U10.4

1. Funciones racionales

2. Números y Funciones Racionales
• Un número racional se puede expresar como el cociente entre
dos enteros,
𝑝
𝑞
, donde 𝑞 ≠ 0.
• Una función racional está formada por el cociente entre dos
polinomios,
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, donde 𝑞(𝑥) ≠ 0.

3. Ejemplos de funciones racionales
y sus gráficas

4. Ejemplos de funciones racionales
y sus gráficas

5. Dominio de una función racional
• El dominio de una función racional corresponde a todos los
valores de x.

6. Ejemplo
• Considera la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−3
.
Halla el dominio y grafica la misma.
Solución:
• Cuando el denominador x – 3 es cero, tenemos que x = 3.
• El único valor de x que tiene como resultado 0 en el
denominador es 3.
• Entonces el dominio corresponde a:
• {𝑥|𝑥 ≠ 3}
• −∞, 3 ∪ (3, ∞)

7. Gráfica del ejemplo

8. Ejercicios de práctica
Halla el dominio de las siguientes funciones
racionales:
1. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
2. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥²
3. 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥²+𝑥−2
4. 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙−𝟓
𝟐𝒙−𝟔
5. 𝑓 𝑥 =
𝑥²+2𝑥−3
𝑥²−𝑥−2
𝑥 𝑥 ≠ 0 o (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
𝑥 𝑥 ≠ 0 o (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
=
𝑥 − 3
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
𝑥 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠ 1 o
(−∞, −2) ∪ (−2,1) ∪ (1, ∞)
=
2𝑥 − 5
2(𝑥 − 3)
𝑥 𝑥 ≠ 3 o (−∞, 3) ∪ (3, ∞)
=
𝑥² + 2𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠ 2 o
(−∞, −1) ∪ (−1,2) ∪ (2, ∞)

9. Asíntotas
• Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y
= f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas
tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y
una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre
de asíntota de la función.

10. Ejemplo • Exploramos qué pasa cuando nos
acercamos a 3 por la izquierda.
• Exploramos que pasa con f(x) cuando
nos aceramos 3 por la derecha.

12. Asíntota Horizontal
• En general, la línea y = b es la asíntota horizontal para la gráfica
de f si una o ambas condiciones se cumplen:
𝑓 𝑥 → 𝑏 cuando 𝑥 → ∞
o
𝑓 𝑥 → 𝑏 cuando 𝑥 → −∞

13. Asíntota Horizontal

14. Ejemplo
• Halla la asíntota horizontal para la siguiente función:
3𝑥² + 2𝑥 − 4
2𝑥² − 𝑥 + 1
3𝑥²
2𝑥²
3
2

15. Asíntota horizontal
• Cuando el denominador y el numerador de una
función racional son del mismo grado, la línea 𝑦 =
𝑎
𝑏
es la asíntota horizontal, en donde a y b son los
coeficientes del numerador y del denominador
respectivamente.
• Cuando el numerador de una función racional es
de menor grado que el denominador de la misma,
el eje de x o y = 0 es la asíntota horizontal.
• Cuando el grado del numerador de una función
racional es mayor que el grado del denominador,
la función no tiene asíntota horizontal.

16. Asíntota horizontal
• La gráfica de una función racional
• Nunca cruza la asíntota vertical.
• Puede cruzar la asíntota horizontal, pero no necesariamente lo hace.

17. Asíntota oblicua
• No es asíntota horizontal ni vertical
• Ejemplo:
𝑓 𝑥 =
2𝑥² − 3𝑥 − 1
𝑥 − 2
𝑥 − 2 2𝑥2
− 3𝑥 − 1
2𝑥
−(2𝑥² − 4𝑥)
𝑥 − 1
+1
−(𝑥 − 2)
1
= 2𝑥 + 1 +
1
𝑥 − 2

18. Asíntota oblicua
= 2𝑥 + 1 +
1
𝑥 − 2

19. Resumen
• Dada una función racional 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, donde 𝑝(𝑥)
y 𝑞(𝑥) no tienen factores comunes, además de las
constantes:
• Asíntotas verticales:
• Ocurren en cualquier valor de x que resulta 0 en el
denominador.
• Asíntotas horizontales:
• En el eje x ocurren cuando el grado del numerador es menor
que el grado del denominador.
• Diferente al eje x ocurren cuando el numerador y el
denominador tienen el mismo grado.
• Asíntotas oblicuas:
• Ocurren cuando el grado del numerador es 1 mayor que el
denominador

20. Graficar una función racional
• Dada una función racional 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) no
tienen factores comunes, además de las constantes:
1. Hallar los ceros del denominador. Determinar el dominio de la
función y graficar las asíntotas verticales.
2. Hallar las asíntotas horizontales u oblicuas, si la posee, dibújela.

21. Graficar una función racional
• Dada una función racional 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) no
tienen factores comunes, además de las constantes:
3. Halla los ceros de la función, los cuales corresponden a los ceros del
numerador. Estas corresponden a las coordenadas del intercepto en
el eje x de la gráfica.
4. Halla f(0). Este valor provee el intercepto en y, (0, f(0)) de la función.
5. Halla otros valores de la función para determinar su forma. Dibuje la
gráfica.

22. Ejemplo
• Grafica:

24. Parea las funciones con sus respectivas gráficas,
haciendo referencia a las asíntotas:

25. Determina la asíntota vertical para cada una
de las siguientes funciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.

26. 1.

27. 2.

28. 3.

29. 4.

30. 5.

31. 6.

32. 7.

33. 8.

34. Determina la asíntota horizontal para cada
una de las siguientes funciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.

35. 1.

36. 2.

37. 3.

38. 4.

39. 5.

40. 6.

41. Determina la asíntota oblícua para cada una
de las siguientes funciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.

42. 1.
𝑥 + 3 𝑥2
+ 4𝑥 − 1
𝑥
−(𝑥2 + 3𝑥)
𝑥 − 1
+ 1
−(𝑥 + 3)
−4
= 𝑥 + 1 −
4
𝑥 + 3
−3 1 4 − 1
1
−3
1
−3
−4

43. 2.
𝑥 − 5 𝑥2 − 6𝑥
𝑥
−(𝑥2
− 5𝑥)
− 𝑥
− 1
−(−𝑥 + 5)
−5
= 𝑥 − 1 −
5
𝑥 − 5
5 1 − 6 0
1
5
−5
−5
−1

44. 3.
𝑥³ + 1 𝑥4
+ 0𝑥³ + 0𝑥² + 0𝑥 − 2
𝑥
−(𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 𝑥 + 0)
−𝑥 − 2
= 𝑥 +
−𝑥 − 2
𝑥³ + 1

45. 4.
6𝑥² + 4 12𝑥³ − 0𝑥2
− 𝑥 + 0
2𝑥
−(12𝑥3 − 0𝑥2 + 8𝑥 + 0)
−9 𝑥
= 2𝑥 −
9𝑥
6𝑥² + 4

46. 5.
𝑥² + 2𝑥 − 1 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 − 4
𝑥
−(𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥)
𝑥² + 0𝑥 − 4
+ 1
−(𝑥2
− 2𝑥 − 1)
2𝑥 − 3
= 𝑥 + 1 +
2𝑥 − 3
𝑥² + 2𝑥 − 1

47. 6.
𝑥² − 𝑥 + 2 5𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
5𝑥
−(5𝑥3 − 5𝑥2 + 10𝑥)
4𝑥² − 9𝑥 − 1
+ 4
−(4𝑥2
− 4𝑥 + 8)
−5𝑥 − 9
= 5𝑥 + 4 +
−5𝑥 − 9
𝑥² − 𝑥 + 2