La Derivada Recta Tangente Aplicaciones De La Derivada Tabla de Formas Indeterminadas Regla de L´Hopital

1. República Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario De Tegnología
“Antonio José De Sucre”
Extensión Barquisimeto
Autor:
José Vargas
C.I:
28.653.934
Docente de la Asignatura:
Domingo Mendez
La Derivada
Y
Sus Aplicaciones

2. La Derivada
La noción de derivada tuvo su origen en la búsqueda de soluciones a dos problemas, uno de la Geometría y
otro de la Física, que son: Encontrar rectas tangentes a una curva y hallar la velocidad instantánea de un
objeto en movimiento. El plantemiento del problema de las tangentes se remonta hasta la Grecia Antigua; sin
embargo, para encontrar su solución debieron pasar muchos siglos. En el año 1.629, Pierre Fennat encontró
un interesante método para construir las tangentes a una parábola. Su idea fue la de considerar a la recta
tangente como la posición límite de rectas secantes. Este método, como veremos a continuación, contiene
implícitamente el concepto de derivada. A partir de aquí, no pasó mucho tiempo para que Newton (1.624-
1.727) y Leibniz (1.646-1.716), dos gigantes de la matemática, iniciaran el estudio sistemático de la derivada,
con 10 que dieron origen al Cálculo Diferencial.

3. Recta Tangente
Sea y f(x) una función real de variable real y sea A = (a, f(a)) un punto fijo un punto fijo de su gráfico. Buscamos
la recta tangente al gráfico de la función en el punto A. Para no tener dificultades vamos a asumir que nuestra
función es continua y su gráfico se desarrolla suavemente (sin vértices). Tomemos otro punto P =(x, f(x)) del
gráfico, cercano al punto de tangencia A (a, f(a)), y tracemos la recta secante que pasa por A y P

4. Aplicaciones de la Derivada
Localización de extremos (máximos y mínimos) de una función:
Un máximo es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de cualquier punto que se
encuentre cercano a dicho punto. Un mínimo es un punto de la función cuya imagen es menor o igual que la
imagen de cualquier punto que se encuentre cercana a dicho punto:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≥ f(x)
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≤ f(x)
Existen dos maneras de hallar los máximos y mínimos de una función:
1. Hallando la primera y segunda derivadas:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) < 0
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) >0
2. Hallando la primera derivada y comprobando el crecimiento de la función:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser positiva a negativa. (x0,f(x0)
mínimo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser negativa a positiva

5. Aplicaciones de la Derivada
Concavidad y convexidad de una función:
Una función se dice que es convexa en un punto t cuando dicha función es menor que la tangente en un entorno de
dicho punto.
Una función se dice que es cóncava en el punto t cuando dicha función es mayor que la tangente en un entorno de dicho
punto.
La concavidad y la convexidad de una función pueden hallarse utilizando la derivación:
1. Una función f(x) es convexa en un punto x0 si f’’(x0) < 0.
2. Una función f(x) es cóncava en un punto x0 si f’’(x0) > 0.
Un punto de inflexión de una función es un punto en el que la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa. Un
punto de inflexión de una función cumple que su 2.ª derivada es 0.

6. Aplicaciones de la Derivada
Derivada Implicita:
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones
definidas por una ecuación en que la y no esta despejada. La ventaja de este método es que no requiere
despejar y para encontrar la derivada.
Para conseguir la derivada de y con respecto a x, dy/dx:
Primero se deriva ambos miembros de la ecuación con respecto a x, tomando en cuenta en todo momento que
y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x, hay que aplicar la regla de la
cadena.
Finalmente, se despejar dy/dx.

7. Aplicaciones de la Derivada
Derivadas de Orden Superior:
La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una
función y existe su primera derivada f´(x).
Es importante tener en cuenta:
De manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las
derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede,
que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas.

8. Aplicaciones de la Derivada
Derivadas de Orden Superior:
El orden de las derivadas, se pueden expresar de la siguiente manera:

9. Aplicaciones de la Derivada
Funciones crecientes y decrecientes y su relación
con la derivada:
Sea f una función continua con ecuación
definida en un intervalo [a,b].
La siguiente es la representación gráfica de f en
el intervalo [a,b].
En la representación gráfica anterior puede
observarse que la función f es:
Creciente en
los intervalos
Decreciente en
los intervalos

10. Aplicaciones de la Derivada
Formas Indeterminadas:
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numero como el denominador, tienen por
limite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se esta frente a
una forma indeterminada.
En la matemática, se le llama forma indeterminada a una expresión Algebraica que involucra límites del tipo:

11. Aplicaciones de la Derivada
Cociente Indeterminado:
La forma 0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3,
x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del
denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando
informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que
converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

12. Aplicaciones de la Derivada
La forma ∞/∞:
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen
por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está
frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos
tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

13. Aplicaciones de la Derivada
La forma indeterminada 𝟎.∞:
Diferencias Indeterminadas:
En los casos en que el límite de una diferencia es ∞, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites,
por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞ − ∞. Para resolver esta
indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

14. Aplicaciones de la Derivada
División por cero:
Representación gráfica de la función y = 1/x. Cuando x "tiende" a 0+, y se “aproxima” a más infinito. En
matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y
álgebra, es considerada una "indefinición" o "indeterminación" que puede originar paradojas matemáticas.
En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para
todo número n, el producto n • 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos
matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no
el divisor.

15. Tabla de Formas Indeterminadas
La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la Regla de L'Hôpital

16. Regla de L´Hopital
En la matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpitaloregla de l'Hôpital-
Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma
indeterminada.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el
caso de las indeterminaciones del tipo 0 0⁄ 𝑜 ∞ ∞⁄ .
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c
perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, según
Guillaume de l'Hôpital: