2. Situación problemática
En una cisterna, el agua fluye a una razón de cambio de
3𝑥 + 180 litros por minuto, donde la cantidad de
minutos transcurridos 𝑥 considera 0 ≤ 𝑥 ≤ 50.
Calcule la cantidad de agua que fluye en la cisterna los
20 primeros minutos.
3. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
situaciones problemáticas relacionadas a la
administración y economía, sobre cálculo de
áreas, cambio neto, excedente del consumidor y
excedente del productor, mostrando dominio de
integrales definidas y habilidad en la resolución.
4. CONTENIDOS
1. La integral definida
2. Áreas acotadas por 1 y 2 funciones
3. Cambio neto
4. Excedente del consumidor
5. Excedente del productor
5. 1. LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea 𝑓(𝑥) una función con una antiderivada que denotaremos por 𝐹(𝑥).
Sean 𝑎 y 𝑏 dos números tales que 𝑓(𝑥) y 𝐹(𝑥) existen para 𝑥 en [𝑎; 𝑏].
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
Entonces, la integral definida de 𝑓(𝑥) de 𝑎 a 𝑏 se denota por
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
y se define como:
𝑎 y 𝑏 se denominan los límites de integración, 𝑎 es el límite inferior y 𝑏
es el límite superior.
8. 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea 𝑓(𝑥) una función continua no negativa en el intervalo 𝑎; 𝑏 y sea
𝐹(𝑥) una antiderivada de 𝑓(𝑥). Entonces, el área 𝑨 entre 𝒚 = 𝒇 𝒙 , el
eje 𝒙 y las rectas verticales 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃 está dada por la integral
definida:
𝑨 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
9. Ejemplo 1: Calcule el área de la región sombreada:
𝑨 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
Solución:
න
−𝟑
𝟑
𝟗 − 𝒙𝟐
𝒅𝒙
−𝟑
𝟑
𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 9𝑥 −
𝑥3
3 −3
3
= 9(3) −
(3)3
3
− 9 −3 −
−3 3
3
=36
El área de la región sombreada es 36 u2
10. Importante a considerar
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Positivo
Considerando que 𝑎 < 𝑏:
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Negativo
La función toma valores positivos y negativos
Área (R) =
11. Ejemplo:
Encuentre el área de la región acotada por la curva 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥 + 2;
el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 3.
Solución:
න
0
1
𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 − න
1
2
𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 + න
2
3
𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
5
6
− −
1
6
+
5
6
=
11
6
El área de la región sombreada es 1,83 u2
𝑥3
3
− 3
𝑥2
2
+ 2𝑥
0
1
−
𝑥3
3
− 3
𝑥2
2
+ 2𝑥
1
2
+
𝑥3
3
− 3
𝑥2
2
+ 2𝑥
2
3
12. Área de una región acotada por dos funciones
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas sobre el intervalo [𝑎; 𝑏] y 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ,
el área 𝑨 de la región acotada por sus gráficas sobre el intervalo [a; b]
está dada por:
𝑨 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
13. 𝑨 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
Calcule el área de la región sombreada:
𝑨 =
𝟏
𝟒
−
𝟓
𝟐
𝒙 − 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
Solución:
𝑨 = 𝟏
𝟒
−
𝟓
𝟐
(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗) + 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙
𝑨 = න
𝟏
𝟒
−
𝟓
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 −
𝟒𝟓
𝟐
+ 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙
𝑨 = න
𝟏
𝟒
−
𝟓
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 −
𝟐𝟏
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐𝟕
𝟐
El área de la región sombreada es 13,5 u2
Ejemplo:
14. 3. CAMBIO NETO
El teorema del cambio neto considera la integral definida de 𝑭´ 𝒙 , es
decir, la integral definida de una razón de cambio.
න
𝒂
𝒃
𝑭´ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) representa el cambio neto de F sobre el intervalo 𝒂; 𝒃 .
15. En una cisterna, el agua fluye a una razón de cambio de 3𝑥 + 180 litros por
minuto, donde la cantidad de minutos transcurridos 𝑥 considera 0 ≤ 𝑥 ≤ 50.
Calcule la cantidad de agua que fluye en la cisterna los 20 primeros minutos.
Solución
Definimos:
• 𝑭 𝒙 como la cantidad de agua en la cisterna en el minuto 𝒙
• 𝑭´ 𝒙 como la razón de cambio a la cual el agua fluye dentro de la cisterna en
el minuto 𝒙.
𝟎
𝟐𝟎
𝟑𝒙 + 𝟏𝟖𝟎 𝒅𝒙 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟏𝟖𝟎𝒙 𝟐𝟎
𝟎
=
𝟑(𝟐𝟎)𝟐
𝟐
+ 𝟏𝟖𝟎(𝟐𝟎) -
𝟑(𝟎)𝟐
𝟐
+ 𝟏𝟖𝟎(𝟎) = 𝟒𝟐𝟎𝟎
La cantidad de agua que fluye en la cisterna durante los primeros 20 minutos es 4200 litros
න
𝟎
𝟐𝟎
𝟑𝒙 + 𝟏𝟖𝟎 𝒅𝒙
Ejemplo:
16. 4. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR (EC)
• Mide la ganancia de los consumidores por la compra.
• Cantidad total que ganan los consumidores al comprar
el artículo al precio actual en lugar de comprarlo al
precio que hubieran estado dispuestos a pagar.
17. p = D(q)
p0
0 q0 q
p
Excedente de los consumidores
Gasto real
−
=
0
0
0 )
)
(
(
q
dq
p
q
D
EC
18. Dada una función de demanda y asumiendo que el
precio de equilibrio es 6, determina el excedente del consumidor.
2
5
42 q
q
p −
−
=
Ejemplo :
Solución :
Para hallar el EC debemos reemplazar los datos en la formula: ( )
( )
0
q
D q p dq
−
Para hallar el valor de q , reemplazaremos p=6 en la ecuación de la función de
la demanda 2
6 42 5q q
= − − 2
5 36 0
q q
+ − =
( )( )
9 4 0
q q
+ − =
9
q = − 4
q
=
la cantidad
demandada no
puede ser negativa
( )
4
2
0
36 5q q dq
= − −
4
2 3
0
36 5
2 3
q q
q
= − −
248
3
=
82.6
EC =
𝐸𝐶 = න
0
4
((42 − 5𝑞 − 𝑞2
) − 6)𝑑𝑞
19. 5. EXCEDENTE DEL PRODUCTOR (EP)
• Mide la ganancia de los proveedores por la venta.
• Cantidad total que ganan los productores al vender
el artículo al precio actual en lugar de venderlo al
precio que hubieran esta dispuestos a aceptar.
20. p = S(q)
Excedente de los
productores
p (dólares por unidad)
q ( unidades)
q0
P0
dq
S
p
EP q
q
)
(
0
0
0 −
=
21. Ejemplo:
La curva de la oferta de un producto esta representada por la siguiente
función . Calcule el excedente de los productores si
la cantidad de equilibrio es 10.
Solución :
2
0,2 50
p q q
= + +
Para hallar el EP debemos reemplazar los datos en la formula: ( )
( )
0
q
p S q dq
−
Para hallar el valor de p , reemplazaremos q=10 en la ecuación de la función de la oferta
( ) ( )
2
0,2 10 10 50
p = + + 80
p =
( )
10
2
0
80 0,2 50
EP q q dq
= − − −
( )
10
2
0
30 0,2q q dq
= − −
10
3 2
0
0,2
30
3 2
q q
q
= − −
𝐸𝑃 = 183,3
22. Situación problemática
Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas comprarán q (miles) de
llantas radiales si: p = -0,1q2 + 90 dólares la unidad, y el mismo número de
llantas se suministrará cuando p = 0,2q2+ q +50 dólares por llanta.
Se desea determinar el excedente de los consumidores y de los productores
para las curvas de demanda y oferta dadas.
Solución
i) Encontraremos el punto p0 , para ello resolvemos la ecuación
−0,1𝑞2 + 90 = 0,2𝑞2 + 𝑞 + 50
obteniendo 𝑞 = −13.33… 𝑦 𝑞 = 10
ii) Tomando como 𝑞0=10 se tiene 𝑝0 = 80, es decir la oferta coincide con la demanda
en el punto de equilibrio: (10,80)
iii) Por consiguiente se tiene:
E.C = 0
10
−0.1𝑞2
+ 90 − 80 𝑑𝑞 = 0
10
−0.1𝑞2
+ 10 𝑑𝑞 =
200
3
𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
E.P = 0
10
80 − (0,2q2+ q +50) dq = 0
10
(30 − 0,2q2 − q) 𝑑𝑞 =
550
3
𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
24. METACOGNICIÓN
➢ ¿Qué nuevo concepto hemos aprendido?
➢ ¿Cómo se calculan las áreas acotadas por dos funciones?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?
➢ ¿Cuál es la diferencia entre excedente del productor y del consumidor?
