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CAPÍTULO II, ,
LOGICA MATEMATICA

CAPÍTULO II
LÓGICA MATEMÁTICA
Esta lógica también es conocida con los nombres de lógica simbólica y
lógica lTIoderna, se desarrolló muchos años (incluso siglos) después de la
lógica general y no fue obra de un solo filósofo y / o lógico, porque como
afirman Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg
se inició "... alo largo del siglo XIX en los trabajos de De Margan (1806-1876),
Boole (1815-1864), Frege (1848-1925) y Peana (1858-1932)"144.
)
La lógica clásica tiene limitaciones: 1. utiliza principalmente urt
lenguaje naturaF45, el cual es ambiguo, porque una palabra puede tener
más de un significado, y tal vaguedad se puede reflejar en toda una
discusión inútil, además el uso de dicho lenguaje, supuso para muchos
filósofos y / o lógicos, vinculaciones de la lógica con la gramática y la
ontología, tal y como se señaló al desarrollar la función enunciativa de
los juicios en el primer capítulo; y, 2. las formas del silogismo aristotélico
son simbólicas, pero como afirmó George Boole en su libro publicado por
primera vez en 1847 llamado El análisis matemático de la lógica146
, dichos
símbolos son menos perfectos que los de la matemática.
144 Echave, Delia Teresa, y otros. Lógica, proposición y norma. Argentina, Editorial Astrea,
2002, sexta reimpresión de la primera edición, página: 27.
145 María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti definen el lenguaje natural como aquel
"...que se hereda, que transmite las costumbres ylos usos de una cultura". Campagna, María
Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 14. .
146 Boole, George. Elanálisis matemático de la lógica. Traducción de: Esteban Requena Manzano;'
España, Ediciones Cátedra, Sociedad Anónima, 1984, segunrlF.l edición, página: 48.
57

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Con el uso de un lenguaje simbólico, la lógica matemática supera
los límites de la lógica general, porque aquella lógica utiliza símbolos
más perfectos, ya que cada uno posee un significado único para evitar
imprecisiones o equivocaciones en los razonmnientos, y no se le vincula
con la gralnática ni la ontología.
A. DEFINICIÓN
Esta lógica se ha definido de la siguiente manera:
1. Antonio González la define COlno: "... una disciplina formal que
estudia la relación de inferencia y sus elementos, tratando de determinar las
formas fundamentales de la inferencia correcta"147;
2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc afirman que la lógica
matemática es una disciplina formal que se ocupa únicamente de
estructuras formales de los razonamientos y de los enunciados,
representados por sÍnlbolos que expresan partículas gramaticales como los
adjetivos cuantitativos, la cópula "es" o "no es", la conjunción condicional
"si...entonces...", y de las relaciones entre dichas estructurasl 48
;
3. Jorge Witker y Rogelio Larios expresan que es una ciencia formal
"...que se ocupa del análisis del razonamiento y del uso del lenguaje atendiendo
a sus elementos formales o sintácticos"149; y,
4. El diccionario Wikipedia precisa su naturaleza como: "...la disciplina
que se vale de métodos de análisis y razonamiento utilizando el lenguaje de
las matemáticas como un lenguaje analítico. La lógica matemática nos ayuda
a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales como el silogismo,
hacer demostraciones de teoremas y es auxiliar en el análisis de argumentos
planteados"150.
En las definiciones citadas existen las siguientes semejanzas: 1. todas
tienen en común que la lógica matemática tiene carácter "formal", el
cual ya estaba señalado en la lógica aristotélica pero a un nivel inferior,
porque sus símbolos (utilizados para representar los términos de las
proposiciones en un silogismo) no eran suficientes para determinar la
147 González, Antonio. Op. cit., página: 117.
148 Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 9-13 y 20.
149 Witker, Jorge, y Rogelio Larios. Op. cit., páginas: 3, 72 Y73.
150 Lógica matemática. Wikipedia, la enciclopedia libre. Disponibilidad y acceso:
es.wikipedia.org/wiki/Lógica_rnaternática. Fecha de consulta: 19 de junio de 2006.
58

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validez o invalidez de un razonamiento. En la últÍlna definición no es
explícito este elemento, pero el mismo se detern1ina por el uso del lenguaje
de las matemáticas en la lógica como un lenguaje analítico para el estudio
de su objeto; 2. las definiciones de Antonio González, José Ferrater Mora,
Bugues Leblanc, Jorge Witker y Rogelio Larios, todas expresan que el
objeto de estudio de la lógica matemática es el "razonamiento", con la
salvedad que Antonio González en su definición utiliza el término de
"relación de inferencia", como sinónin10 de "razonamiento", pero aquél
no es idéntico a éste, tal y como quedó aclarado al estudiar esta última
forma general del pensamiento en la lógica general; y, 3. la definición
de José Ferrater Mora, Hugues Leblanc, Jorge Witker, Rogelio Larios
y la contenida en el diccionario Wikipedia comprenden en diferentes
términos el uso del lenguaje simbólico o de las matemáticas en la lógica
moderna.
Entre las diferencias de las expresiones de la esencia del concepto
de lógica simbólica, a parte de las derivadas -naturalmente- de la no
semejanza total entre los elementos de las mismas, la más importante
radica en que la contenida en el diccionario Wikipedia no expresa el
objeto de estudio de la lógica matemática, sino su finalidad, pero con tal
discrepancia se produce su complementariedad.
Como resultado del examen comparativo indicado, se puede definir
la lógica matemática como una ciencia formal que estudia los conceptos,
los juicios y los razonamientos, los cuales son representados con el uso
del lenguaje simbólico de la matemática a partir del análisis de las formas
COlno se expresan dichos elementos del pensamiento: los términos, las
proposiciones y los argumentos o los silogismos, respectivamente, para
determinar la validez del raciocinio en base a las relaciones formales de
sus elementos.
B. LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica matemática que se le nombra de diferente
forma:
1. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg151
la llaman lógica proposicional, porque para ellos la proposición es el
elemento general del pensamiento que se constituye de conceptos, en el
151 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 35-37.
59

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que uno se afirma o niega a otro, o dicho de otro modo, la proposición es
el contenido de su expresión verbal llamado enunciado; y,
2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc152
la llaman lógica sentencial
(de sentencia), porque, para dichos lógicos, juicio es el acto lnental
mediante el cual se une o separa conceptos mediante su afirn1ación o
negación, respectivamente, proposición es el producto de dicho acto,
es el pensamiento mismo, y la sentencia, es un conjunto de signos con
los que se expresan las proposiciones (es la manifestación verbal de la
proposición).
Con base a lo que se estudió en lógica clásica, los lógicos indicados
tanto en el numeral"l." como en el "2.", llaman proposición a lo que
se aprendió como juicio, con la diferencia de que los primeros llaman
a la manifestación verbal de dicho elemento general del pensamiento
"enunciado", y los segundos "sentencia". Para los efectos de mantener
un sentido unívoco de los términos en consideración en este trabajo de
investigación, se seguirá firme con las ideas expresadas en la lógica de los
enunciados: juicio no es el acto por el cual el entendimiento une o separa
dos ideas o conceptos, mediante la afirmación o la negación, porque es
el producto de dicho acto, es el pensamiento miSIlla que se constituye
de conceptos, en el que uno se afirma o niega a otro, y su manifestación
verbal se llama proposición o enunciado.
Con fundamento en lo que se entiende por juicio y proposición o
enunciado, se puede resaltar la diferencia sustancial que supone llamar a
esta parte de la lógica simbólica de diferente fonna: si se aplica la noción
de Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg,
realmente se trataría de una lógica de juicios (porque para dichos filósofos
la proposición es lo que se ha definido como juicio), pero si se atiende la
concepción de José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, se trataría de una
lógica de proposiciones (porque para los citados lógicos la sentencia no
es más que la expresión de un juicio).
En esta monografía se llamará a esta parte de la lógica moderna como
lógica proposicional, porque a partir del análisis de las proposiciones o
los enunciados se representan su objeto de estudio.
152 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 23 y 24.
60

L/e FflUj / 'j)() J.IVIEP, l<OSAIJ.r; u,/'/,'j()
Aclarado el problema de terminología, se definirá la lógica
proposicional:
1. Antonio González la define como una parte de la lógica matemática
que estudia lógicamente inferencias sin tener en cuenta la estructura
interna y los componentes de las proposiciones que la integran153
;
2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc la definen como una rama
de la lógica matemática ".. .que trata de las sentencias como unidades y de
b· · "154
sus com maClOnes... ;
3. José A. Diez Calzada la define como parte de la lógica moderna
que estudia "...la validez de los argumentos cuya validez depende sólo de las
conexiones entre afirmaciones (proposiciones/enunciados) completas. La lógica
proposicional debe explicar o poner de manifiesto los motivos por los que ciertos
esquemas argumentativos son válidos... y ciertos otros son inválidos... "155; y,
4. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti la precisan como
la lógica que se dedica al estudio de la determinación de la validez o
invalidez de algunos razonamientos sobre la base de las relaciones de
las proposiciones que los integran156.
Las diferencias entre las definiciones son las siguientes: 1. por el
nombre de los elementos: únicamente José Ferrater Mora y Hugues
Leblanc se refieren al estudio de las"sentencias", empero tal diferencia
nominal se aclaró al abordar el tema del nombre de esta parte de la
lógica matemática; y 2. por su objeto de estudio: Antonio González
afirma que son las inferencias; José A. Diez Calzada, los argumentos
y, María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti, los razonamientos.
No se puede admitir que el único objeto de la lógica proposicional
son las inferencias, porque como se expresó en la lógica general, tal
nombre hace alusión a la derivación de un juicio de otros, aunque en
la lógica moderna se extiende su sentido incluso al paso de varios
juicios de otros. Lo que sí estudia la lógica proposicional son los
razonamientos, los cuales son significados a partir del análisis de
las formas como se expresa dicho elemento del pensamiento: los
153 González, Antonio. Op. cit., páginas: 117 y 118.
154 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., página: 24.
155 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 35 y 36.
156 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 64.
61

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argumentos y los silogismos157
, siempre y cuando sus proposiciones
puedan ser representadas simbólicamente de forma completa sin
atender sus cOlnponentes.
La últÍlna diferencia ll1uestra también algo en común en las
definiciones de los lógicos indicados: 1. Antonio González lo hace
ver con la expresión "...sin tener en cuenta la estructura interna y los
componentes de las proposiciones que la integran... "; 2. José Ferrater Mora y
Hugues Leblanc al indicar "...sentencias como unidades... "; 3. JoséA. Diez
Calzada en ".. .argumentos cuya validez depende sólo de las conexiones entre
afirmaciones (proposiciones/enunciados) completas... "; y, 4. María Cristina
Cmnpagna y Adriana Lazzeretti al señalar "...algunos razonamientos
sobre la base de las relaciones de las proposiciones que los integran". En
efecto, todas esas expresiones denotan la 'semejanza y la limitación de
la lógica proposicional: esta parte de la lógica matemática únicamente
analiza los argumentos y los silogismos en los que se puede representar
simbólicamente sus proposiciones sin considerar los elementos que las
integran (los términos de los que consta cada proposición: sujeto, cópula
y predicado). De los silogismos estudiados en lógica general, pueden ser
perfectamente simbolizados por la lógica proposicional el hipotético, el
disyuntivo y el dilema, porque los otros tres: el categórico, el entinema
y el epiquerema, se tendría que significar también los términos de las
proposiciones para determinar su validez. Para establecer la corrección o
validez de estas formas del silogismo y argumentos más complicados, los
lógicos han creado otra rama o parte de la lógica matemática, constituida
de un lenguaje simbólico más complejo, que denominan lógica de
predicados, lógica de primer orden o lógica cuantificacional elemental,
pero el estudio de la misma no está dentro de los objetivos de este trabajo
de investigación.
Aclarado lo anterior, se puede definir la lógica proposicional como la
parte de la lógica matemática que estudia los juicios, las relaciones entre
juicios y los razonamientos, los cuales son significados con el uso de un
lenguaje simbólico a partir del análisis de las formas como se expresan
157 Todo argumento es un silogismo, pero no a la inversa, porque como se desarrolló al
estudiar la forma del pensamiento más compleja en la lógica general, el argumento
es un acto de habla de carácter pragmático con la simple pretensión de formar una
secuencia de proposiciones (que constituyen cualquier tipo de razonamiento), y el
silogismo se concibe como la expresión verbal del razonamiento deductivo.
62

/. /e. /D N./'J /lU ¡ ·V/U' f« )" "IIJ',') (;/.:-' ¡ 'JU
dichos elen1entos del pensamiento: las proposiciones, sus relaciones y los
argumentos o los silogismos, pero sólo en el caso de que los enunciados
puedan ser representados simbólicamente de forma completa sin atender
sus componentes, para determinar la validez o invalidez del raciocinio.
1. Variables proposicionales
Son los signos que representan proposiciones declarativas158
,
y se simbolizan con las letras "p", "q", "r", "s", "t" y siguientes
letras del alfabeto. En caso de que en un argumento existan muchas
proposiciones, que excedan en número a las variables indicadas, se
suele aplicar subíndices a las mismas para tener una serie más extensa,
pero en cualquier caso, una proposición determinada será representada
por sólo una variable proposicional, por ejemplo: "si Pedro colisiona
deliberadamente con su vehículo, entonces Pedro será responsable por
los daños causados. Pedro colisiona deliberadamente con su vehículo.
Luego, Pedro será responsable por los daños causados", la proposición
"Pedro colisiona deliberadamente con su vehículo" se representa por la
variable "p", y "Pedro será responsable por los daños causados" por
"q", entonces tal forma del pensamiento se simboliza así: "Si p entonces
q. p. luego, q".
Las variables proposicionales pueden ser verdaderas o falsas, según si
la proposición que representan tenga uno u otro valor, y se simboliza
con las letras V o F, o por los números 1 ó 0, respectivamente159
. Tales
valores de verdad no significan que lo expresado en la proposición refleje
la realidad, porque tienen un sentido puralnente formal para determinar
la validez de los argumentos.
158 José Ferrater Mora y Hugues Leblanc advierten acertadamente que las variables de la
lógica proposicional representan únicamente proposiciones declarativas, expresadas
en gramática en modo indicativo, porque las proposiciones o enunciados en modos
subjuntivo e imperativo son representados también por símbolos pero por otras
lógicas, por ejemplo, los imperativos son objeto de estudio de la lógica deóntica.
Tales filósofos usan el término "sentencia" en vez de "proposición", pero se aplicó
su pensamiento a esta última noción para que los términos de este trabajo de inves-
tigación se entiendan en el mismo sentido. Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc.
Op. cit., página: 24.
159 Porque las variables proposicionales pueden tener uno de dos valores: verdadero p
falso, esta lógica tiene la característica denominada "bivalente". Campagna, María
Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 115 y 116.
63

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2. Constantes o conectivas lógicas y tablas de verdad
Las constantes o conectivas lógicas son los signos que representan las
relaciones entre las proposiciones, comúnmente simbolizan conjunciones
del lenguaje natural. Las constantes más frecuentes son las siguientes:
a. Negador
Enlógicaproposicionalel negador es una conectivalógicarepresentada
con el símbolo"-", que se antepone a la variable proposicional a negar,
verbigracia: "-p". Esta expresión se lee "no p" o "no es el caso que p".
El negador cambia el valor de verdad de la variable proposicional que
antecede, así, si "p" es verdadera, "-p" será falsa, y si "p" es falsa, "-p"
será verdadera.
Lo anterior se expresa en la siguiente tabla de verdad:
p -p
1 O
O 1
En lenguaje natural el negador es la negación que se representa
usualmente con las palabras: a.l. "ningún" antes del sujeto de la
proposición; a.2. "no" antes del verbo de la proposición; o, a.3. "nunca"
antes del verbo de la proposición, por ejemplo: "Ningún" pájaro es
un animal racional, Fernando "no" viajará a Italia y María "nunca" ha
visitado las playas de Guatemala. El ejemplo proporcionado en la literal
"a.l.", es un enunciado que significa un juicio universal negativo, el
cual no es objeto de estudio de la lógica proposicional, porque forma
parte de silogismos categóricos o argumentos más complejos que para
representarlo se tendría que simbolizar los términos que lo integran, por
lo que es objeto de estudio de la lógica de predicables.
Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg
muestran la versatilidad del lenguaje natural para referirse a la negación
con el uso de las siguientes expresiones: "es inexacto que...", "es mentira
que..."160.
160 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 52.
64

1.1e. rt~ I~N, Nj)() f.· V1 L1~ l<o.-;,,,L.C.'1 CR/.l.AJU
b. Coyuntor
Es una constante o conectiva lógica representada con el símbolo"/",
el cual se sitúa entre dos variables proposicionales, por ejemplo: "p /
q". Esta expresión se lee "p y q", la cual representa una proposición que
será verdadera sólo en el caso que las dos proposiciones que la integran
también sean verdaderas.
La siguiente tabla de verdad de esta constante refleja lo manifestado:
p
1
1
O
O
/
1
O
O
O
q
1
O
1
O
En lenguaje natural el coyuntor es la conjunción copulativa "y", la
cual establece una relación de unión entre las proposiciones, empero,
también cumplen esa función las siguientes palabras: "pero", "aunque" y
"sin embargo", por ejemplo: Alejandro quería estudiar "pero" olvidó sus
libros, Roberto construyó la casa, "aunque" no se ajustó a todo lo indicado
en el plano y Miguel nunca fue un buen estudiante, "sin embargo" en el
ejercicio profesional es brillante.
c. Disyuntor
Es una conectiva lógica representada conel símbolo "v", el cual se ubica
entre dos variables proposicionales, verbigracia: "p v q". Esta expresiónse lee
"p o q", la cual representa una proposición que será verdadera si allnenos
una de las dos proposiciones que la constituyen es verdadera, o lo que es
igual a decir que únicamente será falsa si sus dos proposiciones son falsas.
La tabla de verdad de esta conectiva es la siguiente:
p
1
1
O
O
v
1
1
1
O
q
1
O
1
O
En el lenguaje natural el disyuntor es la conjunción disyuntiva"o", la
cual presenta una alternativa entre las proposiciones, por ejemplo: Javier
65

I U( ~ / (. 1I J/:.:. inlc : IN'I J' /./, II :.I/ () 11I / 1J.<,PL"1.'n1 I I'¡1/ . ¡·I.¡W./ ) 1.'1 ..·I :C)( ;.·1 lU unc.··,i ti:
decidió ir a sus clases de piano"o" a sus clases de lógica. La conjunción
en consideración puede tener otro sentido, tal y como se muestra en el
ejemplo indicado, porque en el uso cotidiano de dicha partícula puede
significar que es verdadera solamente si una de las proposiciones es
verdadera, es decir, que es falsa si las dos son verdaderas y si las dos son
falsas. Sin embargo, como expresan Delia Teresa Echave, María Eugenia
Urquijo y Ricardo Guibourg, en la lógica silnbólica es lnás frecuente el uso
del primer tipo de disyuntor, denominado "incluyente", porque permite
definir otras constantes o conectivas lógicas161.
José A. Diez Calzada agrega que la disyunción inclusiva, la que es
falsa solamente si sus dos simples que la integran son falsas, también
se expresa en el lenguaje natural con la frase "...y a menos que...", y la
disyunción exclusiva con la siguiente: "o talo cual"162.
d. Condicional o implicador
Es una constante o conectiva lógica representada con el símbolo
/1 7 /1, el cual se coloca entre una proposición denominada antecedente
o condición y otra proposición llamada consiguiente o condicionado,
por ejemplo: /l p -7 q". Esta expresión se lee "si p entonces q" o "p es
condición suficiente de q", la cual representa una proposición que
será falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consiguiente
es falso.
Lo expresado se traduce en la siguiente tabla de verdad:
p
1
1
O
O
1
O
1
1
q
1
O
1
O
Se afirmó que la variable "p" es condición sufisiente de "q", esto
significa que, como explican Delia Teresa Echave, María Eugenia
161 El disyuntor incluyente es una conectiva lógica que, junto con el negador, se puede
definir las restantes constantes: el coyuntor, el disyuntor excluyente, el condicional
y el bicondicional, empero, el disyuntor excluyente únicamente puede definir, junto
con el negador, el bicondicional. ¡bid., páginas: 55, 94-96.
162 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 57.
66

L/e. l TR, /I¡¡OU J /I! / U~ /0.'-, ../. L> C / /I/ //I/U
Urquijo y Ricardo Guibourg, de la verdad de "p" se puede afirmar la
verdad de "q", o la verdad del antecedente es condición suficiente de
la verdad del consecuente, pero existe otra relación, el consecuente es
condición necesaria del antecedente, es decir, que de la falsedad de "q"
se puede aseverar la falsedad de "p"163. La dilucidación de estos tipos
de condiciones aclara la primera y la cuarta combinación de valores de
verdad de las variables proposicionales en la tabla de verdad relacionada
y las reglas del silogismo hipotético estudiadas en el primer capítulo, en
particular las identificadas con los numerales romanos "i." y "iv.".
En lenguaje natural el condicional corresponde a la conjunción
condicional"si...entonces...", aunque también se evidencia conla expresión
JI ••• implica...", verbigracia: "si" Juan se esfuerza en su objetivo, "entonces"
Juan logrará hacer su objetivo realidad. Dicha ~onjunción, como señala
Antonio González, dista de la estudiada en lógica matemática, porque en
lenguaje natural entre las proposiciones o conjunto de éstas se produce
una relación de necesidad, es decir, que lo expresado en el antecedente
efectivamente sea "congruente" con lo manifestado en el consiguientel64
,
lo cual no es requisito en la lógica proposicional porque no se enfoca en los
significados de las proposiciones sino su relación formal.
e. Bicondicional o equivalencia
Es una conectiva lógica representada con el símbolo "~7", el cual se
coloca en medio de dos variables proposicionales, por ejemplo: "p ~7 q".
Esta expresión se lee "p equivale a q",la cual representa una proposición
que será verdadera si las dos proposiciones que la constituyen tienen el
mismo valor de verdad.
La tabla de verdad de esta constante es la siguiente:
p
1
1
O
O
1
O
O
1
q
1
O
1
O
67

Se le llama bicondicional porque es una condición doble, cada
variable proposicional es condición suficiente y necesaria de la otra,
razón por la cual la simbolización de esta conectiva lógica también se
lee: "p es condición suficiente y necesaria de q". En virtud de lo anterior
"p" equivale a "q" (p~~q) es lo mismo que "p" implica "q" (p ~ q) y
"q" implica "p" (q ~ p).
En lenguaje natural el bicondicional corresponde con la expresión"si
y sólo si...", la cual también se expresa como afirma José A. Diez Calzada
en"...en el caso y sólo en el caso..."165, por ejemplo: Cristian será abogado
"si y sólo si" se gradúa.
De todas las constantes estudiadas únicamente el negador se puede
aplicar a una variable proposicional, y es por esta razón que se le
denomina monádica, pero las otras conectivas lógicas: el coyuntor, el
disyuntor, el condicional y el bicondicional, se aplican a dos variables
proposicionales, por eso se les llaman diádicas.
3. Símbolos auxiliares
Son signos que se emplean en relaciones entre varias variables
proposicionales con la finalidad de: a. evitar ambigüedades en
su interpretación; y, b. establecer el orden de los cálculos lógicos,
evidenciando la conectiva lógica principal, es decir, la cual determina la
última operación a efectuar. Dichos signos son: los paréntesis "( )", los
corchetes "[ ]" y las llaves "{ }".
El orden para operar es de adentro hacia fuera, verbigracia: (p v q)
1 -p) ~ q. En la representación de este silogismo disyuntivo, primero se
efectúa el cálculo indicado por el disyuntor "V" en la proposición "(p v q)"
-premisamayor-; segundo, se operael negador de la variable proposicional
11 _p" -premisa menor-; tercero, con los resultados de las proposiciones
anteriores, producto del disyuntor y negador, se efectúa el cálculo indicado
conla constante"1" -relación de las premisas-; y, por último, el resultado de
esta constante, coyuntor, se opera con el valor de la variable proposicional
11 q" -conclusión-, que se encuentra fuera de los paréntesis, de conformidad .
con el comportamiento del condicional"~".
165 Diez Calzada, José A. op.cit., página: 57.
68

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4. Fórmula proposicional y reglas para su formación
El concepto "fónnula proposicional" ha sido definido de la siguiente
rnanera:
a. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg la
definen como "... una expresión simbólica que está compu.esta exclusivamente
por variables proposicionales, conectivas o signos lógicos y símbolos auxiliares
.. , no implica que todos ellos deban estar siempre.. .bastará con que haya, por lo
menos, una variable... 1/
166
; y,
b. José A. Diez Calzada llan1a fónnulas a "...las expresiones bien
construidas del lenguaje proposicional1/
167
•
Las definiciones citadas difieren únicamente en que la primera es más
extensa que la segunda, pero ambas son idénticas, porque el concepto
"lenguaje proposicional" utilizado por José A. Diez Calzada comprende
todos los signos enunciados por los lógicos indicados en la literal "a."
de este sub-apartado, que ya se han analizado y definido en el desarrollo
de esta lógica.
Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg
expresan en su definición que una fórmula proposicional puede estar
integrada únicamente con una variable proposicional, a ese tipo se le
llama "atómica", y el tipo de fórmula a la cual se aplica el conector
lógico monádico (el negador), o está compuesta de dos o más variables
proposicionales, relacionadas por constantes diádicas y entre sÍlnbolos
auxiliares se llaman moleculares.
La composición de una fónnula proposicional no es arbitraria, ya
que no cualquier combinación de elementos del lenguaje proposicional
pueden conformarla satisfactorian1ente. Para dichos fines los lógicos
formulan reglas para su formación, y Delia Teresa Echave, María Eugenia
Urquijo y Ricardo Guibourg 168 las expresan de la siguiente manera:
a. Una variable proposicional es una fórmula, verbigracia: "p" o "q"
o cualquier otra es una fórmula;
b. Una fórmula antecedida por una constante monádica (el negador)
es una fórmula, por ejemplo: "-p"; y,
69

c. Dos fÓrnll.llas entre algún súnbolo auxiliar, y relacionadas por una y
solo una conectiva lógica diádica (el coyuntor, el disyuntor, el condicional
o el bicondicional) son una fórmula, verbigracia: (p / q), (r v s), (t ~ u),
y (v f-~ w).
Con fundamento en estas reglas se puede decir que "algunos" de
los elementos del silogismo disyuntivo, cuya representación simbólica
se expresó en el apartado de los "símbolos auxiliares" -numeral 1/2.3."
de este capítulo-, son una fórmula, porque I/(p v q)", la premisa mayor,
es una fórmula definida en la tercera regla; "_p", la premisa menor, es
una fórmula definida en la segunda regla; y, "p", la conclusión, es una
fórmula definida en la primera regla. Sin embargo, dichos cánones no
son suficientes para determinar: a. si es o no fórmula la relación entre
las premisas y la que se produce entre éstas con la conclusión, ya que,
por ejemplo, no se puede predicar si es o no una fórmula "(p v q) / -q",
porque no existe una norma que establezca que es fórmula la unión de
dos variables proposicionales entre algún símbolo auxiliar, relacionadas
por una conectiva lógica diádica, con la negación de una variable
proposicional; y, b. si una relación de variables proposicionales como la
siguiente 11-(p / q)" es o no una fórmula, porque no existe una regla que
así lo determine.
Otros lógicos, como José A. Diez Calzada, en vez de definir las
reglas para formación de fórmulas proposicionales en base a un número
determinado de "variables proposicionales", "fórmulas", "conectivas
lógicas mónadicas o diádicas" y 11símbolos auxiliares", lo hace a través
de la noción "metavariable"169 (que se representará con las letras del
alfabeto griego alfa, beta y gamma: a, By V, respectivamente), con la
cual se refiere a 11 cualquier" tipo de enunciado o secuencia del lenguaje
proposicional, expresando con fundamento en dicha idea las normas de
la siguiente manera170:
a. Toda letra enunciativa -sola- es una fórmula;
b. Si a es fórmula, entonces la secuencia - a es fórmula;
169 Las metavariables corresponden a un metalenguaje, es decir, a un sistema de signos
que se emplea para referirse al lenguaje proposicional o lenguaje objeto. Diez Calzada,
José A. Op. cit., páginas: 47 y 48.
170 Ibid., páginas: 49 y 50.
70

c. Si a y Bson fórmulas, entonces las secuencias (a / B), (a v B), (a -7
~) Y(a ~-7 B) son fónnulas; y,
d. Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen alguna de las
cláusulas anteriores.
José A. Diez Calzada, a diferencia de los lógicos citados, enuncia
una cuarta cláusula afirmando que la misma es "necesaria" porque con
fundamento en ella se puede predicar si una fónnula está o no bien
formada. Se estima que no tiene tal carácter, porque únicamente enuncia
la operación mental consistente en juzgar o discernir si una cosa es talo
cual otra, y dicha facultad no está sujeta o condicionada a la manifestación
del fenómeno.
El último tipo de estipulaciones para la formación de fórmulas
proposicionales es más abstracta, y son suficientes para analizar toda
fórmula proposicional, porque con las mismas se puede establecer que
la relación entre las premisas y la conclusión del silogismo disyuntivo
estudiado y representado así "(p v q) 1 -p) -7 q", es del tipo ( a -7 B)
porque la primera metavariable, la letra a , significa la relación de las
premisas: "(p v q) 1 -p)", y la segunda metavariable, la letra B, representa
únicamente la conclusión: "q".
5. Funciones de verdad y cálculo lógico:
tautología, contradicción y contingencia
Antonio González171
, María Cristina Campagna, Adriana Lazzerettpn,
Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg173
definen
la función de verdad como una fórmula proposicional molecular, cuyo
valor de verdad está determinado por el valor de sus fórmulas atólnicas
o componentes.
Para determinar el valor de verdad de las fórmulas proposicionales
moleculares se tiene que realizar su cálculo lógico, para lo cual se procede
de la siguiente manera:
a. Hay que elaborar su tabla de verdad, y para ello se tiene que
establecer las diferentes combinaciones de valores veritativos entre las
172 Campagna, María Cristina y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 89.
71

LU( ;}( .. Iu1 11)fC ... 11·1." ¡ I(~ U, !I.!J (( .l 11'·,1)1"; 1'!JJS I:¡./ . 1', 1.' 1'1.1L11..< yt:J . .{{(J( :, 1)U IJ I IC/ 'TI:
fórmulas atón1icas que la integran, con apoyo en la fónnula dos (2) a la
"n" exponente, donde el número dos (2) representa las posibilidades
verdadero-falso de cada variab]e proposicional, y la "n" la cantidad
de estos elelnentos de] lenguaje proposicional. Así, por ejelnplo,
una fónnula molecular integrada por dos (2) fórmulas atómicas, le
corresponden cuatro (4) combinaciones de valores veritativos entre sus
variables proposicionales; una integrada por tres (3) fórmulas atómicas,
le corresponden ocho (8) combinaciones de valores veritativos entre
sus variables proposicionales; y una integrada por cuatro (4) fórmulas
atómicas le corresponden dieciséis (16) combinaciones de valores
veritativos entre sus variables proposicionales.
Para agotar todas las combinaciones de valores veritativos entre las
fórmulas atómicas de una tabla de verdad de una fórmula molecular,
José A. Diez Calzada174
, entre otros lógicos, determinan el siguiente
procedimiento:
a.l. Colocar bajo la prilnera fórmula atómica una serie de un (1)
uno (verdadero)'y un (1) cero (falso) en forma alterna hasta completar
el número correspondiente a la totalidad de combinaciones de valores
veritativos entre las atómicas;
a.2. Poner bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de la anterior,
una serie de dos (2) unos (verdadero) y dos (2) ceros (falso) en forma
alterna hasta completar el número correspondiente a la totalidad de
combinaciones de valores veritativos entre las atómicas;
a.3. Colocar bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de las dos
anteriores, una serie de cuatro (4) unos (verdadero) y cuatro (4) ceros
(falso) en forma alterna hasta completar el número correspondiente a la
totalidad de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas; y,
a.4. Situar bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de todas las
anteriores una serie de una cantidad equivalente a la mitad del total
de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas en unos
(verdadero) y en ceros (falsos) en forma alterna.
Cada asignación de valores de verdad a una variable proposicional
se tiene que repetir tantas veces aparezca esta en la fórmula molecular.
72

LlC'. r /:/' J. Nl lO IA I 'fI:R I, US;'IU'S (;1" l.' I. IU
b. Después de haber asignado a cada variable proposicional un
valor de verdad en todas y cada una de sus posibles combinaciones en
la fórmula proposicional, se operan las lnisn1as de conformidad con el
comportamiento de cada constante o conectiva lógica que las relacionan,
según como se definió en el numeral "2." de este capítulo, en el orden
determinado por los símbolos auxilires: de adentro hacia fuera, y siempre
en función de la conectiva principal o central.
Como ejemplo de lo anterior, se efectuará el cálculo lógico de un
dilema, una forma de silogismo estudiada en el primer capítulo de este
trabajo:
Premisas:
Luis Sorín es condenado por asesinato o Luis Sorín es condenado por
homicidio.
Si Luis Sorín es condenado por asesinato, entonces Luis Sorín será privado
de su libertad.
Si Luis Sorín es condenado por homicidio, entonces Luis Sorín será
privado de su libertad.
Conclusión:
Luis Sorín será privado de su libertad.
Cada proposición del dilema se simboliza así:
"Luis Sorín es condenado por asesinato" es "p"
"Luis Sorín es condenado por homicidio" es "q"
l/Luis Sorín será privado de su libertad" es "r"
La relación entre dichas proposiciones se representan en la fórmula
proposicional: "[(p v q) / (p -7 r) / (q -7 r)] -7 r".
Para determinar la validez de esa expresión lógica hay que proceder
de la siguiente manera:
a. Elaborar su tabla de verdad. La fórmula proposicional en
consideración tiene tres variables proposicionales: "p", "q" y "r", por lo
que se multiplica dos (2), la base del exponencial, tres (3) veces: dos (2)
por (X) dos (2) por (X) dos (2) es igual (=) a ocho (8). Entonces, debajo de
cada variable proposicional se asignarán ocho valores de verdad en cada
aparición en la fórmula molecular: bajo la letra "p" una serie de un (1) und
(verdadero) y un (1) cero (falso) alternándolos hasta un total de ocho (el
73

(lJe /e ; jw;:il lle. : I¡j" /'/W, I/ ,N I () IN I II "; Pf.N,'· IUL Jl,I' U jWJ y U ,·HUC/tIlU [Jnc.'.''/'I:
resultado de la base dos -2- al exponente tres -3-); bajo 11 q", una sucesión
de dos (2) unos (verdadero) y dos (2) ceros (falso) alternándolos hasta un
total de ocho; y bajo de "r", una cadena de cuatro (4) unos (verdadero)
y cuatro (4) ceros (falso).
La tabla de verdad del dilema es:
[(p v q} J (12 -7 r} J (q-7JlL-7-.I
1 1 1 1 1 1 1
O 1 O 1 1 1 1
1 O 1 1 O 1 1
O O O 1 O 1 1
1 1 1 O 1 O O
O 1 O O 1 O O
1 O 1 O O O O
O O O O O O O
b. Determinada la tabla de verdad, se operan los valores de verdad de
cada fórmula proposicional, según el comportamiento de cada constante
que las relaciona175
, en el orden determinado por los símbolos auxiliares:
de adentro hacia fuera, y siempre en función de la conectiva principal
o central.
La conectiva principal en esta fórmula molecular es el condicional
"-7" que se encuentra fuera de los corchetes, ya que es una secuencia del
tipo (a -7 ~) según la tercera regla del segundo tipo de normas estudiadas
para formación de fórmulas moleculares (las que se apoyan en la noción
de "metavariables"), en donde:
a significa "[(p v q) J (p -7 r) J (q -7 r)]", y ~ representa "r".
El orden para operar es el siguiente: primero se efectúa el cálculo
indicado por el disyuntor de la fórmula molecular "(p v q)" -primera
premisa-; segundo, se realiza el cálculo indicado por el condicional en
175 Esta forma de cálculo lógico es llamado por José A. Diez Calzada como "semántico",
ya que el mismo se funda en las propiedades"semánticas" de las proposiciones: ver-
daderas o falsas. Empero, existe otra forma de determinarla validez de los argumentos
y los silogismos, el cual consiste en operaciones entre las fórmulas proposicionales
con fundamento en ciertas reglas de inferencia. Dicha forma de cálculo, llamado
"sintáctico", no se estudiará en esta tesis porque sobrepasa los alcances de la misma.
Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 63 y 95.
74

LlC. I'J'KV··.'jX ) /... · I E.l~ IWS.·U:,S C/':''I,'/ C)
la fórmula "(p -7 q)" -segunda pren1isa-; tercero, se opera el cálculo
'ndicado por el condicional en la fórmula molecular "(q -7 r)" -tercera
1 remisa-; cuarto, con los resultados de la prÍlnera y segunda premisa,
~roducto del disyuntor y condicional, se efectúa el cálculo indicado con
'la constante "N' -relación de premisas-; quinto, con el resultado de esta
conectiva lógica, el coyuntor, y el del condicional de la tercera premisa,
se realiza la operación detenninada por la conectiva lógica 11 /I! -relación
de premisas-; y sexto, y último cálculo, con el resultado de esta última
constante, el coyuntor, y el valor de verdad de la variable proposicional
"r" -conclusión-, que se encuentra afuera de los corchetes, se efectúa la
operación según la conectiva principal, el condicional.
Se numerará cada paso del cálculo lógico en la parte superior de la
fórmula proposicional que se opera.
1 4 2 5 3 6
[(12 v q} / (p -7 r) / (q -7--D.L-7-.r
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
O 1 1 1 O 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 O 1 1 1 1 1 O 1 1 1 1
O O O O O 1 1 O O 1 1 1 1
1 1 1 O 1 O O O 1 O O 1 O
O 1 1 1 O 1 O O 1 O O 1 O
1 1 O O 1 O O O O 1 O 1 O
O O O O O 1 O O O 1 O 1 O
El resultado del dilema, cualquiera que sea el valor de verdad de
las fónnulas atómicas que la integran, es verdadero. A esta fórmula
proposicional molecular, así como cualquier otra que debajo de su
conectiva principal (indistintamente de las combinaciones de valores
de verdad entre sus componentes) tenga sólo unos (verdadero), se les
llaman tautologías.
También existenfórmulas que, indistintamente del valor de verdad de
sus atómicas, el resultado es siempre falso, y a éste tipo se les denomina
contradicciones. Estas pueden ser producto de anteponer el negador al
dilema o a cualquier otra fórmula molecular tautológica.
y existen fórmulas moleculares que, bajo cierta combinación de
valores de verdad de sus atómicas, tendrán bajo su conectiva principal o
un uno (verdadero) o un cero (falso), es decir, que el resultado en este tipo
75

de fórmulas m.oleculares sí depende del valor de verdad de las variables
proposicionales, y se les llaman contingentes.
El cálculo lógico efectuado se complica en la medida en que en las
fórmulas lTIoleculares tienen más atómicas que la integran, por lo que
algunos lógicos, como María Cristina Campagna, Adriana Lazzerettp76
y José A. Diez Calzada177, tratan de un método más sencillo, llamado
"método de asignación de valores" o "método abreviado", el cual consiste
en tratar de encontrar una combinación de valores de verdad para todas
las variables proposicionales que integran la fórmula molecular, cuyas
relaciones produzcan una conclusión falsa, es decir, que el valor de
verdad debajo de la conectiva principal sea cero (falso), en cuyo caso la
función de verdad no será una tautología. Sin embargo, si no es posible
que la conclusión sea falsa, o si para ello hay que asignar dos valores de
verdad distintos a una sola variable proposicional, entonces la fórmula
molecular es una tautología.
6. Leyes lógicas y reglas de inferencia
Las leyes lógicas son, como definen María Cristina Campagna,
Adriana LazzerettP78, Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y
Ricardo Guibourg179, fórmulas proposicionales en las que si se sustituyen
sus variables por los enunciados que representan el resultado será una
proposición lógicamente verdadera.
La determinación de la naturaleza de la ley lógica como "fórmula
proposicional" distingue su carácter de noción"general", porque no hace
alusión a una proposición en particular, sino a cualquiera de éstas que
participe de la estructura referida por la ley lógica.
Con fundamento en el contenido de la definición de ley lógica se
evidencia la relación de ésta con las tautologías: toda tautología es una
ley lógica. Como ejemplo de lo afirmado es el dilema estudiado, el cual
es una ley lógica.
A continuación se indican algunas leyes lógicas, que comprenden las
más básicas de las enunciadas por María Cristina Campagna, Adriana
176 Campagna, María Cristina¡ y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 85.
177 Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 72-75.
178 Campagna, María Cristina¡ y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 78.
76

Lle 1:¡.'R,"J,,.'I X) .lA/ IER KOS','tE:C"CRA,.J/}iJ
Lazzerettj180, Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo
Guibourg18
1, de las cuales las primeras tres son la representación simbólica
de los principios lógicos supremos de la lógica general:
a. Identidad:
p ~ q (también se le fonnula con el bicondicioI'lal: p~~ q182)
b. No contradicción:
- (p 1 _ p)
c. Tercero excluido:
pv-p
d. Doble negación:
-- p ~~ p
e. Definición del condicional por el disyuntor:
(p ~ q) ~ ~ (- p v q)
f. Definición del condicional por el coyuntor:
(p ~ q) ~ ~ - (p 1 _ q)
g. Definición del bicondicional por el condicional y el coyuntor:
(p ~~q) ~~ [(p ~ q) 1 (q ~ p)]
H. Definición del bicondicional por el negador,
el disyuntor y el coyuntor:
(p ~~q) ~~ [(p 1 q) v ( - P 1 _ q)]
1. Negación del condicional:
- (p ~ q) ~ ~ (p 1 _ q)
J. Asociatividad del coyuntor:
[p 1 (q 1 r)] f-~ [(p 1 q) 1 r]
180 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 78 y 79.
181 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 90-93. ~
182 Ver en la página 7 de este trabajo las observaciones que Antonio González hace"ií.l
principio lógico supremo de identidad (el cual está expresado en lenguaje simbólico).
77

k. Asociatividad del disyuntor:
[p v (q v r)] ~ -7 [(p v q) v r]
1. Asociatividad del bicondicional:
[p ~-7 (q ~-7 r)] ~-7 [(p ~-7 q) ~-7 r]
m. Conmutatividad del coyuntor:
(p / q) ~-7 (q / p)
n. Conmutatividad del disyuntor:
(p v q) ~-7 (q v p)
o. Conmutatividad del bicondicional:
(p ~-7 q) ~-7 (q ~-7 p)
p. Distributividad del coyuntor respecto al disyuntor:
[p / (q v r)] ~-7 [(p / q) v (p / r)]
q. Distributividad del disyuntor respecto del coyuntor:
[p v (q / r)] ~-7 [(p v q) / (p v r)]
r. Autodistributividad del condicional:
[p -7 (q -7 r)] ~-7 [(p -7 q) -7 (p -7 r)]
s. Transitividad del condicional:
[(p -7 q) / (q -7 r)] -7 (p -7 r)
t. Modus ponens o modus ponendo ponens (afirma afirmando):
[(p -7 q) / p] -7 q
u. Modus tollens o modus tollendo tollens (niega negando):
[(p -7 q) / - q] -7 - p
v. Silogismo disyuntivo:
[(p v q) / - p] -7 q
78

1,le IE /N/INnu 1 /"I f'1~ /W S.IL L'S CR.·VI.Aj<.)
Las reglas de inferencialR3
, como su nombre lo indica, aluden a
las normas que han de seguirse para derivar una o varias fórmulas
proposicionales de otra u otras, y es por ello que utilizan la estructura
de las leyes lógicas, en las que se sustituyen las fórmulas atómicas y / o
las moleculares que las constituyen por metavariables1H4
, para enfocarse
únicamente en esa operación mental denominada inferencia.
En aplicación de lo expresado, se pueden enunciar, a modo de
ejemplo, las siguientes reglas de inferencia a partir de las leyes lógicas:
a. Doble negación:
- - a ~-7 a
b. Definición del condicional por el disyuntor:
(a -7 (3) ~-7 (-a v (3)
c. Definición del bicondicional por el condicional y el coyuntor:
(a ~-7 (3) ~-7 [(a -7 (3) 1 ((3 -7 a)]
d. Asociatividad del disyuntor:
[a v ((3 v y)] ~-7 [(a v (3) v y]
e. Conmutatividad del coyuntor:
(a 1 (3) ~-7 ((3 1 a)
f. Autodistributividad del condicional:
[a -7 ((3 -7 y)] ~-7 [(a -7 (3) -7 (a -7 y)]
g. Transitividad del condicional:
[(a -7 (3) 1 ((3 -7 y)] -7 (a -7 y)
h. Modus ponens o modus ponendo ponens (afirma afirmando):
[(a -7 (3) 1 a] -7 (3
183 Algunos lógicos como María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti desarrollan las
"reglas lógicas", y las definen como formas de razonamiento siempre válidas, pero
una regla, por definición, no puede ser algo totalmente distinto de su género, es decir,
una regla es una cláusula, pauta o norma a seguir para un determinado efecto, que
puede referirse a una forma de razonamiento, pero no confundir su naturaleza con
ella. Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 78. ..
184 Es la misma noción que se utilizó en un tipo de normas para formación de fórmulás
proposicionales, y se simbolizan con las letras del alfabeto griego a, ~ y y. Ver página 70.
79

1.
1(.)l :Il ',1 IUf IJ ){(.. ',': 1N,-;'IIW A/I :.'J'f'( ) Ir) LJI,'i J'I_ rS. I:I./: 1'.,1. I 1",11/1:;/ 1 f) .. IIIUl : 1JU U IH.; ,1/ 1'1::
Modus tollells O modus tollendo tollens (niega negando):
[(a -7 ~) 1 - ~] -7 - a
J. Silogislno disyuntivo:
[(a v (3) 1 - al -7 (3
Existen numerosas reglas de inferencia, pero algunos lógicos, como
Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg185,
afirman que aquellas pueden reducirse "en la práctica" únicalnente
a dos:
a. La regla de sustitución, que consiste precisamente en sustituir en
una ley lógica: a.l. una variable proposicional por otra o por una fórmula
molecular; o, a.2. una fórmula molecular por otra; siempre y cuando dicho
reemplazo sea de la misma manera en todas y cada una de las apariciones
de la variable proposicional y / o fórmula molecular a cambiar (salvo si se
trata de fórmulas equivalentes) y sin que se cambie la estructura de la ley
lógica, es decir, sin modificar sus conectivas lógicas; y,
b. La regla del modus ponendo ponens, porque lnediante la misma,
indistintamente de la estructura de las diversas leyes lógicas, se puede
entender la noción de "consecuencia", es decir, entender las premisas como
un conjunto de fórmulas proposicionales que constituirían el antecedente
del modus ponendo ponens, y la conclusión como su consiguiente, de tal
forma que, si aquellas son verdaderas, la conclusión será verdadera.
C. LÓGICA DE LAS CLASES
El objeto de estudio de esta lógica ya se ha mencionado, y en
consecuencia aplicado, en el primer capítulo de esta monografía (por
ejemplo, al definir los conceptos universales, los conceptos particulares,
la comprensión y extensión del concepto y los árboles lógicos), y en
lo desarrollado del presente (verbigracia: al definir la sentencia), con
los términos de "clase" o "conjunto", los cuales se utilizarán como
sinónimos.
Esta rama de la lógica moderna, con fundamento en la teoría de
conjuntos de la matemática, estudia los conceptos, las formas del juicio
categórico y el razonamiento deductivo, los cuales son representados con
185 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 100-106.
80

lA." I(/ / ; I) /)(I I 'IL / 1« )::U S ( ; I': ~ l jU
l USO del lenguaje silnbólico de aquella teoría, a partir del análisis de
fas fonnas COlno se manifiestan dichos elementos del pensamiento: los
términos, las proposiciones y los silogismos categóricos, respectivalnente,
para establecer la validez del raciocinio en base a las relaciones de sus
elementos.
A continuación, se estudiará y analizará los conocilnientos básicos
de la teoría de los conjuntos de la matemática para entender la lógica de
las clases.
1. Definición de clase
Las clases o conjuntos se han definido de la siguiente manera:
a. José A. Diez Calzada la define así: "Los conjuntos, o clases, son
"colecciones" de cosas, son entidades que consisten en tener otras entidades
como miembros"186; y,
b. Sergio Custodio manifiesta al respecto que: "Se denomina clase al
conjuntoformado por objetos, cosas,fenómenos ohechos que tienen características
comunes"187.
Ambas definiciones denotan el carácter"abstracto" de los conjuntos,
empero, la segunda es más explícita que la primera, porque "las
entidades contenidas como miembros" en las clases, pueden ser, como
expresa Sergio Custodio, objetos, cosas, fenómenos o hechos"que tienen
características comunes".
La relación entre el concepto definido (clase) y el elemento
diferenciador de las expresiones definitorias citadas (propiedad), ha
sido motivo de discusión entre varios lógicos que se plantean la relación
existente entre los mismos, ya que unos la identifican y otros, la rechazan.
José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, a pesar de que expresan que no
se pronuncian al respecto, afirman que: "...a toda clase corresponde (por lo
menos) una propiedad, y que a toda propiedad corresponde una clase. Decimos
'por lo menos', porque, por ejemplo, a la propiedad de ser humano corresponde
la clase de los hombres, pero a la clase de los hombres corresponden otras
propiedades además de la de ser humano (verbigracia, la propiedad de ser un
187 Custodio, Sergio. Op. cit., página: 81.
81

/( le le. IW UI )/( , : INS'I IW1 ILV I (i I/j Uf.'; 1'1.,'S" /:/1 : 1'1 / I'f ,/LIJ j r 11. ' UC,)C; .: /}LJ une, ¡in:
animal racional) ... 1/1HH. De lo expresado por dichos lógicos se puede inferir
que los mismos rechazan la identidad entre la clase y la propiedad, porque
aquélla puede contener más propiedades comunes entre sus miembros
que la determinante del conjunto y por eso, no son una sola y misma
cosa. Al respecto se considera que, además de lo inferido del pensamiento
de José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, no existe una relación de
identidad entre la clase y la propiedad, porque una simple descripción
de dichos objetos de conocimiento lo demuestra: un conjunto es un ente
que"comprende o no" otros objetos, y la propiedad no "comprende o
no" otros objetos, sino que "está" en ellos, es un elemento constitutivo
de los mismos.
2. Denotación de los conjuntos y su expresión simbólica
Los conjuntos pueden ser denotados por extensión o por comprensión,
pero en ambos casos se hace entre llaves "{}". La primera, consiste en
consignar entre dichos símbolos el nombre de todos los elementos del
conjunto, por ejemplo: {lógica, matemática}, {concepto, juicio, raciocinio}
y {l,2,3,4,5}. La segunda, consiste en consignar entre las llaves una
variable (x) y una condición que cumplan los entes que integran la clase
(c(x)), verbigracia:{x/x es una ciencia formal}, {xix es una forma del
pensamiento que estudia la lógica general} y {xix es un número menor
que seis}.
Los conjuntos se simbolizan de la siguiente manera: a. las clases con
las letras mayúsculas "A", "B", "C" y siguientes; b.los miembros de los
conjuntos con la letra minúscula "x", y sólo en caso de relaciones entre
éstos se utilizan otras variables con letras minúsculas "r", "s", "t", "y",
"z", y otras; y, c.la relación de los elementos del conjunto con éste, si es de
pertenencia se emplea el símbolo E, Ysi es de no pertenencia el signo E.
Por ejemplo: "x E A" significa que el elemento representado con la letra
"x" pertenece al conjunto aludido con el carácter"A", YIIX ft. A" que el
elemento expresado con la letra "x" no pertenece o no es miembro del
conjunto referido con el carácter"A".
Con los elementos anteriores se pueden formular los siguientes
enunciados de conjuntos: lógica E {xl x es una ciencia formal}, juicio E
{concepto, juicio, raciocinio}, 3 E {xix es un número menor que seis}, física
82

uc. Fl I,, ¡{)U ¡/IV/L/, l()S : L L'~ CK I¡/ ¡/ t.l
$. {lógica, matemática}, lo percibido por los sentidos ti:. {xl x es una fonna
del pensamiento que estudia la lógica general}, y 7 ti:. {l,2,3,4,5}.
Al exponer la denotación de los conjuntos por comprensión se
expresó que después de colocar una variable se indica una condición
que realicen los entes u objetos que integran la clase, empero no toda
condición determina un conjunto coherente o válido, porque como
expresó Bertrand Rusell existe una condición que puede implicar una
paradoja, la cual lleva su nombre. Dicha paradoja la explica José A. Diez
Calzada con apoyo de la propiedad "no ser miembro de sí mismo",
que significa la condición x ti:. x en los siguientes términos: "... Russell
mostró que este conjunto no puede existir. En efecto, supongamos que existe.
Para abreviar digamos que este conjunto es el conjunto R (R = (xl x ti:. xl).
Puesto que R es una cosa (en particular, un conjunto), podemos preguntarnos,
como hacíamos respecto de todo lo demás, si R tiene esa propiedad, esto es, si R
se pertenece a sí mismo o no. Supongamos que R se pertenece a sí mismo, e.e.
R E R. Entonces R tiene la propiedad que tienen todas las cosas que están en
R, a saber, no pertenecerse a símismo. Así pues, si R E R entonces R ti:. R. Por
tanto R no puede pertenecerse a símismo. Bien, supongamos ahora que R no se
pertenece a sí mismo, e.e. R ti:. R. Pero esa es justamente la propiedad que hace
que algo esté en R, pues algo está en R si no se pertenece a sí mismo. Asípues,
si R ti:. R entonces RE R. Resumiendo: RE R syss (si y solo si) R ti:. R, lo que
constituye simplemente una contradicción... "189.
Al inicio de esta lógica se estableció que los términos de "clase"
o "conjunto" se utilizarían como sinónimos, sin embargo se han
desarrollado nociones básicas para entender una diferencia entre
dichas palabras calificada como "técnica" por Willard Van Orman
Quine, quien al discernir que algunas teorías de conjuntos"obvian" las
paradojas por el procedimiento de declarar que "algunas clases no son
miembros de nada", y utilizan el término "conjunto" para referirse a
las clases que son miembros de algo. El citado lógico llama al otro tipo
de clases como "últimas"190. En virtud de lo anterior se justifica que se
utilicen indistintamente los términos de "clase" y "conjunto", porque
en el desarrollo de esta fundamental teoría de conjuntos no se tratan las
clases últimas.
189 Diez Calzada, José A. Op. cit" página: 245.
190 Van Orman Quine, Willard. Filosofía de la lógica. Traducción de: Manuel Sacristán,
España, Alianza Universidad, 1981, tercera edición, páginas: 124 y 125.
83

3. Principio de extensionalidad de las clases
Willard Van Orman Quine191, José A. Diez CalzadaJ92
y Antonio Gallo
Armosino193 tratan sobre el principio de extensionalidad de las clases,
el cual establece la identidad entre dos conjuntos si sus miembros son
los lnismos, ya que aquéllos son entidades extensionales y se puede
determinar su identidad en base a los elementos que los integran, sin
importar: a. la forma como se nombren o denoten (por extensión o por
comprensión); y, b. el orden en que se expresen y la repetición de algún
elemento en uno o en ambos conjuntos (en caso de que las clases se
denoten por extensión).
José A. Diez Calzada expresa simbólicamente el principio en
consideración así: "si para todo x ((x E A) si y solo si (x E B)), entonces A
= B11
194•
Ejemplos de conjuntos idénticos:
a. {1,2,3,4,S} es idéntico a {xix es un número menor que seis};
b. {xix es un polígono de tres lados} es idéntico a {xix es un triángulo}; y,
c. {a,b,c,d} es idéntico a {d,c,b,b,a}.
El principio de extensionalidad de las clases también es aplicable a los
conjuntos vacíos, aquellos que no tienen miembros (A es vacío si y sólo
si para todo x: x tt. A195), ya que dos clases que no tienen elementos son el
mismo conjunto. Los conjuntos vacíos se representan con el signo"<p".
4. Relaciones entre conjuntos
Si dos clases tienen los mismos miembros entonces son conjuntos
idénticos, de conformidad con el principio de extensionalidad, pero,
si todos los miembros de un conjunto también son elementos de otro,
entonces el primero está incluido en el segundo. Esta relación entre clases
se denomina "inclusión", y la misma se simboliza con el signo "e", el cual
191 Ibid., página: 119.
192 Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 242 y 243.
193 Gallo Armosino, Antonio. Ver de verbo. Guatemala, Editorial Universidad Rafael
Landívar, 1996, primera edición, páginas: 55 y 56.
84

l/e I/-.K .. I,, / IU /v/u~ /,( 1',.. / L~ C /'AI/ .. /u
se coloca entre dos conjuntos, cuyos elen1entos del prhnero, de izquierda
a derecha, están en el segundo.
Simbólicamente se define la relación de inclusión entre conjuntos de
la siguiente lnanera: A C B, si y solo si, para todo x: si x E A entonces x
E BI96
.
Como ejemplos de la relación de inclusión entre conjw1tos se expresan
,los siguientes:
a. {concepto, juicio} C {concepto, juicio, raciocinio};
b. {xix es un contrato} C {xix es un negocio jurídico}; y,
c. {decreto} C {decreto, auto, sentencia}.
En todos los ejemplos los miembros del prin1er conjw1to están también
en el segundo, y éste tiene elementos que no están en aquél. Por dicha
relación se dice que la primera clase es subconjunto de la segunda, y se
simboliza con el signo "C".
Con el uso del lenguaje simbólico de la teoría de conjuntos se define
la relación de "subconjunto" así: A C B, si Ysolo si A C B YA -:¡t... B197.
Otros ejemplos de subconjuntos:
d. {a,b,c}C{a,b,c,d,e,f}; y,
e. {compraventa, donación} C {compraventa, donación, permuta}.
En el caso de que uno o más elementos del primer conjunto no
estén comprendidos en el segundo, entonces no existe relación de
inclusión, lo cual se simboliza con el signo "ct", verbigracia: {1,2,3,4,5}
ct{1,2,4,5,6,7,9,lO}.
5. Operaciones básicas o elementales entre conjuntos
Las operaciones entre conjuntos consisten en obtener una clase de la
combinación o relación de los miembros de otras. Las operaciones más
básicas son las siguientes:
a. Unión: la unión de conjuntos produce otra clase que comprende
los elementos de los que se deriva sin repetirse los comunes, es decir,
196 [bid., página: 247.
197 Loe. cit.
85

J,l j¡ ~ Il~.· l JUI~ ipI( ',L 1~ 1/,1/, 1/ '/ /'(1 1, P /"I) /.', ~, 1:1.1 J~ 1 . 1,1. IW :'/ y IJ , I:UC, ILJU unc:/V I E
los elementos que están en uno "u" en otro conjunto que se operan.
Esta operación se silnboliza con el signo "U", el cual se coloca entre los
símbolos que representan las clases.
b. Intersección: la intersección de conjuntos genera otra clase que
comprende únicamente los elementos COll1unes de los que se deriva, es
decir, los elementos que están en uno "y" en otro conjunto que se operan.
Esta operación se shnboliza con el signo "n", el cual se coloca entre los
símbolos que representan los conjuntos.
c. Diferencia: la diferencia de conjuntos produce otra clase que
comprende los elementos que pertenecen a una pero no a la otra. Esta
operación se 'simboliza con el signo"-" que se coloca entre los símbolos
que representan las clases.
d .. Complemento: el complemento de una clase forma otra que
contiene todos los elementos que no pertenecen al conjunto que se opera.
Esta operación se simboliza con el signo"-", el cual se coloca por encima
de la letra que representa el conjunto que se opera.
Ejemplos de las operaciones de unión, intersección y diferencia:
A = {a,b,c,d,e,f}, B = {d,e,f,g,h,i}.
a. A U B = {a,b,c,d,e,f,g,h,i};
b. A n B = {d,e,f};
c. A - B = {a,b,c}; y,
d. B - A = {g,h,i}.
Un ejemplo de la operación de complemento sería la clase de los
animales racionales, si el conjunto que se opera es de los animales
irracionales. Tanto la clase de animal racional como la de los irracionales
corresponden al conjunto llamado "universal", porque a éste pertenece
todo, y se simboliza con el signo "V". En el caso de los conjuntos referidos
con las letras"A" Y "B", citados en los ejemplos anteriores, la clase
universal sería el abecedario completo, es decir: V = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,
l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}. En base a dicho ejemplo se puede operar el
complemento, tanto del conjunto expresado con el carácter"A", como
de la clase declarada con la letra "B" en función de su universo:
e. A= {g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
f. B= {a,b,c,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
86

6. Estructuras del pensamiento en lógica de clases
Al definir la lógica de clases se estableció que la lnislna estudia los
conceptos, las formas del juicio categórico y el razonamiento deductivo,
los cuales se estudiarán a continuación.
a. El concepto
En lógica de clases el concepto, cuya expresión verbal es el término o
la palabra (a partir del cual se representa simbólicamente), se reputa como
un conjunto, y la extensión de aquel elemento general del pensamiento
expresa los miembros o elementos de la clase.
Los árboles lógicos, estudiados en lógica general, representan la
relación de inclusión entre clases, ya que la especie está incluida en
la diferencia genérica, la diferencia genérica en el género próximo,
la diferencia genérica en el género subalterno, hasta que se figure la
relación de inclusión de la diferencia genérica en el género supremo. Por
ejemplo: la clase de "hombre" está incluida (e) en la de "ser racional",
la de "ser racional" en la de "animal", la de 11 animal" en la de 11 ser
anÍlnado", la de "ser animado" en la de 11 cuerpo", y la de 11 cuerpo" en
la de 11 substancia".
De lo anterior también se denota otra relación entre clases: la de
subconjunto, ya que la especie es subconjunto de la diferencia genérica,
la diferencia genérica es subconjunto del género próximo y aSÍ, hasta
agotar las relaciones de inclusión mencionadas, porque cada elemento,
por ejemplo, de la clase fonr..éLda por una especie determinada, es miembro
del conjunto constituido por la diferencia genérica a la cual corresponde
la especie, pero existen en esta clase elementos que no pertenecen
a aquélla. .
Otra noción de lógica general que refleja las relaciones de inclusión y
de subconjuntos es la de "subordinación de conceptos", una división de
los conceptos por su relación, porque si un concepto está contenido en
la extensión de otro, aquel concepto, reputado como clase, está incluido
en el más extenso, y es también un subconjunto de éste.
b. El juicio categórico
En lógica de clases el juicio se reputa de la siguiente manera:
b.l.Jorge Witker y Rogelio Larios expresan que: "Las propo.sicio.nes
relacio.nan clases entre sí. Una clase es la extensión adeno.tación de un término., a
87 .

/ (IC /C,. Il/I~ i/ .l/t .: ///', n:U,. Il.N ! () /N I l /</'!,N.'i · /:iJ . 1', 11.' I 1 Ji 11 ./ r:r. ' /i()( ;I ) (J UI {(; .·."IF
sea, es el conju'nto deindividuos 11 objetosalas queseaplica una misma palabra o
expresión. También, puede tener un solo miembro, como las clases denotadas por
los nombres propios.Cuando las proposiciones relacionan clases, explícitamente
y sin condiciones, SOI1 denominadas proposicio71es categóricas... 1/1 9R;
b.2. Sergio Custodio determina que 11 ••• En el juicio, quees una relación
entre clases, se puede decir lo que es verdadero ofalso ... 1/
199
;
b.3. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti manifiestan:
"Las proposiciones categóricas de forma típica pueden interpretarse como
representando relaciones entre clases11
20
°; y,
b.4. Antonio Gallo Armosino define el juicio como una oración en
la que ".. .En general, todo sujeto es un miembro o es una subclase de la clase
predicado... 1/201 •
Las expresiones definitorias citadas difieren en lo siguiente: b.l.
por el nombre con que denominan al objeto de estudio: Jorge Witker,
Rogelio Larios, María Cristina Campagna yAdriana Lazzeretti lo llaman
proposición; Antonio Gallo Armosino oración, y Sergio Custodio es el
único que lo llama juicio. Lo que estudia la lógica de clases es el juicio,
el cual se enuncia y se simboliza en esta parte de la lógica moderna a
partir de su expresión verbal: la proposición, pero no le interesa analizarlo
desde una perspectiva estrictamente gramatical (como oración); b.2.
por el enfoque con que se desarrolla el objeto de estudio: María Cristina
Campagna y Adriana Lazzeretti son las únicas que expresan que las
proposiciones categóricas "se pueden interpretar" como representando
relaciones entre clases, es decir, que el juicio, integrado de conceptos (tal y
como se estudió en la lógica general), "puede" explicarse como relaciones
entre conjuntos. Tal enfoque difiere del de Jorge Witker, Rogelio Larios y
Sergio Custodio, para quienes el juicio es únicamente una relación entre
conjuntos, perspectiva que denota una identificación entre la lógica de
clases y la lógica aristotélica, y en efecto, Sergio Custodio en su obra
explícitamente establece dicha relación202
• Al respecto se estima que la
lógica de clases no se identifica con la lógica general, aunque ésta puede
ser estudiada con los elementos de aquella lógica que se funda en la teoría
198 Witker, Jorge, y Rogelio Larios. Op. cit., página: 11.
199 Custodio, Sergio. Op. cit., página: 81.
200 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., ágina: 111.
201 Gallo Armosino, Antonio. Op. cit., página: 61.
202 Custodio, Sergio. Op. cit., páginas: 79 y 80.
88

L!c'.I'I. /¡ ..IN / l¡) ' ·.' /I R /,()l.,i /.,...., (;/ . I.~1 I /()
de conjuntos203
; y, b.3. Antonio Gallo Armosino es el único que indica que
el concepto-sujeto, con relación con el concepto-predicado, o es un ente
susceptible de ser lnien1bro de la clase predicado o es un subconjunto de
dicha clase, lo cual difiere de los otros filósofos y / o lógicos que indican
que el concepto-sujeto es una clase.
Considerado lo anterior se define el juicio categórico en esta parte de
la lógica matemática como una relación de pertenencia o no pertenencia
entre un ente y una clase o una relación entre conjuntos.
Establecido lo anterior, la proposición: "Fernando es un hombre
estudioso", que significa un juicio categórico, se representaría de
la siguiente manera: x E A, donde "x", " E " Y "A", simbolizan,
respectivamente, el ente significado por el término "Fernando",la relación
expresada por las palabras 11es miembro de" y la clase significada con la
letra 11A", que corresponde a la de los hombres estudiosos.
Las formas del juicio categórico denotan otro tipo de relación,
estrictamente entre clases, y son estudiadas, entre otros lógicos, por José
Ferrater Mora, Hugues Leblanc204, María Cristina Cmnpagna, Adriana
LazzerettP05, José A. Diez Calzada206 y Sergio Custodi0207, quienes
además se valen de los diagramas de John Venn208 para representarlos
gráficamente:
203 Algunos lógicos consideran que la teoría de conjuntos es lógica pura. Willard Van
Orman Quine niega que la teoría de conjuntos pertenezca a la lógica, ya que aquellos
que sostienen lo contrario, según el filósofo citado, se fundan en una "sobreestimación"
del parentesco entre la noción de "miembro-de" -relación de pertenencia- y la predi-
cación, nociones entre las que existe una intermedia: "la de atribución de atributos".
Van Orman Quine, Willard. Filosofía de la lógica. Op. cit., páginas: 116-121.
204 Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 132-134.
205 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 111-113.
206 Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 291 y 292.
207 Custodio, Sergio. Op. cit., páginas: 127-130.
208 José Ferrater Mora y Hugues Leblanc indican que los diagramas de John Venn fueroD-
introducidos por dicho lógico en su obra Symbolic logic, cuya segunda edición fué
publicada en 1881. Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., página: 139.
89

Lc>crCA ¡URímCA: INS rJ<' U,,jLN'(O IND/SPENS/IHU: PARA t:J. IUl j, y U. /LlOCAOL) UTlG,'.'Ff
b.l. El juicio universal afirmati~o, significado con el esquema: "Todo S
es P", se simboliza "S n P = <1>", y se representa gráficamente:
s F
b.2. El juicio universal negativo, expresado con el esquema: "Ningún S
es P", se simboliza "S n P = <1>", y se representa gráficamente:
s F
b.3. El juicio particular afirma~vo, aludido con el esquema: "Algún S
es P", se simboliza "S n p:;é <1>", y se representa gráficamente:
s F
b.4. El JUICIO particular negativo, refer!..do con el esquema:
90
"Algún S no es P", se simboliza "S n P :;é <1>", y se representa
gráficamente:
s F

/ {(, /,/ '/,,' 'J)(J /, /I./ l~ll.";, U,',C/ ,J./l)
Para simbolizar Jos juicios categóricos se en1plearon las nociones
conjuntistas de intersección, complemento, clase vacía, igual y no igual,
empero, María Cristina Campagna y Adriana LazzerettF°l), señalan que
el lógico Charles Peirce representa dichos juicios ll1ediante la inclusión,
no-inclusión y complemento.
En la representación gráfica de los juicios el sOlnbreado indica que la
clase no tiene elementos, es un conjunto vacío, y la cruz "x" señala que la
clase no es vacía, o que tiene un elemento o más. Por estas convenciones
en la diagramación del juicio universal afirmativo se sombreó el área del
círculo identificado con la letra "S" que está fuera del área del círculo
indicado con el carácter "P", porque todos los elementos de la clase
significada con la letra "S" son miembros del conjunto representado
con el carácter "P", o dicho negativamente, no hay ningún elemento
de la clase aludida con la letra "S" que no esté contenida en el conjunto
referido con el carácter "P" (está incluido); del juicio universal negativo
se sombreó el área común o de intersección entre el círculo determinado
con la letra "S" y el círculo señalado con el carácter "P", porque no hay
elementos de la clase simbolizada con la letra "S" que pertenezcan al
conjunto representado con el carácter "P"; del juicio particular afirmativo
se colocó una cruz "x" en el área común o de intersección entre el círculo
señalado con la letra "S" y del círculo identificado con el carácter "P", para
indicar que al menos hay uno o más elementos (algunos) del conjunto
referido con el signo "S" que pertenecen a la clase declarada con la letra
/lp"; Ydel juicio particular negativo se colocó una cruz "x" en el área del
círculo determinado con el carácter "S" que está fuera del área del círculo
indicado con la letra "P", para indicar que uno o más elementos (algunos)
del conjunto simbolizado con el signo "S" no son miembros de la clase
significada con el carácter "P".
c. El raciocinio en su expresión de silogismo categórico
Con las diagramaciones de John Venn para representar gráficamente
las formas del juicio categórico, se puede determinar la validez del
raciocinio deductivo a partir de su expresión: el silogismo categórico,
pero para ello es necesario que se introduzca un tercer círculo para que
estén totalmente significados los tres términos del silogismo (cada
209 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 111.
91

1/1(:le JLl I<il )Il ', : / c;'J ,/, I1~ ¡ l', FU / 'j) 1SJ)1-: t; , 1U 1 1', I. 1l. ItI/ / r /,1 ,¡,:ll( ; 11( ) 11TI(;,.N'fI
ténnino es la expresión de un concepto, y éste se reputa en lógica de
clases corno un conjunto).
Por ejemplo, el silogismo en modo DARlL primera figura, citado en
lógica general:
Premisas
Mayor: Todos los argulllentos lógicos son válidos.
Menor: Algunos argumentos jurídicos son argumentos lógicos.
Conclusión: Algunos argumentos jurídicos son válidos.
Los conceptos significados en las proposiciones del silogismo en
¡nodo DARII se representarán de la siguiente manera: c.l. el concepto
expresado con las palabras "todos los argumentos lógicos", que son
el término medio en el silogismo, con la letra "M"; c.2. el concepto
manifestado con el vocablo "válidos", que es el término mayor en el
silogismo, con la letra "P"; y, c.3. el concepto referido con la expresión
"algunos argumentos jurídicos", que es el término menor en el silogismo,
con la letra "S".
y los juicios referidos por las proposiciones del silogismo en
consideración se simbolizarán así:
c.l. El juicio universal afirmativo expresado con la proposición
"Todos los argumentos lógicos son válidos", que es la premisa mayor,
con el enunciado: "M n P= <P";
c.2. El juicio particular afirmativo indicado conel enunciado"Algunos
argumentos jurídicos son argumentos lógicos", que es la premisa menor,
con la relación de conjuntos: "S n M = <P"; Y
c.3. El juicio particular afirmativo referido con la proposición:
"Algunos argumentos jurídicos son válidos", que es la conclusión, con
el enunciado conjuntista: "S n P #- <p".
Únicamente se diagramarán las premisas, y si de las mismas resulta
contenida la conclusión, entonces el silogismo será válido.
92

LIC 1"11('j, 'j )( ) ¡:II /U, J~ ();-;, 'I LF C. CI,-, I. /l!
s p
M
Para diagramar el juicio universal afirmativo significado en esta parte
de la lógica matemática a partir del enunciado "todos los argumentos
lógicos son válidos", se sombreó el área del círculo identificado con la
letra "M" que está fuera del círculo indicado con el carácter "P", porque
todos los elementos del conjunto representado con el signo "M" son
miembros de la clase aludida con la letra "P", o dicho negativamente, no
hay ningún elemento del conjunto simbolizado con el carácter "M" que
no sea miembro de la clase aludida con el signo "P". y para representar
gráficamente el juicio particular afirmativo, significado en esta rama de la
lógica moderna a partir de la proposición"algunos argumentos jurídicos
son argumentos lógicos", se colocó una cruz "x" en el área común o de
intersección entre el círculo identificado con el carácter "S" y el círculo
señalado con la letra "M", para indicar que algunos elementos del
conjunto expresado con el signo "S" son miembros de la clase manifestada
con el carácter "M".
Como se puede apreciar la diagramación del último juicio particular
afirmativo, denominado como conclusión en el silogismo, resultó
contenida o implicada enlas diagramaciones de los juicios que constituyen
las premisas, porque existe una cruz en una parte del área común del
círculo referido con el signo "S" y el círculo determinado con el carácter
"P", que indica que algunos elementos del conjunto aludido con la letra
"S" son miembros del conjunto expresado con el signo "P", o dicho en
lenguaje natural"algunos argumentos jurídicos son válidos".
93

I.l Ú.;/l , JLlldl l /l·,1, J ''''';'II<L1: IL, l'll /.'/ )/,', /' 1·<"'. 1)// · /'./, .. 1.1 1111 / ). /./ , l/ i( le; / lU /lr/ C .'I N'} /:
D. LÓGICA DE LAS RELACIONES
La lógica proposjcional y la lógica de clases tienen por objeto
material, entre otras fonnas del pensamiento: 1. los juicios hipotéticos
y disyuntivos estudiados en lógica general, y aquellos que, desde
una perspectiva gramatical, comprenden conjunciones copulativas
y condicionales (refiriéndose con esta también a aquellos términos
que se representan en la primera lógica indicada por la constante
llamada bicondicional); y, 2. los juicios categóricos estudiados en lógica
aristotélica, respectivaInente.
La lógica de las relaciones estudia un tipo de juicios muy distintos
a cualquiera de los desarrollados hasta ahora, denolninados juicios
relacionales, que integran razonamientos particulares denOlninados por
los escolásticos como oblicuos21o
, pero esta parte de la lógica moderna se
enfoca, mas no se agota, en el estudio del juicio relacional, sus elementos,
propiedades y funciones.
1. Juicios relacionales: elementos y expresión simbólica
En el juicio relacional significado por la proposición "Platón fue
maestro de Aristóteles", que se simboliza en esta rama de la lógica
moderna como "xRy", se integra de los siguientes elementos:
a. Concepto referente, simbolizado con la letra minúscula "x", que
es el primero de los conceptos relacionados y sostiene el sentido de la
relación;
b. Concepto relacional, significado con la letra mayúscula "R", cuya
función es expresar el nexo entre los conceptos relacionados; y,
c. Concepto relato, representado con la letra minúscula "y", y es el
segundo de los conceptos relacionados.
El ejemplo citado corresponde a lo que los lógicos como Willard Van
Orman Quine211
, José Ferrater Mora y Hugues Leblanc212
llaman relaciones
diádicas, porque relacionan únicamente dos conceptos (el referente y el
relato), sin embargo, también existen relaciones triádicas (verbigracia: "x"
210 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 14l.
211 Van arman Quine, Willard. Lógica matemática. Traducción de: José Hierro S. Pescador.
España, 1972, Revista de Occidente, Sociedad Anónima, página: 205.
94

1./e. ID,h ,l/'J IlU (. ,' /U~ 1( ):-./.1. '.'. (;/.; ·.'II. }U
esta en Inedia de "y" y "Z"), tetrádicas y otras poliádicas, aunque serán
objeto de estudio en esta lógica únicamente las prÍlneras por proporcionar
los nociones básicas suficientes para el conocÍlniento de las demás.
Los elementos del juicio relacional son los conceptos, pero algunos
pensadores tratan la relación en sí COlllO una clase, verbigracia: los lógicos
citados213
, quienes efectúan con las relaciones vínculos de inclusión o las
operaciones de unión, intersección y complemento de los conjuntos, las
cuales no se estudiarán porque exceden los objetivos de este trabajo de
investigación.
Como se puede apreciar los juicios relacionales, por sus elementos, son
diferentes a los predicativos, y Eduardo Garáa Máynez214
, confundamento en
la distinción formulada porJules Lachelier sobre los juicios estudiados porla
lógica general y los estudiados por la lógica de las relacionales, expresa que:
a. enlos juiciospredicativosel concepto-sujeto se refiere a uno o varios objetos,
el concepto-cópula expresado conla palabra"es" tiene un sentido metafísico,
por lo que el concepto-predicado alude a una manera de ser inherente del
objeto referido por el concepto-sl~eto, en tanto que los juicios relacionales,
entre los conceptos de la relación (los denominados referente y relato), que
se refieren a seres exteriores el uno del otro, existe un nexo de aproximación
entreellos (verbigracia: de causalidad, de posición, demagnitud, denúmero y
otras), y el concepto relacional no tiene un valor metafísico;b.la conversión215
,
en los juicios predicativos, puede implicar Inodificaciones de cantidad o de
213 Willard VanOnnanQuine expresa que la noción de relación como clase de pares ordenados
(es decir, como una clase de pares de elementos que no son conmutativos, ya que importa
distinguir la manera como sus elementos están vinculados) data de Peirce, y la notación
'x;y' (que aluden a los elementos relacionados) de Frege y Peano, pero fue Weiner, en 1914,
el primero en mostrar que el par ordenado puede ser definido dentro de la teoría de las
clases. Van Qrman Quine, Willard. Lógica matemática. Op. cit., página: 206.
214 Se doto de unidad al pensamiento del filósofo citado, porque el mismo trata indistin-
tamente los elementos de la proposición (sujeto, cópula y predicado) con los del juicio
(concepto-sujeto, concepto-cópula y concepto-predicado).García Máynez, Eduardo.
Lógica del juicio jurídico. Op. cit., páginas: 37-44.
215 Mario Moro define la conversión como "...la operación mediante la cual se cambian entre
sílos términos de manera que el sujeto pase aser predicado y el predicado sujeto, sin que cambie
la verdad de la proposición resultante". La conversión entre juicios universales afirmativos
y negativos no sólo implica el cambio entre el concepto-sujeto y concepto-predicado,
sino que también el de la cantidad de los juicios (de universales a particulares). Yla
conversión del juicio particular negativo, se cambia de lugar el concepto-sujeto y ~
concepto-predicado y además la cualidad anteponiendo a cada uno la negación "no'».
Moro, Mario. Op. cit., página: 36.
95

u)( ;/C ILI /' !O/C..: IN::;'! IllAIl V I ( ') /;1111'i /'L''i 'ln/IIi. I, 1'1, /UC" y 1'1. ,U()(;,lI lL .l (JI /C, I /¡ l E
cualidad en los mismos, pero en los juicios relacionales la conversión no
iInplica cambio de sentido de los conceptos referente y relato, ya que todo
concepto relacional tiene un converso que permite invertirlos conceptos de la
relacióny aún asíse refiere a la miSlna situaciónobjetiva, porejemplo, eljuicio
relacional expresado conel enunciado "Platónfue maestro deAristóteles", se
convierte en el juicio relacional manifestado con la proposición"Aristóteles
fue discípulo de Platón"; c. en los juicios predicativos el concepto básico es
el concepto-sujeto, el cual está subordinado o no al concepto-predicado, en
cambio, enlos relacionales ninguno de los conceptos está subordinado al otro,
ya que ambos están coordinados entre sí; y, d. Algunas reglas y formas del
silogismo estudiado en la lógica tradicional (silogismo categórico), válidas
para losjuicios predicativos, no se pueden aplicar a losjuicios de la lógica de'
las relaciones, porque éstaposee una silogística propia, verbigracia: "aesigual
a b; b es igual a c, luego a es igual a c", en tal expresión de razonamiento, el
signo "b" figura como término medio de la relación pero no del silogismo.
Todas las diferencias indicadas son acertadas: la segunda, sobre la
conversión de los juicios relacionales, al indicar que "se invierten los
términos de la relación" quiere decir que el concepto referente se transforma
en el relato y el relato en referente, y para que la conversión sea íntegra,
el concepto relacional se reemplaza por su converso. Simbólicamente, el
concepto relacional converso se significa "R.", por tanto, la conversión
del juicio relacional en su totalidad se representa: "y Rx". En el ejemplo
citado, el juicio relacional referido con el enunciado "Platón fue maestro
de Aristóteles" se simboliza "xRy", y su conversión es juicio relacional
aludido con la proposición "Aristóteles fue discípulo de Platón", el
cual se representa "y R. x", en donde "x", "R", "y" Y "R." significan los
conceptos de "Platón", "fue maestro de", "Aristóteles" y "fue discípulo
de", respectivamente. Dichos juicios se implican recíprocamente o son
equivalentes, porque si Platón fue maestro de Aristóteles entonces éste
fue discípulo de aquél, y si Aristóteles fue discípulo de Platón entonces
éste fue maestro de aquél.
2. Propiedades de las relaciones
Los juicios relacionales se caracterizan por tener las siguientes
propiedades:
a. Reflexividad: un concepto tiene una relación consigo mismo. Son
relaciones reflexivas, entre otras, las referidas con las expresiones "igual
a" o "idéntico a". Por ejemplo, el juicio relacional declarado con la
96

JIL, I U~I¡ l. N JlU/I, 'II F l<n ." ·J./'S ¡ ;¡',:, I/,1
proposición "El silogisl110 categórico es idéntico al silogisll10 categórico".
Simbólican1ente "xRx".
b. Irreflexividad: un concepto no tiene una relación consigo ll1isn10.
Son relaciones irreflexivas, entre otras, las aludidas con las palabras
11 distinto de", "abuelo de" y "detrás de". Verbigracia, el juicio relacional
significado con el enunciado "Alberto es abuelo de José", ya que en una
hipotética situación objetiva: Alberto no puede ser abuelo de sí ll1isl110.
c. Simetría: el concepto relacional es idéntico a su converso, y
transformar el concepto referente en el relato y el relato en referente
produce un juicio distinto pero significativamente equivalente al anterior.
Son relaciones simétricas, entre otras, las significadas con los términos
"igual a", "semejante a", "diferente de", "vecino de", "hermano de" y
11 all1igo de". Por ejemplo, el juicio relacional aludido con la proposición
IIHéctor es hermano de Paris", ya que su concepto relacional (R) es
idéntico a su converso (R), por lo que al invertir los conceptos relacionados
el juicio resultante es significativamente equivalente al anterior, el cual
se manifiesta con el enunciado "Paris es hermano de Héctor".
d. Asimetría: el concepto relacional no es idéntico a su converso, por
lo que no se pueden invertir los conceptos relacionados indistintamente,
porque la relación entre el concepto referente y el concepto relato no es
la misma. Son relaciones asimétricas, entre otras, las expresadas con los
vocablos "padre de", .l/hijo de", "mayor que", .l/más viejo que" y "menor
que". Verbigracia, en el juicio relacional declarado con la proposición
"Príamo es padre de Héctor", no se pueden invertir simplemente los
conceptos relacionados, porque resultaría el juicio relacional referido con
el enunciado "Héctor es padre de Príalno"; y el concepto referente y el
concepto relato no están bajo la misma relación, por lo que necesariamente
hay que sustituir el concepto relacional por su converso, y resulta el
siguiente juicio relacional aludido con la proposición "Héctor es hijo de
Príamo".
, e. Transitividad: la relación que existe entre el concepto referente y el
concepto relato se produce también entre este y un tercer concepto, por lo
que el primero tiene con el tercero la misma relación. Simbólicamente, si
"xRy", y "yRz", entonces "xRz". Son relaciones transitivas, entre otras,
las manifestadas con las palabras "igual a", "mayor que", "más alto que",
"más viejo que", "incluido en", "menor que". Por ejemplo, los juicios:·
relacionales representados por los enunciados: "Agamenón es más viejo
97

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que Ulises", y "Ulises es 111ás viejo que Aquiles", entonces"Agamenón
es más viejo que Aquiles".
f. Intransitividad: la relación que existe entre el concepto referente
y el concepto relato se produce también entre este y un tercer concepto,
pero el primero no tiene con el tercero la 111islna relación. Son relaciones
intransitivas, por ejemplo, las declaradas con los vocablos: "madre de",
"padre de", "doble de" y "cuadrado de". ASÍ, verbigracia, de los juicios
relacionales referidos por las proposiciones"ocho es el doble de cuatro",
y "cuatro es el doble de dos", no se sigue el juicio relacional significado
por el enunciado"ocho es el doble de dos", porque ocho no es el doble
de dos, sino su cuádruplo. '
José Ferrater Mora y Hugues Leblanc216
tratan además las siguientes
propiedades que definen de la siguiente manera:
g. No reflexividad: es una relación que no es reflexiva ni irreflexiva.
h. No simetría: es una relación que no es simétrica ni asimétrica.
i. No transitividad: es una relación que no es transitiva ni intransitiva.
Eduardo Carda Máynez217
talnbién desarrolla dichas propiedades,
pero las define de modo distinto, mediante el uso de términos de
"posibilidad", por ejemplo: una relación es "no reflexiva", si es "posible",
mas no necesario, que un concepto tenga una relación consigo mismo,
o una relación es "no simétrica" si algunas veces"es posible" invertir el
orden de los conceptos relacionados sin sustituir el concepto relacional
por su converso.
El último lógico no está de acuerdo con estas últimas tres propiedades;
le parecen inadmisibles, afirmando, en base al principio de tercero
excluido, que las relaciones son reflexivas o irreflexivas, simétricas
o asimétricas, transitivas o intransitivas, porque entre las mismas no
existe un tercer término: no-reflexivas, no-simétricas y no-transitivas,
respectivamente. En todo caso, dice Eduardo Carda Máynez, si una
relación es irreflexiva equivale a no-relfexiva; asimétrica a no-simétrica
e intransitiva a no-transitiva218
•
216 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 155-157.
217 Carda Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. Op. cit., páginas: 48-50.
218 [bid., página: 50.
98

ue. fF1 •1PO J- .'IL./' 1 nc,:I L:-' <-: / . tU. '" ( .1
Las definiciones de José Ferrater Mora, Hugues Leblanc y Eduardo
García Máynez no proporcionan ninguna claridad respecto a la naturaleza
de los conceptos definidos. Las de los dos primeros lógicos porque
están formuladas en sentido negativo, verbigracia: la propiedad "no-
reflexividad" podría significar que es de tipo "silnetría", "asimetría",
"no simetría", "transitividad", "intransitividad" y "no transitividad",
porque lo único que se sabe es que no es reflexiva ni irreflexiva. Yla del
último filósofo indicado, porque no se puede determinar la esencia de
los conceptos definidos en base a términos de "posibilidad". Por dichas
consideraciones se trataron estas últimas propiedades de ¡nodo distinto
y aparte.
3. Funciones
Las funciones son relaciones particulares entre el concepto referente
y el concepto relato según la correspondencia entre los mismos. Las
funciones son:
a. Relaciones de uno a uno o uni-única: a cada concepto referente de
una determinada relación corresponde solamente un concepto relato, y
viceversa. Son relaciones uni-únicas, entre otras, las expresadas con las
palabras "rey a monarquía", yen una cultura monogámica "casado con",
por ejemplo, los juicios relacionales representados con los enunciados:
a.l. "Inglaterra fue gobernada por el rey Enrique VIII", y "el rey Enrique
VIII gobernó Inglaterra"; y, a.2. "El príncipe de Asturias Felipe de Borbón
está casado con Letizia Ortiz", y "Letizia Ortiz está casada con el príncipe
de Asturias Felipe de Borbón".
b. Relaciones de uno a muchos o uni-multiple: a cada concepto
referente de una determinada relación corresponden varios conceptos
relatos, pero no viceversa, es decir, que a cada concepto relato corresponde
un concepto referente. Son relaciones uni-múltiple, entre otras, las
manifestadas con las expresiones "padre de" y "madre de", verbigracia:
el juicio relacional referido con el enunciado "Príamo es padre de Héctor
y de Paris", denota que Héctor y Paris sólo tienen un padre: Príamo.
c. Relaciones de muchos a uno o multi-única: a cada concepto
referente de una determinada relación corresponde un concepto relato,
pero a éste concepto corresponden varios conceptos referentes. Son
relaciones multi-única, entre otras, las referidas con los vocablos "hijo
de", "hija de", ya que, por ejemplo, en los juicios relacionales aludidos
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con las proposiciones"Agan1enón es hijo de Atreo" y "Menelao es hijo
de Atreo", lnuestran que Agmnenón y Menelao sólo tienen un padre:
Atreo, pero éste tiene dos hijos.
d. Relaciones de muchos a muchos o multi-múltiple: a cada concepto
referente de una determinada relación corresponden varios o lnuchos
conceptos relatos y viceversa. Son relaciones multi-múltiples, entre otras,
las aludidas con los términos "mayor que" y "menor que". Por ejemplo,
el juicio relacional expresado con el enunciado "x < y"219, ya que, si se
asigna un valor numérico a la variable simbolizada con la letra "x",
entonces la variable referida con el carácter "y" podrá significar desde el
pri1l1er número mayor al referido con la variable anterior hasta el infinito,
y si se asigna un valor nU1l1érico a la variable aludida con la letra "y",
entonces la variable representada con el carácter "x" podrá significar
desde el primer número menor al expresado con aquella variable hasta
el menos infinito.
E. APLICACIONES DE LA LÓGICA MATEMÁTICA
La lógica moderna a pesar que es más compleja que la lógica clásica,
porque utiliza el lenguaje simbólico de la matemática, también sirve
a varios sujetos como instrumento para diversas aplicaciones de gran
utilidad, verbigracia:
1. De lógica proposicional: a. al representar de "una manera", por
medio de las constantes o conectivas lógicas, las múltiples formas COlno
se expresan en lenguaje natural las relaciones entre proposiciones, facilita
la identificación del tipo de vínculo entre las mismas, lo cual coadyuva
a su correcta interpretación; b. la representación de las relaciones entre
los enunciados y de los argumentos conforme el lenguaje simbólico de la
lógica proposicional, permite discernir la estructura del razonamiento; y,
c. la expresión de un determinado razonamiento en una discusión para la
defensa de una postura o posición respecto algún tema, puede ser objeto
de análisis desde ésta lógica, según la naturaleza del argumento, para
determinar con fundamento en los valores de verdad de sus enunciados
y el modo de sus relaciones formales, si es válido o inválido;
2. De la lógica de clases: a. la forma como se concibe el concepto
suministra otra perspectiva para reputar la extensión y las relaciones de
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