Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (autoguardado)

Universidad De La Guajira
Facultad de Ingeniería

CONTENIDO

INTRODUCCION.
ECUACIONES DIFERENCIALES.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Ecuaciones Diferenciales Parciales.

 Orden De Una Ecuación Diferencial.
 Grado De Una Ecuación Diferencial.
 Solución de una Ecuación Deferencial.
o Solución General.
o Solución Particular.
o Solución Singular.
TEOREMA DE TORRICELLI.
VACIADO DE TANQUES.
Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques.
Vaciado De Tanques.
Algunos Tipos de Tanques.
Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes.
Influencia De La Geometría Del Recipiente.

EJERCICIOS RESUELTOS.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
BIBLIOGRAFÍA.

INTRODUCCION


El principal propósito de este trabajo es explicar mediante ejemplos la
resolución de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias al vaciado de
tanques que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchos
proyectos y para ello se necesita saber predecir el tiempo que demora en
vaciarse todo o alguna parte del contenido, como también saber el volumen de
liquido que desaloja en un determinado instante; aquí se demuestra como
conseguir esta información con la ayuda de las Ecuaciones Diferenciales de 1 er
grado.
Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es
en procesos industriales, en la industrias existe en un momento dado la
necesidad de vaciar sus tanques sea confines de limpieza temporaria o
simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En
otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro
aprovechándolas diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea
su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro
inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente.

En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos
efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando
de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como ya
expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no
agreguen valor a o los productos elaborados. Muchos problemas físicos
dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de
líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La
forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.

El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos
entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje
de petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general,
etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por
convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. En
este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que
pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades
varias sobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratado
en los textos clásicos de operaciones unitarias pero sí en publicaciones
técnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de sus
aplicaciones en la industria.

ECUACIONES DIFERENCIALES


Las ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvas
geométricas y del intento de describir en términos matemáticos, problemas
físicos en ciencias e ingeniería.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de
una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables
independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se
dividen en:

 Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen
derivadas respecto a una sola variable independiente.
 Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas
respecto a dos o más variables.

Orden de una ecuación diferencial

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se
denomina orden de la ecuación.

Grado de una ecuación diferencial

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación,
siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se
considera que no tiene grado.

Solución de una Ecuación Deferencial
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la
función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica
la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de
soluciones:

 Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o
más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un
orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una
constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos
constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la
ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación
lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la
ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente
de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la
ecuación completa.


 Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde
debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe
un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la
ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación
en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Es un
caso particular de la solución general, en donde la constante (o
constantes) recibe un valor específico.
 Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se
obtiene particularizando la solución general.

TEOREMA DE TORRICELLI
El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el
flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio,
bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede
calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un
líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo
cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el
centro de gravedad del orificio":

Donde:

Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio.
V0 es la velocidad de aproximación.
h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
g es la aceleración de la gravedad.

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión
anterior se transforma en:

Donde:

Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio.
Cv es el coeficiente de velocidad.

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de
un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la
viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el
significado de este coeficiente de velocidad.


VACIADO DE TANQUES
El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario
dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable
que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas
al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del
equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía
del sistema de la siguiente forma:

Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual
establece que la velocidad v de el flujo (o salida) del agua a través de un
agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una
altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una
gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,

Donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al
igualar la energía cinética, ½ (mv2), con la energía potencial, mgh, despejando
v.

Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques


Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el
área de la sección transversal constante, y a es el área de un orificio de
sección transversal por el que fluye el agua, el cual está ubicado en la base del
tanque.
Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura
en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el
tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la
cantidad de agua que se escapa por el orificio.
Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el
volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a través
del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que una
gota de agua adquirirá al caer libremente desde la superficie del agua hasta el
agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que
sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendrá

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos
problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.
Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el agua sale pro el agujero
(variación dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puede
expresar como el área del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es

Sustituyendo en la ecuación


Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura
h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

Comparando las ecuaciones

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver
sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite
obtener la variación de la altura del liquido en el tanque en función del tiempo.

Las medidas o dimensiones de los tanques se pueden expresar de la siguiente
forma:

Elemento Notación Unidades
Altura h(t) cm mt pies
Volumen B(t) Cm3 Mt3 Pies3
Tiempo t seg seg seg
32pies/
g 981cm/seg2 9,81mt/ seg2
Gravedad seg2
Área del orificio de
a Cm2 Cm2 Pies2
salida
Área de la sección
A(h) Cm2 Cm2 Pies2
transversal
Coeficiente de
c Sin Unidades
descarga

La constante C depende de la forma del orificio:

Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0,8.
Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ C ≤ 0,75.
Si el orificio es de forma circular, la constante C = 0,6.
Y en algunos casos viene especificada.


Algunos Tipos De Tanques

Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma
vertical y con un orificio circular de diámetro d.

y separando variables,

Integrando

Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C, así:

Entonces de la ecuación se despeja el tiempo


Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical.
Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el
orificio en el fondo.

Entonces

Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración.
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0
Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto
verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro d.


Por semejanza de triángulos se conoce que

Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se produce
cuando h=0
Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes

El diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje
vertical con fondo plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados,
como base se puede calcular el tiempo de descarga de los mismos, que se
pueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, hallada
anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan
encada caso.

 Influencia De La Geometría Del Recipiente

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno
de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al
fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el
comportamiento físico del agua. A medida que se produce la descarga
del líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden presentarse dos
situaciones:
1. Que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o
2. Que el área transversal varíe en distintos niveles.
En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica
dado que en el caso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se
mantiene constante en toda su altura. Si el área transversal varía, el tema es
más complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocer
la función que relaciona el área con la altura de líquido, esto es, encontrar la
relación: Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentes
que se presentan en la práctica industrial en los tanques y recipientes tales
como
• Recipientes esféricos
• Recipientes cilíndricos horizontales de:
o Cabezales Semielípticos.
o Cabezales Semiesféricos.
o Cabezales Toriesféricos.
o Cabezales Planos.


• Recipientes cilíndricos verticales de:
o Fondo Semielíptico.
o Fondo Semiesférico.
o Fondo Toriesférico.
La siguiente imagen muestra el tiempo de descarga de los recipientes según su
forma geométrica.


EJERCICIOS RESUELTOS

 Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura,
está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1
pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciara el tanque?

Primero se debe convertir la unidad de área
del orificio a pies, el diámetro de este es de 1
pulgada, por lo tanto su radio es de ½
pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies.
Dado que el orificio es una circunferencia, su
área es igual a (π(radio)2), entonces el área
del orificio de salida es:

Así mismo, el área de la sección transversal, A(h)= π(10)2= 100 π 2
El coeficiente de descarga no está dado, por lo tanto se asume que c= 1, la
gravedad g= 32pies/ seg2
Sustituyendo todos los valores en la ecuación asociada a los problemas de
vaciado de tanque, se obtiene:

* (1/ π)

Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para t=0, h0=20pies.

* 
Luego se integra




y
Se sustituyen los resultados en la ecuación

Para hallar el valor de la constante de integración, se sustituyen los valores
iniciales del problema.
 *

Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituir
h=0 en la anterior ecuación

Así, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir,
17horas 53 min 19seg.

 Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a
un pequeño orificio situado en el tanque, de 2 pulgadas cuadradas
de área, presenta un escape. Si el tanque esta inicialmente lleno
hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine:
a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad?
b) ¿Cuándo estará vacio?

Como las dimensiones del tanque están
dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12
pies, entonces haciendo la conversión, el
área del orificio de salida será

El coeficiente de descarga es c=1 y la
gravedad es g=32pies/seg2.

Como puede observarse en la figura las secciones transversales del tanque
van a ser cuadrados de lados constantes iguales a 12pies, independientemente
de la altura a la cual se efectúa el corte, por lo tanto, el área de la sección
transversal será A(h)=144pies2
Ya que las secciones transversales son de área constante y puesto que el
tanque está inicialmente lleno ¾ de su capacidad, resulta que la altura inicial
será h=3/4 de la altura total. Así, como la altura inicial del tanque es h1= 12pies,
entonces la altura inicial h0= ¾ ht = 9pies


Sustituyendo estos valores en la ecuación inicial se obtiene

Se simplifica, y se obtiene

La anterior es una ecuación diferencial de variables separables, para separar
las variables se multiplica la ecuación por el factor

Y se obtiene

Luego se integra toda la ecuación

Ambas integrales son inmediatas

y
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación se obtiene

Para determinar el valor de la constante de integración se reemplaza la
condición inicial h= 9pies y t=0 resultando C= -7776, este valor se sustituye en
la ecuación

Multiplicando por

Y elevando al cuadrado

La anterior, es la ecuación que define la altura del líquido en el tanque en
cualquier instante t.
Se requiere determinar el tiempo para el cual el volumen del liquido del tanque
es igual a la mitad de su capacidad, es decir, cuando h=6pies, este valor se
sustituye en la ecuación,

Elevando a la ½

Multiplicando por -1


Sumando 3 y multiplicando por 2592

Así se conoce que debe transcurrir un tiempo t=1425,6seg es decir 23 min 45
seg.

 Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R y
vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua.
Determine el tiempo de vaciado total, si H=12pies, R=5pies, a=
1pulg2 y C= 0,6.

Como las dimensiones del tanque
están dadas en pie, y puesto que
1 pulg=1/12 pies, entonces
haciendo la conversión, el área
del orificio de salida será

El coeficiente de descarga es c=
0,6 y la gravedad es
2
g=32pies/seg .

Según puede observarse en la figura, las secciones transversales son
circunferencias cuyo radio varía dependiendo de la altura a la cual se efectúe la
sección transversal. El área de la sección transversal es variable y está dada
por

Para expresar r en función de h se debe visualizar el tanque no como un solido
sino como una figura plana, así:

Si se ubican los ejes coordenados de
tal forma que el vértice del cono coincida
con el origen del sistema de coordenadas,
entonces se tiene una figura simétrica
respecto del eje y, tal y como se muestra


Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanza
de triángulos se tiene entonces la siguiente relación de proporción:

Y sustituyendo en la ecuación:

Sustituyendo todos los valores en la ecuación inicial:

integrando

Para determinar el valor de la constante de integración se sustituyen los
valores de la condición inicial en la ecuación

La anterior ecuación es la razón de variación de la altura del liquido en el
tanque en cualquier instante t. el tiempo total de vaciado se obtiene cuando la
altura es h=0

Se conoce entonces que el tanque se vacía completamente en 3264.83seg, es
decir, 54min 25seg.

 Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un
pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa,
determine el tiempo de vaciado.

Como el radio de la taza hemisférica es R y
el tanque se encuentra lleno entonces la
altura inicial de líquido en el tanque es R,
es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene


radio r, por lo tanto, el área del orificio de salida es

Sea C el coeficiente de descarga y g la gravedad.
Las secciones transversales del tanque hemisférico, son circunferencias de
radio variable, según la altura donde se realice la sección transversal. Sea x el
radio variable de la sección transversal. Por ser circunferencia, el área es:

Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura h, de tal forma que
el área de la sección transversal quede expresada en función de la altura h.
Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicándolo en un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Puesto que la figura
resultante es simétrica respecto del eje y, será suficiente trabajar con la
mitad de la figura.

El triángulo que se forma, tiene como base el
radio=x, altura=(R-h) e hipotenusa= R

Aplicando el teorema de Pitágoras a este
triángulo se obtiene,

Sustituyendo este valor en la ecuación del área, obtenemos:

Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuación inicial:

Separando variables,

A partir de la ecuación anterior y sabiendo que para el tiempo t=0 la altura es
h=R, se debe determinar el tiempo de vaciado, esto es el tiempo para el cual la
altura del liquido en el tanque es cero.


Se plantea así el problema de valor en la frontera:

Integrando desde t=0 a t=tv y h=R a h=0

 Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la
curva y= x4/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se
retira un tapón que está en el fondo y en ese momento la
profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la
profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine:
a) ¿A qué hora estará vacío el tanque?
b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido
inicial?

La curva y= x4/3 que se hace girar alrededor del
eje y para generar el tanque tiene su vértice en
el origen. Cuando la variable y toma el valor de
la máxima profundidad de líquido en el tanque,
esto es, y = 12, la variable x que representa el
radio de giro toma el valor x =(12)3/4= 6,45.

El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg 2. El área a
del orificio de salida debe determinarse.


Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo
tanto, el área de las secciones transversales es:

El radio r debe expresarse en función de la altura h. Para ello debe observarse
el tanque como una figura plana, vista desde el frente.

El punto P(r, h) pertenece a la curva y = x4/3;
esto quiere decir que las coordenadas del
punto P satisfacen la ecuación de la curva.
Sustituyendo x= r, y = h

Y entonces,

Una vez que el área de la sección transversal del tanque ha quedado
expresada en función de la altura, se sustituyen A(h), c y g en la ecuación
inicial,

La ecuación anterior es la ecuación diferencial asociada al problema de
vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera
condición es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda
condición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para
t = 3600 seg, la altura de líquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto
es, h = 6pies.Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de
frontera

Integramos definidamente


Este valor que se obtuvo para a se sustituye en la ecuación;

Se pide determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el
tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque se hace cero. Para ello se
debe resolver el problema de valor en la frontera

Integramos definidamente

De aquí se sabe que el tanque tarda en vaciarse t= 4800seg, lo que equivale a
1 hora y 20min. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27am, entonces el
tanque estará vacio a las 12:47pm.

Ahora bien, para saber a qué hora queda en el tanque el 25% de su capacidad,
se debe comenzar por establecer cuál es la altura de líquido en el tanque
cuando resta el 25% de su capacidad. Como se conoce la altura inicial de
líquido en el tanque, el volumen total se determina por el método del volumen
por secciones transversales

Así el 25% de volumen es

Conocido el volumen cuando resta el 25% de liquido en el tanque, utilizando el
mismo método por secciones transversales, se podrá determinar cuál es la
altura de liquido en el tanque en este caso.


Sustituyendo A(h) y v=25%

Resolviendo la integral definida

Sustituyendo el resultado en la integral de la función anterior

Multiplicando por

Elevando a 2/5

Una vez conseguida la altura de liquido en el tanque cuando queda el 25% de
volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esta
altura. Para ello debe resolverse el problema de valor en la frontera

La ecuación se integra de forma definida; el tiempo varia entre t=0seg y t= t25%

la altura varía entre h= 12pies y h=


Sustituyendo los resultados:

Se sabe entonces que el tanque tarda 3216,66seg en vaciarse hasta el 25% de
su capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36seg; si el proceso de vaciado
comenzó a las 11:27am entonces el tanque tendrá el 25% de su capacidad a
las 12:20:36pm.

 El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de
líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación
circular de área 1 cm2 ubicada en la base inferior del depósito. Si se
ha establecido el coeficiente de descarga C = 0,447 y la gravedad es
g = 10 m/seg2. Determine:
a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un
contenido equivalente al 18,75%de su capacidad.
b) Tiempo de vaciado total del tanque.

El área del orificio de salida es a = 1 cm 2,
pero como las dimensiones del tanque están
en metros debe efectuarse la conversión.
Puesto que 1 cm = 0,01 m = 10-2m entonces
a = 1 cm2 = (10-2m)2= (10-4m)2
.
En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga C = 447.10-3 y la
gravedad g =10m/seg2.

Según puede observarse en la figura, las secciones transversales son
rectángulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los
otros dos lados de longitud variable r. El área de la sección transversal es
entonces A(h)= 8r.

Debe expresarse la longitud r en función de la altura h. Para ello si se observa
el tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema de
coordenadas cartesianas rectangulares, se verá como lo muestra la siguiente
figura:


Obsérvese que el punto P(r, h) pertenece
a la recta que pasa por los puntos (1, 0) y
(2, 4). La pendiente la recta es

La ecuación de la recta que pasa por
el punto (1, 0) (o (2, 4)) y tiene pendiente
4 es:

Ya que el punto P (r, h) pertenece a la recta L, entonces satisface la ecuación
de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y = h

Despejando r

Sustituyendo en la ecuación, se tiene el área de la sección transversal en
función de la altura h

Y se sustituyen los valores en la ecuación principal

Simplificando

La ecuación anterior, es una ecuación diferencial de variables separables y
debe resolverse sujeta a la condición de que la altura inicial de líquido en el
tanque es 4 m, es decir, h(0) = 4.
Para separar las variables se debe multiplicar la ecuación por el factor

Integrando



Sustituyendo los resultados de las ecuaciones

Para determinar el valor de la constante de integración se usa la condición
inicial h(0)= 4 y t= 0

Este valor obtenido se sustituye en la ecuación

Despejando t

La anterior ecuación representa la relación entre la altura el tiempo.
Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el
tanque quede solo el 18,75% del volumen total de líquido, para usar la
ecuación será necesario conocer la altura de liquido en el tanque, cuando en
este queda el 18,75% del volumen total.
Se comienza por determinar el volumen total de líquido en el tanque. Como el
tanque se encuentra lleno, la altura total del liquido en el tanque coincide con la
altura inicial.

Así el volumen total del liquido en el tanque es 48m3, así calculamos el 18.75%
del volumen

Usando la misma ecuación se puede determinar la altura de liquido en el
tanque

Sustituyendo los datos


Se tiene entonces una ecuación de segundo grado

De aquí resulta h= -9 y h= 1
Ya que h debe ser positivo, pues representa una altura, el valor h = –9 se
descarta, por lo tanto, la altura de líquido en el tanque cuando el volumen es de
18,75% del volumen total es h = 1m. Luego, para determinar el tiempo que
demora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, será suficiente
con sustituir h = 1 m en la ecuación

Así el tanque se demora en vaciarse 126727,1934seg, es decir, 32 horas
12min 7seg.
Ahora bien para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir,
cuando la altura del liquido en el tanque es cero, se sustituye h=0 en la
ecuación

Así que el tanque demora en vaciarse totalmente 213435,273seg, es decir,
59horas 17min 15seg.

 El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un
100%. El líquido escapa por un orificio de 5cm2 de área situado en
el fondo del tanque. Determine:
a) El tiempo de vaciado total.
b) Tiempo para que el volumen total de liquido descienda 5mt.

El coeficiente de descarga es C=1 y
la gravedad es g= 9,81m/seg2.
El área del orificio de salida está
dada en cm2, pero como las
dimensiones del tanque están dadas
en mt, debe realizarse la conversión
a una sola unidad.
Así, a=5cm2 = 5x10-4mt2.


Según se muestra en la figura, las secciones transversales del tanque son
rectángulos, cuyos lados varían en función de la altura a la cual se efectúe la
sección transversal, sean L y M las longitudes de los lados. Entonces el área
de sección transversal es A(h)= LM.

Se deben expresar ambos lados en función de la altura.
Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura plana
ubicándola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se
obtiene lo que se ve en la siguiente figura.

Como puede observarse la figura es
simétrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin
de establecer relación entre L y h se trabaja
con la mitad de trapecio que se forma como
se muestra a continuación

Se puede obtener la relación entre L y h, a través de la recta que pasa por los
puntos (3/2, 0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). sin embargo,
se mostrara otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación.
Observando la figura como un rectángulo y un triangulo. Así;

Ahora debe visualizarse el tanque respecto de
una de las dos caras no paralelas a la anterior. La


figura plana que se observa, variación en las dimensiones de las aristas del
trapecio antes mostrado, así

Como puede observarse, esta figura es simétrica respecto al eje y, por lo tanto,
a fin de establecer la relación entre My h se trabaja con la mitad del trapecio
que se forma

Se puede obtener la relación entre my h, a través de la recta que pasa por los
puntos (3/2,0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2,h).

Las ecuaciones que se han planteado se sustituyen en la ecuación A(h)= LM, así
sabemos que el área de las secciones transversales en función de la altura es

Ahora sustituyendo todos los valores en la ecuación principal

La anterior es la ecuación, es la ecuación diferencial asociada el problema y
debe resolverse sujeta a la condición h(0)= 12.
Esta es una ecuación de variables separables. Para separar las variables se
debe multiplicar r el factor

Resultando

efectuando las operaciones


A partir de esta ecuación, debe determinarse el tiempo de vaciado del tanque,
es decir, el tiempo para el cual la altura de liquido en el tanque es cero. Para
ello se debe integrar de forma definida la anterior ecuación; el tiempo varia de
t=0seg a t= tv; la altura varia de h= 12m a h= 0m

Resolviendo las integrales

Sustituyendo los valores

Así, el tanque tarde en vaciarse completamente 41709,9673seg, es decir,
11horas 35min 10seg.
Ahora debe determinarse el tiempo que demora en descender 5m la cantidad
de liquido del tanque con respecto a la altura inicial, es decir, cuando la altura
del liquido en el tanque es igual a 7m. para ello, se integra la ecuación en forma
definida; el tiempo vatia entre t= 0seg y t= t1; la altura varias de h= 12m a
h=7m.


Sustituyendo los resultados de las integrales.

Así el líquido en el tanque tarda en descender 18315,3400seg, es decir, horas
min 15seg.

 Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia
abajo cuyas dimensiones son 2 mt de diámetro y altura 3 mt. El
tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el líquido escapa
por un orificio de 20 cm2 de área situado al fondo del tanque.
Determine
a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo
un tercio de su capacidad inicial
b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.


El área del orificio de salida está dada en
cm2, pero como las dimensiones del
tanque están dadas en mt, debe realizarse
la conversión a una sola unidad.

Así, a=2cm2 = 2x10-4mt2. El coeficiente de
descarga es c= 1 y la gravedad es
g=9,81m/seg2.

Como puede observarse en la figura, las secciones transversales del tanque
sin circunferencias cuyo radio r varía de acuerdo con la altura a la cual se
efectúe el corte. Así, el área de las secciones transversales es A(h)=πr 2 la
ecuación de la curva que gira alrededor del eje y para generar el tanque no
esta dada explícitamente por lo que debe determinarse. La ecuación ordinaria
de parábola de vértice (x0, y0), el eje y abre hacia abajo y donde p es la
distancia entre el vértice y el foco es (x-x0)2= -4p(y-y0).

El vértice de la parábola que se muestra
es el punto (0,3) y pasa por los puntos
(1,0) y (-1,0). Sustituyendo en la ecuación
ordinaria de la parábola las coordenadas
del vértice y las coordenadas de uno
cualquiera de los puntos por donde pasa

De aquí que, la ecuación de la parábola
que se gira alrededor del eje y para
generar el paraboloide de la forma del
tanque es

El punto P(r,h), según se muestra en la anterior figura, es un punto de la
parábola. Por lo tanto satisface la ecuación de la misma. Sustituyendo x= r ,
y=h en la ecuación.

Sustituyendo los valores


La anterior ecuación representa el área de las secciones transversales en
función de la altura. Entonces se sustituyen todos los datos en la ecuación
principal.

La ecuación anterior es la ecuación asociada al problema de vaciado
planteado, la misma debe resolverse sujeta a la condición inicial h(0)= 3.
La misma, es una ecuación de variables separables. Para separar la variables
se debe multiplicar por el factor

Integrando

Sustituyendo los valores en la ecuación

Para determinar el valor de la constante de integración, se usa la condición
inicial h(0)=3

.
Este valor se sustituye en la ecuación

Despejando t

Sacando factor común


Esta ecuación establece la relación fundamental entre tiempo y altura de liquido
en el tanque, es decir a partir de esta ecuación conociendo una determinada
altura se puede establecer el tiempo que demora en alcanzarse; también se
puede determinar a la altura del liquido en el tanque para un tiempo dado.
Ahora se debe establecer el tiempo que debe transcurrir para que quede en el
tanque un tercio de volumen total. Se comienza por determinar el volumen total
del líquido en el tanque. Para ello se utiliza el método del cálculo de volumen a
través de las secciones transversales, esto es

Así, el volumen total del liquido en el tanque es

Conociendo esto es posible determinar la altura del líquido en el
tanque para ese volumen.

Multiplicando por 6/π  6(h-h2), es una ecuación de segundo grado,
resolviéndola se obtiene

Ó

El valor de h superior a la altura máxima debe descartarse. Por lo tanto, cuando
el volumen de liquido en el tanque es un tercio del volumen total, la altura de
liquido en el tanque es h= 0,55m. ahora para saber el tiempo que demora en
llegar a ese volumen, se sustituye h= 0,55 en la ecuación


Así, deben transcurrir 3251,1378seg, es decir, 54min 11seg para que en el
tanque quede un tercio de volumen total.
Para establecer el tiempo de vaciado total del tanque, se sustituye h= 0 en la
ecuación

Así, el tanque se vacía totalmente en un tiempo t= 8189,7429seg, es decir, en
2 horas 16min 30seg.

 Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado
con 2mt de radio menor, 4 mt de radio mayor y 8 mt de altura, está
lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa por
un orificio de 10cm2 de área, ubicado al fondo del tanque, y
sabiendo que el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,75,
determine el tiempo que tardará en vaciarse totalmente.

El área del orificio de salida está dada en
cm2, pero como las dimensiones del
tanque están dadas en mt, debe realizarse
la conversión a una sola unidad.
Así, a= 10cm2= 10x10-2m2 = 10-3m2
El coeficiente de descarga es c= 0,75 y la
gravedad es g= 9,81m/seg2.
Las secciones transversales del tanque
son circunferencias de radio variable r,
según puede verse en la figura, el cual
varía dependiendo la altura donde se haga
el corte transversal. Entonces el área de
las secciones transversales es A(h)= πr2
donde r debe expresarse en función de la
altura.

Para poder expresar el radio r en
función de la altura h se debe
visualizar el tanque de frente,
como una figura plana y ubicarla
en un sistema de coordenadas
cartesianas rectangulares, tal y
como se muestra a continuación
P(h,r) pertenece a la recta que
pasa por los puntos (2,0) y (4,8).
La pendiente de la recta es:


Para escribir la ecuación de la recta se usa cualquiera de los dos puntos.
Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,0) y (4,8) es y=4(x-2)
el punto P(r,h) es un punto de la recta, entonces sustituyendo x=r,y= h; h=4(r-2)
despejando r

Esta resultado se reemplaza en la ecuación para hallar el área de la sección
transversal

Ahora se sustituyen todos lo valores en la ecuación principal

La anterior, es la ecuación diferencial asociada al problema, la cual debe
resolverse sujeta a la condición de que al tiempo t=0seg el volumen inicial es
90% del volumen total.

Como la ecuación relaciona las variables tiempo y altura, es necesario
determinar la altura inicial del liquido en el tanque, esto es, la altura cuando el
tanque está lleno al 90% de su capacidad. Se debe determinar primero el
volumen total del tanque. Para ello se usa el método del volumen por secciones
transversales, según el cual el volumen viene dado como

entonces
Una vez conocido el volumen inicial, la altura inicial puede determinarse
utilizando la ecuación que permite obtener el volumen a partir del área de las
secciones transversales. Así se tendrá


Al resolver la integral definida se obtiene una ecuación de tercer grado, la cual
puede no tener raíces enteras, por lo tanto sería necesario determinar las
raíces del polinomio.
Para evitar estas complicaciones la integral puede ser resuelta efectuando un
cambio de variable

Entonces

Se aquí resulta que

Multiplicando por

sumando 8 y elevando a 1/3

restando 2 y multiplicando por 4

Una vez obtenida la altura inicial, se procede a resolver la ecuación diferencial
sujeta a la condición inicial h(0)= 6,77. Se desea determinar el tiempo de
vaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de liquido en
el tanque es cero.
Se plantea entonces resolver el problema de valor en la frontera.

La ecuación diferencial a resolver es una ecuación de variables separables,
para separar las variables se debe multiplicar por el factor


Integrando de forma definida

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación

El tanque demora un tiempo t= 5515,5375seg, equivalente a 1hora 31min
56seg en vaciarse totalmente.

 El día 15 de julio de 2006, a las 2,25 pm, se pone a vaciar un tanque
cilíndrico con eje horizontal, el cual está inicialmente lleno en un
100%. La longitud del tanque es de10 mt, el radio 4 mt. Si el agua
fluye por un orificio de área 2cm2, situado en el fondo del tanque y
se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qué
día y a qué hora el taque se vacía totalmente.


El área del orificio de salida es a=2cm 2. Como las dimensiones del tanque
están dadas en metros, debe efectuarse la conversión a m. del área del orificio
de salida a=2cm2=2x10-2m2=2x10-4m2
El coeficiente de descarga es 0,6 y la gravedad 9,81m/seg2.

Si se observa en la figura, las secciones transversales son rectángulos de 10m
de largo y ancho variable, dependiendo de la altura a ala cual se efectúe el
corte transversal. Sea r la longitud del lado variable, entonces el área de las
secciones transversales es A(h)=10r.
La longitud r debe expresarse en función de la altura h. para ello se debe,
efectuar una abstracción del sólido que es el tanque, visualizar el tanque de
frente y representarlo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares
como una figura plana como se muestra en la figura.

De acuerdo con la figura, la curva
plana que resulta es una
circunferencia de centro en (0,4) y
radio 4, la cual tiene por ecuación
x2+(y-4)2=16 desarrollando y
simplificando x2+y2-8y=0
Como puede observarse en la figura el
punto P(r,h) es un punto de la
circunferencia, es decir, las
coordenadas del punto satisfacen la
ecuación. Sustituyendo en la ecuación
x=r, y=h r2+h2-8h=0

Despejando r

Sustituyendo en la ecuación para hallar el área de la sección transversal

Ahora se sustituyen los valores en la ecuación principal


Simplificando

La anterior, es la ecuación diferencial asociada al problema, la cual debe
resolverse sujeta a la condición inicial h(0)=8
La misma es una ecuación de variables separables. Para separar las variables
se multiplica la ecuación por el factor


Sustituyendo los resultados de las integrales

Para determinar el valor de la constante de integración se usa la condición
inicial h(0)=8. Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuación

La anterior ecuación, representa la variación de la altura en función del tiempo.
Para saber cuándo se vacía totalmente el tanque, es decir, cuando la altura de
líquido en el tanque es cero, se sustituye este valor de h en la ecuación.

Así que el tanque demora en vaciarse un tiempo t= 283800,3808seg, lo que
equivale a 78horas 50min; lo que equivale a 3 días y 6 horas, así entonces se
concluye que el tanque de vacio después de 3 días y 6 horas y 50min de
iniciado el proceso de vaciado, el cual comenzó el día 15 de julio de 2006 a las
2:25 pm. Por lo tanto el tanque termino de vaciarse el día 18 de julio de 2006 a
las 9:15pm.


BIBLIOGRAFIA

 Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales 6ª Edición; Cap. 1 Sección 1.3
pág. 24-25.
 Eduardo Espinoza Ramos, Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones 5ª
Edición;
 Murray R. Spiegel, Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 3ª Edición; pág.
123-124
 http://es.scribd.com/doc/56836322/28/VACIADO-DE-TANQUES
 http://es.scribd.com/doc/50990788/VACIADO-DE-TANQUES


 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (autoguardado)

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