Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica las propiedades básicas de las matrices como su orden, representación y tipos como nulas, cuadradas y triangulares. También cubre cómo sumar, restar, multiplicar matrices por escalares y entre sí. Finalmente, introduce los determinantes y las reglas de Sarrus y Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1. Matrices y determinantes
M. En C. Ana María León Choreño

2. Resultados de aprendizaje
• Reconocer las propiedades de una matriz.
• Calcular determinantes 2 x 2 y 3 x 3 usando la regla de Sarrus.
• Solucionar sistemas lineales m x n usando la regla de Cramer.
• Resolver sistemas de ecuaciones aplicando las reglas de Sarrus y Cramer para
realizar operaciones algebraicas con matrices.
Competencias
Matrices y determinantes

3. Matrices y determinantes
• Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas.
• El estudio de matrices es muy importante dentro de la vida cotidiana; constantemente las
utilizan sin dar se cuenta de ello.

4. Orden de una matriz
Se llama orden de una matriz al número de filas (renglones)
por el número de columnas de dicha matriz.
Ejemplo

5. Representación geométrica
de una matriz

6. Matriz fila
Matriz columna
Ejemplo
Ejemplo

7. Matriz nula
Matriz opuesta
Ejemplo
Ejemplo

8. Matriz cuadrada
Ejemplo

9. Matriz triangular superior
Ejemplo

10. Matriz triangular inferior
Ejemplo

11. Matriz identidad
Matriz diagonal
Ejemplo
Ejemplo

12. Matriz traspuesta
Ejemplo

13. Matriz simétrica
Ejemplo

14. Suma y diferencia de matrices

15. Esto significa, que la matriz A + B de m x n se obtiene de sumar las componentes
correspondientes de las matrices de m x n de A y B.
• Se debe tener en cuenta que la suma entre dos matrices se puede realizar
únicamente cuando ambas matrices tienen el mismo número de elementos o bien el
mismo tamaño.

16. Por ejemplo, las matrices son incompatibles
bajo la suma, puesto que al intentar realizar la suma, se tendría
Harían falta dos elementos, los cuales no posee la primera matriz; por lo tanto, no se
pueden sumar.
En cambio, las matrices sí se pueden sumar:

17. Ejemplo: La suma de las matrices y
Mientras que la resta de las matrices y

18. Producto de un escalar por una matriz
Es decir, que αA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada componente de A por
α

19. Producto de un escalar por una matriz
Ejemplo: Sea la matríz Multiplícala por por los escalares 2 y 1/5 :

20. Producto de matrices
La multiplicación o producto matricial se realiza entre dos Matrices o entre una matriz y un
escalar, al igual que la multiplicación en aritmética.
Sea A una matriz de m x n y sea B una matriz de n x p. El producto de A y B
es una matriz C = A x B de m x p, donde los elementos c de C están determinados de la
siguiente manera:

21. Ejemplo

22. Se debe tener en cuenta que si el número de filas de la primera matriz no coincide con el
número de columnas de la segunda, entonces las matrices no se pueden multiplicar.

23. Determinantes
Se denomina determinante de una matriz cuadrada al número que resulta de
sumar/restar todos los productos que pueden obtenerse tomando un factor y sólo uno
de cada fila y un factor y sólo uno de cada columna.
Los determinantes se representan por la matriz entre dos barras paralelas:

24. Determinante de orden 1
Determinante de orden 2

25. Regla de Sarrus

26. Suma
Resta
Regla de Sarrus

27. Ejercicio
= (2 * 4 *1) + (-1 * 5 * 2) + (2 * 1 * 2)
A =
|A| - (2 * 4 * 2) - (2 * 5 * 2) - (-1 * 1 * 1)
|A| = 8 + (-10) + 4 – 16 – 20 – (-1)
|A| = 8 - 10 + 4 – 16 – 20 + 1
|A| = -33
Regla de Sarrus

28. Regla de Cramer
Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes
condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de
Cramer.

29. Coeficientes Variables o
incógnitas
Términos
independientes
Regla de Cramer

30. Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible
determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:
Regla de Cramer
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Δ1, Δ2 , Δ3, ... , Δn son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º
miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª
columna y en la enésima columna respectivamente.

32. El objetivo es sustituir los valores de la columna 1 por los términos
independientes si queremos A1, si queremos A2, debemos sustituir los valores de
la columna 2 por los términos independientes, así sucesivamente.
Regla de Cramer
Ejemplo

35. X= 2.5
Y= 3.0
Z = 3.5
Por lo tanto