apagan los motores, si será capaz de salvar un obstáculo que tenga en frente y podrá realizar un aterrizaje de emergencia planeando y si es mejor que el piloto se eyecte… Ese tipos de cosas las Vamos a poder contestar después de este tema.
Para esto necesitamos, repasar el concepto de sistema de referencias y usar las notaciones vectoriales que ya habéis visto en matemáticas para descrbir en un sistema de referencias en 2D la posición y velocidad de los cuerpos. Y su aceleración.
Una vez que sepamos esto, vamos a aplicar las ecuaciones del movimiento que ya visteis el año pasado en 1D para calcular si un objeto caía y otro ascendía, donde se encontraban… pues las vamos a usar en 2D
Y lo que vamos a poder hacer con esas ecuaciones en 2D es lo que os comentaba antes, definir cualquier movimiento MRU o MRUA (caída libre, tiro parabólico o tiro horizaontal)
