Calculo diferencial

LIMITES

En matemática, el límite es un
concepto que describe la tendencia
de una sucesión o una función, a
medida que los parámetros de esa
sucesión o función se acercan a
determinado valor. En cálculo
(especialmente en análisis real y
matemático) este concepto se
utiliza para definir los conceptos
fundamentales de convergencia,
continuidad, derivación, integración,
entre otros.

Menú Limites

Teoremas Principales de los Limites

Menú Limites

y
h(x)

f(x)

L

g(x)

c x

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EJEMPLO
De la figura se ve que:
sen tan
T
Dividiendo entre sen :
1
1 /sen tan sen = 1/cos
P
Invirtiendo cada término
1 sen / cos tan
1
Tomando el límite
arco de longitud
lim 0 1 lim 0 sen / lim 0 cos sen

pero
O cos Q A(1, 0)
lim 0 cos = 1

Por el teorema del emparedado
lim 0sen / =1

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LIMITES AL INFINITO
Analicemos …
clientes

f ¿ 50 ?

¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?

¿t ?
tiempo
(años)

Entonces: lim f (t )
t
50

Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
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LIMITES AL INFINITO

Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim f ( x) L
x

De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim f ( x) M
x

Menú Limites 17

LIMITES AL INFINITO

y
y = f (x)

y=M M
lim f ( x) M
x

x

L y=L
lim f ( x) L
x

Menú Limites

Se dice que lim f ( x) es un límite infinito si f (x)
x a
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:

lim f ( x) si f (x) crece sin límite cuando x→a.
x a

lim f ( x) si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
x a

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Interpretación grafica

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Continuidad de funciones
Continuidad en un punto

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Continuidad en un punto Ilustración grafica

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ejemplo

Menú Limites

Definición: Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva en un
punto previamente establecido.

Confuso ?

Menú Derivadas

Recta tangente: Es una recta que tiene un punto
común con una curva o función.

En la grafica se muestra como
ejemplo la recta tangente a una
circunferencia (nótese que solo
existe un punto de intersección entre
los objetos matemáticos).

Menú Derivadas

Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia
en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en
el eje horizontal (relación de cambio).

Notación:
y
m
x
y2 y1
m
x2 x1
Menú Derivadas

Recta secante: Es una recta que interseca dos o
más puntos de una curva.

Menú Derivadas

Si tenemos claros los
conceptos en los cuales se
fundamenta la definición su
comprensión será muy
sencilla

Menú Derivadas

Tenemos una recta tangente y una
secante con un punto común P. Por
otra parte la secante pasa por los
puntos P y Q y la distancia entre ellos
sobre el eje x esta dada por ∆x. cada
cuadro en la grafica equivale a la
unidad.

La pendiente de la recta secante esta dada por la
relación:

f (a x) f (a ) f (a x) f (a )
m
a x a x
Menú Derivadas

Analiza la siguiente secuencia de graficas y
observa como cambian sus elementos.

Menú Derivadas

A partir de el análisis de la situación planteada
podemos determinar que la derivada esta dada
por la siguiente expresión:
d ( f ( x)) f (a x) f (a)
Se lee derivada de lim
f(x) evaluada en dx x 0 x
términos de x.

A medida que ∆x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta
tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y
la relación planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la
recta tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definición
geométrica de la derivada).

Menú Derivadas

REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS

Menú Derivadas

Derivada

Derivada

Derivada

Derivada

Derivada

Menú Derivadas

Con la reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a
expresiones sencillas.
¿Qué hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente y = (x2 − 4)53/3 ?,
resulta que es prácticamente imposible derivarla.
Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestas

TEOREMAS

La regla de la La regla de la Funciones
Trigonométricas y la regla
cadena Potencia de la Cadena

Menú Derivadas

Si y = f(u) es una función derivable de u
Y u = g(x) es una función derivable de x
Entonces:
y = f(g(x) es una función derivable de x y
O su equivalente
dy dy du
.
dx du dx

d
f g x f '( g ( x)) g '( x)
dx
Menú Derivadas

EJEMPLO

Encontrar dy/dx para y = (x2 + 1)3

SOLUCION dy dy du
.
u = x2 + 1 dx du dx
u’=2x dy 2
3u .(2 x )
y = u3 dx
dy
3( x 2 1) 2 (2 x)
dx
dy 2 2
6 x( x 1)
Menú Derivadas dx

Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un
número racional entonces

dy n 1 du
n u ( x)
dx dx
O su Equivalente

d n n 1
[u ] nu u '
dx

Menú Derivadas

EJEMPLO 1

Encontrar la derivada de f(x) = (3x -2x2)3

SOLUCION

u = 3x -2x2
dy du
f '( x) .
u’ = 3 – 4x
f(x) = u3
du dx
2
f '( x) 3u .(3 4 x)
2 2
f '( x) 3(3x 2 x ) (3 4 x)
Menú Derivadas

EJEMPLO 2

Encontrar la derivada de
g(t) = -7 / (2t – 3)2

SOLUCION

g(t) = -7(2t – 3)-2 g '(t ) 7 (n)(u n 1 )(u ')
u = 2t – 3 3
g' t 7 ( 2)(u ) (2)
u’ = 2
3
g '(t ) 28(2t 3)
28
g '(t ) 3
(2t 3)
Menú Derivadas

d d
sen u cos u u ' cos u sen u u '
dx dx
d 2 d 2
tan u sec u u ' cot u csc u u '
dx dx
d d
sec u sec u tan u u ' csc u csc u tan u u '
dx dx

Menú Derivadas

EJEMPLO 1

Encontrar la derivada de y=cos3x²

Y=(cos u) u’
SOLUCION

u=3x² Y=(-sen u) 6x
U’=6x Y=(-sen 3x²) (6x)
Respuesta:

2
y 6 x( sen 3 x )

Menú Derivadas

EJEMPLO 2

Encontrar la derivada de f(t)=sen³4t

3
f (t ) sen 4t
2d
f '(t ) 3( sen 4t ) sen 4t
dt
2 d
f (t ) ( sen 4t ) 3 f '(t ) 3( sen 4t ) (cos 4t ) 4t
dt
f '(t ) 3(sen 4t )2 cos 4t 4

Respuesta: f '(t ) 12 sen 2 4t cos 4t
Menú Derivadas

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La Operación de derivación toma una función f y
produce una nueva función f „. Si ahora derivamos f ‟,
producimos otra función denotada f „‟ (léase “f
biprima”) y denominada segunda derivada de f. A su
vez, puede derivarse, y de ahí producir f ‟‟‟ que se
denomina tercera derivada de f y así sucesivamente.
La cuarta derivada se denota como f (4), la quinta
derivada se denota como f(5), etc.

Menú Derivadas

Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud
o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental
en los estudios de Física, Química y Biología, o en
ciencias sociales como la Economía y la Sociología
entre otros.

1 Máximo y Mínimos 3 Anti derivadas

2 Monotonía y Concavidad 4 Teorema del valor medio

Menú Principal

Un máximo relativo de una función es todo punto c, f(c) de
(a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de
(a,b).
Un mínimo relativo de una función es todo punto c, f(c) de
(a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de
(a,b).

Una función tiene un Máx.r.
mínimo o un máximo
relativo en un punto c
cuando c es un valor
Mínimo r.
crítico de f.
Menú Aplicaciones

Derivada
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
Las soluciones de f´(x)=0
son los candidatos a ser
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
máximos o mínimos
Máximos 3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x) f´´(pto. candidato)<0, Pto.
y mínimos candidato es
relativos MÁXIMO
4º- Calcular f´´(punto candidato)

f´´(pto. candidato)>0, Pto
candidato es
5º- Calcular f(punto candidato) MÍNIMO

Menú Aplicaciones

Signo de Signo de c, f(c)
GRÁFICO
f ‘ en (a,c) f ‘ en (c,b)
a c b
MÁXIMO
+ -

Menú Aplicaciones

GRÁFICO
a c b
MÁXIMO
+ -
MÍNIMO
- +

Menú Aplicaciones

GRÁFICO
a c b
MÁXIMO
+ -
MÍNIMO
- +
NINGUNO
+ +
NINGUNO
- -
Menú Aplicaciones

Y
máximo
relativo de
coordenadas (b,
f " (b) < 0 f(b))
f ' (b) = 0

f' <0 a f'>0 f'<0
X
b

f ' (a) = 0
f " (a) > 0
mínimo
relativo de
coordenadas (a,
f(a))

Menú Aplicaciones

Ejemplo. Hallar máximos, mínimos y graficar la siguiente
función
f(x) = x2 + 3x – 4 f ’(x) = 2x + 3 = 0
Valor Crítico x = -3/2
f ’(-2) = 2(-2) + 3 < 0 (-) f ’(0) = 2(0) + 3 > 0 (+)
El signo de la derivada antes y después del valor crítico
varía de (-) a (+) por tanto la función tiene un mínimo en
x = -3/2
f(-3/2) = (-3/2)2 + 3 (-3/2) – 4 =
9/4 – 9/2 – 4 ; X Y
y = -25/4
0 -4
1 0
-4 0

Menú Aplicaciones

y y

Cóncava
Cóncava hacia arriba
hacia abajo

x x
y’ y’

f ”(c)<0 f ”(c)>0
x x
a c b c
a b

Menú Aplicaciones

Sea f una función cuya segunda derivada existe en el
intervalo (a,b). Entonces:
Si f ’’(x)>0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava
hacia arriba en (a,b).
Si f ’’(x)<0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava
hacia abajo en (a,b).

Si además la función contiene un punto c tal que f’(c)=0,
entonces:

Si f ’’(c)>0, f(c) es un mínimo relativo.
Si f ’’(c)<0, f(c) es un máximo relativo.

Menú Aplicaciones

Teorema de monotonía
Sea f continua en el intervalo I y derivable en
todo punto interior de I
* si f ‘(x) > 0 para toda x interior a I, entonces f
es creciente en I.
* si f ‘(x) < 0 para toda x interior a I, entonces
f es decreciente en I.

Menú Aplicaciones

Y Y

TVM(x,h)
-TVM(x,h)
h f(x+h)
f(x) h
f(x) f(x+h)
[ x x+h
] X [ x x+h
]
a b a b
Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0 TVM(x, h) < 0 (x, x+h) y h >0

Menú Aplicaciones

Y Y

[ ] X [ ]
x b x
a a b
Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b]

f '(x) = tg > 0 x [a, b] f '(x) = tg < 0 x [a, b]

Menú Aplicaciones

2x
Intervalos de monotonía de y=
1 + x2
2(1 - x)(1 + x) 2(1 - x)(1 + x)
y'= ; =0 x= 1
1 + x2 1 + x2

Siempre positivo
Y
3

2
-1 1
y’ < 0 1

y’ < 0
- 4 - 2 2 4
y’ > 0 - 1

- 2

- 3
Menú Aplicaciones

El teorema del valor medio es fácil de
formular y entender. Dice que si la grafica
de una función continua tiene una recta
.
tangente, que no sea vertical, entre cada
punto entre A y B, entonces existe al
menos un punto C

Menú Aplicaciones

Sea una función continua en el intervalo cerrado [a,b],
derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces existe un
punto c (a,b) tal que:

f(b)
f ‘(c) f (b) f (a)
f ' (c )
b a
ß

ß
f(a)

a c b

Menú Aplicaciones

Antiderivadas

Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo I, si la derivada de F es f;
esto es: F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista, la función F(x) debe ser
continua.

Menú Aplicaciones

Teorema de Antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I,
la antiderivada más general de f en I es:
F (x)+ C
donde C es una constante arbitraria.

Menú Aplicaciones

El conjunto de todas las antiderivadas se
denomina: la Integral Indefinida de f
respecto a x, denotada por:

Diferencial de x

f ( x)dx F ( x) C
Constante de
integración
Símbolo de
Integral Una antiderivada de f
Función
integrando

Menú Aplicaciones

EJEMPLOS

1. Dada la función algunas
f x 3x 2
antiderivadas de f son: F x x3 ,
F x x3 5 ,
2. Algunas antiderivadas de f x cos x son
F x sen x , F x sen x
1
f x
3. Dada la función 1 x 2 , sus
antiderivadas son: F x arccos x , x 1,1 ,
F x arcsen x , x 1,1 ,
F x arcsen x C, x 1,1 , C
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