Medias mediana moda

1. MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Es conveniente resumir la información con un solo numero. Este
numero que para tal fin, suele situarse hacia el centro de la
distribución de datos es denominado medida de tendencia central o
centralización

3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los
conjuntos de datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se
les llama medidas de tendencia central porque generalmente la
acumulación más alta de datos se encuentra en los valores
intermedios. Estas medidas son utilizadas con gran frecuencia como
medidas descriptivas de poblaciones o muestras.

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

5. MEDIA ARITMETICA (PROMEDIO)
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La media aritmética
denotada con ത
𝑋 se calcula con la siguiente función:
ത
𝑋 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
=
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛

6. MEDIA ARMÓNICA
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La media armónica denotada
con ത
𝑋𝐴 se calcula con la siguiente función:
ത
𝑋𝐴 = 𝑛 ∗ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
−1
−1
=
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛

7. MEDIA GEOMÉTRICA
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La media geométrica
denotada con ത
𝑋𝐺 se calcula con la siguiente función:
ത
𝑋𝐺 =
𝑛
ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑛
𝑥1 ∗ 𝑥2 ∗ ⋯ ∗ 𝑥𝑛

8. MEDIA CUADRÁTICA
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La media cuadrática
denotada con ത
𝑋𝐶 se calcula con la siguiente función:
ത
𝑋𝐶 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
𝑛
=
𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥𝑛
2
𝑛

9. COMPARACIÓN DE LAS MEDIDAS
• Por la definición de las ecuaciones que definen el cálculo de las
medias previamente revisadas se puede concluir lo siguiente:
ത
𝑋𝐴 ≤ ത
𝑋𝐺 ≤ ത
𝑋 ≤ ത
𝑋𝐶

10. EJEMPLO 1
• Se requiere determinar el rendimiento general de los
estudiantes en un curso de Estadística con 8 estudiantes. Se
solicita calcular la media armónica del siguiente conjunto de las
calificaciones.
Estudiante Calificación
A 8
B 10
C 7
D 5
E 8
F 9
G 9
H 10

11. EJEMPLO 1
ത
𝑋𝐴 =
8
1
8 +
1
10 +
1
7 +
1
5
+
1
8 +
1
9 +
1
9 +
1
10
=
8
1279
1260
=
10080
1279
= 7,88

12. EJEMPLO 2
• Para el mismo conjunto de datos, calcular la media aritmética:
ത
𝑋𝐴 =
8 + 10 + 7 + 5 + 8 + 9 + 9 + 10
8
=
66
8
= 8,25

13. EJEMPLO 3
• Se solicita el cálculo de la media geométrica de los datos
previamente definidos
ത
𝑋𝐺 =
8
8 ∗ 10 ∗ 7 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 9 ∗ 9 ∗ 10 =
8
18144000 = 8,07

14. EJEMPLO 4
• Finalmente se solicita el cálculo de la media cuadrática de las
calificaciones de los estudiantes
ത
𝑋𝐶 =
82 + 102 + 72 + 52 + 82 + 92 + 92 + 102
8
= 8,40

15. COMPARACIÓN DE MEDIAS
• El profesor pone a criterio de los estudiantes que medida de
tendencia central utilizar para evaluarlos.
Que tipo de media escogerían los estudiantes?

16. MEDIANA
• Estimador de tendencia central robusto (no resultan muy
afectados por valores ampliamente dispersos).
• Divide el conjunto de datos en 50% por sobre, y debajo, de un
valor central de los datos en estudio.
• Para su cálculo requiere de un ordenamiento de los datos.

17. MEDIANA
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La mediana denotada
con ෨
𝑋 o Med(X) se calcula con la siguiente función:
෨
𝑋 =
𝑥𝑛+1
2
𝑥𝑛
2
+ 𝑥𝑛
2
+1
2
cuando n es impar
cuando n es par

18. EJEMPLO 5
• Con base en el conjunto de datos proporcionado previamente,
calcular la mediana de aquellos datos:
• En primer lugar se procede a realizar el ordenamiento de los datos de
manera decreciente
Estudiante Calificación
A 8
B 10
C 7
D 5
E 8
F 9
G 9
H 10
Estudiante Calificación (ord)
D 5
C 7
E 8
A 8
G 9
F 9
H 10
B 10

19. EJEMPLO 5
• Ahora se procede a determinar los datos de x en las posiciones n/2 y
n/2 + 1. Recordar que n = 8.
෨
𝑋 =
𝑥𝑛
2
+ 𝑥𝑛
2+1
2
𝑥𝑛
2
𝑥𝑛
2+1
Estudiante i (posicion) Calificación (ord)
D 1 5
C 2 7
E 3 8
A 4 8
G 5 9
F 6 9
H 7 10
B 8 10

20. EJEMPLO 5
• Finalmente se procede con el cálculo de la mediana
෨
𝑋 =
𝑥𝑛
2
+ 𝑥𝑛
2
+1
2
=
9 + 8
2
= 8,5

21. MODA
DEFINICIÓN:
• Dado un conjunto de datos x1, x2, …, xn. La moda denotada
como MODA(X) se resulta ser el o los valores de mayor
frecuencia dentro del conjunto de datos

22. EJEMPLO 6
• En el ejemplo con los datos anteriores, se puede observar que los
valores con calificaciones 8, 9 y 10, presentan dos conteos cada uno,
siendo esta la mayor frecuencia entre los datos. Estos valores definen
una distribución trimodal de los individuos, que se observa
adecuadamente en un gráfico de barras.

23. Resumen
• Las medidas de tendencia central están diseñadas para brindar
al analista algunos valores cuantitativos de la ubicación central
o de otro tipo de los datos en una muestra.
• Una medida obvia y muy útil es la media. La media es
simplemente un promedio numérico.