Operaciones, propiedades y determinante de matrices

1. Matrices
Prof. Rosa E. Padilla

2. Matriz
• Sistema de filas y columnas que nos ayudan a organizar datos y
resolver problemas matemáticos.

3. Matrices iguales
• Dos matrices son iguales si y solo si tienen la misma dimensión
y sus elementos correspondientes son iguales.

4. Matrices
• Son utilizados subíndices para identificar las posiciones de los
elementos de una matriz.

5. Suma de matrices
• Para sumar matrices, las mismas deben tener las mismas
dimensiones.
• Se suma cada elemento correspondiente y se escribe en la
posición correspondiente.
• Ejemplo: 3 6
−1
−5
−3
−1
+
0 −1
6
2
0
3
=
3 + 0 6 + (−1)
−1 + 6
−5 + 2
−3 + 0
−1 + 3
=
3 5
5
−3
−3
2

6. Práctica
• Realiza la operación indicada para las siguientes matrices.
2
4
2
−3
+
−3
3
2
−2
=
2 0 0 + 3 1 −5 = 2
−2
6
−6
+ 5
4
−1
0
=
−4𝑛 𝑚 + 𝑛
−2𝑛 −4𝑛
+
4 −5
3𝑚 0
=
1) 2) 3)
4)

7. Resta de matrices
• Para restar matrices, las mismas deben tener las mismas
dimensiones.
• Se resta cada elemento correspondiente y se escribe en la
posición correspondiente.
• Ejemplo: −5 2 −2
4 −2 0
−
6 −5 −6
1 3 −3
=
−5 − 6 2 − (−5) −2 − (−6)
4 − 1 −2 − 3 0 − (−3)
=
−11 7 4
3 −5 3

8. Práctica
• Realiza la operación indicada para las siguientes matrices.
1) 2) 3)
4)
−6 6
2 2
−
−3 0
−2 0
=
−𝑥 − 1 −2𝑥 −5𝑦 − 𝑦 −2 −3𝑥 =
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 6
−
5
6𝑥𝑦
=5
6
−
2
4
=

9. Multiplicación de matrices por
un factor escalar
• Un factor escalar es un número por el cual se multiplican todos
los elementos de una matriz.
• Ejemplo:
5
4
3
=
5 × 4
5 × 3
=
20
15

10. Práctica
• Realiza la operación indicada para las siguientes matrices.
1) 2) 3)
4)
−2𝑢 7𝑢 3𝑤2 5𝑢 5 =
4
−4
3
−5
=−5
−3 0
0 5
=5
5 6 −4
4 −2 −1
=

11. Multiplicación de matrices
• Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la
primera matriz debe ser igual al número de columnas de la
segunda.
• Si tenemos una matriz A de m fila y n columnas, solo la
podremos multiplicar por una matriz B que tenga n filas y p
columnas.

12. Multiplicación de matrices
• Ejemplo: 𝐴 =
1 2 3
4 5 6
𝐵 =
5 −1
1 0
−2 3
𝐴 × 𝐵 =
1 2 3
4 5 6
∙
5 −1
1 0
−2 3
=
1 5 + 2 1 + 3(−2)
𝐴 × 𝐵 =
1 2 3
4 5 6
∙
5 −1
1 0
−2 3
=
1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3)

13. Multiplicación de matrices
• Ejemplo: 𝐴 =
1 2 3
4 5 6
𝐵 =
5 −1
1 0
−2 3
𝐴 × 𝐵 =
1 2 3
4 5 6
∙
5 −1
1 0
−2 3
=
1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3)
4 5 + 5 1 + 6(−2)
𝐴 × 𝐵 =
1 2 3
4 5 6
∙
5 −1
1 0
−2 3
=
1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3)
4 5 + 5 1 + 6(−2) 4 −1 + 5 0 + 6(3)

14. Multiplicación de matrices
• Ejemplo: 𝐴 =
1 2 3
4 5 6
𝐵 =
5 −1
1 0
−2 3
𝐴 × 𝐵 =
1 2 3
4 5 6
∙
5 −1
1 0
−2 3
=
5 + 2 − 6 −1 + 0 + 9
20 + 5 − 12 −4 + 0 + 18
=
1 8
13 14

15. Práctica
• Realiza la operación indicada para las siguientes matrices.
1) 2) 3)
4)
2 −1
−6 1
∙
4 4
−3 −5
=
6
−3
∙ −5 4 = 5 3 5
1 5 0
∙
−4 2
−3 4
3 −5
=
−5 1
−4 −5
∙
5 −4 2
−6 3 −6
+
3 −5 2
5 5 3
=

16. Determinante
• Una matriz se convierte en determinante para ayudarnos a
calcular áreas de polígonos o figuras geométricas.
• La determinante de una matriz es una función matemática que
asocia a cada matriz cuadrada un número real.
• Para hallar el determinante de una matriz, la misma debe ser
cuadrada, es decir, tiene igual cantidad de filas que de
columnas.

17. Determinante matriz 2×2
• Sea A una matriz 2 × 2.
𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
det 𝐴 = 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

18. Ejemplo
• Halla el determinante de la matriz dada.
𝐵 =
−1 1
−1 4
det 𝐵 = 𝐵 =
−1 1
−1 4
= −1(4) − (−1)(1)
= −3

19. Determinante matriz 3×3
• Método del cofactor

20. Determinante matriz 3×3
• Método de Sarrus

21. Determinante matriz 3x3
• Ejemplo: Halla el determinante de la matriz C.
𝐶 =
3 −2 1
3 −1 −2
3 −2 −3
det 𝐶 =
3 −2 1
3 −1 −2
3 −2 −3
=
3 −2 1
3 −1 −2
3 −2 −3
3 −2
3 −1
3 −2
3(−1)(−3) +(−2)(−2)(3) +1(3)(−2)−(3)(−1)(1)−(−2)(−2)(3)−(−3)(3)(−2)
9 + 12 + (−6) − −3 − 12 − 18
det 𝐶 = −12

22. Práctica
• Halla el determinante para cada matriz.
1) 2) 3)
4)
0 −4
−6 −2
5 3
6 6
−5 3
4 2
−6 −6 1
3 −5 −2
3 0 −3

23. Propiedades de las matrices
• Sean A y B matrices y c, d escalares
• Clausura: Si C es una matriz, aC también es una matriz.
• Elemento neutro: Existe el elemento neutro 1, tal que 1 ∙ 𝐴 = 𝐴.
• Asociativa: 𝑐𝑑 𝐴 = 𝑐 𝑑𝐴
• Propiedad distributiva:
• Escalar → 𝑐 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
• Matriz → 𝑐 + 𝑑 𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑑𝐴

24. Propiedades de las matrices
• Sean A, B y C para las cuales la multiplicación está definida.
• Clausura: AB también es una matriz
• Elemento neutro: Si A es matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad 𝐼 𝑚×𝑚 es el
elemento neutro de manera tal que 𝐼 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐼 = 𝐴.
• Asociativa: 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
• Propiedad distributiva:
• Derecha → 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
• Izquierda → 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
• La operación de multiplicación de matrices no es conmutativa.

25. Matriz identidad
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

26. Matriz inversa
• La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz
representada por 𝐴−1
que cumpla con la condición:
• Donde I corresponde a la matriz identidad del mismo orden
que A.
• La matriz inversa de A existe sí y solo sí det(𝐴) ≠ 0.
𝐴 × 𝐴−1
= 𝐴−1
× 𝐴 = 𝐼

27. Hallar la matriz inversa
• Sea A una matriz cuadrada con dimensión 2×2.