TODO SOBRE DERIVADAS

1. Estudiante:
Roberth Duran
Barcelona, 06 de Enero del 2021 C.I: 28.681.035
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Sede: Barcelona
Catedra: Ingeniería en sistemas
Curso: Matemáticas I

2. Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada
es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:
Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En
esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que
aparecen en la formula anterior.

3. Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la
función en dicho punto.
Ello nos permite usar la siguiente fórmula para calcular la tangente a f(x) en el
punto de abscisa x=a:
Análogamente podemos obtener la recta normal (perpendicular):

4. Interpretación geométrica de la derivada
Ejemplo
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x^2+2x-1 en el punto x=2
La fórmula es:
*
*
*
Por tanto la ecuación es:

5. Reglas de la derivada
 La derivada de una constante:
Según lo que hemos descubierto anteriormente la
derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0
A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van
desarrollando las reglas de derivación.

6. Reglas de la derivada
 La derivada de una potencia entera positiva:
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos
derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar
ese tipo de expresiones.

7. f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4) = 15x4
Reglas de la derivada
 La derivada de una constante por una función:
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su
derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por
ejemplo:>

8. Reglas de la derivada
 La derivada de una suma:
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La
regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la
derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de
cada uno de los términos por separado. Entonces:
f(x)= 2x3 + x
f '(x)= 6x2 + 1

9. Reglas de la derivada
 La derivada de las funciones trigonométricas:
La derivación de las funciones trigonométricas es el
proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una
función trigonométrica cambia respecto de la variable
independiente; es decir, la derivada de la función. Las
funciones trigonométricas más habituales son las
funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar
f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que
da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

10. Reglas de la derivada
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.

• f(x)= sen(x) * f '(x)= cos(x)
• f(x)= cos(x) * f'(x)= -sen(x)
• f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) * f '(x)= sec2(x)
• f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) * f '(x)= -csc2(x)
• f(x)= sec(x) * f '(x)= sec(x) tan(x)
• f(x)= csc(x) * f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

11. Derivada sucesivas
Las derivadas sucesivas son las derivadas de una función
después de la segunda derivada. El proceso para calcular las
derivadas sucesivas es el siguiente: se tiene una función f, la
cual podemos derivar y obtener así la función derivada f’. A
dicha derivada de f podemos volver a derivarla, obteniendo
(f’)’.
Esta nueva función se denomina segunda derivada; todas las
derivadas calculadas a partir de la segunda son sucesivas;
estas, llamadas también de orden superior, poseen grandes
aplicaciones, como dar información sobre el trazo de la
gráfica de una función, la prueba de la segunda derivada para
extremos relativos y la determinación de series infinitas.

12. Derivada sucesivas. (Ejemplo)
Obtener todas las derivadas de la función f definida por:
Usando las técnicas de derivación usuales, tenemos que la derivada de f es:
Repitiendo el proceso podemos obtener la segunda derivada,
la tercera derivada y así sucesivamente.
Nótese que la cuarta derivada es cero y la derivada de cero es cero,
por lo cual tenemos que:

13. Reglas de la cadena
La regla de la cadena sirve para derivar la composición de
funciones.
La derivada de la composición es
Es decir,

14. Reglas de la cadena. (Ejemplo)
Aplicando la regla de la cadena, la derivada es la derivada del
cuadrado por la derivada del paréntesis:

15. Derivadas implícitas
Las derivadas implícitas o derivación implícita son derivadas de aquellas
funciones donde la variable dependiente no está despejada, por lo general en
cálculo diferencial se utiliza a la variable “y”, por otro lado en las derivadas
algebraicas, trigonométricas, inversas, logarítmicas, exponenciales y de orden
superior hemos estado usando funciones implícitas donde la variable dependiente
se encuentra despejada.
Ejemplo:

16. Derivadas implícitas
Es muy fácil diferenciar entre las funciones explícitas e implícitas, si nos
encontramos a las funciones implícitas de esa manera puede deberse por dos
razones.
Porque la variable dependiente sea algebraicamente imposible de despejar, por
ejemplo cuando aparece parte del argumento y además está en alguna otra
función. Por ejemplo:
La otra razón es porque el autor así decidió escribirlo, a veces para que el alumno
mejore su habilidad de despejar variables.

17. Regla de L’Hospital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que
den indeterminación, especialmente los casos más complejos,
exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a
límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que
pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando
transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla
de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien
la técnica de la derivación>.

18. Regla de L’Hospital. (Ejemplo)
• Se tiene la indeterminación 0/0
• Aplicamos la regla de L'Hôspital

19. Link de los videos explicativos:
 Definición de derivada: https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM
 Interpretación geométrica de la derivada.:
https://www.youtube.com/watch?v=fRxLP3pAHio
 Reglas de la derivada.: https://www.youtube.com/watch?v=yxstXi2ka04
 Derivadas sucesivas.: https://www.youtube.com/watch?v=GGr6Bsp3WdM
 Regla de la cadena.: https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68
 Derivada implícita.: https://www.youtube.com/watch?v=u0BP7ZMRsms
 Regla de L’Hospital: https://www.youtube.com/watch?v=CqsNjPWC8XA

20. Taller:
taler de mate.docx