Aplicaciones en el area de trigonometría

1. Prof. M. Alonso

2.  1. Entender el problema.
 ¿Puedo decir el problema en mis propias palabras?
 ¿Qué me piden ?
 ¿Cuáles son las variables involucradas?
 ¿Qué información tengo?
 ¿Qué información necesito que no está explícita?

3. 2. Trace un plan
• Verifique si hay un patrón.
•* Examine problemas parecidos y determine
si se puede usar la misma técnica
•* Examine un caso más sencillo del problema
o un caso particular
•* Construya una tabla, diagrama a dibujo.
•* Escriba una ecuación.
•* Trabaje hacia atrás.

4. 3. Lleve a cabo el plan
* Implemente la estrategia o estrategias del paso 2
* Verifique cada paso de su plan
* Mantenga un record de su trabajo

5. 4. Verificación
• Verifique su resultado
•Interprete la solución en términos del problema
original. La contestación, ¿ tiene sentido?
•Determine si hay otro método para hallar el
resultado.

7.  Considere la siguiente
figura:
 Describa un plan para hallar
el área sombreada si el
semicírculo tiene radio 5
cm. y el triángulo inscrito
es un triángulo rectángulo
con un cateto de 8 cm.


8.  El área sombreada es la diferencia entre el
área del semicírculo y el área del triángulo.
 Hallar área del semicírculo
 Hallar área del triángulo
 Calcular la diferencia

9.  Solución:
 Si el radio es 5, el diámetro del semicírculo es 10 cm. que
viene siendo el largo de la hipotenusa del triángulo
rectángulo. Sea a el otro cateto. Por teorema de Pitágoras,
 a2 + 82 = 102
 a2 = 100 – 64
 a = 6

10.  El área sombreada es la diferencia entre el área del
semicírculo y el área del triángulo.
 Área semicírculo = ½ πr2 = ½ π(5)2
 Área del triángulo = ½ (base)(altura) = ½ (6)(8) = 24
 Área sombreada = = 15.27 cm cuadrados

11.  Un satélite circula alrededor de la Tierra a una altura de h
millas sobre la superficie. Suponga que d es la distancia, en
millas, en la superficie de la tierra que se puede observar
desde el satélite. Vea la figura a continuación
Halle una ecuación que
relacione el ángulo
central Ѳ con la altura h

12.  Qué podemos deducir de la información provista?

13.  Halle una ecuación que relacione el ángulo central Ѳ con la
altura h
 Solución:
 cos (Ѳ/2) =
 Ѳ/2 = cos -1 ( )) )
 Ѳ = 2

14.  Halle una ecuación que relacione la distancia d con Ѳ.
 Solución:
 S = rѲ
 d = 3960 Ѳ

15.  Halle ecuación que relacione d con h
 Solución:
 d = 3960 Ѳ
 d =

16.  Si d = 2500 millas , ¿ cuán alto debe estar el satélite?
 Solución:
 h = 205.82 millas

17.  Si el satélite orbita la Tierra a una altura de 300 millas , qué
distancia d en la superficie puede observar el satélite?
 Solución:
d = 2990.048 millas

18.  Busque información sobre el solsticio de
verano y el de invierno. En la dirección
http://timeanddate.com Halle las horas de luz
el día 21 de junio de 2017 en San Juan, Puerto
Rico y las horas de luz el día 21 de diciembre
de 2016.


19.  Si queremos hacer un modelo, ¿cuáles son las variables ?
 Los días del año
 Las horas de luz

20. ¿Cómo se ve la
información en
una gráfica?

21.  Diciembre 21 de 2016 : 11:01:23 horas de luz
 Junio 21 de 2017: 13:14:23 horas de luz
 Solución
 Convertir a decimal
 Diciembre 21 de 2016: 11.02298
 Junio 21 de 2017: 13.23968

22.  Cuál es un posible modelo?
 Y = Asen(B(x – C)) + D
 Nuestro objetivo es hallar A, B, C y D

23.  Amplitud ¿qué es la amplitud?
 La amplitud de la función seno representa la mitad de la
distancia entre los valores máximo y mínimo de la función.

24.  Período es la longitud del intervalo más pequeño que contiene
exactamente una copia del patrón repetido.
 En nuestro caso los datos se repiten cada 365 días

25.  Traslación vertical – si f(x) es una función conocida entonces
el valor d en y = f(x) + d indica una traslación vertical de la
función f(x)
 En el caso de la función seno,

26.  El desfase horizontal de una función es que tanto está corrido
el inicio de la gráfica de la función tomando como referencia
algún punto del eje de coordenadas en el plano cartesiano,
habitualmente se toma como punto de referencia el punto de
origen del sistema de coordenadas es decir el punto (0,0).

27.  Por ejemplo

28.  Para determinar el desplazamiento horizontal divida el intervalo
[0, 365] en 4 subintervalos
(0, 91.25), (91.25, 182.50), (182.50, 273.75) , (273.75, 365)

29.  La función seno aumenta en el primer intervalo. Y
disminuye en el intervalo (91.25, 273.75)
 El máximo local se encuentra en 91.25
 El máximo ocurre en el solsticio de verano donde
han pasado 172 días.
 La gráfica se desplaza
 172 – 91.25 = 80.75

30.  El modelo es

31.  Calcule las horas de luz el 1 de abril de 2017 con la
función y compare el resultado con el valor real.
 Solución
 El 1 de abril representa el día 91 de 2017
 F(91) = 1.11 sen(2π/365 – 1.39) +12.13 = 12.3249
 El valor real 12:19:43 o sea, 12.3285

32.  Suponga que un cine tiene una pantalla de 28 pies de altura.
Cuando uno se sienta, el borde inferior de la pantalla está a 6
pies sobre el nivel de los ojos. El ángulo que se forma tirando
una línea desde los ojos al borde inferior y otra línea desde
los ojos hasta el borde superior de la pantalla se llama el
ángulo de visión Ѳ como muestra la figura.

33.  Si usted se sienta a x pies de la pantalla, halle una función
que relacione el ángulo de visión con la distancia a la que se
sienta

34.  continuación

35.  Si se sienta a 10 pies de la pantalla, ¿cuál es el
ángulo de visión?
θ=1.2847−0.5404=0.7443 radianes
42.64 grados

36.  Si hay 5 pies entre la primera fila y la pantalla y hay
tres pies entre cada fila y la que le sigue, ¿qué fila es
donde el ángulo de visión es mayor?

En la fila 4 el ángulo de visión es 44.42 o

37. Hora MN 2am 4am 6am 8am 10am 12md 2pm 4pm 6pm 8pm 10pm MN
Temp 56 51 50 52 56 62 69 74 71 68 61 57 56
Escriba una función
periódica (cos x) para estos
datos

38.  La altura del agua A , en pies, en un muelle t horas después de
las 6:00 a.m. está dada por .
 Halle la altura del agua a las 6:00 a.m. y a las doce del
mediodía
 Halle la hora en que la marea está más alta y más baja
 ¿ Cuál es el periodo de esta función y que significa en cuánto a
la marea?

39.  A(0) = 10, A(6) = 10
 t = 3 , t = 9
 por consiguiente, a las 9:00 a.m y a las 3:00 pm
respectivamente.
 El periodo representa 12 horas, por tanto las mareas suben y
bajan dos veces al día.