Tema_3.pdf

Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 1
Tema 3. Determinantes
En la clase pasada se trató el tema de álgebra matricial, es decir el conjunto de
operaciones, y sus propiedades, que pueden realizarse utilizando matrices. Ahora se
presentarán algunas magnitudes asociadas a las matrices que sirven para caracterizarlas
en mayor o menor grado. La principal de estas es sin dudas lo que se conoce como
determinante de una matriz, concepto sobre el cual ahondaremos a lo largo de la clase.
Trataremos en primer término las restantes magnitudes.
Traza
Definición: Dada la matriz A  Mnxn, llamamos traza de A (notación: tr(A)) a la suma
de los elementos de su diagonal principal:
tr(A) = 

n
i
ii
a
1
Como se aprecia en la definición, la traza está definida solamente para matrices
cuadradas dado que las matrices no cuadradas no poseen diagonal principal.
Rango
Definición: Dada la matriz A  Mmxn, llamamos rango de A al número de escalones p
que posee una forma escalerizada de A:
rango(A) = p
Existen otras formas (equivalentes) de definir rango de una matriz, y las veremos más
adelante en el curso. Por ahora, utilizaremos esta.
Notar que el rango máximo de una matriz será igual al mínimo entre el número de filas
y columnas de la matriz dado que esto es lo que sucede con la cantidad de escalones:
p ≤ min (m,n)
Determinante
Antes de dar una definición de determinante veamos un poco el concepto y lo que
implica. El determinante, al igual que el rango y la traza, es un escalar, único, asociado
a una matriz, en particular, una matriz cuadrada dado que no se define el determinante
para matrices no cuadradas. Conceptualmente, el determinante es una función que
conecta el conjunto de las matrices cuadradas con el conjunto de los escalares:
: Mnxn K
Notación: |A| ó det(A)
Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es en referencia a la
invertibilidad de matrices. En efecto, a partir del valor del determinante sabremos si una

matriz cuadrada posee inversa o no. No de menor importancia es el hecho de que
existen métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L). basados en el
cálculo de determinantes. Veremos estas cuestiones más adelante.
Pasamos ahora a la definición formal de determinante, lo cual implica introducir una
definición previa.
Definición: Dada A = ((aij))  Mnxn se define la matriz adjunta del elemento aij como la
submatriz Aij que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de A. Al determinante de
la matriz Aij se le denomina menor de aij.
Ejemplo: A =










1
2
1
1
6
5
4
3
1
 A11 =










1
2
1
1
6
5
4
3
1
= 







1
2
1
6
La definición formal de determinante está apoyada en la noción de inducción. Es decir
que, para poder calcular el determinante de una matriz de nxn se va a necesitar saber
calcular el determinante de matrices de n-1xn-1, y así sucesivamente, hasta llegar al
determinante de las matrices más pequeñas que existen.
Definición: a) El determinante de una matriz A  M1x1 es la propia matriz.
Ejemplo: A = 1  |A| = 1
b) El determinante de una matriz A  Mnxn se obtiene como:
|A| = ai1(-1)i+1
|Ai1| + ai2(-1)i+2
|Ai2| + …… + ain(-1)i+n
|Ain|
Esto es lo que se conoce como expansión o desarrollo por la fila i de la matriz.
A la magnitud:
cij = (-1)i+j
|Aij|
se la conoce como cofactor (a veces también adjunto) de aij.
Como puede apreciarse de la definición, el determinante puede calcularse realizando la
expansión para cualquier fila de la matriz. Cada término de la expansión se obtiene de
multiplicar un elemento de la fila escogida por su cofactor.
Veamos ahora algunos ejemplos sencillos.
Ejemplo 1: A = 







1
3
2
2
Expandiendo por la fila 1 tenemos que:
|A| = (2)(-1)1+1
|1| + (2)(-1)2+1
|3| = 2 – 6 = -4

El lector puede confirmar que el resultado será idéntico al realizar el desarrollo para la
fila 2.
Para el caso de una matriz A  M2x2, como en el ejemplo anterior, existe una regla
nemotécnica simple para el cálculo de determinantes.
Sea A = 







d
c
b
a
 |A| = ad – bc
Notar que esta regla surge directamente de la definición general dado que siempre
tendremos dos productos involucrados, de distinto signo y estos se obtienen de
multiplicar las entradas de la fila seleccionada por sus cofactores.
Ejemplo 2: A =









 
3
1
3
2
1
4
2
1
3
Realizando la expansión para la fila 1 nuevamente, tenemos que:
|A| = (3)(-1)1+1
3
1
2
1
+ (-1)(-1)1+2
3
3
2
4
+ (2)(-1)1+3
1
3
1
4
= (3)(1)(3 - 2) + (-1)(-1)(12 -
6) + (2)(1)(4 - 3) = 3 + 6 +2 = 11
Para obtener el resultado final fue necesario calcular determinantes de matrices de orden
(2) menor a la original, como ya adelantamos al dar la definición de determinante.
Al igual que para el caso de matrices de 2x2, existe un camino más simple para calcular
los determinantes de matrices de 3x3, lo que se conoce como Regla de Sarrus.
Regla de Sarrus
La regal de Sarrus establece que el determinante de una matriz A  M3x3 se obtiene
como la suma de seis términos, a saber:
a) Tres términos positivos, cada uno formado por los productos de los siguientes
factores: los tres elementos de la diagonal principal y los elementos de las dos
líneas paralelas a esta, multiplicados por el vértice opuesto
b) Tres términos negativos, cada uno formado por los productos de los siguientes
factores: los tres elementos de la diagonal secundaria y los elementos de las
líneas paralelas a esta, multiplicados por el vértice opuesto
La aplicación nemotécnica de esta regla facilita la operativa y supone escribir la matriz
original, agregando debajo las dos primeras filas (o bien a la derecha, las dos primeras
columnas).
Veamos cómo aplicar la regla al ejemplo anterior:

|A| = 3 -1 2
Las flechas enteran denotan los productos
4 1 2 positivos y las flechas punteadas los
productos negativos
3 1 3
3 -1 2
4 1 2
Haciendo cuentas tenemos que:
|A| = (3)(1)(3) + (4)(1)(2) + (3)(-1)(2) – (2)(1)(3) – (2)(1)(3) – (3)(-1)(4) = 9 + 8 - 6 – 6
– 6 + 12 = 11
Debe tenerse claro que la regla de Sarrus se aplica solamente hasta matrices de 3x3 (la
regla nemotécnica vista para matrices de 2x2 puede englobarse también dentro de la
regla de Sarrus). Cuando se está ante problemas que involucran matrices de mayor
grado, invariablemente debe aplicarse la definición mediante expansión por una fila de
la matriz.
Propiedades de determinantes
En esta sección repasaremos las propiedades más importantes de los determinantes, a
menudo útiles a la hora de resolver problemas.
1) Linealidad con respecto a una fila
a) Aditividad
|C| = in
nn
n
n
in
i
i
i
i
n
b
a
a
a
a
b
a
b
a
a
a
a



.
.
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2
1
2
2
1
1
1
12
11
=
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
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2
1
2
1
1
12
11
+
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
b
b
b
a
a
a
.
.
.
.
.
.
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2
1
2
1
1
12
11
=
|A| + |B|
Es decir que si se tiene una matriz C en la cual los elementos de una de sus filas pueden
obtenerse como suma de elementos de las filas respectivas de dos matrices A y B las
cuales difieren solamente en esa fila, el determinante de la matriz C se obtiene como la
suma de los determinantes de las matrices A y B.
Observacion: |A + B| ≠ |A| + |B|
b) Homogeneidad:

|B| =
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
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2
1
2
1
1
12
11


 = 
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
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2
1
2
1
1
12
11
= |A|
La propiedad dice que si se multiplica una fila de una matriz A por un escalar , el
determinante de la matriz resultante B se obtiene como el determinante de la matriz A
multiplicado por el escalar .
Observación: |A| ≠ |A|
Cómo aplicaríamos esta propiedad para calcular el determinante de |A|?
|A| =
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a









.
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2
1
2
1
1
12
11
= 
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a






.
.
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2
1
2
1
1
12
11
= 
nn
n
n
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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2
1
2
1
1
12
11
=
n
|A|
Por lo tanto, al multiplicar una matriz por un escalar, el determinante queda
multiplicado a la enésima potencia del escalar, con n igual al número de filas de la
matriz.
2) Intercambio de filas:
|B| = .
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
jn
j
j
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= - .
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= -|A|
La propiedad indica que si a una matriz A le intercambiamos dos filas de lugar, el
determinante de la matriz resultante B resulta ser el opuesto del determinante original.
Veremos ahora la tercer propiedad que consiste en una serie de condiciones que
provocan que el determinante de una matriz se anule. Estas propiedades pueden
demostrarse en base a las dos ya vistas.

3) Determinantes nulos
a) Si una matriz A tiene una fila nula  |A| = 0
|A| =
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
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2
1
1
12
11
=
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
1
1
1
1
.
.
.
.
.
.
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2
1
1
12
11


 =
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
1
1
.
.
.
.
.
.
.
2
1
1
12
11
+
+
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
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.
1
.
.
1
1
.
.
.
.
.
.
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2
1
1
12
11


 =
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
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.
1
.
.
1
1
.
.
.
.
.
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.
2
1
1
12
11
+ (-1)
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
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.
1
.
.
1
1
.
.
.
.
.
.
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2
1
1
12
11
= 0
En el segundo paso se aplicó la propiedad 1a y en el tercer paso la propiedad 1b.
b) Si una matriz A tiene dos filas iguales  |A| = 0
|A| = .
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= - .
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= - |A|  2|A| = 0  |A| = 0
Aquí se aplicó la propiedad 2.
c) Si la matriz A tiene una fila múltiplo de otra  |A| = 0
|A| = .
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



=  .
.
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= 0 = 0
Aquí entonces aplicamos las propiedades 1b y 3b.

d) Si A posee una fila que es combinación lineal del resto  |A| = 0
Antes de demostrar la propiedad, se debe hacer un paréntesis para explicar el concepto
de combinación lineal. Daremos aquí una definición restringida a las filas de una matriz
dado que esta noción se tratará más extensamente en próximas clases. De hecho, es uno
de los conceptos teóricos básicos del curso.
Definición: Dada la matriz A  Mnxn decimos que la fila i de A es combinación lineal
del resto de las filas de A si la fila i puede obtenerse como:
Fi = 

n
i
j
j
j
jF
,
1
 con j  K
Esto significa que para obtener la fila i se deben combinar las restantes filas de manera
lineal, es decir que la fila i puede obtenerse a partir de la suma de los productos
resultantes de multiplicar cada una de las restantes filas de la matriz por un escalar
determinado. Veamos un ejemplo para aclarar mejor el concepto.
Ejemplo: A =











4
3
0
1
1
1
3
2
1
Resulta bastante notorio que se cumple que: F3 = F1 + F2. Por lo tanto decimos que la
fila 3 es combinación lineal de las filas 1 y 2. Notar que otro tanto se podría decir de las
restantes filas, expresando la combinación lineal de manera adecuada.
Ahora sí demostramos la propiedad:
|A| =












1
1
1
1
2
1
1
1
1
12
11
1
12
11
.
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n
i
in
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a



= 


1
1
n
i
in
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a


 .
.
.
.
.
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.
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2
1
1
12
11
1
12
11



=



1
1
n
i
i

in
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
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2
1
1
12
11
1
12
11



= 


1
1
n
i
i
 .0 = 0
Se utilizan sucesivamente las propiedades de aditividad (1a) y de homogeneidad (1b).
El resultado es que todos los términos de la sumatoria valen cero dado que todas las
matrices tienen una fila que se repite (propiedad 4b). Si bien por simplicidad se asumió
que la última fila es la combinación lineal del resto, esto no hace perder generalidad.

4) Combinación lineal de filas
a) Si una matriz B se obtiene de sumar a la fila j de la matriz A un múltiplo de la
fila i de A (FBj = FAj + FAi)  |B| = |A|
|B|= .
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2
1
2
2
1
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
jn
i
j
i
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


 


= .
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ .
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



= |A| + 0 = |A|
Como se aprecia, se utilizan las propiedades 1a y 3c para la demostración.
b) Si una matriz B se obtiene de multiplicar la fila j de la matriz A por un escalar y al
resultado sumarle un múltiplo de la fila i de A (FBj = FAj + FAi)  |B| = |A|
|B|= .
.
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2
1
2
2
1
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
jn
i
j
i
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a





 


= .
.
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2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



+ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
in
i
i
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



=
 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
2
1
1
12
11
nn
n
n
jn
j
j
in
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ 0 = |A|
La demostración se realiza en base a la propiedad 1a en primer término y luego a las
propiedades 1b y 3c.
Estas últimas dos propiedades de determinantes surgen cuando se aplican una o más
transformaciones elementales a una matriz (recordar lo visto en la clase 1). Cuando se
trató el tema en el contexto de los S.E.L., dijimos que la introducción de
transformaciones elementales no afectaba la solución del S.E.L. dado que lo que se
obtenía eran sistemas equivalentes. Pero cuando se trata de determinantes, esto ya no

resulta válido, dado que como establecen las propiedades, solamente se mantendrá el
valor del determinante en el caso de la propiedad 4a.
Esto no significa que cuando nos enfrentamos al cálculo de determinantes, no puedan
realizarse transformaciones como las de la propiedad 4b sino que, en caso de
introducirse, luego debe corregirse el resultado obtenido para llegar al valor real del
determinante de la matriz de partida (dividir entre  el valor obtenido). Esto puede
resultar un procedimiento engorroso y proclive a error en el caso de que se realicen
varias transformaciones, dado que habrá que realizar tantas correcciones como
transformaciones del tipo de la propiedad 4b se hayan introducido. Por lo tanto, lo que
se aconseja es limitar las transformaciones introducidas a las del tipo de la propiedad 4a.
Quizás ahora no quede del todo evidente la importancia de estas dos propiedades a la
hora del cálculo de determinantes. Resultará claro al resolver algunos de los ejercicios
del repartido práctico.
Volvamos ahora a la definición de determinante vista más arriba. Habíamos dicho que
la expansión para realizar el cálculo podía hacer referencia a cualquiera de las filas de la
matriz. Ahora vamos a ir más allá y decir que también puede realizarse la expansión
para cualquiera de las columnas de la matriz.
Completamos entonces la definición de determinante planteando la expansión para la
columna j de una matriz A  Mnxn:
|A| = a1j(-1)1+j
|A1j| + a2j(-1)2+j
|A2j| + …. + anj(-1)n+j
|Anj|
Por lo tanto, es equivalente calcular el determinante de una matriz utilizando cualquiera
de sus filas o cualquiera de sus columnas. Por esto es que a menudo hablamos de
“líneas” en lugar de especificar filas o columnas cuando nos referimos al cálculo de
determinantes.
Es evidente entonces que todas las propiedades de determinantes que se vieron
anteriormente en base a las filas de la matriz, son válidas al hacer referencia a las
columnas.
Otra consecuencia directa de esto es la siguiente igualdad:
|A| = |AT
|
Es decir, que el determinante de una matriz es igual al de la matriz transpuesta. Esta
propiedad no la vamos a demostrar aquí, pero recordando la definición de matriz
transpuesta y la recién vista equivalencia entre filas y columnas para el cálculo del
determinante, resulta ser bastante intuitiva.
Como se mencionó al inicio, una de las aplicaciones más importantes de los
determinantes tiene que ver con el cálculo de matrices inversas. Aún más, como
veremos a continuación, el propio valor del determinante indica la existencia o no de la
matriz inversa.

Teorema de la matriz invertible
Hipótesis:
Sea una matriz A  Mnxn
Tesis:
A es invertible  |A| ≠ 0
Demostración:
Para demostrar este teorema, primero tenemos que enunciar (sin demostrar) una serie de
proposiciones que atañen a las matrices elementales vistas en clases anteriores:
Proposición 1: Sea una matriz A  Mnxn y una matriz elemental E  Mnxn
 |EA| = |E||A|
Proposición 2: Toda matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz elemental.
Proposición 3: El determinante de una matriz elemental es distinto de cero.
Proposición 4: Si A  Mnxn no es invertible  toda forma escalerizada de A posee una
fila de ceros.
También recordaremos la proposición basada en matrices elementales que vimos en el
el tema anterior:
Proposición 5:
1) Toda matriz A  Mnxn puede reducirse a una forma escalerizada aplicando una
sucesión de transformaciones elementales:
EkEk-1…….E1A = Aesc con Ei = matriz elemental i-ésima
2) Si A es invertible:
a) A puede reducirse a la matriz identidad aplicando una sucesión de transformaciones
elementales:
EkEk-1…….E1A = In
b) A puede expresarse como un producto de matrices elementales:
A = E1’E2’…….Ek-1’Ek’
Ahora poseemos todos los elementos para demostrar el teorema lo cual deberá realizarse
en sentido directo y recíproco.

() Si A es invertible entonces, de acuerdo a la proposición 5, A puede expresarse
como:
A = E1E2….Ek-1Ek  |A| = | E1E2….Ek-1Ek|.
Por la proposición 1 tenemos que:
|A| = |E1||E2|……|Ek-1||Ek|
Por la proposición 3 sabemos que |Ei| ≠ 0 i = 1:k. Luego |A| ≠ 0
() Haremos la demostración por el absurdo, suponiendo que A no es invertible. Por la
proposición 5 sabemos que podemos obtener una forma escalerizada de A utilizando
matrices elementales:
EkEk-1….E2E1A = Aesc
Por lo tanto:
|EkEk-1….E2E1A| = | Aesc| = 0
La última igualdad surge de la proposición 4 anterior y la propiedad 3a de
determinantes.
Aplicando la proposición 1:
|EkEk-1….E2E1A| = |Ek||Ek-1|….|E2||E1||A| = 0
Por la proposición 3 resulta que |A| = 0 lo cual contradice la hipótesis. Absurdo.
Ahora que ya sabemos en que casos existe la matriz inversa, estamos listos para
presentar un nuevo método de cálculo de matriz inversa basado en determinantes,
conocido como método de los cofactores.
Método de cofactores para el cálculo de matriz inversa
Recordando la definición de cofactor vista anteriormente:
cij = (-1)i+j
|Aij|
con cij el cofactor del elemento aij de una matriz A. Está claro que se van a tener tantos
cofactores como elementos tenga la matriz A, con lo cual, es posible construir la
llamada matriz de cofactores, manteniendo el orden de los elementos originales de A:
cofact(A) =  cofact(A)T
=
















nn
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
















nn
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
12
1
21
11

Se puede probar que:
A(cofact(A)T
) =
















A
A
A
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
0
0
.
.
0
= |A|I
Pre-multiplicando por A-1
(asumiendo que existe):
A-1
A(cofact(A)T
) =
A-1
|A|I  Icofact(A)T
= A-1
|A|I = |A| A-1
Llegamos a que:
cofact(A)T
= |A|A-1
 A-1
= (1/|A| )cofact(A)T
Así que para calcular la matriz inversa, debe calcularse la matriz transpuesta de los
cofactores de la matriz original y luego aplicar el producto de escalar por matriz usando
el inverso del determinante de la matriz original. Si bien ya se demostró el teorema, aquí
queda evidente el hecho práctico por el cual el determinante de la matriz original no
puede ser igual a cero.
A continuación se verá un ejemplo de aplicación de este método.
Ejemplo: Dada la matriz A = 







5
3
2
1
hallar, si existe, A-1
En primer término, calculamos el determinante de A para verificar que existe la matriz
inversa:
|A| = 1x5 - 2x3 = -1 ≠ 0   A-1
Obtenemos ahora los cofactores de los elementos de A:
c11 = (-1)1+1
| 5 | = 5 c12 = (-1)1+2
| 3 | = -3
c21 = (-1)2+1
| 2 | = -2 c22 = (-1)2+2
| 1 | = 1
Construimos la matriz de cofactores de A y su transpuesta:
cofact(A) = 









1
2
3
5
 cofact(A)T
= 









1
3
2
5
Multiplicando la última matriz por el inverso del determinante de A obtenemos A-1
:
A-1 =










1
3
2
5

Se puede confirmar el resultado aplicando la definición de matriz inversa:










1
3
2
5
AA-1
=








5
3
2
1








1
0
0
1
= I
Habíamos dicho que la otra aplicación importante de los determinantes era su utilidad
para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Antes de ver esto, haremos un paréntesis
para enunciar un teorema importante para el cálculo de determinantes de productos de
matrices.
Teorema de Binet-Cauchy
Hipótesis: Sean A  Mnxn y B  Mnxn
Tesis: |AB| = |A||B|
Lo que expresa el teorema es sencillamente que el determinante de un producto de
matrices se obtiene como el producto de los determinantes de las matrices involucradas.
Demostración:
Separaremos la demostración en dos casos distintos: cuando alguna de las matrices no
es invertible y cuando ambas son invertibles.
a) A no invertible:
Si A no es invertible  |A| = 0  |A||B| = 0
Debemos demostrar entonces que |AB| = 0
Por la proposición 5 de matrices elementales, arriba expuesta, se puede plantear:
Aesc = EkEk-1…….E1A  A = E1
-1
E2
-1
…….Ek
-1
Aesc
Por lo tanto (aplicando la proposición 1 de matrices elementales):
|AB| = | E1
-1
E2
-1
…….Ek
-1
AescB| = |E1
-1
||E2
-1
|…….|Ek
-1
||AescB|
Como A no es invertible la proposición 4 vista antes implica que Aesc posee una fila de
ceros por lo cual AescB también tendrá una fila de ceros. Esto implica, por propiedad 3a
de determinantes que:
|AescB| = 0  |AB| = 0 = |A||B|
b) A es invertible:

Por proposición 5 de matrices elementales:
A = E1E2….Ek-1Ek  |AB| = |E1E2….Ek-1EkB|
Aplicando la proposición 1 de matrices elementales varias veces:
|AB| = |E1||E2|….|Ek-1||Ek||B| = |E1E2….Ek-1Ek||B| = |A||B|
Las partes a) y b) completan la demostración.
Para finalizar el tratamiento de determinantes, veremos el denominado método o regla
de Cramer para resolver S.E.L.
Regla de Cramer
Dada A  Mnxn se cumple que:
1) Si |A| ≠ 0  el sistema de ecuaciones representado por AX = b es compatible
determinado y la solución (X) se obtiene como:
xj =
A
Aj
j = 1:n (xj  X)
con Aj la matriz que se obtiene de sustituir la columna j de la matriz A por el vector de
términos independientes b.
2) Si |A| = 0 y  j / |Aj| ≠ 0  el sistema de ecuaciones representado por AX = b es
incompatible
Es importante señalar que un error muy común es suponer que la segunda parte de la
regla de Cramer implica que si |Aj| = 0 j = 1:n entonces el sistema es compatible
indeterminado. En ese caso, Cramer en realidad no da la solución (el sistema puede ser
o bien incompatible o bien compatible indeterminado) y el problema debe resolverse
utilizando otro método.
Veamos algunos ejemplos para evidenciar claramente esto y de paso practicar el
método.
Ejemplo: Resolver el siguiente S.E.L.:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 0
Tenemos que:
A =










1
1
1
1
1
1
1
1
1
b =










0
1
1

No es necesario calcular el determinante de A sino que basta aplicar la propiedad 3b
para saber que el mismo es nulo. Por lo tanto sabemos ya que el sistema no es
compatible determinado.
Calculamos ahora los |Aj|:
A1 =










1
1
0
1
1
1
1
1
1
 |A1| = 0
A2 =










1
0
1
1
1
1
1
1
1
 |A2| = 0
A1 =










0
1
1
1
1
1
1
1
1
 |A3| = 0
Nuevamente la propiedad 3b de determinantes nos indica que son todos nulos.
En esta situación, Cramer no sirve para resolver el sistema. Sin embargo, a simple vista
es claro que el sistema es incompatible dado que la tercera ecuación contradice lo que
establecen las dos primeras. Si hubiéramos interpretado mal la segunda parte de la regla
de Cramer, y supuesto que el sistema era compatible indeterminado, habríamos llegado
a una solución incorrecta.
Ejemplo: Resolver el siguiente S.E.L.:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Tenemos ahora que:
A =










1
1
1
1
1
1
1
1
1
b =










1
1
1
Tenemos la misma matriz de sistema A que en el ejemplo anterior por lo cual ya
sabemos que |A| = 0. Nuevamente, el sistema no será compatible determinado.
Calculamos ahora los |Aj|:
A1 =










1
1
1
1
1
1
1
1
1
 |A1| = 0

A2 =










1
1
1
1
1
1
1
1
1
 |A2| = 0
A1 =










1
1
1
1
1
1
1
1
1
 |A3| = 0
Tampoco nos sirve Cramer para resolver el sistema. Pero nuevamente, de la inspección
visual del mismo resulta claro que estamos frente a un sistema compatible
indeterminado en donde las tres ecuaciones proveen la misma información.
La solución del sistema es: {(x,y,z) / x + y + z = 1}, es decir que tenemos dos grados de
libertad.
Cuántos escalones (o alternativamente, filas de ceros) obtendríamos si escalerizáramos
la matriz de sistema?

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