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Funciones.
Demetrio Ccesa Rayme
¿Qué es una Función?
• Una Función es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto A,
llamado preimagen, un único elemento f(x) de un conjunto B, llamado imagen.
• En la expresión y= f(x), y depende siempre de x, por esta razón a la variable x se
le denomina variable independiente y a la variable y se le llama variable
dependiente.
• El dominio de una función es el conjunto de elementos para los cuales la
función está definida.
• Si f: A →B, se tiene que A (conjunto de partida)es el dominio y se
simboliza: Dom f= A, mientras que B (conjunto de llegada) es el
codominio.
• El recorrido de una función está formado por todos los elementos del
codominio que son la imagen de al menos un elemento del dominio. El
recorrido de f es un subconjunto de B y se simboliza: Rec f.
FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.
Describiendo la función por medio
de palabras. Así, en la expresión “a
cada número real se le asigna su
doble”, se establece f: A →B, donde
A es el conjunto R, y B es el
conjunto cuyos
Elementos son los números que
cumplen la condición de ser el
doble de cada elemento de A.
Por medio de una expresión
algebraica que relaciona las
variables.
Por ejemplo, f(x)=2x
Visual: Es decir a través de
diagramas y gráficas.
Numérica: A través de la
organización mediante tablas
Ejemplo:
Onzas
dólares
x 1 2 3 4 5 …
y 11 12 13 14 15…
• Una función lineal establece una relación entre dos magnitudes directamente
proporcionales
• Si y es la variable dependiente de la función y x la variable independiente, el
cociente entre dos valores asociados de dos magnitudes proporcionales es una
constante m :
• La expresión analítica de la función lineal es y = m ∙ x
• Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de
coordenadas.
• Una función es lineal si verifica una de las siguientes condiciones:
 Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
 Relaciona variables directamente proporcionales.
 Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x.
m
x
y

Funciones Lineales
La Gráfica de una función lineal
• La gráfica de una función lineal es el conjunto de puntos (x, y) del plano
tales que y = m ∙ x
• Observa que:
• Esta gráfica es una recta que pasa por el origen
• La constante de proporcionalidad, m, se llama pendiente de la recta y
caracteriza la función
 Si m > 0 la función y = m ∙ x es creciente.
 Si m < 0 la función y = m ∙ x es decreciente.
 Si m = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje de abscisas.
x
y
m 
• La expresión analítica de una función afín es y = m ∙ x + n, n ≠ 0 y
su gráfica es una recta que no pasa por el origen de
coordenadas.
• La constante m se denomina pendiente de la recta e indica la
variación de la variable dependiente y con respecto a la variable
independiente x.
• La constante n se denomina ordenada en el origen y determina
el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas.
• Una función es afín si verifica una de las siguientes condiciones:
 Su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas.
 Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x + n, n ≠ 0
Funciones Afines
La Gráfica de una Función afín
• La gráfica de una función afín es el conjunto de puntos (x, y) del plano
tales que y = m ∙ x + n, n ≠ 0
• Esta gráfica es una recta que no pasa por el origen.
• Las funciones afines son crecientes, decrecientes o constantes
dependiendo de que la pendiente m sea, respectivamente, positiva,
negativa o nula.
• La pendiente, m, de la recta que pasa por los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2)
es:
12
12
xx
yy
m



La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta
función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento
poblacional y el decaimiento radioactivo.
Funciones Exponenciales
Una función exponencial es una función de la forma
f(x)= k· ax,
donde a, k ∈ R, a ≠0, a ≠1y k ≠0.
El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales R.
El recorrido lo constituye el conjunto de los números reales positivos R+.
La orientación de la gráfica de f depende del valor de a, tal como se
muestra en la figura de la derecha. No interseca al eje X, su asíntota es
y=0.
f(x)=ax Para a>1 f(x)=-axPara a>1
reflexión de la gráfica
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞) = IR+
Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
Punto de corte con y en y = 1
Función creciente
Asíntota horizontal
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (-∞, 0) = IR-
Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
Punto de corte con y en y =- 1
Función decreciente
Asíntota horizontal
x
y 2
x
y 2
Funcion Constante
La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del
dominio se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada.
La podemos representar como una función matemática de la forma:
donde a pertenece a los números reales.
Ejemplo:
Y= 3•Dominio=Conjunto de Salida= IR
•Conjunto de llegada= IR
•Rango= {a}
•Punto de corte con Y= a.
axf )(
Función Idéntidad
La función idéntidad es una clase de función lineal donde a cada número del
eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos
coordenadas de cada punto son idénticas .
Esta dada por la ecuación:
Rango = Conjunto de llegada = IR
Dominio= Conjunto de salida=IR
EJEMPLOS:
xxf )(
Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007
Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007
Función Cuadrática.
Es un tipo de función polinómica
que se define mediante un
polinomio de segundo grado
y se expresa como:
donde a, b y c son números reales y
a es distinto de 0. Mínimo relativo.
Máximo relativo.
cbxaxxf  2
)(
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada
parábola, la cual se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0, como se
muestran en las figuras inferiores.
El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también
llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes
métodos o usando la siguiente formula general:
a
acbb
x
2
42


Es importante recordar que la parábola,
formada por la función cuadrática, tiene un
eje de simetría, es decir que si se divide
exactamente en dos, un lado es el reflejo del
otro lado.
a
acbb
x
2
42


Función Cúbica
Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma:
Conjunto de salida= IR=Dominio
Conjunto de llegada=IR=Rango
Función Creciente f(-x)<f(x)
Función decreciente
f(-x)>f(x)
dcxbxaxy  23
Ejemplo:
Conjunto de salida=Dominio= IR
Conjunto de llegada=Rango= IR
Punto de corte con x= 0.3
Punto de corte con y= -1
F(x) > 0 en x ∈ (0.3, infinito)
F(x) < 0 en x ∈ (0.3,-infinito)
1343 23
 xxxy
Función Racional
)(
)(
XQ
XP
y 
Una función racional tiene la forma:
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x)
no tienen factor en común. Aunque las funciones
racionales se construyen de polinomios, sus graficas se
ven bastante diferentes de las graficas de funciones
polinomiales.
El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos
para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner
atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que
poseen asíntotas.
Ejemplo Gráfico.
En términos informales, una asíntota de
una función es una línea a la que la
grafica de la función se aproxima cada
vez mas cuando se va a lo largo de esta
línea.
La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de
la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o
por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no
esta definida, es decir donde el denominador es cero.
ax 
La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se
aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.
by 
3
2


x
y
Asíntota
vertical x=3
Asíntota
horizontal
y=0
Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una
asíntota horizontal.
Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota
horizontal.
Para m > n, no hay asíntotas horizontales
Para entender mejor como hallar las asíntotas es importante volver a plantear la
ecuación general:
)(
)(
XQ
XP
y 
La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación:
Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier
numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades.
Para todas las funciones de valor
absoluto, el conjunto de salida y el
Dominio son reales (IR)
Al igual que estos, el conjunto de
llegada también son los reales.
El rango varia, dependiendo hacia
donde se desprende. Este, puede ser
desde el mínimo hasta infinito, o desde
el máximo hasta menos infinito.
cxfy  )(
cbaxy 

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Introducción a las Funciones Elementales ccesa007

  • 2. ¿Qué es una Función? • Una Función es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto A, llamado preimagen, un único elemento f(x) de un conjunto B, llamado imagen. • En la expresión y= f(x), y depende siempre de x, por esta razón a la variable x se le denomina variable independiente y a la variable y se le llama variable dependiente. • El dominio de una función es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida. • Si f: A →B, se tiene que A (conjunto de partida)es el dominio y se simboliza: Dom f= A, mientras que B (conjunto de llegada) es el codominio. • El recorrido de una función está formado por todos los elementos del codominio que son la imagen de al menos un elemento del dominio. El recorrido de f es un subconjunto de B y se simboliza: Rec f.
  • 3. FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN. Describiendo la función por medio de palabras. Así, en la expresión “a cada número real se le asigna su doble”, se establece f: A →B, donde A es el conjunto R, y B es el conjunto cuyos Elementos son los números que cumplen la condición de ser el doble de cada elemento de A. Por medio de una expresión algebraica que relaciona las variables. Por ejemplo, f(x)=2x Visual: Es decir a través de diagramas y gráficas. Numérica: A través de la organización mediante tablas Ejemplo: Onzas dólares x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15…
  • 4. • Una función lineal establece una relación entre dos magnitudes directamente proporcionales • Si y es la variable dependiente de la función y x la variable independiente, el cociente entre dos valores asociados de dos magnitudes proporcionales es una constante m : • La expresión analítica de la función lineal es y = m ∙ x • Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de coordenadas. • Una función es lineal si verifica una de las siguientes condiciones:  Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.  Relaciona variables directamente proporcionales.  Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x. m x y  Funciones Lineales
  • 5. La Gráfica de una función lineal • La gráfica de una función lineal es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = m ∙ x • Observa que: • Esta gráfica es una recta que pasa por el origen • La constante de proporcionalidad, m, se llama pendiente de la recta y caracteriza la función  Si m > 0 la función y = m ∙ x es creciente.  Si m < 0 la función y = m ∙ x es decreciente.  Si m = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje de abscisas. x y m 
  • 6. • La expresión analítica de una función afín es y = m ∙ x + n, n ≠ 0 y su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. • La constante m se denomina pendiente de la recta e indica la variación de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. • La constante n se denomina ordenada en el origen y determina el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. • Una función es afín si verifica una de las siguientes condiciones:  Su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas.  Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x + n, n ≠ 0 Funciones Afines
  • 7. La Gráfica de una Función afín • La gráfica de una función afín es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = m ∙ x + n, n ≠ 0 • Esta gráfica es una recta que no pasa por el origen. • Las funciones afines son crecientes, decrecientes o constantes dependiendo de que la pendiente m sea, respectivamente, positiva, negativa o nula. • La pendiente, m, de la recta que pasa por los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) es: 12 12 xx yy m   
  • 8. La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radioactivo. Funciones Exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x)= k· ax, donde a, k ∈ R, a ≠0, a ≠1y k ≠0. El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales R. El recorrido lo constituye el conjunto de los números reales positivos R+. La orientación de la gráfica de f depende del valor de a, tal como se muestra en la figura de la derecha. No interseca al eje X, su asíntota es y=0.
  • 9. f(x)=ax Para a>1 f(x)=-axPara a>1 reflexión de la gráfica Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) = IR+ Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Punto de corte con y en y = 1 Función creciente Asíntota horizontal Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (-∞, 0) = IR- Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Punto de corte con y en y =- 1 Función decreciente Asíntota horizontal x y 2 x y 2
  • 10. Funcion Constante La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada. La podemos representar como una función matemática de la forma: donde a pertenece a los números reales. Ejemplo: Y= 3•Dominio=Conjunto de Salida= IR •Conjunto de llegada= IR •Rango= {a} •Punto de corte con Y= a. axf )(
  • 11. Función Idéntidad La función idéntidad es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas . Esta dada por la ecuación: Rango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR EJEMPLOS: xxf )(
  • 14. Función Cuadrática. Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como: donde a, b y c son números reales y a es distinto de 0. Mínimo relativo. Máximo relativo. cbxaxxf  2 )( La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0, como se muestran en las figuras inferiores.
  • 15. El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general: a acbb x 2 42   Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. a acbb x 2 42  
  • 16. Función Cúbica Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma: Conjunto de salida= IR=Dominio Conjunto de llegada=IR=Rango Función Creciente f(-x)<f(x) Función decreciente f(-x)>f(x) dcxbxaxy  23
  • 17. Ejemplo: Conjunto de salida=Dominio= IR Conjunto de llegada=Rango= IR Punto de corte con x= 0.3 Punto de corte con y= -1 F(x) > 0 en x ∈ (0.3, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (0.3,-infinito) 1343 23  xxxy
  • 18. Función Racional )( )( XQ XP y  Una función racional tiene la forma: Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales. El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asíntotas. Ejemplo Gráfico. En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea.
  • 19. La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero. ax  La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito. by  3 2   x y Asíntota vertical x=3 Asíntota horizontal y=0 Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. Para m > n, no hay asíntotas horizontales Para entender mejor como hallar las asíntotas es importante volver a plantear la ecuación general: )( )( XQ XP y 
  • 20. La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación: Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades. Para todas las funciones de valor absoluto, el conjunto de salida y el Dominio son reales (IR) Al igual que estos, el conjunto de llegada también son los reales. El rango varia, dependiendo hacia donde se desprende. Este, puede ser desde el mínimo hasta infinito, o desde el máximo hasta menos infinito. cxfy  )( cbaxy 