3. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Aqu´ı se desarrollar´an las reglas de la derivaci´on sin tener que pasar
directamente por la defici´on formal de la derivada. Estas reglas permiten
calcular con facilidad las derivadas de funciones polinomiales y
exponenciales, entre otras.
C´alculo Diferencial Derivadas
4. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Sea C una curva dada por la ecuaci´on y = f(x). Se desea hallar la tangente a la curva
C en el punto P (a, f(a)), entonces considere un punto cercano Q(x, f(x)). La
pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q esta dada por:
mP Q =
f(x) − f(a)
x − a
Figura: Recta secante que une dos puntos
C´alculo Diferencial Derivadas
5. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si
mP Q tiende a un n´umero m se define la tangente t como la recta que pasa
por P con pendiente m.
Inspirado en lo anterior, se define a continuaci´on el concepto de pendiente
y recta tangente.
C´alculo Diferencial Derivadas
6. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Derivada
Definici´on
La pendiente de la curva y = f(x) en el punto
P(a, f(a)) es el n´umero
m = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
siempre que el l´ımite exista. La recta tangente (o
simplemente la tangente) a la curva P es la recta que pasa
por P y tiene dicha pendiente.
Ejemplo
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada por f(x) = x2
en el punto (1, 1)
C´alculo Diferencial Derivadas
8. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
l´ım
h→0
f(1 + h) − f(1)
h
= l´ım
h→0
√
1 + h −
√
1
h
= l´ım
h→0
√
1 + h −
√
1
h
·
√
1 + h +
√
1
√
1 + h +
√
1
= l´ım
h→0
1 + h − 1
h(
√
1 + h +
√
1)
= l´ım
h→0
h
h(
√
1 + h +
√
1)
= l´ım
h→0
1
√
1 + h +
√
1
= l´ım
h→0
1
√
1 + 0 +
√
1
=
1
2
As´ı f (1) = 1
2
.
C´alculo Diferencial Derivadas
9. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Interpretaci´on
Las siguientes son interpretaciones para el l´ımite del cociente de
diferencias,
l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
1 La pendiente de la gr´afica de y = f(x) en x = a
2 La pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en x = a
3 La tasa de cambio de f(x) respecto a x en x = a
4 La derivada f (a) en el punto
C´alculo Diferencial Derivadas
10. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Recta Tangente
Definici´on
La derivada de la funci´on f(x) respecto a la variable x es
la funci´on f cuyo valor en x es
f (x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
siempre que el l´ımite exista.
Ejemplo
Determine f (x), si f(x) =
√
x.
C´alculo Diferencial Derivadas
11. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
√
x + h −
√
x
h
= l´ım
h→0
√
x + h −
√
x
h
·
√
x + h +
√
x
√
x + h +
√
x
= l´ım
h→0
x + h − x
h(
√
x + h +
√
x)
= l´ım
h→0
h
h(
√
x + h +
√
x)
= l´ım
h→0
1
√
x + h +
√
x
=
1
2
√
x
As´ı f (1) = 1
2
√
x
.
C´alculo Diferencial Derivadas
12. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Notaci´on de la derivada
Notaci´on
Para denotar la derivada de una funci´on y = f(x), donde x
es la variable independiente mientras que y la variable
dependiente podemos utilizar las siguientes alternativas:
f (x) = y =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f(x) = D(f)(x) = Dxf(x)
Para indicar la derivada de f en un n´umero espec´ıfico x = a, se utiliza la
siguiente notaci´on:
f (a) =
dy
dx x=a
=
df
dx x=a
=
d
dx
f(x)
x=a
C´alculo Diferencial Derivadas
13. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Teoremas sobre derivadas de funciones polinomiales y exponenciales
Teoremas
Si f y g son funciones derivables, entonces:
1
d
dx
(c) = 0, c es una constante
2
d
dx
(xn
) = nxn−1
, n ∈ R
3
d
dx
(cf(x)) = c
d
dx
f(x), c es una constante
4
d
dx
(f(x) ± g(x)) =
d
dx
f(x) ±
d
dx
g(x)
5
d
dx
(ex
) = ex
6
d
dx
[f(x)g(x)] = g(x)
d
dx
[f(x)] + f(x)
d
dx
[g(x)]
7
d
dx
f(x)
g(x)
=
g(x) d
dx
[f(x)] − f(x) d
dx
[g(x)]
g2(x)
C´alculo Diferencial Derivadas
16. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Regla de la cadena
Si y = f(u) es una funci´on derivable de u y adem´as u = g(x) es una funci´on
derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una funci´on derivable de x y
dy
dx
=
dy
du
·
du
dx
o equivalentemente
d
dx
[f(g(x))] = f (g(x))g (x)
C´alculo Diferencial Derivadas
17. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial Ejemplo: Aplicaci´on regla de la cadena
Encuentre la derivada de f(x) =
x
3
√
x2 + 4
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
f(x) =
x
(x2 + 4)1/3
Ahora, derivamos utilizando de regla de cociente y la regla de la cadena.
f (x) =
(x2
+ 4)1/3
(1) − x(1/3)(x2
+ 4)−2/3
(2x)
(x2 + 4)2/3
=
1
3
(x2
+ 4)−2/3 3(x2
+ 4) − (2x2
)(1)
(x2 + 4)2/3
=
x2
+ 12
3(x2 + 4)4/3
C´alculo Diferencial Derivadas
18. Derivadas
C´alculo
Diferen-
cial
Ejemplo: Aplicaci´on regla de la cadena
Encuentre la derivada de g(t) = sin3
(4t)
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
g(t) = (sin 4t)3
Ahora, derivamos utilizando la regla de cadena.
g (t) = 3(sin 4t)2 d
dt
[sin 4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)
d
dt
[4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)4
= 12(sin 4t)2
(cos 4t)
= 12 sin2
4t · cos 4t
C´alculo Diferencial Derivadas
