elipses

1. Universidad Nacional de Juliaca
E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
EJERCICIOS DE DOMINIO Y RANGO
DE LA ELIPSES
EJEMPLO (1) Dadas las siguientes ecuaciones verifique si corresponden a elipses:
2 2 2 2
1 2
: 4 2 3 0 : 8 4 18 0
x y y x x y
+ + − = − + + =
E E
SOLUCIÓN ( )
1
E
En la ecuación general se puede verificar que las condiciones i) y ii) se cumplen:
Diferentes
coeficiente
" e " son
de 2° grado
x y
2 2
1 : 4 1 2 3 0
x y y
+ + − =
E
Verifiquemos la condición iii), es decir, debemos transformar la ecuación general a la
ecuación ordinaria:
( )
( )
( )
( )
2 2
1
2 2
1
2
2
1
2
2
2
1
: 4 2 3 0 Ecuación general
: 4 2 3 0
: 4 1 4
1
: 1 Ecuación ordinaria
Completando cuadrados
1 1
Dividiendo entre "4" para obtener la ecuació
4
n ordinaria
x y y
x y y
x y
y
x
+ + − =
+ + − =
+ + =
+
+ =
+ −
E
E
E
E
En consecuencia, 2 2
1 : 4 2 3 0
x y y
+ + − =
E es la ecuación de una elipse.

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E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
SOLUCIÓN ( )
2
E
En la ecuación general se puede verificar que las condiciones i) y ii) se cumplen:
Diferentes
coeficiente
" e " son
de 2° grado
x y
2 2
2 : 1 8 4 18 0
x x y
− + + =
E
Verifiquemos la condición iii), es decir, debemos transformar la ecuación general a la
ecuación ordinaria:
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
: 8 4 18 0 Ecuación general
Completando cuadrados
: 8 4 18 0
: 4 4 18 0 Fals
4 16
o
x x y
x x y
x y
+
+
+ 


− + + =
− + + =
− + + =
= 
+ −
E
E
E
E
En consecuencia, 2 2
1 : 4 2 3 0
x y y
+ + − =
E es la ecuación no es una elipse.

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
OBSERVACIÓN (2) De la ecuación ordinaria general de una elipse:
( ) ( )
2 2
2 2
: 1
x h y k
m n
− −
+ =
E
se puede identificar en que eje se extiende (tiene su eje focal) en el eje X o en eje Y ,
tomando en cuenta los siguientes criterios:
PRIMERO Los valores " " " "
m y n de los denominadores de la ecuación ordinaria están
relacionado con la variable del numerador, es decir:
( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
m n
− −
+ =
( )
( )
relacionado
relacionado
" " está relacionado con la variable " "
" " está relacionado con la variable " "
m x m x
n y n y
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
SEGUNDO Para identificar los valores de los parámetros de " "
a y b correspondientes se
debe tomar en cuenta que, el mayor valor le corresponde al parámetro " "
a , es decir:
( )
( )
Si entonces , la grafica de la elipse se extiende en el eje .
Si entonces , la grafica de la elipse se extiende en el eje .
i m n m a X
ii m n n a Y
 =
 =

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
EJEMPLO (2) Grafique las siguientes relaciones:
( )
2 2 2 2
1 2
1
: 1 ; : 1
4 9 16 9
x y x y
−
+ = + =
E E
SOLUCIÓN ( )
1
E
Comparemos la ecuación ordinaria de la elipse y con la ecuación ordinaria dada:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
Comparando
1
2 2
1
: 1 : 1
4 9
x h y k x y
m n
− − −
+ = ⎯⎯⎯⎯→ + =
E E
De las consideraciones hechas en la observación (2) se tiene:
( )
2 2
2 2
1
1
2 3
x y
−
+ =
( )
2 2
2 2
1
1
2 3
x y
−
+ =

b m
= n a
= ( )
( )
( )
Centro : 1,0
Parámetros : 3 Eje
2 Eje
C
a Y
b X
=
=
=
( )
2 2
1
1
: 1
4 9
x y
−
+ =
E
Gráfico

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
SOLUCIÓN ( )
2
E
De acuerdo a la ecuación ordinaria general de la elipse y comparándola con la ecuación
ordinaria dada:
( ) ( )
2 2 2 2
Comparando
2
2 2
: 1 : 1
16 9
x h y k x y
m n
− −
+ = ⎯⎯⎯⎯→ + =
E E
De las consideraciones hechas en la observación (2) se tiene:
2 2
2 2
1
4 3
x y
+ =
2 2
2 2
1
4 3
x y
+ =

2 2
2 : 1
16 9
x y
+ =
E
n b
=
a m
= ( )
( )
( )
Centro : 0,0
Parámetros : 4 Eje
3 Eje
C
a X
b Y
=
=
=
Gráfico

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
EJERCICIOS DE DOMINIO Y RANGO
DE LA ELIPSES
EJEMPLO (1) Dadas las siguientes relaciones:
( )
 
( )
 
( )
 
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
, / 9 36 0
, / 4 8 8 0
, / 9 18 4 8 23 0
x y x y
x y x y y
x y x x y y
=  + − =
=  + + − =
=  − + + − =
R
R
R
i) Identifique el nombre de cada relación.
ii) Identifique sus elementos característicos (centro y parámetros).
iii) Determine su dominio y rango en forma gráfica.
iv) En forma matemática determine su dominio y rango.
SOLUCIÓN( )
1
R
i) Nombre de la relación: Elipse
ii) Centro y parámetros:
Nota: Para identificar el centro y parámetros, debemos transformar la ecuación general
a la ecuación ordinaria.
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
1
2 2
1
:9 36 0 Ecuación general
9 36
:
36 36 36
: 1 Ecuación ordinaria
4 36
Centro: 0,0
Parámetros: 6 ; 2
x y
x y
x y
C
a Y b X
+ − =
+ =
+ =
=
= =
R
R
R

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
iii) Gráfico, dominio y rango
Del gráfico se tiene:    
D 2,2 ; R 6,6
= − = −
iv) Dominio y rango (Matemáticamente)
a) Dominio: De la regla de correspondencia despejamos la variable " "
y .
( )
2
2
1
2 2
2
36
4
:9 36 0
9 9 4
3
y x x
y x
x y
=  −
=
=  −
= 
−
−
+
R
Para que y  , se debe cumplir
( )( )
2
2 2
4 0
2 0
2 2 0
x
x
x x
− 
− 
− + 
− +
2
− 2
Puntos críticos:
2
2
x
x
= −
=
X
 
1
D 2,2
 = −
R

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E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
b) Rango: De la ecuación ordinaria de la circunferencia (regla de correspondencia)
despejamos la variable " "
x .
2
2
2
1 :9 36
3
36
0
y
x
x y
+ −
 −
=
=
R
Para que x , se debe cumplir
( )( )
2
2 2
36 0
6 0
6 6 0
y
y
y y
− 
− 
− + 
− +
Y
Puntos críticos:
6
6
y
y
= −
=
6
− 6
 
1
R 6,6
 = −
R
SOLUCIÓN( )
2
R
i) Nombre de la relación: Elipse
ii) Centro y parámetros:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
: 4 8 8 0 Ecuación general
: 4 2 8 0
: 4 1 4 8 0
: 4 1 12
1
: 1 Ecuación ordinaria
12 3
Centro: 0, 1
Parámetros: 3
1
; 3
1
2
x y y
x y y
x y
x y
y
x
C
a X b Y
+ + − =
+ + − =
+ +
=
+ −
− − =
+ + =
+
+
= −
= =
R
R
R
R
R

9. Universidad Nacional de Juliaca
E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
iii) Gráfico, dominio y rango
Del gráfico se tiene: D 2 3,2 3 ; R 1 3, 1 3
   
= − = − − − +
   
iv) Dominio y rango (Matemáticamente)
a) Dominio: De la ecuación ordinaria de la circunferencia (regla de correspondencia)
despejamos la variable " "
y .
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
:
4 1 12
1
1 12
2
3
1
12
x y
y
x
x
y
+ + =
= − 
+
+
−
=
R
Para que y  , se debe cumplir
( )
( )( )
2
2
2
12 0
12 0
12 12 0
x
x
x x
− 
− 
− + 
− +
X
Puntos críticos:
12 2 3
12 2 3
x
x
= − = −
= =
2 3
− 2 3
2
D 2 3,2 3
 
 = −
 
R

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
b) Rango: De la ecuación ordinaria de la circunferencia (regla de correspondencia)
despejamos la variable " "
x .
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2
4 1 12
12
1
: 1
1
4
2 3
1 4 3 1
2 3 1
x y
x y y
x y
y
x
+ + =
 
=  − + =  − +
 
=  −
+
+
+
=
R
Para que x , se debe cumplir
( )
( ) ( )
( )( )
2
2
2
3 1 0
1 3 0
1 3 1 3 0
y
y
y y
− + 
+ − 
+ − + + 
− +
Y
Puntos críticos:
1 3
1 3
y
y
= − −
= − +
1 3
− − 1 3
− +
2
R 1 3, 1 3
 
 = − − − +
 
R

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
SOLUCIÓN( )
3
R
i) Nombre de la relación: Elipse
ii) Centro y parámetros:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
3
2 2
3
2 2
3
2 2
2
3
2 2
3
2
:9 18 4 8 23 0 Ecuación general
:9 2 4 2 23 0
:9 1 9 4 1 4 23 0
:9 1 4 1 36
1 1
: 1 Ecuación ordinaria
4 9
Centro: 1, 1
Par
1
ámetros: 3 ; 2
1 1 1
x x y y
x x y y
x y
x y
x y
C
a Y b X
− + + − =
− + + − =
− −
=
+ − +
+ + − − =
− + + =
− +
+
= −
= =
−
R
R
R
R
R
iii) Gráfico, dominio y rango
Del grafico se tiene:    
D 1,4 ; R 4,2
= − = −

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
iv) Dominio y rango (Matemáticamente)
a) Dominio: De la ecuación ordinaria de la elipse despejamos la variable " "
y .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
3
1 1
1
9 4
1
1 1
: 1
4 9
1 4 1
9 4
3
4 1
2
x
y
y
y x
x
y x
+ −
= −
+ − −
=
+

= −
−
 −
+
−
=
R
Para que y  , se debe cumplir
( )
( )
( )( )
( )( )
2
2 2
4 1 0
1 2 0
1 2 1 2 0
3 1 0
x
x
x x
x x
− − 
− − 
− − − + 
− + 
− +
X
Puntos críticos:
1
3
x
x
= −
=
1
− 3
 
3
D 1,3
 = −
R
b) Rango: De la ecuación ordinaria de la elipse despejamos la variable " "
x .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
3
1 1
1
4 9
1 9 1 2
1 9
9
1
9
1 1
4
: 1
4
3
x y
x y
x
x
y
y
− +
= −
− − +
=
+
  =
−
 −
+
+
=
R

13. Universidad Nacional de Juliaca
E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
Para que x , se debe cumplir
( )
( )
( )( )
( )( )
2
2 2
9 1 0
1 3 0
1 3 1 3 0
2 4 0
y
y
y y
y y
− + 
+ − 
+ − + + 
− + 
− +
Y
Puntos críticos:
4
2
y
y
= −
=
4
− 2
 
3
R 4,3
 = −
R

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E.P. INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
EJEMPLO (2) Grafique las siguientes relaciones y determine su dominio y rango:
( )
 
( )
 
( )
 
2 2 2
1
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
3
, / 8 81 0 0
, / 4 16 0 4 6 9 0
, / 2 8 8 0 4
x y x y y x
x y x y y x
x y x y y x y
=  + − =  − =
=  + − =  + + =
=  + + − =  + =
R
R
R
i) Determine matemáticamente el dominio y rango.
ii) Realice la gráfica de las curvas.
iii) Realice la gráfica de cada relación.
SOLUCIÓN( )
2
R
2 2 2
2 : 4 16 0 4 6 9 0
X
x y y x
+ − =  + + =
E P
R
Nota: De la regla de correspondencia de la relación, se identifica que los elementos son los
puntos de intersección de la circunferencia y la parábola cuyas ecuaciones son:
2 2 2
: 4 16 0 : 4 6 9 0
X
x y y x
+ − =  + + =
E P
i) Para hallar el dominio y rango en forma matemática, es necesario resolver el sistema
de ecuaciones formado por las reglas de correspondencia de las curvas ( )
X
E P
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 en 1 2
2
2
2
2
: 4 16 0 1
6 9 16 0
: 4 6 9 2
6 25 0
3 34
3
9
34
3 34
3 34
3
X
x y
x x
y x
x x
x
x
x
x

+ − =

⎯⎯⎯⎯
→ − − − =


= − − 
− − =
− =
 = +

=  

−

+
= −
E
P

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
Reemplazando en la ecuación ( )
2
a) Cuando 3 34 8,831
x = + 
( )
2
4 6 9
6 9
2
6 3 34 9
2
27 6 34
2
y x
x
y
y
y
= − −
 − −
=
 − + −
=
 − −
= 
b) Cuando 3 34 2,831
x = −  −
( )
2
4 6 9
6 9
2
6 3 34 9
2
6 34 18
2
y x
x
y
y
y
= − −
 − −
=
 − − −
=
 −
=
Nota Después de resolver el sistema de ecuaciones es necesario verificar que el/los
valores hallados deben satisfacer las ecuaciones, para identificar correctamente los
puntos de intersección y en consecuencia el dominio y rango de la relación.
Luego, los puntos de intersección que conforman la relación son:
2
6 34 18 6 34 18
3 34, , 3 34,
2 2
X
 
   
− −
 
   
= = − − −
 
   
 
   
 
R E P
En consecuencia
 
2 2
6 34 18
Dominio : D 3 34 ; Rango: R
2
 
−
 
= − = 
 
 
 
R R
ii) Gráfico de las curvas
a) Elipse ( )
E
( )
( ) ( )
2 2
2 2
: 4 16 0
1
16 4
Centro: 0,0
Parámetros: 4 ; 2
x y
x y
C
a X b Y
+ − =
+ =
=
= =
E
b) Parábola ( )
P
( )
2
2
: 4 6 9 0
2 3
3 2
3
Vértice: ,0
2
2
Parámetro: 0
3
X y x
x y
V
a
+ + =
= − −
 
= −
 
 
= −  
P

16. Universidad Nacional de Juliaca
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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
iii) Gráfico, dominio y rango
SOLUCIÓN( )
3
R
2 2 2 2
3 : 2 8 8 0 4
x y y x y
+ + − =  + =
E C
R
Para identificar los elementos de la relación, debemos resolver el sistema de ecuaciones
formado por las reglas de correspondencia de la elipse y la circunferencia, es decir:
( )
( )
2 2
2 2 2 2
: 2 8 8 0 1
: 4 4 2
x y y
x y x y
+ + − =
+ =  = −
E
P

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Matemática básica Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
De (1) y (2)
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2
2
2
4 2 8 8 0 8 4 0
Por Bhaskara: 1 ; 8 ; 4
8 8 4 4 8 4 5
2 2
4 2 5 Rango
4 4 2 5
4 4 2 5 Dominio
x
y y y y y
a b c
y
y
x
x
− + + − =  + − =
= = = −
−  − − − 
= =
= − 
= − − 
=  − − +