Modelado, sim y control veh sub

Modelado, Simulación y Control de un
Vehículo Submarino Manipulado de forma
Remota (ROV)
Titulación: Ingeniería Industrial
Intensificación: Sistemas eléctricos
Alumno/a: Javier de la Red Calvo
Director/a/s: José Luis Aguirre Martínez
Cartagena, 18 de Noviembre de 2015

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA
Proyecto Fin de Carrera
Modelado, Simulación y Control de un Vehículo
Submarino Manipulado de forma Remota (ROV)
TITULACIÓN: Ingeniería Industrial
AUTOR: Javier de la Red Calvo
DIRECTOR: José Luis Aguirre Martínez
Diciembre de 2014

Índice
1. Introducción.................................................................................................................. 1
1.1. Antecedentes.......................................................................................................... 1
1.2. Objetivos................................................................................................................ 1
1.3. Herramientas utilizadas ......................................................................................... 2
2. Vehículos Marinos........................................................................................................ 3
2.1. Definición.............................................................................................................. 3
2.2. Clasificación de los Vehículos Marinos................................................................ 3
2.2.1. Vehículos Marinos sobre el agua ................................................................... 3
2.2.2. Vehículos submarinos .................................................................................... 4
2.2.3. ROVs .............................................................................................................. 4
2.2.4. ROVs y AUVs Comerciales.......................................................................... 5
2.2.5. Aplicaciones de los robots submarinos .......................................................... 9
2.3. Particularidades de los vehículos marinos............................................................. 9
2.3.1. Flotación......................................................................................................... 9
2.3.2. Amortiguación hidrodinámica...................................................................... 11
2.3.3. Masa añadida................................................................................................ 12
2.3.4. Propulsión..................................................................................................... 12
3. Diseño......................................................................................................................... 13
3.1. Modelos ............................................................................................................... 13
3.1.1. Modelo 1....................................................................................................... 14
3.1.2. Modelo 2....................................................................................................... 14
3.1.3. Modelo 3....................................................................................................... 16
3.1.4. Modelo 4....................................................................................................... 18
3.2. Posición de las hélices......................................................................................... 20
3.3. Pesos auxiliares ................................................................................................... 22
4. Modelo matemático.................................................................................................... 24
4.1. Sistemas de referencia ......................................................................................... 24
4.2. Ecuaciones dinámicas.......................................................................................... 25
4.2.1. Matriz de masas............................................................................................ 25
4.2.3. Matriz de Coriolis......................................................................................... 29
4.2.3. Matriz de resistencia hidrodinámica............................................................. 31

4.2.4. Vector de flotación ....................................................................................... 32
4.2.5. Vector de fuerzas de propulsión................................................................... 34
4.3. Resolución de las ecuaciones .............................................................................. 43
5. Control........................................................................................................................ 46
5.1. Control manual .................................................................................................... 46
5.2. Control de trayectoria.......................................................................................... 47
6. Simulación.................................................................................................................. 51
6.1. Entrada de datos................................................................................................... 51
6.2. Cálculos ............................................................................................................... 52
6.3. Almacenamiento de datos.................................................................................... 53
6.4. Visualización ....................................................................................................... 53
6.5. Proceso de iteración............................................................................................. 55
7. Resultados................................................................................................................... 57
7.1. Ensayo 1: Control manual ................................................................................... 57
7.1.1. Trayectoria.................................................................................................... 58
7.1.2. Orientación ................................................................................................... 59
7.1.3. Velocidades .................................................................................................. 60
7.1.4. Fuerzas.......................................................................................................... 61
7.2. Ensayo 2: Control por trayectoria........................................................................ 62
7.2.1. Trayectoria.................................................................................................... 63
7.1.2. Orientación ................................................................................................... 65
7.1.3. Velocidades .................................................................................................. 65
7.3. Ensayo 3: Movimiento con orientación............................................................... 67
7.2.1. Trayectoria.................................................................................................... 68
7.1.2. Orientación ................................................................................................... 70
7.1.3. Velocidades .................................................................................................. 71
8. Conclusiones............................................................................................................... 74
8.1. Trabajo realizado................................................................................................. 74
8.2. Mejoras y trabajos futuros................................................................................... 75
A. Anexo 1: Instalación de bibliotecas e inclusión de directorios en C++..................... 77
Eigen........................................................................................................................... 77
OpenSceneGraph........................................................................................................ 78
Archivos OBJ ............................................................................................................. 82

Referencias ..................................................................................................................... 84

pág. 1
1. Introducción
Los ROV (Remotely Operated Vehicle) son vehículos controlados de forma
remota por un humano. Su relevancia ha crecido durante la última década debido al
aumento de su uso militar (drones), por otra parte, también han surgido grandes
innovaciones que permiten su uso en el campo científico y empresarial.
El caso de estudio en este proyecto es el de un ROV submarino, o ROUV
(Remotely Operated Underwater Vehicle). Este tipo de vehículo destaca por su alta
maniobrabilidad en aguas profundas y su uso está muy extendido en la exploración y en
el mantenimiento de estructuras submarinas.
1.1. Antecedentes
El proyecto que nos ocupa, se inició a partir de los estudios realizados sobre AUVs
(Vehículos Autónomos Submarinos) en un proyecto de estudio del grupo de investigación
“Diseño, mantenimiento y disponibilidad de sistemas mecánicos” en colaboración con la
empresa Navantia.
Durante los últimos años se han modelado en el Departamento de Ingeniería
Mecánica algunos vehículos autónomos, sin embargo, ahora se pretende construir un
prototipo con el que se pueda comprobar la validez y cercanía de estos modelos con la
realidad. Con esta aspiración, se decidió crear un vehículo submarino, de diseño sencillo,
capaz de realizar maniobras complejas, movimientos y giros en las tres dimensiones
espaciales, y con cabida para modificaciones, tanto del sistema de control, como de la
configuración mecánica. La realización de una simulación previa del comportamiento del
prototipo nos permitirá comprobar su comportamiento ante diferentes configuraciones de
diseño, y así poder construir el que se considere óptimo.
1.2. Objetivos
La meta de este proyecto consiste en realizar el diseño conceptual y el modelo
matemático de un ROV submarino. También se pretende programar el control manual,
interrelacionando la acción de los propulsores con los movimientos del vehículo. Se
diseñará e implementará un sistema de seguimiento autónomo de trayectorias y se
programará una salida para visualizar el comportamiento del ROV en un contexto
operacional simulado.
Para conseguir estos objetivos ha sido necesario seguir una serie de pasos que
defino a continuación y se verán con más detalle en capítulos posteriores:
o Evaluación de distintos modelos físicos y la elección del más conveniente, así
como su diseño en una herramienta de software de modelado 3D.

pág. 2
o Estudio de las ecuaciones cinemáticas y dinámicas del sólido rígido, así como las
fuerzas hidrodinámicas que sufre el vehículo en función de su forma y su
velocidad y aceleración en cada instante.
o Implementación de este modelo matemático en el programa MATLAB
incluyendo un control manual de los propulsores para la comprobación de las
ecuaciones anteriores.
o Transformación del código a un lenguaje de programación más adecuado para la
representación visual e introducción del control manual por trayectoria.
1.3. Herramientas utilizadas
Para la realización de este proyecto se han utilizado varias herramientas
informáticas, cuyo uso ha sido fundamental para alcanzar los objetivos fijados. A
continuación se indican cuáles son estas herramientas, la razón de su elección y el uso
que se ha dado de las mismas.
o Rhinoceros 5: Esta herramienta de software permite modelar en tres dimensiones
y se usa fundamentalmente para el diseño industrial y naval. Se ha elegido este
programa frente a otras opciones de modelado 3D debido a su facilidad para
importar y exportar archivos en una gran variedad de formatos, en concreto, en
nuestro caso nos ha permitido exportar los modelos en formato OBJ, compatible
con la biblioteca OSG en C++. Con este programa hemos realizado
principalmente los diferentes modelos del cuerpo del ROV, de los cuales hemos
podido obtener propiedades básicas, momentos de inercia, centro de gravedad,
volumen, etc. También se han realizados modelos de las hélices y de otros objetos
introducidos en la simulación de C++ (flechas, terreno, rocas…). Para facilitar la
modificación del modelo del cuerpo del ROV, en caso de que sea necesario,
también se han creado en esta herramienta dos programas en RhinoScript en los
que se crea el modelo a partir de dimensiones modificables en el código.
o Matlab 2013: Este programa ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con
un lenguaje de programación propio (lenguaje M), especialmente indicado para el
cálculo y manipulación de matrices. Esta capacidad para realizar operaciones con
matrices es la razón fundamental por la que utilizamos este programa para
comprobar inicialmente el modelo matemático, ya que este se basa en una
ecuación matricial. En este software hemos implantado las ecuaciones del modelo
matemático y hemos comprobado que estas producen resultados acordes a los que
cabe esperar del comportamiento de un ROV. Una vez comprobadas las
ecuaciones se intentó realizar una simulación visual del comportamiento del
vehículo, sin embargo, las limitaciones del lenguaje de programación impiden
conseguir un resultado adecuado.

pág. 3
o C++: El lenguaje de programación C++ tiene la característica de poder ser usado
en una gran variedad de aplicaciones. Aunque está orientado a la programación
de sistemas, se puede utilizar en muchos otros contextos. Para suplir las
deficiencias de la programación en MATLAB, se decidió utilizar este programa
para crear la simulación visual del ROV, ya que contamos con la biblioteca
OpenSceneGraph (OSG), especializada en este tipo de aplicaciones. Se traspasó
a C++ el código ya creado en MATLAB y se añadieron nuevas propiedades al
código, como el control de trayectoria.
Referencias: [1], [2], [3]
2. Vehículos Marinos
2.1. Definición
Un vehículo marino es todo aquel capaz de navegar sobre o bajo el agua, están
diseñados para el desplazamiento por las diferentes masas de agua que podemos encontrar
en nuestro planeta, ríos, lagos y mares, y su uso se puede remontar hasta la época
prehistórica en asentamientos de Indonesia y Australia.
Los vehículos marinos han tenido una gran importancia histórica por el
descubrimiento de nuevos territorios y el comercio entre países. En la actualidad siguen
siendo de gran importancia, para el transporte transcontinental y para la realización de
actividades marinas como la pesca. Por otro lado, se abren nuevas posibilidades gracias
al desarrollo de los vehículos autónomos, ideales para la exploración, que son capaces de
realizar mapas del lecho marino para la instalación y mantenimiento de estructuras
submarinas, así como el estudio científico de la composición del agua a diferentes
profundidades.
Referencias: [4]
2.2. Clasificación de los Vehículos Marinos
2.2.1. Vehículos Marinos sobre el agua
Los vehículos marinos superficiales son aquellos que se mueven siempre sobre la
superficie de agua, es decir, en ningún momento se encuentran totalmente sumergidos.
Existe una gran cantidad de vehículos de este tipo, con variados diseños dependientes de
su función.
Los vehículos marinos a los que más estamos acostumbrados son barcos y naves,
pero también existen otros menos convencionales como las motos de agua o hidroaviones.
Su diseño depende de la función que vayan a realizar, normalmente la cantidad de
personas o carga que vaya a contener. Para el transporte de grandes cargas a largas

pág. 4
distancias se crean grandes y alargadas naves como los transatlánticos, para el transporte
de personas y pequeñas cargas, por el contrario, se usan barcos más pequeños.
2.2.2. Vehículos submarinos
Los vehículos submarinos que pueden moverse, o se mueven exclusivamente, por
debajo del agua, es decir, se sumergen por completo dentro del agua. El ejemplo más
común de este tipo de vehículos es el submarino, es tan prominente que da nombre al
conjunto.
Los submarinos son vehículos de gran tamaño capaces de sumergirse a grandes
profundidades, gracias a un casco capaz de aguantar la presión, durante largos periodos
de tiempo. La potencia para la propulsión se obtiene en grandes submarinos con energía
nuclear, aunque submarinos más pequeños utilizan una propulsión diésel-eléctrica. Los
submarinos son utilizados sobre todo en actividades militares, tomaron parte en las dos
guerras mundiales, se utilizaron para cruzar áreas de mar controladas gracias a su difícil
detección por parte del enemigo.
Pero, aparte de los submarinos convencionales tripulados, también existen otros
vehículos que son capaces de sumergirse y realizar actividades bajo el agua, estos son los
vehículos submarinos autónomos (AUV), y los vehículos submarinos operados de forma
remota (ROV). Estos vehículos son muy diferentes a los submarinos comunes ya que, al
no necesitar ser controlados por un operario dentro del vehículo, se diseñan con un tamaño
mucho menor, lo que permite conseguir una gran maniobrabilidad. Este tipo de vehículos
son útiles en la exploración del fondo marino y el mantenimiento de estructuras
submarinas, como las dedicadas a la extracción de hidrocarburos.
Referencias: [5]
2.2.3. ROVs
El proyecto que nos ocupa se centra en un vehículo submarino operado de forma
remota, ROUV o más comúnmente ROV, así que creo necesario explicar más
detalladamente las características de este tipo de vehículos.
El acrónimo ROV representa la expresión inglesa Remotely Operated Vehicle,
que en español se puede traducir como vehículo operado de forma remota, aunque
normalmente cuando se habla de ROVs nos estamos refiriendo a vehículos que trabajan
bajo el agua, así, aunque el termino correcto sería ROUV, Remotely Operated Underwater
Vehicle, generalmente se usa simplemente ROV.
Los ROVs son vehículos submarinos muy comunes en las industrias que trabajan
con estructuras submarinas. Su característica principal es estar controlados por un
operario fuera del vehículo, en un barco o en tierra, lo que le concede gran
maniobrabilidad.

pág. 5
Un cable con flotabilidad nula está unido físicamente al ROV para transmitir la
información que manda el operario. Este cable contiene varias líneas por las que se
trasfiere la potencia eléctrica necesaria para propulsar al ROV y para hacer funcionar los
diferentes componentes, se envían las señales de datos por parte del operario y se reciben
las señales de video que obtiene el ROV en caso de tener una o varias cámaras
incorporadas.
Dentro del casco del ROV se encuentran varios componentes que permiten medir
con gran exactitud la posición y velocidad en la que se encuentra el vehículo, estos pueden
ser: magnetómetros, sensores de presión, GPS, sistemas de navegación inercial….
También existen otros instrumentos de medida que pueden ser útiles, como sonar,
medidores de temperatura, penetración de luz y claridad del agua.
La mayoría de ROVs llevan incorporado una cámara de video y linternas para
poder recibir imágenes del entorno. Además, para interaccionar con el medio, algunos
ROVs están equipados con brazos que permiten realizar operaciones bajo el agua. La
complejidad de los ROVs puede variar enormemente dependiendo de las tareas que se
quieran realizar con ellos.
Dependiendo de la capacidad de operación que tenga el vehículo, los ROVs se
pueden clasificar en tres subconjuntos:
1.- ROVs de observación: Son capaces de trasladarse hasta un lugar concreto bajo el agua
y tomar imágenes de su entorno. Se pueden utilizar para inspeccionar e identificar
problemas en estructuras submarinas.
2.- ROVs de observación con capacidad de carga: Pueden transportar pequeñas cargas,
como herramientas.
3.- ROVs de trabajo: Se usan en el mantenimiento y reparación de estructuras submarinas.
Los avances tecnológicos en el área de la electrónica han acelerado el desarrollo
de la industria de los ROVs con lo que a día de hoy existen un gran número de modelos
de ROV diferentes, capaces de realizar muy diversas tareas. La mayoría de los ROVs
actuales están dedicados a las industrias del petróleo y del gas, donde son necesarios para
la construcción, mantenimiento y reparación de líneas de tuberías, sin embargo, se está
extendiendo su uso a otras aplicaciones relacionadas con la investigación, la arqueología
y el uso militar.
Referencias: [6], [7], [8], [9]
2.2.4. ROVs y AUVs Comerciales
El hecho de que cada uno de los vehículos submarinos que se construyen en la
actualidad, se diseñan con un propósito concreto, comporta la existencia de una gran
variedad de modelos. La tarea para la que esté diseñado el vehículo determinará la carga
útil, el número y potencia de los motores de las hélices y las herramientas que portan.

pág. 6
A continuación se presentan seis diferentes modelos de vehículos submarinos, con
sus características principales.
o HERCULES
 Tipo: ROV
 Sensores: Cámaras, sensor de sonido, cámara de alta definición, sensor de
presión, sensor de temperatura, medidor de concentración de oxígeno y
medidor de salinidad.
 Herramientas: Dos brazos articulados para la manipulación de objetos.
 Utilidades: Arqueología, biología y geología.
 Número de propulsores: Seis.
 Máxima profundidad: Cuatro kilómetros.
o JASON
 Tipo: ROV

pág. 7
 Sensores: Cámara en blanco y negro, cámara de alta definición y sensor de
temperatura.
 Herramientas: “Catadores” de agua, brazo manipulador para tomar muestras
del terreno y rocas y bomba de succión para recolectar pequeños animales.
 Utilidades: Exploración e investigación científica.
 Número de propulsores: Seis.
 Máxima profundidad: Seis kilómetros y medio.
o ROPOS
 Tipo: ROV
 Sensores: Dos cámaras de video digitales, sonar y sistema de telemetría
 Herramientas: Dos brazos manipuladores, bomba de succión y cortadora.
 Utilidades: Exploración.
 Velocidad máxima: 1.3 m/s.
 Máxima profundidad: Cinco kilómetros.
o HUGIN
 Tipo: AUV
 Sensores: Cámara fija, sonar y sensor de turbulencia, sensor de metano,
compás y magnetómetro.
 Utilidades: Biología, geología y defensa.
 Velocidad máxima: 2 m/s.
 Número de propulsores: Uno

pág. 8
o PLUTO PLUS
 Tipo: AUV
 Sensores: Sonar, compás y magnetómetro.
 Utilidades: Localización y destrucción de minas submarinas.
 Velocidad máxima: 1.5 m/s.
 Número de propulsores: Tres.
o SEAOTTER

pág. 9
 Tipo: ROV
 Sensores: Sonar, GPS, compás, sensor de presión y sensor de temperatura.
 Herramientas: Brazo con garra.
 Utilidades: Inspección de construcciones sumergidas
 Número de propulsores: Cuatro.
 Máxima profundidad: Quinientos metros.
Referencias: [10], [11], [12], [13]
2.2.5. Aplicaciones de los robots submarinos
En el pasado reciente la mayoría de los robots submarinos se desarrollaron con el
objetivo de realizar trabajos relacionados con dos aplicaciones, el tendido de cables para
comunicaciones y las plataformas oceánicas de extracción de petróleo y gas. En la
actualidad, sin embargo, existen otras aplicaciones que aprovechan las particulares
características de los robots submarinos.
Los usos más habituales en la actualidad de los robots submarinos son los
siguientes:
o Investigación oceánica en las ramas de la biología y la geología
o Arqueología.
o Aplicación militar, centrada en la vigilancia, localización y neutralización o
recuperación de minas y armamento en el fondo marino.
o Localización y rescate de barcos y aviones hundidos
o Inspección y reparación de buques
o Inspección y reparación de construcciones con estructura sumergida (presas
puentes, etc.)
Referencias: [14], [15]
2.3. Particularidades de los vehículos marinos
Todos los vehículos marinos comparten ciertas particularidades que los
diferencian de los vehículos terrestres, debidas obviamente al diferente medio en el que
trabajan. A continuación voy a desarrollar las diferencias producidas por el medio que
considero más importantes: flotación, amortiguación hidrodinámica, masa añadida y
propulsión, aunque hay algunas más, como la presión, en especial para vehículos
submarinos y las perturbaciones ambientales (oleaje, viento, corrientes…).
2.3.1. Flotación
El hecho de que los vehículos marinos estén parcial o totalmente sumergidos en
una masa de agua produce una fuerza ascendente que se debe equilibrar con el peso del
vehículo para mantener su posición en el eje vertical. A su vez, para favorecer la

pág. 10
estabilidad, y para que no se creen momentos no deseados, el centro de gravedad debe
situarse en la vertical con el centro de carena (centro geométrico de la parte sumergida
del vehículo) y por debajo de este. Esta es la razón por la que los vehículos marinos se
diseñan con una gran
proporción de la masa
en la parte inferior del
vehículo, para tener el
mayor equilibrio.
En la figura 1 se pueden distinguir las fuerzas de flotación (B) y la fuerza peso
(W) alineadas según la vertical, por lo tanto sin crear momento. Además, al estar el centro
de gravedad por debajo del centro de carena, pequeñas variaciones en la inclinación del
vehículo producirán un momento corrector que tiende el vehículo a su posición inicial.
La magnitud de ese momento corrector solo depende de la suma de las fuerzas de
gravedad y flotación (B+W) y la distancia entre ellas en el plano horizontal. La ecuación
que define este momento es la siguiente:
𝑅𝑀 =
1
2
· 𝑑 · (𝐵 + 𝑊)
Si, por el contrario, el centro de gravedad se encontrara por encima del centro de
carena, el cuerpo se encontraría en un equilibrio inestable, cualquier pequeña
perturbación provocaría un momento en la dirección opuesta a la de equilibrio, este efecto
se retroalimentaría positivamente, hasta el momento del vuelco del vehículo, cuando se
alcanzaría una nueva posición de equilibrio, ahora sí, con el centro de gravedad por debajo
del centro de carena.
La fuerza de flotación se calcula aplicando el principio de Arquímedes: “Un
cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo
hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja”. Esto quiere decir que si,
por ejemplo, nos encontramos con un vehículo parcialmente sumergido en una masa de
FIGURA 1: FUERZAS DE FLOTACIÓN

pág. 11
agua, el empuje recibido por este cuerpo será en sentido ascendente y con una magnitud
igual al volumen sumergido por la densidad del agua que lo rodea. Expresado
matemáticamente:
𝐵 = − 𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 · 𝑉𝑠𝑢𝑚
El símbolo negativo es debido a la orientación de los ejes de referencia, el eje z
tiene el sentido orientado según la fuerza de la gravedad, hacia abajo, por lo tanto, la
fuerza de flotación, de sentido ascendente, tiene signo negativo.
Los submarinos son capaces de variar su flotabilidad para realizar las maniobras
de sumersión y emersión. Mediante el uso de cámaras que pueden almacenar tanto agua
como aire con tanques de aire comprimido. De esta forma se puede manipular el peso del
submarino para que sea mayor o menor que la fuerza de flotación.
Para vehículos submarinos más pequeños, el movimiento según el eje z se suele
realizar con la ayuda de propulsores, y su flotabilidad es ligeramente positiva (B>W) para
que en caso de fallo el vehículo flote a la superficie.
2.3.2. Amortiguación hidrodinámica
La amortiguación hidrodinámica se puede definir como toda fuerza contraria al
movimiento que se produce por efecto del movimiento del vehículo en el agua. Hay dos
fenómenos que pueden producir amortiguación hidrodinámica, la fuerza de arrastre y la
fricción superficial. Ambas fuerzas son proporcionales a la velocidad, de forma lineal en
flujo laminar y de forma cuadrática en flujo turbulento.
En la mayoría de los casos tratamos con flujos turbulentos y una fricción
superficial despreciable frente a la fuerza de arrastre. Para calcular esta fuerza podemos
recurrir a la ecuación de arrastre:
𝐹𝐷 =
1
2
· 𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 · 𝑣2
· 𝐶 𝐷 · 𝐴
A es el área del cuerpo sumergida en el fluido, perpendicular a la dirección de movimiento
y CD es el coeficiente de arrastre del cuerpo que dependerá de su forma.
Para minimizar esta fuerza en los vehículos marinos se intenta reducir los
términos CD, para ello se proporciona de una forma más pequeña y aerodinámica a la
parte sumergida del vehículo que se enfrenta al flujo de agua. Por este principio se diseñan
los barcos con formas alargadas y redondeadas en la parte sumergida, y con forma de
torpedo los submarinos. Este no es el caso de los ROV, ya que en ellos se busca la
maniobrabilidad en las tres direcciones espaciales y su velocidad no suele ser muy elevada
por lo que su efecto, aunque importante, no condiciona la forma del vehículo.

pág. 12
Podemos encontrar el equivalente de esta fuerza para los vehículos terrestres en la
amortiguación aerodinámica, aunque menor, debido a la baja densidad del aire, su efecto
es importante a grandes velocidades, se tiene en cuenta para el diseño de automóviles,
pero es especialmente llamativo en trenes de alta velocidad donde el diseño de la parte
frontal es esencial para alcanzar una mayor velocidad punta. Por supuesto este efecto en
vehículos aéreos, como aviones y naves espaciales, tiene gran importancia y condiciona
su forma como consecuencia.
2.3.3. Masa añadida
El concepto de masa añadida es usualmente malentendido como una cantidad
finita de fluido que arrastra el vehículo en su movimiento, formando el conjunto del
vehículo y el fluido un nuevo sistema con una masa e inercia suma de las de los cuerpos
anteriores. La masa añadida se debe entender como fuerzas y momentos inducidos por la
presión debido al movimiento armónico inducido por el fluido que es proporcional a la
velocidad del vehículo. Consecuentemente, las fuerzas y las aceleraciones de masa
añadida se opondrán al movimiento al estar 180º fuera de fase.
Referencias: [16]
2.3.4. Propulsión
La propulsión de los vehículos marinos es muy variada, y ha ido cambiando a lo
largo de la historia. Hasta que no se consiguió el perfeccionamiento del motor a vapor
por James Watt, la propulsión de vehículos marinos se realizaba, o bien con trabajo
humano, barcos a remos, o mediante el uso de las corrientes de viento, barcos a vela. La
invención del barco a vapor supuso una revolución y dio salida a una carrera tecnológica
para crear barcos más grandes y con motores más potentes.
La manera más utilizada de transformar la potencia de los motores en movimiento
del vehículo es el uso de propulsores; estos son hélices que giran unitariamente al eje del
motor y, debido a su perfil alar, crean una diferencia de presión entre la parte posterior y
anterior, empujando el agua del entorno hacia atrás, por la conservación de la cantidad de
movimiento el vehículo se mueve hacia delante.
Existen otros sistemas de propulsión menos utilizados, las ruedas de paletas se
utilizaron desde la invención del barco de vapor, a finales del siglo XVIII, hasta principios
del siglo XX. Otros sistemas de propulsión más modernos los ventiladores de aire, pero
se utilizan únicamente para vehículos especiales, como en los aerodeslizadores o los
hidrodeslizadores.
Referencias: [19]

pág. 13
3. Diseño
Para el diseño del ROV se han valorado varios modelos distintos, y entre ellos se
ha elegido el que se adapta mejor a nuestras necesidades, las cuales son: alta
maniobrabilidad, pequeño tamaño, capacidad de carga de la instrumentación y fácil
fabricación.
En este proyecto no se va a profundizar en el diseño de detalle, debido a la
limitación del tiempo disponible para la realización del mismo. El diseño de detalle del
ROV, así como el proceso de construcción del mismo, puede ser por lo tanto considerado
línea futura de desarrollo. Además, gracias a la versatilidad de los programas
desarrollados, se pueden introducir cambios sustanciales en los parámetros de diseño
(materiales utilizados, distancia del centro de carena a los motores, tamaño del casco…).
Las bases iniciales del diseño fueron las de un ROV en forma de cubo, con seis
brazos donde se colocarían las hélices que permitieran el desplazamiento y el giro en las
tres dimensiones espaciales.
Toda la instrumentación se ubicará dentro del cubo, siendo este una caja estanca
con la posibilidad de abrirse para acceder a dicha instrumentación. Los brazos estarán
unidos a la caja, ya sea por tornillos, soldadura u otro tipo de unión, y debe ser posible la
conexión del cuerpo del ROV con los motores a través de los brazos. Para la sujeción de
los motores es posible que sea necesario además otro conjunto de brazos adicionales.
También será necesaria la conexión del ROV con el exterior a través de un cable de
flotabilidad nula.
En el diseño general solo contemplaremos el diseño de la caja y los brazos de las
hélices, ya que son los que nos definen los parámetros que serán necesarios más tarde en
el modelado del comportamiento del ROV (peso, volumen, distancia del centro de carena
a los motores, perfil hidrodinámico…).
Se decidió utilizar un cubo como el cuerpo del ROV por su capacidad para generar
un espacio donde colocar los componentes electrónicos, aunque esta forma tiene menor
integridad estructural que otras formas simples como el cilindro o la esfera, esta solución
permite crear un espacio accesible y resistente. Esta forma de cubo puede adquirirse con
una cámara estanca que sea ligera, modular y resistente a las condiciones ambientales a
las que va a estar sometida.
3.1. Modelos
A continuación expondré los tres modelos contemplados durante el proyecto y
que fueron diseñados con el programa Rhinoceros.

pág. 14
3.1.1. Modelo 1
FIGURA 2: VISTA TRIDIMENSIONAL Y FRONTAL DEL MODELO 1
Inicialmente se propuso un modelo con una caja estanca de 200 mm de lado y 10
mm de grosor, para los brazos se eligió un diseño complejo con una estructura rígida y
pesada, por ello, se decidió cambiar la forma de los brazos con un diseño más sencillo.
Sin embargo, el resto de parámetros del modelo, el tamaño de la caja, la distancia entre
ejes y la posición de las hélices se mantienen en los modelos posteriores.
3.1.2. Modelo 2
Para aligerar el peso de los brazos se propuso un diseño con varillas de
aluminio, manteniendo la rigidez del conjunto y reduciendo el peso. En este caso nos
encontramos con el problema de como introducir los cables que conectan los motores.
Las varillas son demasiado finas para poder pasar un cable por dentro de ellas, y que el
cable pase por el exterior es una no es una opción muy segura, aparte de ser antiestético.
Por estas razones se decidió descartar este modelo.

pág. 15
Sin embargo, se decidió calcular los parámetros físicos de este modelo para
comenzar con la programación. En la siguiente tabla se presentan los datos geométricos
y físicos necesarios para el cálculo de los parámetros.
Lado Caja (mm) 200
Espesor Caja (mm) 10
Densidad Caja (kg/m3) 1900
Diámetro varillas (mm) 8
Diámetro Exterior Cilindro Hueco (mm) 80
Altura Cilindro Hueco (mm) 50
Espesor Cilindro Hueco (mm) 5
Densidad brazos (kg/m3) 2500
Masas auxiliares (kg) 2.5
Distancia Eje Hélice a Centro de Carena (mm) 190
TABLA 1: DATOS DEL MODELO 2
Las masas auxiliares que se refieren en la tabla corresponden a las masas tanto de
los componentes electrónicos que va a llevar instalado el ROV, como pequeños pesos
colocados dentro de la caja del ROV que cumplen varios propósitos que explicaremos
más adelante.
Para calcular el empuje, un dato esencial, es necesario conocer la densidad del
agua en el medio en el que va a trabajar el vehículo. Aunque normalmente la densidad
del agua se toma como 1000 kg/m3
, al trabajar en agua salada, que es donde se desarrollan
casi por completo todas las actividades que requieren el uso de ROVs, la densidad
utilizada para los cálculos ha sido de 1030 kg/m3
, ligeramente superior a la normal.
Con los datos anteriores se consiguen los parámetros físicos del modelo. Estos
están presentados en la siguiente tabla.
Masa (kg) 8.804
Empuje (N) 86.72
Peso (N) 86.36
Centro de Gravedad
CDGx (mm) 0.09676
CDGy (mm) 0.5806
CDGz (mm) 23.30

pág. 16
Momentos de Inercia Principales
Ix (kg · m2) 0.1075
Iy (kg · m2) 0.1075
Iz (kg · m2) 0.09144
TABLA 2: RESULTADOS DEL MODELO 2
Estos datos se han calculado a través de una aplicación de Rhinoceros llamada
RhinoScript que permite dibujar y realizar cálculos de forma automatizada, esto significa
que se pueden modificar fácilmente los parámetros físicos a partir de los datos
geométricos.
En la tabla se puede observar que el empuje es ligeramente superior al peso, esto
ejerce una fuerza hacia arriba de 0.36 N o 0.4% del peso. Esta semejanza entre las fuerzas
no es casual, evidentemente se ha diseñado el modelo e introducido las masas auxiliares
necesarias para que esto se cumpla.
Otro dato importante que se aprecia en esta tabla es el centro de gravedad, el cual
se encuentra 23.3 mm por debajo del centro de carena, el centro geométrico. Esto se ha
conseguido colocando los pesos añadidos en la cara inferior de la caja, a 80 mm del centro
de carena. La posición del centro de gravedad según los ejes X e Y es muy pequeña,
inferior a un milímetro, por lo que podemos considerar al centro de gravedad en la vertical
del centro de carena, lo que mantiene al vehículo recto de forma natural.
Los momentos de inercia principales son muy similares debido al carácter
simétrico del vehículo, la inercia según el eje Z es algo inferior debido a que los pesos
añadidos se han colocado centrados en ese eje y por lo tanto no crean momento según esa
componente. No se han incluido los productos de inercia cruzados (Ixy, Ixz, Iyz) ya que
al ser la geometría prácticamente simétrica, estos son casi nulos, y no se han tenido en
cuenta a la hora de hacer los cálculos.
3.1.3. Modelo 3

pág. 17
Para solucionar el problema de la conexión de los cables de los motores, se optó
finalmente por un único cilindro hueco en cada brazo que conectara la caja con el difusor
que cubre la hélice. De esta forma se reduce aún más el peso y la rigidez de los brazos, se
llegó a la conclusión de que no era necesario proporcionar tanta rigidez a los brazos ya
que no van a estar sometidos a grandes fuerzas. Otra ventaja de este modelo es que reduce
la resistencia hidrodinámica, ya que el área del perfil perpendicular al flujo se reduce
considerablemente.
Las dimensiones de este modelo son muy similares al anterior, pero en la siguiente
tabla se pueden apreciar algunas diferencias.
Lado Caja (mm) 200
Diámetro varilla (mm) 20
Diámetro Exterior Cilindro Hueco (mm) 80
Altura Cilindro Hueco (mm) 50
Densidad brazos (kg/m3) 2500
Masas auxiliares (kg) 2.5
Con estos datos, y a partir del programa de Rhinoceros se pueden calcular los
parámetros fundamentales del modelo, utilizando como en el modelo anterior una
densidad del agua de 1030 kg/m3
.
Masa (kg) 8.715
Empuje (N) 86.37
Peso (N) 85.49
Centro de Gravedad
CDGx (mm) 0.9775
CDGy (mm) 0.9774
CDGz (mm) 23.047
Ix (kg · m2) 0.1058
Iy (kg · m2) 0.1058

pág. 18
Iz (kg · m2) 0.08984
Si comparamos estos datos con la tabla equivalente del modelo anterior,
observamos que se reduce ligeramente el empuje, al reducirse el volumen de los brazos,
pero se reduce más aún el peso, al ser el material de los brazos más denso que el agua.
Esto implica que la flotabilidad no solo sigue siendo positiva, sino que aumenta respecto
al modelo anterior. En concreto, la fuerza de la flotabilidad, el empuje menos el peso, es
ahora de 0.88 N y en relación al peso de 1.03%. Este dato es más del doble que en el
modelo anterior pero aún es bastante bajo, por lo que no consideramos necesario aumentar
los pesos añadidos.
El centro de gravedad se mantiene prácticamente en la vertical del centro de carena
y por debajo de este, por lo que no producirá problemas de estabilidad. Los momentos de
inercia, por su parte, se reducen ligeramente respecto al modelo 2, como es natural al
reducirse el peso.
3.1.4. Modelo 4
Durante el desarrollo del proyecto se decidió utilizar un modelo específico de
hélice-motor, concretamente el modelo T-100 diseñado por Blue Robotics. Por ello, en
este modelo se ha incluido el diseño 3D de los motores así como de las sujeciones, ambos
proporcionados por el fabricante. Se puede observar en este modelo las hélices son más
grandes, de 80 mm a 100 mm, y están menos separadas del cuerpo, la distancia de los ejes
de las hélices al centro de carena pasa de 190 mm a 155 mm. Esta reducción de distancia
supone generar un menor momento durante los movimientos de giro, pero se estima que
no será un problema ya que en las simulaciones el vehículo se comporta de manera similar
con estos cambios.
Las dimensiones de este modelo son muy similares al anterior, pero en la siguiente
tabla se pueden apreciar algunas diferencias.

pág. 19
Lado Caja (mm) 200
Peso propulsor (kg) 0.378
Diámetro Exterior propulsor (mm) 100
Anchura Cilindro Hueco (mm) 45
Densidad propulsor (kg/m3) 1845
Masas auxiliares (kg) 3
Con estos datos, y a partir del programa de Rhinoceros se pueden calcular los
parámetros fundamentales del modelo, utilizando como en el modelo anterior una
densidad del agua de 1030 kg/m3
.
Masa (kg) 9.387
Empuje (N) 93.25
Peso (N) 92.09
Centro de Gravedad
CDGx (mm) 1.478
CDGy (mm) 1.478
CDGz (mm) 28.76
Ix (kg · m2) 0.10212
Iy (kg · m2) 0.10212
Iz (kg · m2) 0.07782
Si comparamos estos datos con la tabla equivalente del modelo anterior,
observamos que aumenta tanto el empuje como el peso, al aumentar el volumen de los
brazos, ha aumentado el empuje, y hemos tenido que aumentar el peso de las masas
auxiliares para equilibrar las fuerzas. Esto implica que la flotabilidad sigue siendo
positiva, con una pequeña diferencia entre ambas. En concreto, la fuerza de la flotabilidad,
el empuje menos el peso, es ahora de 1.17 N y en relación al peso de 1.27%. Este dato
está dentro de los límites normales para este tipo de vehículos.

pág. 20
El centro de gravedad se mantiene prácticamente en la vertical del centro de carena
y por debajo de este, por lo que no producirá problemas de estabilidad, sin embargo, para
obtener un equilibrio perfecto se pueden distribuir los pesos añadidos en diferentes puntos
del ROV para compensar este efecto. Los momentos de inercia, por su parte, se reducen
ligeramente respecto al modelo 3, debido a dos efectos opuestos, la reducción de la
distancia entre los ejes de las hélices y el centro de carena disminuye los momentos de
inercia, mientras que el aumento de los pesos auxiliares incrementa los momentos de
inercia en las direcciones X e Y, ya que los pesos se han supuesto inicialmente colocados
en la línea del eje Z.
Este modelo es la mejor aproximación que tenemos actualmente de cómo va a ser
el vehículo una vez fabricado. Desafortunadamente, no podemos incluir este modelo 3D
en la visualización de la simulación, ya que, la inclusión de los modelos 3D de los
propulsores T-100 supone una carga, en términos de procesamiento de información,
inasumible para nuestro programa de C++ (El archivo .obj del modelo pesa 27 MB
comprimiéndolo lo máximo posible). Como solución, se ha decidido utilizar en la
simulación un modelo 3D simplificado basado en el modelo 4, que podemos ver en la
siguiente figura.
FIGURA 6: MODELO 4 SIMPLIFICADO
Todos los datos necesarios para calcular el comportamiento del vehículo que se
incluirán en el programa serán los calculados anteriormente para el modelo 4, es decir,
con las propiedades físicas de los propulsores reales.
Referencias: [20]
3.2. Posición de las hélices
Un factor muy importante a la hora de diseñar un ROV es tener claro cómo se va
a mover y que propulsores han de actuar en cada caso. En nuestro modelo disponemos de
seis hélices, distribuidas en paralelo a las caras del cubo que hace de cuerpo del ROV.

pág. 21
Para poder definir con mayor claridad la posición de estas hélices es necesario
introducir un sistema de coordenadas cartesianas local, solidario al vehículo. Este sistema
de coordenadas tiene como origen el centro de carena, es decir, el centro del cubo, y los
ejes X, Y, Z perpendiculares a las caras del
mismo. La dirección del eje X será la dirección
de avance, con sentido positivo en la dirección de
la cara anterior del cubo, en lenguaje de
navegación, la proa. La dirección del eje Y será
la dirección de deriva, con sentido positivo en la
cara derecha si se mira hacia proa, el lado de
estribor. Por último, la dirección del eje Z es la
dirección vertical o de arfada, con sentido en la
dirección de la cara inferior del cubo. Este último
eje puede producir confusión, ya que no es muy
usual que el eje Z apunte hacia abajo, suele
apuntar hacia arriba, pero en la práctica es muy útil tener este sistema de coordenadas ya
que es muy similar al sistema global, el cual mide la profundidad positiva desde la
superficie del mar, por lo que el eje Z apunta hacia abajo.
Una vez definido el sistema de coordenadas, podemos concretar mejor donde
queremos nuestras hélices. Queremos tener dos hélices para el movimiento en cada
dirección y que a su vez estas hélices puedan producir un giro en otra dirección.
Comenzamos con las hélices de avance, que llamaremos hélice 1 y hélice 2. Estas
hélices deben colocarse paralelas al eje X y, para que puedan producir momento, deben
encontrarse en los ejes Y o Z. Ciertamente estas hélices podrían colocarse en un punto
intermedio y no en uno de los ejes, pero para no producir momentos innecesarios y para
simplificar un poco el modelo vamos a posicionar las hélices en puntos de los ejes. Si
colocamos las hélices en el eje Y, producirán momentos según el eje Z, y podrán
modificar el ángulo de guiñada, por otro lado, si las colocamos en el eje Z, producirán
momentos según el eje Y, y modificarían el ángulo de cabeceo. Se decidió finalmente
colocar las hélices 1 y 2 en el eje Y para controlar con ellas tanto el avance como la
velocidad de guiñada, que son los movimientos más importantes del ROV. La posición
de estas hélices es por lo tanto, según el sistema de coordenadas local y en milímetros, el
siguiente:
Hélice 1: Posición (0, 155, 0) Dirección (1, 0, 0)
Hélice 2: Posición (0, -155, 0) Dirección (1, 0, 0)
Las siguientes hélices son las hélices de arfada, que controlan el movimiento
según el eje Z y que son las encargadas de vencer la fuerza de flotación, las llamaremos
hélice 3 y hélice 4. Estas hélices deben colocarse paralelas al eje Z y, para que puedan
producir momento, deben encontrarse en los ejes X o Y. Puesto que ya hemos colocado
las hélices 1 y 2 en el eje Y, tiene sentido colocar estas en el eje X, para conservar la
simetría. Al colocar las hélices en el eje X, producirán momentos según el eje Y, y
FIGURA 7: COORDENADAS LOCALES

pág. 22
modificarán el ángulo de cabeceo. La posición de estas hélices es por lo tanto, según el
sistema de coordenadas local y en milímetros, el siguiente:
Hélice 4: Posición (-155, 0, 0) Dirección (0, 0, 1)
Es importante recordar que estas hélices ejercen una fuerza sobre el vehículo hacia
abajo, en el sentido del eje Z, como hemos visto antes, por ello la dirección es positiva.
Por último tenemos las hélices 5 y 6, que serán las encargadas de permitir el
movimiento de deriva, según el eje Y. Estas hélices se colocarán en el eje Z, ya que es el
único libre que queda y en el único en el que pueden proporcionar momentos según el eje
X, y así controlar la velocidad de balanceo. La posición de estas hélices es por lo tanto,
según el sistema de coordenadas local y en milímetros, el siguiente:
Hélice 6: Posición (0, 0, -155) Dirección (0, 1, 0)
Referencias: [16]
3.3. Pesos auxiliares
Los pesos auxiliares son pequeñas piezas con masa que se pueden distribuir en diferentes
posiciones dentro del ROV. Los motivos para colocar estos pesos son los siguientes:
Alinear el centro de carena con el centro de gravedad: Un ajuste fino del centro
de gravedad permite que el ROV se mantenga recto de forma natural, sin necesidad del
uso de los propulsores.
Modificar la flotabilidad: Es muy conveniente que el ROV mantenga una
flotabilidad positiva, que la fuerza de empuje sea mayor que el peso, sin embargo, esta
debe ser lo más pequeña posible, para así, se mantenga su posición según la vertical sin
necesidad de un excesivo uso de los propulsores.
Bajar el centro de gravedad: Para proporcionar de estabilidad al vehículo
marino, el centro de gravedad debe estar por debajo del centro de carena, al colocar pesos
por debajo del centro de carena, en la cara inferior de la caja, se desplaza el centro de
gravedad. Cuanto mayor sea la distancia vertical entre el centro de gravedad y el centro
de carena mayor serán los momentos correctores, por lo tanto mayor será la estabilidad,
sin embargo, si los momentos correctores son muy grandes, estos impedirán por completo
giros en los sentidos X e Y (balanceo y cabeceo) ya que el momento producido por los
propulsores no será capaz de contrarrestar el momento corrector si se quiere alcanzar una
posición inclinada.
Permitir la instalación de nuevos componentes: Si se quiere ir desarrollando
poco a poco las utilidades del ROV, no es adecuado diseñar el ROV para que funcione

pág. 23
únicamente en las condiciones actuales, si se quisiera añadir un componente nuevo al
ROV, y no existieran estos pesos, el peso de este componente provocaría una flotabilidad
negativa, lo que sería muy perjudicial en caso de fallo.
En el modelo que hemos elegido, el modelo 3, hemos utilizado un peso de 2 kg
que hemos situado en la cara inferior del ROV, 80 mm por debajo del centro de carena
para bajar la posición del centro de gravedad y para reducir la diferencia entre la fuerza
de empuje y el peso. No ha sido necesario colocar pesos fuera de la vertical del centro de
carena ya que al ser el modelo muy simétrico, no es necesario ajustar la posición del
centro de gravedad respecto a los ejes X e Y.
Referencias: [16], [17], [18]

pág. 24
4. Modelo matemático
Para poder simular el comportamiento que va a tener el ROV dentro del agua, es
necesario realizar un análisis matemático basado en el comportamiento estático y
dinámico de los vehículos marinos.
4.1. Sistemas de referencia
Anteriormente se ha definido el sistema de coordenadas cartesianas locales
solidario al vehículo, con el eje X apuntando hacia delante, el eje Y hacia la derecha y el
eje Z hacia abajo, a este sistema lo denominamos {B}. También existe otro sistema de
coordenadas cartesianas globales, fijo a la tierra, al que denominamos {W} y en el que el
eje X apunta hacia el norte, el eje Y hacia el este y el eje Z hacia abajo, aunque los ejes
X e Y se puede definir en otras direcciones si la situación lo requiere.
Para transformar un vector de un sistema de coordenadas a otro es necesario
utilizar una matriz de rotación. Así, un vector en coordenadas locales (PB
) que se desee
expresar en el sistema de coordenadas global (PW
) ha de multiplicarse por la matriz de
rotación que se define como:
𝑅 = [
𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜓
𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑐𝑜𝑠𝜓
−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑐𝑜𝑠𝜃
]
𝑃 𝑊
= 𝑅 · 𝑃 𝐵
Si se quiere realizar el proceso inverso basta con calcular la inversa de la matriz
de rotación, que coincide con la transpuesta.
𝑃 𝐵
= 𝑅 𝑇
· 𝑃 𝑊
Existe un problema con este sistema cuando 𝜃 = ± 𝜋/2 , ya que al alcanzar estos
valores se producen singularidades en la matriz de rotación, sin embargo, un ángulo de
cabeceo de 90º es muy difícil de alcanzar por parte del ROV y no tiene ninguna utilidad
práctica tomar esa posición. Aun así, en el programa en C++ se ha incluido una excepción
en el sistema de ecuaciones para que no se alcancen estos valores y por tanto no se
produzcan singularidades.

pág. 25
Con este método se pueden transformar los vectores de velocidad de coordenadas
locales a globales y viceversa, como se puede ver a continuación.
[
𝑥̇
𝑦̇
𝑧̇
𝜙̇
𝜃̇
𝜓̇]
= [
𝑅 0
0 𝑊
]
[
𝑢
𝑣
𝑤
𝑝
𝑞
𝑟 ]
Siendo W la matriz de rotación correspondiente para las velocidades angulares.
𝑊 = [
1 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑡𝑎𝑛𝜃
0 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑖𝑛𝜙
0 𝑠𝑖𝑛𝜙 · 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 · 𝑠𝑒𝑐𝜃
]
4.2. Ecuaciones dinámicas
Todas las fuerzas que influyen en el comportamiento dinámico del ROV se
pueden expresar en una única ecuación matricial.
𝑀𝑣̇ + 𝐶( 𝜐) 𝜐 + 𝐷( 𝜐) 𝜐 + 𝑔( 𝜂) = 𝜏
Esta ecuación matricial consta de los siguientes términos:
 M: Matriz de masas
 C(v): Matriz de Coriolis en función de la velocidad
 D(v): Matriz de resistencia hidrodinámica
 g(η): Vector de flotación función de la posición
 τ: Vector de fuerzas de propulsión
 𝑣 𝑦 𝑣̇: Vectores de velocidad y aceleración del vehículo
En los siguientes apartados explicaremos en detalle qué significa cada uno de estos
términos y cuál es su magnitud en el caso de nuestro vehículo.
Referencias: [16]
4.2.1. Matriz de masas
La matriz de masas (M) está formada por la matriz de la masa y la inercia del
vehículo (MRB), así como de la matriz de la masa virtual (MA).
𝑀 = 𝑀 𝑅𝐵 + 𝑀𝐴
La matriz MRB tiene en cuenta únicamente los efectos inerciales que produce el
sólido rígido, pero también hay que tener en cuenta en los cálculos la masa del fluido que

pág. 26
arrastra consigo el vehículo al moverse y que adquiere también cierta inercia al
desplazarse. El efecto de este fenómeno suele tener el mismo orden de magnitud que el
de la propia masa del vehículo, aunque algo inferior.
La matriz MRB tiene la siguiente estructura.
𝑀 𝑅𝐵 =
[
𝑚 0 0 0 𝑚𝑧 𝐺 −𝑚𝑦 𝐺
0 𝑚 0 −𝑚𝑧 𝐺 0 𝑚𝑥 𝐺
0 0 𝑚 𝑚𝑦 𝐺 −𝑚𝑥 𝐺 0
0 −𝑚𝑧 𝐺 𝑚𝑦 𝐺 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧
𝑚𝑧 𝐺 0 −𝑚𝑥 𝐺 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧
−𝑚𝑦 𝐺 𝑚𝑥 𝐺 0 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 ]
En nuestro caso, el vehículo es simétrico, por lo que los productos de inercia
cruzados (Ixy, Ixz, Iyz) son nulos. La posición del centro de gravedad según X e Y
también se podrían despreciar, al ser estos casi nulos, y al ser el objetivo del diseño que
sean nulos, pero se ha decidido no despreciar estos datos en el programa de C++ para
dotar de mayor generalidad al modelo, ya que incluirlos no conlleva mayor complejidad
en el cálculo.
Si introducimos los datos que se obtuvieron anteriormente en la tabla 4, y
despreciamos los productos de inercia y la posición del centro de gravedad según X e Y,
ya que son despreciables, obtenemos la siguiente matriz.
𝑀 𝑅𝐵 =
[
9.387 0 0 0 0.27 0
0 9.387 0 −0.27 0 0
0 0 9.387 0 0 0
0 −0.27 0 0.1021 0 0
0.27 0 0 0 0.1021 0
0 0 0 0 0 0.07782]
La matriz MA se compone con una serie de coeficientes que dependen de la masa
de fluido que arrastra el vehículo en su movimiento debido a su forma y que, al estar el
vehículo completamente sumergido, podemos considerar constantes.
La matriz de masa virtual tiene la siguiente forma.

pág. 27
𝑀𝐴 = −
[
𝑋 𝑢̇ 𝑋 𝑣̇ 𝑋 𝑤̇ 𝑋 𝑝̇ 𝑋 𝑞̇ 𝑋𝑟̇
𝑌𝑢̇ 𝑌𝑣̇ 𝑌𝑤̇ 𝑌𝑝̇ 𝑌𝑞̇ 𝑌𝑟̇
𝑍 𝑢̇ 𝑍 𝑣̇ 𝑍 𝑤̇ 𝑍 𝑝̇ 𝑍 𝑞̇ 𝑍 𝑟̇
𝐾 𝑢̇ 𝐾𝑣̇ 𝐾 𝑤̇ 𝐾 𝑝̇ 𝐾𝑞̇ 𝐾𝑟̇
𝑀 𝑢̇ 𝑀𝑣̇ 𝑀 𝑤̇ 𝑀 𝑝̇ 𝑀 𝑞̇ 𝑀𝑟̇
𝑁 𝑢̇ 𝑁𝑣̇ 𝑁 𝑤̇ 𝑁𝑝̇ 𝑁𝑞̇ 𝑁𝑟̇ ]
Al tener el vehículo tres planos de simetría se puede despreciar la contribución en
el comportamiento del vehículo de los elementos fuera de la diagonal de la matriz por lo
que se puede simplificar enormemente.
𝑀𝐴 = −
[
𝑋 𝑢̇ 0 0 0 0 0
0 𝑌𝑣̇ 0 0 0 0
0 0 𝑍 𝑤̇ 0 0 0
0 0 0 𝐾𝑝̇ 0 0
0 0 0 0 𝑀 𝑞̇ 0
0 0 0 0 0 𝑁𝑟̇ ]
Hallar los miembros de la diagonal no es tarea fácil, ya que se suelen obtener de
manera experimental, y nosotros no podemos realizar estas pruebas todavía ya que el
modelo no se ha construido aún. Sin embargo, podemos realizar algunas aproximaciones
sobre la forma del modelo que nos permiten calcular estos términos basándonos en
experimentos realizados sobre sólidos con formas simples.
Así, suponiendo que nuestro vehículo tiene forma de elipsoide, y teniendo en
cuenta la simetría en las tres direcciones espaciales, podemos calcular los coeficientes de
la siguiente forma.
La aproximación de un vehículo con forma de cubo a un elipsoide puede parecer
algo burda, pero se aproxima bastante en los ejes Y e Z, de los cuales extrapolamos los
resultados para el eje X. En cualquier caso, el mejor método de cálculo de estas
componentes es de manera experimental, lo cual se podrá hacer una vez construido el
modelo.
Hemos escogido la distancia del cuerpo del ROV entre los extremos de dos brazos
opuestos como la dimensión del elipsoide en la dirección de avance, por lo que el semieje
principal del elipsoide será de 0.2 metros. Para el semieje secundario se ha escogido la
dimensión de la caja, de lado L=0.2 m por lo que el semieje tiene una dimensión de 0.1
metros.
𝑎 = 0.2 𝑚 𝑏 = 0.1 𝑚

pág. 28
𝑌𝑣̇ = 𝑍 𝑤̇ =
𝛽0
2 − 𝛽0
· 𝑚
𝑀 𝑞̇ = 𝑁𝑟̇ = −
1
5
·
( 𝑏2
− 𝑎2)2
· ( 𝛼0 − 𝛽0)
2 · ( 𝑏2 − 𝑎2) + ( 𝑏2 + 𝑎2) · ( 𝛽0 − 𝛼0)
· 𝑚
Siendo 𝛼0 𝑦 𝛽0
𝛼0 =
2 · (1 − 𝑒2
)
𝑒3
· (
1
2
· ln (
1 + 𝑒
1 − 𝑒
) − 𝑒) = 0.4624
𝛽0 =
1
𝑒2
−
1 − 𝑒2
2 · 𝑒3
· ln (
1 + 𝑒
1 − 𝑒
) = 0.7688
Con
𝑒 = 1 − (
𝑏
𝑎
)
2
= 0.75
Introduciendo los datos, obtenemos los siguientes resultados.
𝑌𝑣̇ = 𝑍 𝑤̇ = −5.861 𝑘𝑔
𝑀 𝑞̇ = 𝑁𝑟̇ = −0.01170 𝑘𝑔 · 𝑚2
Debido al carácter simétrico del vehículo, podemos inducir los valores de los
componentes 𝑋 𝑢̇ 𝑦 𝐾𝑝̇ ya que para estos términos no es válida la aproximación del
elipsoide.
𝑋 𝑢̇ = 𝑌𝑣̇ = 𝑍 𝑤̇ = −5.861 𝑘𝑔
𝐾𝑝̇ = 𝑀 𝑞̇ = 𝑁𝑟̇ = −0.01170 𝑘𝑔 · 𝑚2
Los resultados obtenidos son coherentes, ya que suponen entre el 10% y el 70%
de la magnitud de la masa del vehículo, lo que coincide con otros estudios realizados en
vehículos autónomos.
Introduciendo los datos de los parámetros en la Matriz de masa virtual, esta
quedaría de la siguiente forma.

pág. 29
𝑀𝐴 =
[
5.861 0 0 0 0 0
0 5.861 0 0 0 0
0 0 5.861 0 0 0
0 0 0 0.01170 0 0
0 0 0 0 0.01170 0
0 0 0 0 0 0.01170]
Ahora si sumamos las matrices MRB y MA obtenemos la matriz de masas M
𝑀 =
[
15.248 0 0 0 0.27 0
0 15.248 0 −0.27 0 0
0 0 15.248 0 0 0
0 −0.27 0 0.1138 0 0
0.27 0 0 0 0.1138 0
0 0 0 0 0 0.8952]
Referencias: [16], [22], [23], [24], [25], [26]
4.2.3. Matriz de Coriolis
La matriz de Coriolis permite tener en cuenta los efectos producidos por las
fuerzas centrípetas y la fuerza de Coriolis.
La matriz de Coriolis para un sólido rígido que se mueve a través de un fluido
ideal tiene la siguiente forma:
𝐶𝐴(𝑣) = [
03𝑥3 −𝑆(𝐴11 · 𝑣1 + 𝐴12 · 𝑣2)
−𝑆(𝐴11 · 𝑣1 + 𝐴12 · 𝑣2) −𝑆(𝐴21 · 𝑣1 + 𝐴22 · 𝑣2)
]
Siendo las matrices A submatrices 3x3 de la matriz de masas:
𝑀 = [
𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22
]
Siendo los vectores v1 y v2 los vectores 3x1 de posición lineal y angular:
𝑣 =
[
𝑢
𝑣
𝑤
𝑝
𝑞
𝑟 ]
= [
𝑣1
𝑣2
]
Y finalmente siendo S la transformada de un vector lineal tal que:

pág. 30
𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
𝑆(𝑎) = [
0 −𝑎3 𝑎2
𝑎3 0 −𝑎1
−𝑎2 𝑎1 0
]
En este caso obtendremos una matriz dependiente de la velocidad en cada instante.
A continuación, vamos a resolver la matriz de forma genérica, suponiendo una
matriz de masas y unas velocidades dadas:
𝑀 =
[
𝑚11 𝑚12 𝑚13 𝑚14 𝑚15 𝑚16
𝑚21 𝑚22 𝑚23 𝑚24 𝑚25 𝑚26
𝑚31 𝑚32 𝑚33 𝑚34 𝑚35 𝑚36
𝑚41 𝑚42 𝑚43 𝑚44 𝑚45 𝑚46
𝑚51 𝑚52 𝑚53 𝑚54 𝑚55 𝑚56
𝑚61 𝑚62 𝑚63 𝑚64 𝑚65 𝑚66]
𝒗 =
[
𝑢
𝑣
𝑤
𝑝
𝑞
𝑟]
𝐶𝐴(𝑣) =
[
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 −𝑎3 𝑎2
𝑎3 0 −𝑎1
−𝑎2 𝑎1 0
0 −𝑎3 𝑎2
𝑎3 0 −𝑎1
−𝑎2 𝑎1 0
0 −𝑏3 𝑏2
𝑏3 0 −𝑏1
−𝑏2 𝑏1 0 ]
Siendo:
𝑎1 = 𝑚11 · 𝑢 + 𝑚12 · 𝑣 + 𝑚13 · 𝑤 + 𝑚14 · 𝑝 + 𝑚15 · 𝑞 + 𝑚16 · 𝑟
𝑎2 = 𝑚21 · 𝑢 + 𝑚22 · 𝑣 + 𝑚23 · 𝑤 + 𝑚24 · 𝑝 + 𝑚25 · 𝑞 + 𝑚26 · 𝑟
𝑎3 = 𝑚31 · 𝑢 + 𝑚32 · 𝑣 + 𝑚33 · 𝑤 + 𝑚34 · 𝑝 + 𝑚35 · 𝑞 + 𝑚36 · 𝑟
𝑏1 = 𝑚41 · 𝑢 + 𝑚42 · 𝑣 + 𝑚43 · 𝑤 + 𝑚44 · 𝑝 + 𝑚45 · 𝑞 + 𝑚46 · 𝑟
𝑏2 = 𝑚51 · 𝑢 + 𝑚52 · 𝑣 + 𝑚53 · 𝑤 + 𝑚54 · 𝑝 + 𝑚55 · 𝑞 + 𝑚56 · 𝑟
𝑏3 = 𝑚61 · 𝑢 + 𝑚62 · 𝑣 + 𝑚63 · 𝑤 + 𝑚64 · 𝑝 + 𝑚65 · 𝑞 + 𝑚66 · 𝑟
Referencias: [16]

pág. 31
4.2.3. Matriz de resistencia hidrodinámica
La resistencia hidrodinámica de los vehículos submarinos suele ser no lineal y
acoplada, y nuestro caso no es diferente. Al tratarse de un vehículo de forma cúbica, los
términos no acoplados son iguales en las tres direcciones espaciales, sin embargo,
también existen términos cruzados, ya que, la cara que se enfrenta al flujo, cambia de
forma drástica si la dirección del vehículo tiene varias componentes en las coordenadas
locales, es decir, no se desplaza de forma recta sino en diagonal, desde el punto de vista
del vehículo.
Se ha investigado arduamente tanto por mi parte como por la de mi director de
proyecto para encontrar algún método para el cálculo teórico de términos acoplados para
una forma cúbica, desafortunadamente, no ha sido posible encontrar referencias en este
aspecto. Se ha decidido finalmente, ignorar estos términos, suponiendo que todos los
movimientos que realiza el ROV tienen una dirección predominante que coincide con una
de las coordenadas locales. Al despreciar los términos acoplados, en la matriz de
resistencia hidrodinámica solo quedan los términos de la diagonal.
Por otra parte, la baja velocidad nos permite despreciar los términos de tercer
orden, aquellos que multiplican a la velocidad al cubo, ya que este término se hace muy
pequeño. Por ello, solo vamos a considerar los términos lineales y cuadráticos en nuestra
matriz. Una vez despreciado los términos cruzados y los términos de tercer orden o
superior, la matriz de resistencia hidrodinámica tiene la siguiente forma.
𝐷(𝑣) = −
[
𝑋 𝑢 + 𝑋 𝑢|𝑢||𝑢| 0 0 0 0 0
0 𝑌𝑣 + 𝑌𝑣|𝑣||𝑣| 0 0 0 0
0 0 𝑍 𝑤 + 𝑍 𝑤|𝑤||𝑤| 0 0 0
0 0 0 𝐾𝑝 + 𝐾𝑝|𝑝||𝑝| 0 0
0 0 0 0 𝑀 𝑞 + 𝑀 𝑞|𝑞||𝑞| 0
0 0 0 0 0 𝑁𝑟 + 𝑁𝑟|𝑟||𝑟|]
La principal causa de resistencia hidrodinámica es el derramamiento de vórtice,
“Vortex Shedding”, el cual tiene únicamente componente cuadrática, pero también
consideraremos cierta componente lineal, basada en una fracción de la componente
cuadrática, para simular el comportamiento a velocidades muy pequeñas.
Para hallar las componentes cuadráticas, necesitamos conocer primero el
coeficiente de resistencia según el área perpendicular al flujo, debido a la simetría del
vehículo, esta es la misma según los tres ejes de coordenadas por lo que las componentes
de la matriz serán las mismas.
Podemos simplificar nuestro vehículo como un cubo, ya que los brazos son
despreciables, y no ofrecen casi resistencia. En el caso de un flujo perpendicular a una de
las caras del cubo, este flujo se enfrenta a una superficie de forma cuadrada, cuyo
coeficiente de resistencia hidrodinámica es igual a 1.

pág. 32
Con este dato se pueden obtener los parámetros cuadráticos de la matriz, a partir de la
siguiente fórmula.
𝑋 𝑢|𝑢| = 𝑌𝑣|𝑣| = 𝑍 𝑤|𝑤| =
1
2
· 𝜌 · 𝐶 𝐷 · 𝐴
Siendo ρ la densidad del agua, CD el coeficiente de resistencia que hemos
calculado antes y A el área de la superficie del vehículo que se enfrenta al flujo.
𝑋 𝑢|𝑢| = 𝑌𝑣|𝑣| = 𝑍 𝑤|𝑤| =
1
2
· 1030 · 1 · 0.22
= 20.6 𝑘𝑔/𝑚
El resultado obtenido tiene signo positivo, lo cual es lógico ya que la resistencia
hidrodinámica es una fuerza que se opone al movimiento y al introducir este término en
la matriz D(v) se vuelve negativo, al estar multiplicado por el valor absoluto de la
velocidad y otra vez por la velocidad, la fuerza correspondiente tiene signo contrario al
de la velocidad, como cabía de esperar.
Los términos correspondientes al movimiento angular son mucho menores que los
lineales, se pueden aproximar con la siguiente fórmula:
𝐾𝑝|𝑝| = 𝑀 𝑞|𝑞| = 𝑁𝑟|𝑟| =
1
2
· 𝜌 · 𝐶 𝐷 · 𝐴 · 𝑅
𝐾𝑝|𝑝| = 𝑀 𝑞|𝑞| = 𝑁𝑟|𝑟| =
1
2
· 1030 · 1 · 0.22
· 0.155 = 3.19 𝑘𝑔/𝑚
Estos parámetros son probablemente algo menores que los reales, ya que no
hemos tenido en cuenta la influencia de los brazos y hemos considerado el cuerpo como
un cubo. Sería interesante por lo tanto realizar pruebas experimentales que determinen
estos parámetros de manera más precisa una vez construido el modelo.
Referencias: [16], [21], [22], [24], [25]
4.2.4. Vector de flotación
Existen dos fuerzas que intervienen en la flotación del vehículo, la fuerza de la
gravedad (W), que actúa sobre el centro de gravedad, y la fuerza de flotación (B), que
actúa sobre el centro de carena. La magnitud de estas fuerzas es fácil de calcular, y su
dirección y sentido en coordenadas locales dependerá de la posición angular del vehículo.
Para calcular la fuerza gravitatoria solo es necesario conocer la masa del vehículo
y la aceleración de la gravedad.
𝑊 = 𝑚 · 𝑔 = 8.387 · 9.81 = 92.09 𝑁

pág. 33
Para calcular la fuerza de flotación es necesario conocer el volumen de agua que
desplaza el vehículo, así como la densidad del agua y la aceleración de la gravedad. El
dato del volumen ya fue calculado en el programa de Rhinoceros.
𝐵 = −𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 · 𝑉 · 𝑔 = −1030 · 9.2317 · 10−3
· 9.81 = −93.25 𝑁
El sentido negativo de la fuerza de flotación es debido a que el agua empuja el
vehículo hacia arriba, dirección contraria al eje Z según nuestro sistema de coordenadas
globales.
Ahora bien, sabemos la dirección de estas fuerzas en coordenadas globales,
expresado como vectores sería:
𝑓 𝑊 = [
0
0
𝑊
] 𝑓𝐵 = [
0
0
𝐵
]
Como consideramos el centro de carena como el origen de coordenadas de nuestro
sistema local, la fuerza de flotación no produce momentos, pero si lo hará la fuerza
gravitatoria, por lo tanto, teniendo en cuenta los puntos de aplicación de las fuerza
podemos calcular el vector de fuerzas y momentos de flotación en coordenadas globales.
Para calcular las fuerzas solo es necesario realizar la suma de la fuerza gravitatoria
y la fuerza de flotación:
𝑔1
𝑊
= 𝑓 𝑊 + 𝑓𝐵 = [
0
0
𝑊
] + [
0
0
𝐵
] = [
0
0
𝑊 + 𝐵
]
Para calcular los momentos, la ecuación necesaria es la siguiente:
𝑔2
𝑊
= 𝑟𝐺 × 𝑓 𝑊 = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝑥 𝐺 𝑦 𝐺 𝑧 𝐺
0 0 𝑊
| = [
−𝑦 𝐺 · 𝑊
𝑥 𝐺 · 𝑊
0
]
Así, el vector de flotación, compuesto por los vectores g1 y g2 es el siguiente:
𝑔 𝑤
=
[
0
0
𝑊 + 𝐵
−𝑦 𝐺 · 𝑊
𝑥 𝐺 · 𝑊
0 ]
Para obtener ahora el vector en coordenadas locales necesitamos realizar la
transformación de las fuerzas de gravedad y flotación multiplicándolas por la transpuesta
de la matriz de rotación.

pág. 34
𝑔1
𝐵
= (𝑓 𝑊 + 𝑓𝐵) 𝐵
= 𝑅 𝑇
· (𝑓 𝑊 + 𝑓𝐵) 𝑊
= [
−(𝑊 + 𝐵) · 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
(𝑊 + 𝐵) · cos(𝜃) · 𝑠𝑒𝑛(𝜙)
(𝑊 + 𝐵) · cos(𝜃) · cos(𝜙)
]
𝑔2
𝐵
= 𝑟𝐺 × (𝑓 𝑊) 𝐵
= |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝑥 𝐺 𝑦 𝐺 𝑧 𝐺
−𝑊 · 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑊 · cos(𝜃) · 𝑠𝑒𝑛(𝜙) 𝑊 · cos(𝜃) · cos(𝜙)
|
𝑔2
𝐵
= [
𝑦 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · cos(𝜙) − 𝑧 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · 𝑠𝑒𝑛(𝜙)
−𝑧 𝐺 · 𝑊 · sen(𝜃) − 𝑥 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · 𝑐𝑜𝑠(𝜙)
𝑥 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · sen(𝜙) + 𝑦 𝐺 · 𝑊 · sen(𝜃)
]
Realizando los cálculos pertinentes se obtiene el siguiente vector de flotación,
ahora sí en coordenadas locales.
𝑔 𝐵
=
[
−(𝑊 + 𝐵) · 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
(𝑊 + 𝐵) · cos(𝜃) · 𝑠𝑒𝑛(𝜙)
(𝑊 + 𝐵) · cos(𝜃) · 𝑐𝑜𝑠(𝜙)
𝑦 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · cos(𝜙) − 𝑧 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · 𝑠𝑒𝑛(𝜙)
−𝑧 𝐺 · 𝑊 · sen(𝜃) − 𝑥 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · 𝑐𝑜𝑠(𝜙)
𝑥 𝐺 · 𝑊 · cos(𝜃) · sen(𝜙) + 𝑦 𝐺 · 𝑊 · sen(𝜃) ]
Esta matriz depende, como se puede observar, de la posición angular del vehículo,
por lo que no es constante, y será necesario conocer en cada instante la posición del ROV
para realizar el control del mismo.
4.2.5. Vector de fuerzas de propulsión
4.2.5.1. Cálculo de las fuerzas de propulsión en estado estacionario.
En el modelo inicial del vehículo, la fuerza T que ejerce cada hélice depende
cuadráticamente con la velocidad de giro de las mismas según la siguiente ecuación.
𝑇𝑖 = 𝑇𝑛𝑛 · |𝑤𝑖| · 𝑤𝑖
Donde hemos definido Tnn como el coeficiente de transformación de las hélices.
Este coeficiente depende de la forma de las hélices, su tamaño, el pitch y el número de
hojas, y tiene como unidades el kilogramo por metro, al estar expresada la velocidad
angular en radianes por segundo y la fuerza en Newtons.
En el caso del control directo de los motores, se les aplica un cierto voltaje que se
transforma en velocidad de giro para las hélices, por lo que también podríamos obtener
la fuerza a partir del voltaje, sin embargo, en nuestra simulación, para el control directo
introduciremos las velocidades de giro deseadas en cada motor para controlar el ROV.

pág. 35
Vamos a suponer que todas las hélices son iguales, y que actúan de igual forma
en sentido positivo y negativo, normalmente cuando las hélices giran en reverso producen
una fuerza menor. Con estas simplificaciones el coeficiente Tnn se mantiene constante e
igual para las seis hélices.
Para hallar el valor de Tnn hemos recurrido a la página de características de un
propulsor comercial, concretamente del propulsor T-100 perteneciente a la compañía
Blue Robotics, del cual obtenemos una fuerza de 21.4 Newtons para la velocidad máxima,
que es aproximadamente de 3800 rpm. Con estos datos podemos calcular el factor Tnn.
𝑇𝑛𝑛 =
𝐹
𝑤2
=
21.4
(3800 ·
2𝜋
60
)
2 = 1.35 · 10−4
𝑁/𝑠2
4.2.5.2. Cálculo de las fuerzas de propulsión con flujo cuasi-estacionario.
En el modelo anterior, hemos tenido en cuenta únicamente la velocidad angular
de la hélice para determinar la fuerza propulsora. Este modelo es muy sencillo, y se puede
implementar fácilmente en nuestro programa, sin embargo, existen otros modelos más
complejos, que tienen en cuenta el flujo incidente en la hélice, y que se asemejan con
mayor precisión al comportamiento real de la hélice.
La ecuación general de este modelo es la siguiente:
𝑇 = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝(𝑘1 · 𝑢 + 𝑘2 · 𝐷 · 𝑤)(𝑘1 · 𝑢 + 𝑘2 · 𝐷 · 𝑤 − 𝑢)
Donde ρ es la densidad del agua, en agua salada es de 1030 kg/m3
, Ap es el área
del flujo al pasar por la hélice, en nuestro caso, es de 0.03142 m2
, k1 y k2 son constantes
que dependen de la forma específica de la hélices y D el diámetro característico de la
hélice 76 mm.
Como podemos observar en la ecuación, ahora tenemos dos variables, la velocidad
angular de la hélice (w) y la velocidad del flujo incidente (u).
La ecuación anterior también se puede agrupar de la siguiente forma:
𝑇 = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝(𝑐1 · 𝑢2
+ 𝑐2 · 𝑢 · 𝐷 · 𝑤 + 𝑐3 · 𝐷2
· 𝑤2)
Con: 𝑐1 = 𝑘1
2
− 𝑘1 ; 𝑐2 = 2 · 𝑘2 · 𝑘1 − 𝑘2 ; 𝑐3 = 𝑘2
2
Para calcular las constantes k1 y k2 nos podemos servir de los ensayos realizados
en el propulsor T-100 de Blue Robotics, puesto que ya hemos decidido que este va a ser
el propulsor a utilizar. En el siguiente gráfico se muestran los resultados obtenidos en el
ensayo:

pág. 36
FIGURA 8: ENSAYO PROPULSOR T-100
En la gráfica se puede observar la fuerza otorgada por el propulsor en función de
la velocidad angular. Este ensayo se ha realizado en estado estacionario, es decir, sin flujo
incidente. Esto significa, que si queremos adaptar los valores k1 y k2 a la curva anterior,
solo podremos calcular el valor de k2, ya que k1 va siempre ligado a la velocidad incidente,
y en este ensayo ese término se hace cero.
Otra particularidad a destacar, es la diferencia en la fuerza aportada dependiendo
del sentido de giro, siendo significativamente menor en reversa. Se deberán por tanto
formular dos ecuaciones, una para cada sentido de la velocidad de giro.
Primeramente vamos a calcular el valor de k2 para el sentido positivo de la
velocidad angular. Con la velocidad del flujo incidente nula, se eliminan muchos términos
de la ecuación, que queda de la siguiente forma:
𝑇 = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝(𝑘2 · 𝐷 · 𝑤)(𝑘2 · 𝐷 · 𝑤) = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝 · 𝑘2
2
· 𝐷2
· 𝑤2
Si calculamos la curva T= C·w2
que pasa por los puntos de la gráfica anterior,
obtenemos:
𝐶 = 1.42889 · 10−7
𝑘𝑔𝑓
𝑟𝑝𝑚2
= 1.278 · 10−4
𝑁/𝑠2
Comparando este resultado con la ecuación general podemos calcular k2:
𝐶 = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝 · 𝑘2
2
· 𝐷2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
Kgf
rpm

pág. 37
𝑘2 = (
𝐶
2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝 · 𝐷2
)
1
2
= 0.01849 𝑠−1
De la misma forma se puede calcular C’ para velocidades angulares negativas:
𝐶′
= −9.1181 · 10−8
𝑘𝑔𝑓
𝑟𝑝𝑚2
= −8.157 · 10−5
𝑁/𝑠2
El símbolo negativo de esta constante indica el sentido negativo de la fuerza.
Utilizaremos el valor absoluto para calcular k’2 ya que, de lo contrario, nos encontramos
con resultados imaginarios. Cambiar el signo a la constante no supone un problema si
tenemos claro cuál es el sentido de la fuerza en función del sentido de giro de las hélices.
Comparando este resultado con la ecuación general podemos calcular k’2:
𝐶′ = 2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝 · 𝑘′2
2
· 𝐷2
𝑘′2 = (
𝐶′
2 · 𝜌 · 𝐴 𝑝 · 𝐷2
)
1
2
= 0.01477 𝑠−1
No tenemos ningún dato experimental que nos ayude a calcular el valor de k1, sin
embargo, hemos encontrado ecuaciones correspondientes a diferentes propulsores como
la siguiente:
FIGURA 9: ECUACIONES DE PROPULSIÓN
En esta ecuación, el pitch se refiere al avance que realiza una hélice al completar
una revolución, dependiendo esta del diámetro y el ángulo de la hélice, en nuestro caso
el pitch es de 1.9 pulgadas.

pág. 38
Utilizando la forma simplificada, podemos obtener la relación entre los términos
relacionados con la velocidad de giro al cuadrado y los términos relacionados con la
velocidad incidente por la velocidad de giro. Si comparamos esta relación con la que
existe en nuestra ecuación agrupada por términos tenemos:
𝑐3 · 𝐷2
𝑐2 · 𝐷
=
𝑘2 · 𝐷
2 · 𝑘1 − 1
≈ −7.6808 · 10^ − 3
Sustituyendo k2 obtenemos una aproximación de la constante k1 para cada sentido de la
marcha:
𝑘1 = 0.41 𝑠−1
; 𝑘1
′
= 0.43 𝑠−1
Ahora podemos sustituir todos estos coeficientes en la ecuación inicial:
𝑇 = 0.00012781 · 𝑤2
− 0.016645 · 𝑢 · 𝑤 − 15.639 · 𝑢2
𝑇′ = 0.000081557 · 𝑤2
− 0.010622 · 𝑢 · 𝑤 − 15.835 · 𝑢2
La velocidad angular de cada hélice vendrá dada por el ancho de pulso en el
controlador, como podemos observar en la siguiente gráfica.
FIGURA 10: RELACIÓN VELOCIDAD-ANCHO DE PULSO PROPULSOR T-100
En nuestro programa utilizaremos los puntos de esta curva para transformar el
ancho de pulso en velocidad de giro por interpolación.
4.2.5.3. Variaciones en la velocidad de giro.
Para simular el comportamiento de los propulsores, ya que estos no alcanzan las
velocidades que les indicamos de forma instantánea, se utilizó inicialmente una curva
hipotética de arranque que tiende a la velocidad máxima de los motores. La ecuación que
caracteriza a esta curva es la siguiente:
𝑤𝑖 = 𝑤𝑖−1 + (𝑤 𝑜 − 𝑤𝑖−1) · ℎ
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900
Velocidadhélice(rpm)
Ancho de los Pulsos del controlador (µs)
Ancho pulso controlador (µs) - Velocidad hélice (rpm)

pág. 39
En esta ecuación wi es la velocidad angular en el instante i, wi-1 es la velocidad
angular en el instante anterior, wo es la velocidad angular marcada por el controlador, a
la que tiende la curva y h es el periodo entre un instante y el siguiente, también llamado
paso, que utilizaremos en nuestro proceso iterativo.
La curva de arranque tiene una forma como la que podemos observar en la
siguiente gráfica, en la que se arranca un propulsor desde una posición estacionaria, hasta
una velocidad de dos mil revoluciones por minuto.
FIGURA 11: REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE ARRANQUE DE LOS MOTORES DESDE
PARADA HASTA 2000 RPM SEGÚN NUESTRA ECUACIÓN HIPOTÉTICA.
Se puede observar en esta gráfica como el arranque tarda unos tres segundos, en
este tiempo la diferencia entre la velocidad de giro real y la marcada es menor del 5%.
Durante el progreso de la realización de este proyecto, sin embargo, se decidió
utilizar una curva de arranque más realista, basada en los parámetros eléctricos de los
motores. Esta curva se caracteriza con las siguientes ecuaciones:
𝑉𝑟 = 𝑘 𝑏 · 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝
𝐼𝑖 =
𝑉𝑖 − 𝑉𝑟 − 𝐿𝑖 · 𝑑𝐼𝑖
𝑅𝑖
𝑀 𝑚 = 𝑘 𝑚 · 𝐼𝑖
𝑀𝑐 = 𝑇𝑛𝑛 · 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝 · |𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝|
𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝(𝑖) = 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝(𝑖−1) +
(𝑀 𝑚 − 𝑀𝑐 − 𝐷𝑣 · 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝(𝑖−1) − 𝐷𝑐 · 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑁𝑝𝑟𝑜𝑝(𝑖−1)))
𝐽𝑐 + 𝐽 𝑚
El significado de cada símbolo se puede consultar en la siguiente tabla:
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5
Velocidaddegiro(rpm)
Tiempo (s)
Arranque de un propulsor 0 - 2000 rpm
(Curva hipotética)

pág. 40
Vr Tensión del rotor
Vi Tensión de alimentación
Kb Constante de velocidad
Nprop Velocidad de giro (rad/s)
Ii Corriente del inducido
Jc Momento de Inercia de las hélices
Jm Momento de Inercia del rotor
Ri Resistencia interna
Li Inductancia del motor
Dv Par fricción viscosa
Dc Par fricción de Coulomb
Mm Par de la carga
Mc Par de las hélices
Tnn Coeficiente de fuerza de las hélices
Las constantes utilizadas para la resolución de las ecuaciones se obtuvieron a partir de los
datos de un motor real proporcionados por el fabricante. El motor utilizado ha sido el
modelo 82 890 002 del fabricante Crouzet Automation. Las constantes obtenidas fueron
las siguientes:
Fabricante Modelo Tipo Potencia (w) Jm (Kgm^2) Dv Dc Ri Li
CROUZET AUTOMATION 83 890 002 M 95 7,95E-05 0 0,025 1,4 4,62E-03
Si resolvemos estas ecuaciones para el caso del arranque de un motor desde parada
obtenemos la siguiente curva:

pág. 41
FIGURA 12: REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE ARRANQUE DE LOS MOTORES DESDE
PARADA HASTA 2000 RPM SEGÚN EL MODELO ELÉCTRICO DEL MOTOR.
Podemos observar que esta curva es muy parecida a la obtenida anteriormente en
cuanto a forma, pero es mucho más rápida, ya que alcanza el máximo en apenas un
segundo, mientras que en el modelo anterior tardaba más de tres segundos.
Se consideró la posibilidad de utilizar en nuestro programa informático la curva
hipotética, ya que es mucho más simple de implementar, y se pueden modificar ciertos
parámetros para asemejarla a la curva real de forma cuantitativa. Sin embargo, la
posibilidad de generar cualquier tipo de curva a partir únicamente de los datos eléctricos
del motor, ofrece una mayor versatilidad en caso de que se quiera cambiar el modelo del
motor.
Finalmente se decidió implementar únicamente las curvas del propulsor real T-
100, ya que los motores no son de corriente continua, no se puede adaptar la curva
eléctrica a los nuevos motores. Este estudió, sin embargo, puede ser útil en caso de que
se decida cambiar los motores actuales por unos de corriente continua.
4.2.5.4. Vectorización.
Las fuerzas de propulsión son las ejercidas por el vehículo a través de las hélices
que giran conectadas a los motores. Por lo tanto, este vector dependerá de la posición,
orientación y fuerza ejercida por estas hélices.
El vector τ se puede calcular a partir de la matriz de orientación y posición L y el
vector de fuerzas de los propulsores U.
La matriz L está formada por seis filas, para introducir el vector unitario de
orientación (u) y el vector de posición (r) de cada propulsor, y seis columnas, tantas
como el número de propulsores. De forma general una matriz L con para un número N
0
500
1000
1500
2000
2500
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Velocidaddegiro(rpm)
Tiempo (s)
Arranque de un propulsor 0 - 2000 rpm (curva real)

pág. 42
de propulsores tiene la siguiente forma. Donde ui y ri son vectores columna de
dimensión tres.
[
𝑢1 𝑢2 … 𝑢 𝑁
𝑟1 𝑟2 … 𝑟 𝑁
]
Para nuestro caso la matriz L sería la siguiente.
𝐿 =
[
1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0
0 0 𝑙 −𝑙 0 0
𝑙 −𝑙 0 0 0 0
0 0 0 0 𝑙 −𝑙]
Donde l es la distancia de los propulsores al centro de carena (l= 190 mm)
Esta matriz L se puede dividir en dos. Por un lado la matriz L1 con los vectores
de orientación y por otro la matriz L2 con los vectores de posición.
𝐿1 = [
1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0
]
𝐿2 = [
0 0 𝑙 −𝑙 0 0
𝑙 −𝑙 0 0 0 0
0 0 0 0 𝑙 −𝑙
]
El vector de fuerzas de propulsión es un vector columna de dimensión igual al
número de propulsores. De forma general un vector U con para un número N de
propulsores tiene la siguiente forma. Donde Ti son vectores columna de dimensión tres.
𝑈 = [
𝑇1
𝑇2
⋮
𝑇 𝑁
]
Para calcular las fuerzas y momentos de propulsión necesitamos utilizar las
matrices L1 y L2 así como el vector T.
Las fuerzas se calculan fácilmente multiplicando el vector L1 por el vector T.

pág. 43
𝜏1 = 𝐿1 · 𝑈 = [
1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0
] ·
[
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇4
𝑇5
𝑇6]
= [
𝑇1 + 𝑇2
𝑇5 + 𝑇6
𝑇3 + 𝑇4
]
Para calcular los momentos es necesario realizar el producto vectorial de cada
vector posición por su vector unitario de orientación y por la fuerza de dicho propulsor.
𝜏2,𝑖 = 𝑟𝑖 × 𝑢𝑖 · 𝑇𝑖
El sumatorio de estos vectores produce el vector τ2.
𝜏2 = ∑ 𝜏2,𝑖
6
𝑖=1
= [
𝑙 · (𝑇6 − 𝑇5)
𝑙 · (𝑇4 − 𝑇3)
𝑙 · (𝑇2 − 𝑇1)
]
Uniendo los vectores τ1 y τ2 obtenemos el vector de fuerzas de propulsión.
𝜏 =
[
𝑇1 + 𝑇2
𝑇5 + 𝑇6
𝑇3 + 𝑇4
𝑙 · (𝑇6 − 𝑇5)
𝑙 · (𝑇4 − 𝑇3)
𝑙 · (𝑇2 − 𝑇1)]
Referencias: [16], [20], [27], [28], [29], [30]
4.3. Resolución de las ecuaciones
Para la resolución de las ecuaciones necesitamos despejar el vector de
aceleraciones lineales y angulares, ya que tanto la velocidad como la posición en cada
instante son conocidas y con la aceleración se pueden calcular estos valores en el instante
siguiente, así de esta forma se puede simular el comportamiento del ROV para unos
valores dados de velocidad angular de los propulsores.
Podemos comparar las ecuaciones dinámicas del vehículo con las fuerzas y
momentos externos para calcular las fuerzas y momentos reales que sufre el vehículo en
cada dirección, a partir de estas, se puede hallar la aceleración dividiendo las fuerzas por
la matriz de masas.
Las ecuaciones para calcular las fuerzas y momentos son las siguientes:
𝐹𝑋 = −(𝐵 − 𝑊) · 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑋 𝑢|𝑢| · 𝑢|𝑢| + 𝑋 𝑢 · 𝑢
+ 𝑚 (𝑤 · 𝑞 − 𝑣 · 𝑟 − 𝑥 𝐺 · (𝑞2
+ 𝑟2) + 𝑦 𝐺 · 𝑝 · 𝑞 + 𝑧 𝐺 · 𝑝 · 𝑟) + 𝑇1 + 𝑇2
𝐹𝑌 = (𝐵 − 𝑊) · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝑌𝑣|𝑣| · 𝑣|𝑣| + 𝑌𝑣 · 𝑣
− 𝑚 (𝑢 · 𝑟 − 𝑤 · 𝑝 − 𝑦 𝐺 · (𝑝2
+ 𝑟2) + 𝑥 𝐺 · 𝑝 · 𝑞 + 𝑧 𝐺 · 𝑞 · 𝑟) + 𝑇5 + 𝑇6

pág. 44
𝐹𝑧 = (𝐵 − 𝑊) · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑍 𝑤|𝑤| · 𝑤|𝑤| + 𝑍 𝑤 · 𝑤
− 𝑚 (𝑣 · 𝑝 − 𝑢 · 𝑞 − 𝑧 𝐺 · (𝑝2
+ 𝑞2) + 𝑥 𝐺 · 𝑝 · 𝑟 + 𝑦 𝐺 · 𝑞 · 𝑟) + 𝑇3 + 𝑇4
𝑀′ 𝐾 = 𝑦 𝐺 · 𝑊 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑧 𝐺 · 𝑊 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝐾𝑝|𝑝| · 𝑝|𝑝| + 𝐾𝑝 · 𝑝
+ (𝐼 𝑌 − 𝐼 𝑍) · 𝑞 · 𝑟 + 𝑚 · 𝑦 𝐺 · (𝑢 · 𝑞 − 𝑣 · 𝑝) + 𝑚 · 𝑧 𝐺 · (𝑢 · 𝑟 − 𝑤 · 𝑝)
+ 𝑙(𝑇6 − 𝑇5)
𝑀′ 𝑀 = −𝑥 𝐺 · 𝑊 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑧 𝐺 · 𝑊 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑀 𝑞|𝑞| · 𝑞|𝑞| + 𝑀 𝑞 · 𝑞 + (𝐼 𝑍 − 𝐼 𝑋) · 𝑟
· 𝑝 + 𝑚 · 𝑧 𝐺 · (𝑣 · 𝑟 − 𝑤 · 𝑞) + 𝑚 · 𝑥 𝐺 · (𝑣 · 𝑝 − 𝑢 · 𝑞) + 𝑙(𝑇4 − 𝑇3)
𝑀 𝑁 = 𝑥 𝐺 · 𝑊 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝑦 𝐺 · 𝑊 · 𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝑁𝑟|𝑟| · 𝑟|𝑟| + 𝑁𝑟 · 𝑟 + (𝐼 𝑋 − 𝐼 𝑌) · 𝑝 · 𝑞
+ 𝑚 · 𝑦 𝐺 · (𝑤 · 𝑞 − 𝑣 · 𝑟) + 𝑚 · 𝑥 𝐺 · (𝑤 · 𝑝 − 𝑢 · 𝑟) + 𝑙(𝑇2 − 𝑇1)
Juntas forman el vector de fuerzas:
𝑉′ 𝐹 = (𝐹𝑋, 𝐹𝑌, 𝐹𝑋, 𝑀′ 𝐾, 𝑀′ 𝑀, 𝑀 𝑁)
Este método no despeja por completo la aceleración ya que los momentos según X e Y
dependen de las aceleraciones lineales según Y e X respectivamente, sin embargo, este
problema se puede solucionar despreciando en un principio estos términos, y una vez
calculada las aceleraciones lineales según X e Y se calculan de nuevo estos momentos
con los nuevos datos de aceleraciones obtenidos.
𝑢͘ = (𝑀 𝑚𝑎𝑠𝑎
−1
· 𝑉′ 𝐹)1
𝑣͘ = (𝑀 𝑚𝑎𝑠𝑎
−1
· 𝑉′ 𝐹)2
𝑀 𝐾 = 𝑀 𝐾
′
− 𝑚 · 𝑧 𝐺 · 𝑣͘
𝑀 𝑀 = 𝑀 𝑀
′
− 𝑚 · 𝑧 𝐺 · 𝑢͘
𝑉𝐹 = (𝐹𝑋, 𝐹𝑌, 𝐹𝑋, 𝑀 𝐾, 𝑀 𝑀, 𝑀 𝑁)
Ahora se puede despejar el vector aceleración con el nuevo vector de fuerzas.
𝑉𝑎𝑐𝑒𝑙 = 𝑀 𝑚𝑎𝑠𝑎
−1
· 𝑉𝐹
Para calcular la posición y la velocidad del instante siguiente, se recurre al método
de Euler, es el método más simple para calcular la siguiente iteración, pero se ha
demostrado que no es necesario recurrir a métodos más complicados como el método de
Runge-Kutta ya que no suponen ninguna diferencia en los resultados obtenidos y
únicamente aumentan el tiempo de computación.
𝑉𝑣𝑒𝑙
𝑖+1
= 𝑉𝑣𝑒𝑙
𝑖
+ ℎ · 𝑉𝑎𝑐𝑒𝑙
Siendo h el tiempo de paso, la diferencia de tiempo entre dos iteraciones
consecutivas, para conseguir la mayor precisión, el tiempo h debe ser lo menor posible,
en el caso de nuestra simulación por ordenador hemos elegido 0.02 segundos.
Referencias: [16], [21], [24], [25], [26], [27], [31]

pág. 46
5. Control
Existen dos formas de control que hemos desarrollado en nuestra simulación.
Primeramente se programa un control manual de la velocidad de giro de los motores, en
el que se indica en cada momento la velocidad que estos deben adoptar y, una vez
conseguido esto, se desarrolla un sistema de control más complejo, en el que en vez de
controlar los motores, se definen puntos de una trayectoria a los que el ROV debe
desplazarse dentro de un pequeño límite de error.
5.1. Control manual
Existen dos formas de control manual, por una parte, podemos introducir
previamente en nuestra simulación la velocidad que queremos que adopten los motores
en función del tiempo, este es un sistema de control muy sencillo que simplemente
introduce los valores wi indicados, y, a partir de las ecuaciones desarrolladas en el modelo
matemático simula el comportamiento (posición y velocidad) del ROV.
Sin embargo, también podemos controlar el ROV en tiempo real, esto es,
introducir los valores wi según avanza la simulación, pudiendo así tomar decisiones al
instante en caso de querer franquear un obstáculo o alcanzar una posición con precisión.
Puesto que controlar los seis motores a la vez es complicado y no es nada práctico se
decidió introducir una serie de comandos que adoptaran configuraciones de velocidades
clásicas que permitieran controlar el ROV sin demasiada dificultad.
Estos comandos producen movimientos y giros en las tres dimensiones espaciales
y en los dos sentidos, por lo tanto el número de comandos diferentes es doce. En nuestra
simulación se ha decidido utilizar el teclado como mando controlador ya que la
introducción de comandos a través de un mando externo es bastante compleja y no es el
objetivo de nuestro proyecto.
A continuación se indican cada uno de los comandos y su relación con la velocidad
de giro que adoptan los propulsores.
MOVIMIENTO TECLA W1 W2 W3 W4 W5 W6
AVANCE W 2000 2000 1380 1380 0 0
RETROCESO S -2000 -2000 1380 1380 0 0
DERIVA DCHA D 0 0 1380 1380 2000 2000
DERIVA IZQ A 0 0 1380 1380 -2000 -2000
ARRIBA R 0 0 0 0 0 0
ABAJO F 0 0 2000 2000 0 0
GUIÑADA DCHA Ñ -2000 2000 1380 1380 0 0
GUIÑADA IZDA K 2000 -2000 1380 1380 0 0
CABECEO ABAJO O 0 0 2000 760 0 0
CABECEO ARRIBA L 0 0 760 2000 0 0
BALANCEO DCHA P 0 0 1380 1380 -2000 2000
BALANCEO IZDA I 0 0 1380 1380 2000 -2000
TABLA 7: COMANDOS EN EL CONTROL MANUAL EN TIEMPO REAL

pág. 47
En esta tabla las velocidades angulares se expresan en revoluciones por minuto,
siendo 2000 rpm las revoluciones máximas que soportan las hélices, 1380 rpm las
revoluciones necesarias de las hélices 3 y 4 para contrarrestar el efecto de la flotación y
mantenerse en una posición estática según el eje Z, debido a que la flotación del vehículo
no es nula, sino ligeramente negativa por razones de seguridad.
5.2. Control de trayectoria
El control de trayectoria consiste en el control automático de los propulsores del
ROV en función de la distancia y orientación del mismo con respecto a un punto marcado
en la trayectoria que se ha definido previamente.
Para conseguir que el ROV tienda a este punto, es necesario crear un controlador
que tenga en cuenta el error cometido por el ROV en cada momento, esto es, la distancia
entre la posición del ROV y la posición del punto definido y la diferencia angular entre
la orientación del ROV y la orientación determinada en el punto.
En nuestro caso implantaremos un controlador proporcional derivativo (PD), este
tipo de controlador tiene en cuenta una acción proporcional al error de posición y angular
que tiene el ROV en ese instante, así como una acción proporcional a la derivada del
error, esto es, la diferencia entre el error que se comete en este instante con el cometido
en el instante anterior.
Para simplificar el controlador, se desacoplan los movimientos en las tres
direcciones espaciales. Los motores 1 y 2 se encargarán únicamente de alcanzar la
posición establecida según el eje X y el giro según el eje Z, los motores 3 y 4 se encargarán
de alcanzar la posición establecida según el eje Z y el giro según el eje Y los motores 5 y
6 se encargarán de alcanzar la posición establecida según el eje Y el giro según el eje X.
De esta forma se pueden crear controladores para cada uno de los propulsores que solo
dependen de dos variables.
Para calcular los errores debemos conocer la posición y orientación de nuestro
ROV. Hay que tener en cuenta también, que el error de posición debe estar referido al
sistema de coordenadas local, el solidario al cuerpo del ROV.
Los errores en el sistema global de coordenadas vendrían expresados en las
siguientes matrices.
𝜉 𝑝 = [
𝑃𝑖,𝑥 − 𝑥
𝑃𝑖,𝑦 − 𝑦
𝑃𝑖,𝑧 − 𝑧
]
𝜉 𝛼 = [
𝑃𝑖,𝜙 − 𝜙
𝑃𝑖,𝜃 − 𝜃
𝑃𝑖,𝜓 − 𝜓
]

pág. 48
Siendo x, y, z las coordenadas de posición del ROV, ϕ, θ, ψ los ángulos de
orientación del ROV y los términos P los valores equivalentes para el punto P definido
en la trayectoria.
Para obtener el error en coordenadas locales es necesario multiplicarlo por la
matriz de rotación en el caso del error de posición, y por la matriz W en el caso del de
orientación.
𝜉 𝑝
𝐵
= 𝑅 𝑇
𝜉 𝑝
𝑊
𝜉 𝛼
𝐵
= 𝑊−1
𝜉 𝛼
𝑊
Una vez hallados los errores en el sistema de coordenadas local, podremos
introducirlos en nuestro controlador. Puesto que en nuestro caso hemos desacoplado el
controlador, tenemos seis ecuaciones diferentes, una para cada propulsor, que dependen
cada una de dos variables diferentes, tendrían la siguiente forma.
𝑃𝑊𝑀1 = 𝐾 𝑃,1,𝑝 (𝜉 𝑝,1
𝐵
+ 𝑇𝐷,1,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,1
𝐵
𝑑𝑡
) − 𝐾 𝑃,1,𝛼 (𝜉 𝛼,3
𝐵
+ 𝑇𝐷,1,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,3
𝐵
𝑑𝑡
)
𝑃𝑊𝑀2 = 𝐾 𝑃,2,𝑝 (𝜉 𝑝,1
𝐵
+ 𝑇𝐷,2,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,1
𝐵
𝑑𝑡
) + 𝐾 𝑃,2,𝛼 (𝜉 𝛼,3
𝐵
+ 𝑇𝐷,2,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,3
𝐵
𝑑𝑡
)
𝑃𝑊𝑀3 = 𝐾 𝑃,3,𝑝 (𝜉 𝑝,3
𝐵
+ 𝑇𝐷,3,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,3
𝐵
𝑑𝑡
) − 𝐾 𝑃,3,𝛼 (𝜉 𝛼,2
𝐵
+ 𝑇𝐷,3,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,2
𝐵
𝑑𝑡
)
𝑃𝑊𝑀4 = 𝐾 𝑃,4,𝑝 (𝜉 𝑝,3
𝐵
+ 𝑇𝐷,4,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,3
𝐵
𝑑𝑡
) + 𝐾 𝑃,4,𝛼 (𝜉 𝛼,2
𝐵
+ 𝑇𝐷,4,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,2
𝐵
𝑑𝑡
)
𝑃𝑊𝑀5 = 𝐾 𝑃,5,𝑝 (𝜉 𝑝,2
𝐵
+ 𝑇𝐷,5,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,2
𝐵
𝑑𝑡
) − 𝐾 𝑃,5,𝛼 (𝜉 𝛼,1
𝐵
+ 𝑇𝐷,5,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,1
𝐵
𝑑𝑡
)
𝑃𝑊𝑀6 = 𝐾 𝑃,6,𝑝 (𝜉 𝑝,2
𝐵
+ 𝑇𝐷,6,𝑝 ·
𝑑𝜉 𝑝,2
𝐵
𝑑𝑡
) + 𝐾 𝑃,6,𝛼 (𝜉 𝛼,1
𝐵
+ 𝑇𝐷,6,𝛼 ·
𝑑𝜉 𝛼,1
𝐵
𝑑𝑡
)
Los términos KP en estas ecuaciones corresponden a las constantes del control
proporcional y los términos TD a las constantes del control derivativo. El termino PWM
se refiere al ancho de pulso de la señal del controlador, que utilizamos para variar la
velocidad de giro de cada una de las hélices.
Para calcular el error de velocidad se calcula la derivada del error con respecto al
tiempo con aproximación por diferencias finitas.
𝑑𝜉
𝑑𝑡
= lim
ℎ→0
𝜉𝑖 − 𝜉𝑖−1
ℎ

pág. 49
Donde ξi es el error en un instante, ξi-1 el error en el instante anterior y h el periodo
entre ambos instantes, cuando el paso h tiende a cero la aproximación se vuelve igualdad,
como vamos a trabajar con periodos de paso muy pequeños (h < 0.1 s) se puede considerar
correcta la aproximación.
𝑑𝜉
𝑑𝑡
=
𝜉𝑖 − 𝜉𝑖−1
ℎ
Los valores de los términos KP y los términos TD se obtienen de forma
experimental por el método de prueba y error, hasta encontrar unos términos para cada
propulsor que consigan una solución de compromiso entre un movimiento rápido y sin
producir subamortiguamiento. En la siguiente tabla se exponen los valores elegidos para
cada término.
Nº Prop KP,p TD,p KP,α TD,α
1 1 0.4 1000 0.4
2 1 0.4 1000 0.4
3 2 0.4 1000 0.6
4 2 0.4 1000 0.6
5 1 0.4 1000 0.4
6 1 0.4 1000 0.4
TABLA 8: PARÁMETROS DEL SISTEMA DE CONTROL POR TRAYECTORIA
En esta tabla destaca el valor del término de control proporcional de posición para
los propulsores 3 y 4, estos motores son los encargados del movimiento vertical, por lo
que deben contrarrestar una fuerza constante de flotación que, en caso de elegir un valor
más pequeño para este término, impediría alcanzar la posición deseada, ya que el ROV
se mantendría por encima del punto, sin capacidad de alcanzar nunca su objetivo.
Existen problemas derivados de la decisión de elegir un valor tan alto para el
control proporcional de posición, un término tan grande produce un gran
subamortiguamiento y una amplia oscilación del ROV entorno a la posición objetivo,
para solucionar esto, se decidió aumentar a su vez el término de control derivativo, esto
logró reducir las oscilaciones y permitió al ROV alcanzar los puntos establecidos.
Otra solución propuesta para este problema fue la de incluir en el controlador un
término constante que contrarrestara de manera continua la fuerza de flotación. Aunque
la idea se probó en la simulación y produjo los resultados deseados, se decidió finalmente
no incluir este término para dotar de más generalidad al controlador, ya que, en caso de
una modificación de los parámetros que influyen en la flotación del vehículo, este
controlador no sería válido para una situación diferente.
Para saber si el vehículo ha alcanzado un punto, es necesario definir unos límites
según los cuales podamos concretar si se debe continuar al siguiente punto en la

Modelado, sim y control veh sub

Modelado, sim y control veh sub

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (15)

Similar a Modelado, sim y control veh sub

Similar a Modelado, sim y control veh sub (20)

Más de Carlos Molina

Más de Carlos Molina (6)

Último

Último (20)

Modelado, sim y control veh sub