UNSAAC Algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CEPRU
CENTRO DE ESTUDIOS PRE
UNIVERSITARIO - UNSAAC
“AÑODELFOTALECIMIENTODELASOBERANÍANACIONAL”
CICLO ORDINARIO 2022 - I
ÁREA “A”
ALGEBRA

DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO -UNSAAC
DIRECTOR:
F Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ
INTEGRANTES:
F Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI
F Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE
F Mgt. CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES
PERSONAL ADMINISTRATIVO:
F PEDRO PAUL LABRA QUISPICURO
F TEODORO WILDER MORA CARRILLO
F JODY MURILLO NEYRA
F WILBER CELSO GAMERO HANDA
F AMERICO FARFAN PORTOCARRERO
F FREDY ROLANDO GOMEZ YARAHUAMAN

CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 1
POTENCIACIÓN
DEFINICIÓN. La potenciación es una
operación matemática, que consiste en
multiplicar un número llamado base " "
a tantas
veces como indica otro número llamado
exponente " "
n , al resultado de esta operación
se le denomina potencia.
La potencia n-ésima de " "
a denotado por " "
n
a
, está dado por:
. . ...
n
n veces
a a a a a
−
= ,  
0
a
  − y n +

donde:
" "
a : es la base.
" "
n : es el exponente.
" "
n
a : es la potencia.
PROPIEDADES:
Sea ,
m n +
 , entonces se cumplen las
propiedades siguientes:
A) Producto de bases iguales
.
m n m n
a a a +
=
B) Cociente de bases iguales
 
; 0
m
m n
n
a
a a
a
−
=   −
C) Exponente nulo (cero)
 
0
1; 0
a a
=   −
D) Exponente negativo
 
1
; 0
n
n
a a
a
−
=   −
E) Potencia de potencia
.
( )
m n m n
a a
=
F) Potencia de un producto
( . ) .
n n n
ab a b
=
G) Potencia de un cociente
; , 0
n n
n
a a
a b b
b b
 
=    
 
 
H) Exponente negativo de un cociente
 
; , 0
n n
a b
a b
b a
−
   
=   −
   
   
I) Exponente fraccionario
m
n m
n
a a
=
RADICACIÓN
DEFINICIÓN. Una radicación se define como:
n
n
a b b a
=  =
Donde:
a : Radical
n : Índice del radical ( 2
n n
   )
a : Radicando
b : Raíz n- ésima de " "
a
PROPIEDADES:
Considérese para las expresiones siguientes, la
existencia de todos los radicales.
1. ( )n
n
a a
= con ( 2
n n
   ).

PLANA DOCENTE 2
2.
, n par
,
n n a si
a
a si n es impar
+
 
= 


3. . ;
n n n
ab a b n
= 
4. ; 0,
n
n
n
a a
b n
b b
=  
5. ; ,
m n mn
a a m n
= 
6. ;
m
k n n
k m m n
b b b dondek
= = 
ECUACIONES
EXPONENCIALES
DEFINICIÓN. Son aquellas ecuaciones que
contienen la incógnita o variable en el exponente
y en otros como exponente y base.
PROPIEDADES
1)  
; 1
x y
a a x y a +
=  =   −
2) ; , ;
n n
x y x y x y n
+ +
=  =   
3) ; ,
x a
x a x a x a +
=  =  
4) , 0,
n n
x b x b x n +
=  =  
EJERCICIOS
1. Al simplificar la expresión:
4 2
1 1
3 9
27 81
a a b
a b
Q
+ +
− +
= se obtiene:
a) 27
b) 28
c) 23
d) 3
e) 9
2. El valor de " "
k en la expresión
2 2
1 1
1 1
5 35 5
; 1
5
n
n n
n n
k n
− −
− +
+ 
=  , es:
a) 10
b) 5
c) 12
d) 7
e) 2
3. Si se cumple que: 1 2
3 2
n n
−
= , el valor de la
expresión
1 2 1
2 3
3 2
3 2
n n
n n
A
+ +
+
+
=
+
, es:
a) 1
b) 5
c) 21
d) 10
e) 3
4. Sean ,
x y +
 y 2
y x
−  , luego de
simplificar la expresión:
2 2
x y y x y x
x y
y x x y
x y y x
I
x y y x
+ +
−
+
=
+
resulta:
a)
x
y
b)
y
x
c)
1
y
d)
1
x
e) xy
5. Si 2
x
x = luego el valor de
1
1 x
x x
x
J x
+
+ −
= , es:
a) 2
b) 4
c) 2
d)
1
2
e) 8
6. Al simplificar la expresión
2
2
2
2
1 1
1 1
x y x
y x y
x x
y y
E
y y
x x
−
−
   
   
   
   
   
   
− −
=
− +
, resulta igual
a:

PLANA DOCENTE 3
a)
x
y
b)
y
x
c)
x y
x
y
+
 
 
 
d)
x y
y
x
+
 
 
 
e) ( )
x y
xy
+
7. El valor de:
2 2
2
2 2
10 6
(25) (15)
n n
n
n n
E
−
=
−
, es:
a) 2
b) 5
c) 10
d)
2
5
e)
5
2
8. Si se cumple que
1
7 ,
x
x x +
=  . El valor
de,
1
2
2
8(7 ) (23 ) ( )
322 2 16(7 )
x x x
x
x x
P
x
+  +
=
+ +
, es:
a) 2
b) 7
c) 4
d)
1
2
e)
1
4
2 2
2 2
16 8
8
4 2
2 1
n n
n n
n n n
n
E
+
+
+
=
+
, se obtiene:
a) 1
b) 4
c) 2
d) 8
e) 16
10. Si se cumple que:
( ) ( )
2 2 2 2
1778 1776
2 2 2 ... 2 4 4 4 ... 4 12
x x x x x x x x
sumandos sumandos
+ + + + − + + + + =
el valor de 2
E x x
= − , es:
a) 10
b) 12
c) 4
d) 6
e) 3
11. Si 2
b
a = , el valor de
2
3 .
2 3 4
4
b
b a
b b b
a
M
a a a
=
+ + +
, es:
a) 32
b) 5
c) 12
d) 128
e) 64
12. Si 2
x
x = , el valor de D =
1
1
1 2
x
x x
x
x
x
+
+ −
+
, es:
a) 16
b) 2
c) 8
d) 4
e) 32
13. Al simplificar la expresión
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
3 2 2 2 3
2 3 3 3
. . . .
E x x x x x
−
− −
= − − − ,
se obtiene:
a)
9
x
b)
9
x
−
c)
6
x
d)
6
x
−
e)
6
x−
−
14. Al simplificar la expresion:
1 1 1
1
2 2 2 1 1
20 5 3
4 2 5 3
a a a
a a
a a a a
D
+ − −
−
+ + − −
+
= +
+ +
, se
obtiene:
a) 5
b) 15
c) 20
d) 10
e) 25

PLANA DOCENTE 4
2 2
2
2
2 2 2
1
9 3
90
x x
x
x
D
+ +
+
+
= , se obtiene:
a) 10
b) 100
c) 1
d) 1
10−
e) 2
10−
16. Si 2
x
x = , entonces, el valor de:
1 1
1
x
x
x
x
x
+ +
+
,es:
a) 2
b) 8
c) 4
d) 16
e) x
17. Al reducir
2 2
2
2. 2. 2
2. 2. 2
V = , se obtiene:
a) 2 2
b) 2
c) 4
d) 2
e) 8
18. Si " "
a y " "
b son números positivos; al
reducir
( ) ( )
1 1
. .
. .
ab
ab ab ba ba ab
ab a ba b
M ab ba ab
− − −
= resulta
igual a:
a) ab
b)
b
a
c)
a
b
d)
1
ab−
e)
1
ba−
19. Para " "
b diferente de cero, el valor de
( )
( )
( ) ( )
( )
 
2
2
1
2
3 4
1
2
2 3
2 3
3 3
. .
.
b
A bb b
b b b
−
− −
−
−
−
− −
 
=  
 
,
es:
a) b
b) 1
c) 1
b−
d) 2
b
e) 2
b−
20. Al resolver la ecuación,
2 2 2 2
6 7 8 9
7 7 7 7 400
x x x x
− − − −
+ + + = , el valor
de " "
x es:
a) 3
b) 3
−
c) 3

d) 2

e) 6

1 4
8 9 81 4
27 4 16 9
x x x
−
     
  =
     
     
,
el valor de " "
x es:
a)
1
3
b)
2
3
c)
1
3
−
d)
2
3
−
e) 6
22. Al resolver la ecuación
1
9 1
8
9
3
x−
−
−
− = , el valor de "2 "
x es:
a) 3
b) 2
c) 4
d) 4
−
e) 3
−
1
1
36 1
144 64
x
x
−
−
= , el valor
de " "
x , es:
a) 8
b) 2
c) 4
d) 4
−

PLANA DOCENTE 5
e) 8
−
24. Al resolver la ecuación:
1 2 3
1 1 1 1
1
2 2 2 2
x x x x
+ + +
+ + + = , el valor de " "
x
es:
a) 3
b) 6
c) 3
−
d) 6
−
e) 2
−
25. Si 2
x
x = , entonces el valor de la
expresión
1
1 2 x
x
x
E x
+
+
= , es:
a) 2
b) 4
c) 16
d)
12
2
e)
16
2
3 1
27 3 12
x x+
+ = , el
valor de " "
x , es
a)
1
6
b)
2
3
c)
1
3
−
d)
1
3
e)
7
3
4
1
2
1 1
4 2
x
 
 
 
 
=
 
 
el
valor de " "
x es:
a)
1
2
b)
1
4
c)
1
2
d) 2
e)
1
16
4
4
x
x
−
−
= , el valor de
" "
x es:
a)
1
4
b)
1
8
c)
1
2
d) 2
e)
1
2
29. Si
2
2
2
x
x
−
−
= , el valor de:
x
E x
= , es
a)
1
8
b)
1
4
c)
1
2
d)
1
16
e)
1
2
30. El conjunto solución de la ecuación:
2
13 2
12
x x
x x
− +
= − , es:
a)  
4
b)  
3
−
c)  
3;4
−
d)  
4;3
−
e)  
4; 3
− −

PLANA DOCENTE 6
f)  
4; 3
− −
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
DEFINICIÓN. Se denomina expresión
Algebraica a toda expresión que está formada
por variables y/o constantes en cantidades
finitas, que están ligadas mediante las
operaciones fundamentales de : adición,
sustracción, multiplicación, división potenciación
y radicación, sin variables en los exponentes.
Ejemplo 1:
2 3/2
( ) 3 10 34
P x x x
= − +
Ejemplo 2:
6 0,5 0,5
4
7
( , ) 12 10 2020
R x y x x y
x y
− −
= + + −
+
OBSERVACIÓN:
• Toda expresión que no cumpla con las
condiciones mencionadas será llamada
expresión no algebraica o trascendente.
Ejemplo 1:
2 3 4
( ) 1 ...
1! 2! 3! 4!
x x x x
S x = + + + + +
Ejemplo 2:
2
( , ) 3 tan 16log
x
T x y x y
= + −
TÉRMINO ALGEBRAICO
DEFINICIÓN. Es aquella expresión algebraica
en la que sus elementos están ligados solo por
las operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Ejemplo 1:
1
2 4
2
2 4
56
( , , )
P x y z x y z
a b
=
+
OBSERVACIÓN:
• Decimos que dos o más términos son
semejantes, cuando tienen la misma parte
literal.
• Dos o más términos se pueden sumar o
restar cuando son semejantes y en este caso
se suman o restan los coeficientes y se
escribe la misma parte literal.
Ejemplo 1:
2 8 2 8 2 8 2 8
6 12 ( 6)
x y x y x y x y
 
− − − −
− + = −
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS:
La clasificación está según la naturaleza del
exponente.
A) Expresiones Algebraicas Racionales
Son aquellas expresiones en donde los
exponentes de las variables son números
enteros. Entre estas se tienen:
• E.A.R. Enteras:
Son expresiones donde la variable o
variables tienen exponentes que son a lo
más números enteros positivos, también
pueden presentar término independiente.
Ejemplo 1:
7 3 2
( ) 3 4 23
P x x x x
= − + −
Ejemplo 2:
9 3 6 2 2 6
( , , ) 2 87 23
Q x y z x x y z x y xyz
= − + −
exp
4 12 3
24
onentes
signo
coeficiente parte literal
x y z
⎯⎯⎯⎯
⎯
−
⎯⎯⎯
→ −

PLANA DOCENTE 7
• E.A.R. Fraccionaria:
Son expresiones cuyas variables admiten
por lo menos un exponente que es un
número entero negativo.
Ejemplo 1:
7 4 2
( ) 13 12 1
R x x x x x
−
= + + + −
Ejemplo 2:
9 3 6 6
2 3
8
( , ) 4 7 4
Z x y x x y y
x y
−
= − + − +
−
B) Expresiones Algebraicas Irracionales
Son aquellas expresiones que se
caracterizan, porque su variable o variables
están afectados por un radical o los
exponentes de sus variables son números
fraccionarios.
Ejemplo 1:
6 4/3 2
( ) 6 9 12
T x x x x x
= + + −
Ejemplo 2:
9 6
8 3
1
( , ) 12 74 4 1
12
M x y x y x y
x y
= − + − + +
+
POLINOMIO
DEFINICIÓN. Un polinomio es una expresión
algebraica racional entera, donde los exponentes
de las variables son números enteros positivos
mayores o iguales a cero, con una o más
variables y con uno o más términos en
cantidades finitas.
El polinomio en la variable " "
x está definida por:
1
1 1 0
( ) ... , 0
n n
n n n
P x a x a x a x a a
−
−
= + + + + 
Donde:

x : variable
0
+

n : Es el grado del polinomio.
1
+
n : Es el número de términos de ( )
P x
n
a : Coeficiente principal del polinomio.
0
a : Término independiente del polinomio.
1 2 2 1 0
, , ,..., , ,
− −
n n n
a a a a a a : Coeficientes reales.
OBSERVACIONES:
• ( ) , , ; 0
= +  
P x a x b a b a
Polinomio lineal (polinomio de primer grado).
•
2
( ) , , , ; 0
= + +  
P x a x bx c a b c a
Polinomio cuadrático (polinomio de segundo
grado)
Ejemplo 1:
10 8 6
( ) 5 2 7
= + − −
P x x x x , es un polinomio
de grado 10, cuyo coeficiente principal es 5
y el término independiente es -7.
Ejemplo 2:
10
3
( )
5
= −
P x x , es un monomio de una
variable.
Ejemplo 3:
10 7 12
( , , ) 7
= −
P x y z x y z , es un monomio de tres
variables.
Ejemplo 4:
10 7 12 8 2 3
( , ) 11
= − +
P x y x y x y x y , es un
trinomio de dos variables.
VALOR NUMÉRICO DE UN
POLINOMIO
DEFINICIÓN. Es el valor real que adquiere un
polinomio, cuando se les asigna determinados
valores reales a sus variables.
Es decir:
✓ Si ( )
P x es un polinomio real, entonces para
x a
= con ;
a ( )
P a es el valor numérico
del polinomio.
✓ Si ( , )
P x y es un polinomio real, entonces
para ,
x a y b
=  = con , ;
a b ( , )
P a b
es el valor numérico del polinomio.

PLANA DOCENTE 8
✓ Si ( , , )
P x y z es un polinomio real, entonces
para ,
x a y b z c
=  =  = con , , ;
a b c
( , , )
P a b c es el valor numérico del polinomio.
Ejemplo 1:
Dado 3 2
( ) ( 5) 3
= + + −
P x x x el valor de ( 2)
−
P ,
es:
Solución:
3 2
( 2) ( 2) ( 2 5) 6 11
− = − − − + + = −
P
Ejemplo 2:
Dado 2 3
( , ) (2 )
P x y x y xy
= + − el valor de
(1, 2)
P − es:
Solución:
2 3
(1, 2) (2(1) 2) (1)( 2) 8
− = − − − =
P
PROPIEDADES:
a) Si ( )
P x es un polinomio real con una
variable entonces:
✓ Suma de coeficientes (1)
= P .
✓ Término independiente (0)
= P .
b) Si ( , )
P x y es un polinomio real de dos
variables entonces:
✓ Suma de coeficientes (1,1)
= P .
✓ Término independiente (0,0)
= P .
Ejemplo 1:
Si 3 2
( ) ( 2) (3 1) 7
= − − + −
P x x x x
✓ Suma de coeficientes es (1) 10
= −
P
✓ Término independiente es (0) 15
= −
P
Ejemplo 2:
Si 2 3
( , ) ( 2)( 4) 3
P x y xy x y xy
= + + − + +
✓ Suma de coeficientes es (1,1) 20
P = −
✓ Término independiente es (0,0) 125
P = −
OBSERVACIONES:
• Dado el polinomio lineal:
( ) , 0
= + 
P x ax b a entonces:
( )
( ) 1 2
... ( )... ( ... 1)
− −
−
= + + + + +
n n n
n veces P
P P P x a x b a a a
• Dada la expresión matemática:
, 0
+
 
= 
 
−
 
ax b a
P x ab
ax b b
, entonces:
( )
( )
2
... ( )...
−
=
n veces P
P P P x x
( )
( )
(2 1)
1
... ( )...
1
+ −
+
=
−
n veces P
x
P P P x
x
GRADOS DE UN POLINOMIO
DEFINICIÓN. El grado es una característica en
relación a los exponentes de las variables, el cual
es un número entero mayor o igual que cero.
CLASES DE GRADOS:
GRADO RELATIVO: (G.R)
a) De un Monomio:
El grado relativo en un monomio, es el
exponente de la variable indicada.
Ejemplo 1:
En el monomio
8 10 5
( , , ) 7
=
P x y z x y z
✓ ( ) 8
=
GR x
✓ ( ) 10
=
GR y
✓ ( ) 5
=
GR z
b) De un Polinomio:
El grado relativo en un polinomio es el mayor
exponente de la variable indicada que se
presenta en cualquier término.

PLANA DOCENTE 9
Ejemplo 1:
En el polinomio:
4 10 3 9 5 8 7 6 2
3
( , , ) 5 2
2
= − +
P x y z x y z x y z x y z
✓ ( ) 9
=
GR x
✓ ( ) 10
=
GR y
✓ ( ) 8
=
GR z
GRADO ABSOLUTO (G.A.)
a) De un Monomio:
El grado absoluto de un monomio, es la suma
de exponentes de las variables.
Ejemplo 1:
En el monomio
7 13 9
( , , ) 2
=
P x y z x y z
( ) 7 13 9 29
= + + =
GA P
b) De Un Polinomio:
El grado absoluto de un polinomio, es el
mayor grado absoluto entre sus términos.
Ejemplo 1:
En el polinomio
8 4 2 10 9 3 11 5 8
5
( , , ) 5 7
4
= − +
P x y z x y z x y z x y z
( ) 24
=
GA P
OPERACIONES CON POLINOMIOS
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios reales:
1
1 1 0
( ) ... , 0
m m
m m m
P x a x a x a x a a
−
−
= + + + + 
1
1 1 0
( ) ... , 0
m m
m m m
Q x b x b x b x b b
−
−
= + + + + 
La suma de polinomios está dada por:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ...
, 0
m m
m m m m
m m
P Q x P x Q x
P Q x a b x a b x
a b x a b a b
−
− −
+ = +
+ = + + + +
+ + + + + 
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
1 2
1 2 1 0
( ) ... , 0
− −
− −
= + + + + + 
m m m
m m m m
P x a x a x a x a x a a
1 2
1 2 1 0
( ) ... , 0
m m m
m m m m
Q x b x b x b x b x b b
− −
− −
= + + + + + 
La diferencia de polinomios está dada por:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ...
, 0
m m
m m m m
m m
P Q x P x Q x
P Q x a b x a b x
a b x a b a b
−
− −
− = −
− = − + − +
+ − + − − 
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
1 2
1 2 1 0
( ) ... , 0
− −
− −
= + + + + + 
m m m
m m m m
P x a x a x a x a x a a
1 2
1 2 1 0
( ) ... , 0
n n n
n n n n
Q x b x b x b x b x b b
− −
− −
= + + + + + 
El polinomio producto, está definido por:
( ) ( )
2
2 0 1 1 0 2 1 0 0 1 0 0
( ) ( ) ....
m n
m n
P x Q x a b x
a b a b a b x a b a b x a b
+
= + +
+ + + + +
GRADOS DE POLINOMIOS CON
OPERACIONES:
Si ( )
P x y Q( )
x son polinomios de grado m y
n respectivamente, con 
m n entonces:
1. ( ) ( )

P x Q x , es de grado m
2. ( ). ( )
P x Q x , es de grado +
m n
3.
( )
( )
P x
Q x
con ( ) 0

Q x , es de grado
0
+
− 
m n , siempre que
( )
( )
P x
Q x
sea un polinomio.
24
22
14

PLANA DOCENTE 10
4.  
( )
k
P x , es de grado 0
. ; +

m k k
5. ( )
k P x , es de grado 0
+

m
k
, siempre que
( )
k P x sea un polinomio.
Ejemplo 1:
Dado ( )
3
2
( ) 8 5
= −
P x x y 3
Q( ) 3
= −
x x
Solución:
✓ El grado de ( ) ( )

P x Q x es 6
✓ El grado de ( ). ( )
P x Q x es 9
✓ El grado de 5
( )
Q x es 15
Ejemplo 2:
El grado absoluto del polinomio:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 7 7 7
2 3 4 20
, ...
P x y x y x y x y x y
= + + + +
es:
Solución:
( ) 2(7) 3(7) 4(7) ...... 20(7)
( ) 7(2 3 4 ...... 20)
( ) 7(1 2 3 4 ...... 20 1)
GA P
GA P
GA P
= + + + +
= + + + +
= + + + + + −
(20)(21)
( ) 7 1
2
( ) 7(209)
GA( ) 1463
GA P
GA P
P
 
= −
 
 
=
=
Ejemplo 3:
Si el polinomio:
5 3 2 1 1 4 2 1
( , ) 5 2 ( ) 3
+ − − − + −
= + + +
m n m n m m n
es de grado 22 y el grado respectivo a la
variable " "
x es 7 , el valor de: " . "
mn es:
Solución:
2 2 3 1
5 3 2 1 4 2 1
( , ) 5 2 2 3
+ + + + + +
+
+ − − + + −
= + + +
m n m n m n
m n
m n m n m n m n
( )
( ) 2 3 22
2 19.........
= + + =
+ =
GA P m n
m n I
( ) 7
5 7
2
=
+ =
=
GR x
m
m
2 19
2(2) 19
15
+ =
+ =
=
m n
n
n
( ) 2(15) 30
m n = =
Ejemplo 4:
Dados los polinomios:
( )
( ) 7 8 1
= + +
n
n n
n n
P x x x ,
( )
2
( ) 14 5 8
= − +
n
n n
Q x x x y ( ) 7 4
= +
R x x
el grado del polinomio producto de los tres
polinomios es 25, el valor de “n” es:
Solución:
2
(7 8 1) (14 5 8) (7 4) 25
 
+ + − + + =
 
n n n
n n n n n
GA x x x x x
2
( )( ) 2( ) 1 25
( ) 2( ) 24 0
+ + =
+ − =
n n n
n n
n n n
n n
Haciendo cambio de variable sea: =
n
n a
2
( ) 2 24 0
6
4
a a
a
a
+ − =
−
2
( 6)( 4) 0
6 4 4
2 2
n
a a
a a a
n n
+ − =
= −  =  =
=  =
EJERCICIOS
1. Dados los polinomios " "
P y " "
Q ; definido en
la variable " "
x . En las siguientes
proposiciones escribir (V ) si es verdadera o
( F ) si es falsa.
I. Si . ( ) 5
G A P = ; . ( ) 5
G A Q = entonces
. ( ) 5
G A P Q
+ = .
II. Si . ( ) 5
G A P Q
− = , entonces . ( ) 5
G A Q 
III. Si . ( ) 1
G A P  y 3 2
. ( . ) 13
G A P Q = ,
entonces . ( . ) 6
G A PQ = .
La secuencia correcta es:

PLANA DOCENTE 11
a) VVF
b) VFF
c) FFF
d) FFV
e) FVV
2. En las siguientes proposiciones escribir (V )
si es verdadera o ( F ) si es falsa.
I. 4 3 2
( ) 4 2 5 10
P x x x x senx x
= + + + + −
es un polinomio.
II.
1
3 5 5
( , ) 12 8 12
Q x y x y y xy
= + + + es un
polinomio.
III. 7 4 5 5
( ) 12 6 12 4 6
R x x x y y x
−
= − + + +
es un polinomio.
a) FVF
b) FFF
c) VVF
d) VFV
e) FFV
3. En las siguientes proposiciones, indicar con
(V ) si es verdadero o con (F) si es falsa:
I. El grado de 12 6
( ; ) 0 2 7
P x y x x
= − + es
12.
II. En todo polinomio, el grado absoluto
siempre es igual al grado relativo con
respecto a una de sus variables.
III. El coeficiente principal del polinomio
( ) ( ) ( )
3 2
4 3 4 5
, 2 3
P x y x y x y
= + + es 72 .
IV. La suma de coeficientes del polinomio
( ) ( ) ( )
60
, 2 3 1
P x y x y x y
= − + − , es 3.
a) FFVV
b) VFVF
c) VVFF
d) FVFV
e) FVVF
4. Si el grado del monomio:
( ) 6 4
5 3
3 9 2
m m
P x x x x x
= es 8 ,el valor
de " "
m , es:
a) 24
b) 12
c) 22
d) 32
e) 14
5. El valor de n para que el grado del monomio:
1 4
3
6 5 4
( )
n n
n
x x
M x
x
−
−
= sea 1, es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 7
e) 5
6. En el monomio
3
15 5 5 1 3
3 3
( , ) 2 n n n
P x y y x x x
− − − −
= , el
grado relativo a " "
x es 3, el grado absoluto
es:
a) 31
b) 23
c) 21
d) 22
e) 11
7. Si el monomio:
( ) ( )
( )
4
5 3
7 2 3 3 1
5
7
2 13
( )
.
n n
n
x x x
P x
x x
+ −
 
 
 
=
 
 
 
; es de grado
8 , el valor de " "
n , es:
a) 6
b) 5
c) 3
d) 10
e) 9
8. Si el polinomio:
( , ) m n n p p z
P x y x y z
+ + +
= ; es de grado 18 y
los grados relativos a " "
x , " "
y y " "
z son
3 números consecutivos en ese orden, el
valor de " . . "
mn p , es:

PLANA DOCENTE 12
a) 32
b) 22
c) 21
d) 13
e) 12
9. Si el grado del monomio:
( ) ( )
2
5 7 3
( , ) 2 3
n n
n
M x y x x nx
= , es "2 "
n
“. Su coeficiente principal; es:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 14
e) 25
10. Si el monomio es de sétimo grado
( )
3
1
3
4
3
( )
.
m m
m
m
m m
m
m m
m
x x x
M x
x x
−
−
= , el
valor de " "
m es:
a)
1
8
b)
1
6
c)
1
2
d)
1
4
e)
1
10
11. Determinar el valor de 3 4
E m n
= − , si
2 15 5 6
1
3 7
5
( , ) n m m n n m
x y x
m
P x y x + − − − −
+ +
−
=
es un polinomio definido en .
a) 2
−
b) 4
−
c) 7
−
d) 10
−
e) 5
−
12. El grado del polinomio:
9
5 6
6
1 2
5
4 3
( , ) 3 b b
b
y y y
P x y − −
−
+ +
= es:
a) 10
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
−
13. El grado del polinomio ( )
P x sabiendo que
el grado de    
2 3
( ) ( )
P x Q x es igual a 21 y
el grado    
4 2
( ) ( )
P x Q x es igual a 22 , es:
a) 12
b) 8
c) 7
d) 3
e) 2
14. Si el grado absoluto del monomio,
2 2
( , ) 5 a b a b
M x y x y
+ +
= es 15 y el grado
relativo a " "
x es al grado relativo " "
y ;
como 2 es a 3.El valor de " "
a b
+ , es:
a) 13
b) 9
c) 5
d) 2
e) 10
15. Si el polinomio:
( ) ( ) ( )
2
8 2 3 9
( ) 3 10 5 4 2 6
n n
P x x x x x
−
= − − − +
es de grado 47 , entonces el valor de
( )
5 coef principal de P x es:
a) 4
b) 6
c) 14
d) 9
e) 10
16. Si el grado del polinomio:
2 2 1 2
( ) ( 5)( 8)
m m m m m
P x x x x x
+ + − −
= + + + +
es 108, entonces el valor de " "
m , siendo
0
m  , es:
a) 3
b) 2
c) 10
d) 9
e) 7

PLANA DOCENTE 13
17. Si " "
P y " "
Q son dos polinomios de grados
4 y 5respectivamente y el grado del
polinomio
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 4
2 2
2
4
3 2 2 3
n
n
P Q PQ
E
P Q P Q
−
−
 
−
 
 
=
 
+
 
 
es 8, el valor
de " "
n , es:
a) 12
b) 8
c) 6
d) 5
e) 10
18. Dados los polinomios " "
P y " "
Q , donde el
grado absoluto de " "
P es 14 y el menor
exponente de " "
x en el polinomio " "
Q es
10, el Grado absoluto de " "
Q , siendo:
4 4 4 1 2 1
2
( , ) 5 5
5
m m m n m n
P x y x y x y x y
+ − + − + +
= − +
3 7 1 3 5 4 3 1 6
3
( , ) 10 5
2
m n m n m n
Q x y x y x y x y
+ + + + + +
= − + −
es:
a) 4
b) 2
c) 6
d) 10
e) 12
19. Dado el polinomio:
3 2 1 3 3 2 2 5
3 2 1 6
( ; ) 5 2
m n m n m n m n
m n m n
P x y x y x y
x y
+ + − + + + − +
+ − − +
= +
−
El ( ) 41
GA P = , y el ( )
GR x es al
( )
GR y cómo 5 es a 2 . El valor de
" "
m n
+ es:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 20
20. Sabiendo que los grados de los polinomios
( )
P x y ( )
Q x son " "
m y " "
n
respectivamente, entonces el grado de:
( )
  ( )
  ( )
  ( )
 
3 2 2 3
P x Q x P x Q x
 +  con
m n
 , es:
a) m n
+
b) 2 2
m n
+
c) 3 2
m n
+
d) 2m n
+
e) 3m n
+
21. Sabiendo que en el polinomio:
1 1 3 2
4 9 5 10 2
2 4 2 2
3
( ; ) 5
n n n n
n n n n n
y z nx y x y z
P x y x
+ + + +
− − − − +
− −
=
6 ( ) 12
GR x
  , el grado absoluto del
polinomio es:
a) 13
b) 25
c) 21
d) 23
e) 31
5 3 2 1 1 4 2 1
( , ) 3 6 ( ) 8
x y x y x x y
Q a b a b a b a b a b
+ − − − + −
= + +
de grado absoluto 22 y grado relativo
respecto a " "
a igual a 9, el valor de " "
y x
−
, es:
a) 10
−
b) 20
−
c) 10
d) 7
−
e) 7
23. Dados los polinomios:
( )
( ) 2020 12 1
n
n n
n n
P x x x
= + + ;
( )
2
( ) 4 5 8
n
n n
Q x x x
= − + y
( ) 12 8
R x x
= + ; el grado del producto de los
tres polinomios es 25 , el valor de " "
n es:
a) 10
b) 8
c) 12
d) 4
e) 2
( )( )( )( )
2 6 12 20
( ) 1 2 3 4 ...
P x x x x x
= + + + +
es de grado 572, el número de factores que
debe tener el polinomio es:

PLANA DOCENTE 14
a) 11
b) 12
c) 8
d) 21
e) 14
25. Si el grado absoluto del polinomio
2 2 3 3 1 2 2 3 4 2 1 3 2
2 2 3 3
( ; ) 2
a b a b a b
a b
P x y a x y b x y abx y
x y
+ − + + +
+ +
= + +
+
es 24 y los grados relativos respecto a " "
x
e " "
y son iguales, la suma de coeficientes
del polinomio, es:
a) 65
b) 55
c) 45
d) 15
e) 75
26. Si el equivalente de:
3 2 2 2
3 4
( , ) ( . ) ( ) ( )
m n m
M x y x y x y x y
=
es un monomio cuyo grado relativo a " "
x es
4 y grado relativo a " "
y es 9.El valor
" "
m n
+ es:
a) 8
b) 8
−
c) 4
d) 4
−
e) 2
27. Si los grados de los polinomios
( ) ( )
3 4
F x G x y ( ) ( )
3
F x G x son 17 y 9
respectivamente; el grado del polinomio
( ) ( ) ( )
6 4
3
R x F x G x
= − , es:
a) 22
b) 16
c) 15
d) 18
e) 20
28. Si el grado del polinomio:
3
2
(x) . ( )
( )
n
H P x
Q x
 
 
 
 
es "3 "
n y el grado del polinomio
 
2
3
( ). ( )
( )
n
P x Q x
H x
 
 
 
 
es cero, el grado del
polinomio
3 ( )
( )
H x
Q x
, es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
29. Sea " "
P , " "
Q y " "
R polinomios (definidos
en la variable " "
x ) cuyos grados son
(3 2)
n + , (4 1)
n+ y (2 1)
n+
respectivamente, tal que:
2 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31
GA P x Q x Q x R x R x
 
+ − =
 
Si " "
M y " "
N son dos cantidades definidas
por:  
( ) ( )
=
M GA P x R x y  
Q( )
=
N GA x
Entonces se puede afirmar que:
a) 2N M

b) 2
M N

c) M N
=
d) 12
M N
− =
e) 2N M
=
30. Si 0 1 2
, , ,..., n
p p p p son polinomios definidos
por: 3 2
0 ( ) 213 67 2000
p x x x x
= + − − y
1
( ) ( )
−
= −
n n
p x P x n , para 1,2,3,...
=
n
El coeficiente de " "
x en el polinomio 6 ( )
P x ,
es:
a) 7690
−
b) 7960
−
c) 6790
−
d) 6970
−
e) 9760
−
31. Si 7 3
5
5 4 8
3
x
P x x
+
 
= − +
 
 
. El valor de
(2)
P , es:
a) 9
b) 10
c) 3
d) 17
e) 16
32. Dado los polinomios: ( 3) 4 7
P x x
− = − ;
( ( ) 5) 52 55
P Q x x
+ = − . El valor de (10)
Q ;
es:

PLANA DOCENTE 15
a) 111
b) 123
c) 110
d) 256
e) 100
33. Si (2 1) 6 10
g x x
+ = − y
( ( ) 3) 3 4
g f x x
− = − , entonces el valor de
1
6
f
 
−
 
 
, es:
a)
37
6
b)
35
4
c)
35
6
d)
37
4
e)
35
6
−
34. Dadas ( 2) ( ) ( 1)
P x x P x P x
+ = + + + y
( ) 2 ( 1)
P y P y
= − , el valor de
( 3) (4)
E P P
= − + , es:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
35. Si la suma de sus coeficientes excede en una
unidad al duplo de su término independiente
del polinomio ( )
P x , donde
2 2 2 3
( 2) (2 3) ( 2) ( 2) 61
n
P x n x x x −
 
− = − − − − +
 
El grado de ( )
P x es:
a) 4
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
36. Si ( )
P x es un polinomio tal que:
1
2 3
2
−
 
= −
 
 
x
P x , entonces
1
4
 
−
 
 
P a es:
a) 4 1
a +
b) 4 4
a +
c) 4 2
a −
d) 1
a −
e) 4
a −
37. Si ( 1) ( ) 2 4
P x P x x
+ = + + y (0) 2
P = ,
entonces el valor de (1) ( 1)
P P
+ − , es:
a) 0
b) 2
c) 6
d) 6
−
e) 2
−
38. El polinomio de segundo grado cuyo
coeficiente lineal y el término independiente
son iguales. Además (1) 5
P = y (2) 15
P = ,
dicho polinomio es:
a) 2
3 1
x x
− +
b) 2
3 1
x x
+ +
c) 2
3 2
+ +
x x
d) 2
3 4
+ −
x x
e) 2
2 1
+ +
x x
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 7
1 17
2 2 3
2 17
( ) 7 3 2 1 9 2 3
5 7 5 1
n n n
n
P x x x n x x
x n x
− + −
−
= − − + − + +
− −
tiene como término independiente112 ,
entonces " "
n , es:
a) 13
b) 18
c) 16
d) 20
e) 12
40. Si ( ) ( )
P x Q x ax b
+ = + ,
( ) ( )
P x Q x bx a
− = + y (5) 4
P = , el valor de
(Q(1))
P , es:
a)
4
3
b)
1
3
c)
5
3

PLANA DOCENTE 16
d)
2
3
e)
4
3
−
41. Si ( ) 3
1 1
P x x
+ = − , entonces el valor de
(1) (3)
M P P
= + , es:
a) 66
b) 60
c) 62
d) 64
e) 58
42. Sabiendo que (1) (0) 200
P P
+ = y
3
( 2) ( 2) 3( 1) 5
P x x x mx
− = + + − + + , el
valor de " "
m es:
a)
8
3
b)
2
3
−
c) 2
d)
8
5
−
e)
5
3
43. Si ( 2) ( ) 2 1
f x f x x
+ = − + y (0) 3
f = ,
entonces el valor de (2) ( 2)
f f
+ − , es:
a) 2
−
b) 2
c) 4
d) 1
e) 3
44. Si 85 90
( ) 243 3 4
P x x x x
= − + + entonces
(3)
P , es:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 18
45. Si " "
P es un polinomio tal que
( ( ( ))) 27 52
P P P x x
= + . El valor de ( 2)
P −
es:
a) 2
−
b) 4
−
c) 2
d) 6
e) 8
46. Sea ( )
P x ax b
= + , con 0
a  , (0) 2
P = y
( (1)) 5
P P = , el valor de ( 2)
P − , es:
a) 8
b) 3
c) 2
d) 0
e) 2
−
47. Dados los polinomios ( )
P x de primer grado
con termino independiente uno y
( ) ( 1). ( ) 5 29
Q x x P x x
= − + − tal que
(1) 3
P = , entonces la suma de las raices de
( ) 0
Q x = , es:
a) 2
−
b) 4
−
c) 2
d) 5
−
e) 4
48. Determinar
( )
( )
P ax
P x
sabiendo que
2 3
( ) ( )( )( )...( )
n
P x ax b a x b a x b a x b
= + + + +
a)
1
n
n
a x b
a x b
−
+
+
b)
1
n
a x b
ax b
−
+
+
c)
1
n
n
a x b
a x b
+
+
+
d)
1
n
a x b
a x b
+
+
−
e)
1
n
a x b
a x b
+
+
+
49. Dadas las expresiones:
2 9 6
( 6) 1
P x x x x
+ + = + + y
2 3 2 3
( 3 8) ( 26) 20
Q x x x x
+ + = − + − ,
el valor de (5) ( 1)
P Q
+ − , es:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

PLANA DOCENTE 17
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que presentan determinadas
características importantes.
1. POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Es aquel polinomio, en el cual cada uno de sus
términos tienen el mismo grado. Los términos no
deben ser semejantes.
Ejemplo 1:
El polinomio:
5 3 2 4 5
. 5 . 5 . 5 . 5
( ; ) 3 5
G A G A G A G A
P x y x x y xy y
= = = =
= + + +
es homogéneo, cuyo grado de homogeneidad
es 5.
2. POLINOMIO ORDENADO:
Un polinomio ordenado con respecto a una
variable, es aquel que se caracteriza por los
exponentes de la variable considerada, la cual
van aumentando o disminuyendo según que la
ordenación sea en forma creciente o
decreciente.
Ejemplo 1:
9 3 2 3 2
( ; ) 3 2 3 9
P x y x x y x y xy
= + + + +
• Con respecto a " "
x esta ordenado en forma
descendente.
• Con respecto a " "
y esta desordenado
NOTA: Polinomio ordenado estrictamente:
• 6 5 4
( ) 2
P x x x x
= − + , polinomio ordenado
en forma descendente.
• 8 9 10
( ) 2
P x x x x
= − + , polinomio ordenado
en forma ascendente.
3. POLINOMIO COMPLETO:
Un polinomio es completo con respecto a una de
sus variables. Cuando contienen todos sus
exponentes desde el mayor en forma
consecutiva, hasta el exponente cero inclusive,
llamado a este último término independiente.
Ejemplo 1:
2 4 3
( ) 2 5 3 7 1
P x x x x x
= − + − +
El polinomio " "
P es completo con respecto a
" "
x , pero desordenado.
OBSERVACIONES:
▪ En todo polinomio completo y ordenado de
una sola variable se cumple que el número de
términos estará determinado por el grado del
polinomio aumentado en la unidad.
# . 1
Términos G A
= +
Ejemplo 1:
3 2
( ) 2 7 8
P x x x x
= − − + es de tercer grado y
tiene 4 términos
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Dos polinomios son idénticos cuando los
coeficientes de sus términos semejantes son
iguales.
La identidad de polinomios denotamos con ( )

Así dados:
5 2
5 2
( )
( )
P x ax bx c
Q x mx nx p
a m
P Q b n
c p
= + +
= + +
=


  =

 =

5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:
Llamado también polinomio cero, es cuando
todos sus coeficientes de sus términos son nulos
o ceros.
Ejemplo 1:
Si se tiene: 7 5 3
0
Mx Nx Px Q
+ + + 
Se debe cumplir que: 0
M N P Q
= = = =
NOTA:
➢ Su grado no está definido.
➢ Para cualquier valor numérico se anula.
6. POLINOMIO MONICO:
Es aquel polinomio en una variable cuyo
coeficiente principal es 1.
Ejemplo 1:
6 4
( ) 3 7
P x x x x
= + + + coeficiente principal es
1.

PLANA DOCENTE 18
7. POLINOMIO CONSTANTE:
Es aquel polinomio que es igual a un número real
distinto de cero, y es de grado cero.
( ) ; {0}
P x k k
=   −
Ejemplo 1:
( ) 7
P x =
Para cualquier valor de las variables siempre
tendrá el mismo valor numérico diferente a cero.
Ejemplo 2:
Si: ( ) 3
P x =
Entonces:
( 2) 3
P − = ; (0) 3
P = ; (10) 3
P =
EJERCICIOS
1. Identificar como verdadero (V) o falsa (F), las
siguientes proposiciones:
I. El grado absoluto de un polinomio puede
coincidir con el grado relativo de una de
sus variables.
II. Un polinomio homogéneo puede ser
completo.
III. Todo polinomio completo es ordenado.
IV. Un polinomio en una sola variable, puede
ser ordenado, completo y homogéneo.
La secuencia correcta, es:
a) VVVF
b) VVFV
c) VFVV
d) FVFV
e) VVFF
2. Si 3 2 1 3
( ; ) 5
n n m m
P x y x y x y xy
+ − +
= + − es un
polinomio homogéneo, el valor de " "
m n
+
es:
a) 14
b) 12
c) 10
d) 13
e) 11
3. Si 2 2 1
( ) 3
b a a a a a
P x ax x x x x
+ + −
= + − + + es
8n polinomio es completo y ordenado, el
valor de " "
b , es:
a) 4
b) 2
c) 0
d) 3
e) 1
4. El polinomio: ( ; ) m n n p p z
P x y x y z
+ + +
= ; es de
grado 18 y los grados relativos a " "
x a " "
y
y a " "
z son 3 números consecutivos en
ese orden. El valor de " . . "
mn p , es:
a) 14
b) 10
c) 12
d) 13
e) 11
5. Si 18 15 16
( ) 5 15 7
m m p b p
P x x y x
− − + − +
= + + es un
polinomio completo y ordenado en forma
descendente, el valor de " "
m p b
+ + es:
a) 74
b) 70
c) 72
d) 71
e) 75
6. Determinar el valor de " "
m n p
− + si
5 3 6
( ) ( ) ( )
p n n m p m
P x mx p m x m n p x
− + − + + −
= − + + − +
Es un polinomio completo y ordenado en
forma ascendente,
a) 5
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
7. La suma de coeficientes del polinomio
homogéneo
2 2 2
2 1 3 1 2 5 2 2
1
( ; )
5 6
n n n n n n
n n
P x y x y x y
− + + + − − + +
+
 
= + +  
 
es:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1

PLANA DOCENTE 19
8. Dado el polinomio homogéneo:
3 2 4 2 1 3 2 7
( ; ) 3 5
m n m n m n
P x y x y x y x y
+ − − +
= + + ,
el valor de E m n
= − , es:
a) 5
b) 6
c) 3
d) 2
e) 7
9. Dado el polinomio homogéneo:
8 16
( ; ) a a b b
P x y ax abx y by
+ +
= + − el grado
respecto a " "
y , es:
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
10. Sabiendo que el polinomio:
2 2 1 3 4
( ; ; ) 3 2 5
a a b b a c c b c
P x y z x y y z x z
+ + + + +
= + +
es homogéneo de grado: " 2"
n + . El valor
de: 1
( )
n n n
n
n
a b c
E
a b c
−
+ +
=
+ +
, es:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1
11. La suma de los coeficientes del polinomio
Homogéneo
2 2
5 12 3 14
( ; ) 3 5( ) (13 4)
n p q n n
P x y px y p q x y q x y
− −
= + − + +
es:
a) 452
b) 254
c) 524
d) 352
e) 154
12. Si 2 7 2
( ) 2 3 ( )
b b a a c
P x ax bx a b x
+ + + +
= − + + es
un polinomio completo y ordenado creciente,
el valor (1)
P , es:
a) 4
b) 2
−
c) 2
d) 4
−
e) 5
10 5 6
( ) m m n a n
P x mx nx ax
− − − − +
= + + es
completo y ordenado decrecientemente,
entonces el valor de " "
m n a
+ + , es:
a) 18
b) 28
c) 38
d) 48
e) 58
14. Si los polinomios
3
( ) ( 2) (2 3) (2 3 )
P x a x a b x c b
= − + − − + −
y 3
( ) 4 5 6
Q x x x
= − − + son idénticos, el valor
de 2
a b c
− + + , es:
a) 4
b) 0
c) 5
d) 3
e) 1
15. El número de términos del polinomio
ordenado y completo
7 6
( ) ( 2) ( 3) ...
n n
P x n x n x
− −
= − + − + ; es:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1
16. Dado el polinomio homogéneo
3 2 4 2 1 3 2 7
( ; ) 3 5
m n m n m n
P x y x y x y x y
+ − +
= + + ,
el valor de E m n
= − , es:
a) 3
b) 2
c) 6
d) 7
e) 5
17. Dados los polinomios idénticos
2 1 2
( ) ( 5) ( 3)
n n
P x m x n x
− −
= − + − y
2 7
( ) (3 )
4
n
p
Q x x m x
−
= + − , el valor de
2 2
m
n p
+
, es:

PLANA DOCENTE 20
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
1
8
e)
1
7
18. La suma de coeficientes del polinomio
homogéneo:
( )
( ; ; ) (2 ) ( )
n n m n
m n m
P x y z m b x m n y m b z
−
= + + − − +
es:
a) 4
b) 6
c) 5
d) 3
e) 2
19. La suma de los coeficientes del polinomio
homogéneo
3 2
( ; ; )
b a a b
a b a
P x y z a x b y abz
−
= − + , es:
a) 66
b) 69
c) 67
d) 68
e) 65
20. Si el polinomio
2 2
( ) (3 2) (2 1) ( ) 6
P x a x x b x c x x x
= − + + − − − −
es idénticamente nulo, el valor de
" "
a b c
+ + , es:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 1
2 1 3 2
( ) 3 ( 2)
m m m
P x mx x m x
+ − −
= − + +
ordenado en forma decreciente, la suma de
sus coeficientes, es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. Sabiendo que el polinomio es completo y
ordenado descendentemente
2 2 1 1 4
( ) 5 6 7 8
c d b c a b a
P x x x x x
+ − − − − − −
= + + +
El valor de: " "
a b c d
+ + + , es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
23. Si el polinomio
1
17 3 1 2 1 2
( )
n
n n
P x x x x x
+
− +
= + + + es ordenado
en forma descendente, la suma de los
posibles valores de " "
n , es:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
24. Si el polinomio
2
2 2 1 3
( ) ... ( )
m n n m
P x m nx n m x mx
+ − −
= + + − +
es completo y ordenado en forma
decreciente, el número de términos del
polinomio, es:
a) 14
b) 12
c) 15
d) 13
e) 11
25. Si los polinomios
3
2
1
3
2
( ) ( 1) (1 ) 2
( ) ( 4) 1
n
n
n
m
P x a x b x c
Q x ax b x n c
−
−
+
= − + − +
= + + + − −
y
son idénticos y completos La suma de
coeficientes de ( ) ( ) ( )
a n
R x bx m cx b
= + + es:
a) 17
b) 27
c) 27
−
d) 37
−
e) 47

PLANA DOCENTE 21
26. Si:
2 2
5 4 2 2 1
( ) ... 2 ...
n n c d d a a
P x x x x x x
− + + + +
= + + + + + +
es un polinomio completo y ordenado de
3 1
n − términos, determine el menor valor de
a d c n
+ + + .
a) 1
b) 2
c) 5
d) 3
e) 4
27. La expresión que se debe agregar al
polinomio: 4 3 2 2
( ; ) 3 5 2
Q x y x xy x y
= + − ,
para que sea un polinomio homogéneo
( ; )
P x y y completo respecto a " "
x y la suma
de coeficientes es 21, además (2;1) 114
P =
, es:
a) 2 4
7 8
x y y
+
b) 3 3 4
7 8
x y y
+
c) 3 4
7 8
x y y
+
d) 3 4
7 8
xy y
+
e) 3 4
8
x y y
+
28. Sea ( )
P x un polinomio mónico de 2do
grado tal que se tiene que ( ) ( )
P x P x
= − y
4 2
( ( )) 8 20
P P x x x
= + + . Luego la suma de
sus coeficientes, es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
2 2
2
20
1
5 5
( ; ) 2 3
b b
a x m a
P x y x x y y
+
+ + +
= − +
homogéneo, además 9
a b
  , el valor de
" "
m , es:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 3
−
e) 2
−
30. Dado el polinomio homogéneo
5 3 4 2
( ; ) ...
m n m n
P x y x y x y
+ − + −
= + +
es ordenado y completo con respecto a" "
x
, si el grado relativo a " "
x es 10 y el grado
relativo a " "
y es 15, el valor " "
m n
+ es:
a) 8
b) 7
c) 5
d) 3
e) 9

PLANA DOCENTE 22
DEFINICIÓN. Los productos notables son
casos especiales de la multiplicación de
polinomios, con los cuales se obtiene el
polinomio producto en forma directa sin efectuar
la operación de la multiplicación.
Siendo los más importantes:
1. Binomio al cuadrado (trinomio cuadrado
perfecto)
( )
2 2 2
2
+ = + +
a b a ab b
( )
2 2 2
2
− = − +
a b a ab b
2. Diferencia de cuadrados
( )( ) 2 2
+ − = −
a b a b a b
3. Producto de binomios
( )( ) ( )
2
+ + = + + +
x a x b x a b x ab
( )( ) ( )
2
− − = − + +
x a x b x a b x ab
( )( ) ( )
2
+ − = + − −
x a x b x a b x ab
( )( ) ( )
2
− + = − − −
x a x b x a b x ab
4. Producto de la suma de un binomio por
un trinomio (suma de cubos)
( )( )
2 2 3 3
+ − + = +
a b a ab b a b
5. Producto de la diferencia de un binomio
por un trinomio (diferencia de cubos)
( )( )
2 2 3 3
− + + = −
a b a ab b a b
6. Binomio al cubo
( )
3 3 2 2 3
3 3
+ = + + +
a b a a b ab b
( ) ( )
3 3 3
3
+ = + + +
a b a b ab a b
( )
3 3 2 2 3
3 3
− = − + −
a b a a b ab b
( ) ( )
3 3 3
3
− = − − −
a b a b ab a b
7. Trinomio al cuadrado
( )
2 2 2 2
2 2 2
+ + = + + + + +
a b c a b c ab ac bc
( )
2 2 2 2
2 2 2
− − = + + − − +
( )
2 2 2 2
2 2 2
− + = + + − + −
( )
2 2 2 2
2 2 2
− + = + + − + −
8. Trinomio al cubo
( ) ( )( )
3 3 3 3
3 3
a b c a b c a b c ab ac bc abc
+ + = + + + + + + + −
( ) ( )( )( )
3 3 3 3
3
+ + = + + + + + +
a b c a b c a b a c b c
9. Identidades de Argand
( )( )
2 2 4 2
1 1 1
+ + − + = + +
a a a a a a
( )( )
2 2 2 2 4 2 2 4
+ + − + = + +
a ab b a ab b a a b b
( )( )
2 2 2 2 4 2 2 4
+ + − + = + +
n n m m n n m m n n m m
a a b b a a b b a a b b
, +

m n
10. Identidades de Legendre
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
+ + − = +
a b a b a b
( ) ( )
2 2
4
+ − − =
a b a b ab
( ) ( ) ( )
4 4 2 2
8
+ − − = +
a b a b ab a b

PLANA DOCENTE 23
11. Identidades de Lagrange
( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
+ + = + + −
a b x y ax by ay bx
( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
+ + = + + −
a b c d ac bd ad bc
Ejemplo 1:
Al simplificar la expresión
( ) ( )
4 4
2 2
2 2
16
+ − −
= + +
+
a b a b
E a b
a b
, se
obtiene:
Solución:
( ) ( )
4 4
2 2
2 2
16
+ − −
= + +
+
identidad de Legendre
a b a b
E a b
a b
( )
2 2
2 2
2 2
8
16
+
= + +
+
ab a b
E a b
a b
2 2
16 8
= + +
E a ab b
2 2
. .
16 8
= + +
T C P
E a ab b
( )
2
4
= +
E a b
4
= +
E a b
EJERCICIOS
1. De los siguientes productos:
I. ( )( )
6 3 2 4 6 3 2 4
x x y y x x y y
+ + − +
II. ( )( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + − +
III. ( )( )
2 2
3 9 3 9
x x x x
+ + − +
IV. ( )( )
1 1
x x x x
+ + − +
Los que corresponden a la identidad de
Argand, son:
a) I y III
b) I y IV
c) I , III y IV
d) III y IV
e) II y IV
2. De las siguientes proposiciones
I. ( )( )
2 4 2 6
1 1 1
x x x x
− − + = −
II. ( )( )
2 2 2 2
2 4 2 4 4 16
x x x x x x
+ + + + = + +
III. ( )( )
2 2 2 2
4 4 4 4 4 16
x x x x x x
+ + − + = + +
IV. ( )( )
2 2 2 2
2 2 4
x y x y x y
+ − = −
V. ( )( )
2 2 4
2 2 2
x x x
− − = −
El número de proposiciones verdaderas es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
I. ( )
2 2 2 2
2 2 2
+ − = + − + − −
x y z x y z xy xz yz
II. ( )
3 3 2 2 3
3 3
− = + + −
x y x x y xy y
III. ( )( )
3 3 1 2 1 2
2 ( )
− − − −
+ = + − +
x x x x x x x x
IV. ( ) ( )
2 2
3 3 12
+ − − =
x x x
El número de proposiciones falsas es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
I. ( ) ( )
2 2
2( )
a b a b a b
+ − − = +
0 0
a b
   .
II. 2 2 2 2
( ) 2( )
+ − = + + + + −
III. ( )( )
27 8 5 6 3 2
− = + − .
IV. 2 2
( 3 1)( 3 1)
x x x x
+ + − + .
V. Si, 2 2
2 6 8 ( )( )
x xy y x y x y
− + = + −
entonces el valor de
3 2
x y
y
+
es: 11.
El número de proposiciones verdaderas es:

PLANA DOCENTE 24
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. De las proposiciones dadas
I. El coeficiente del término lineal de
( 5)( 7)
− +
x x es -2
II.
3
2
1
1 ; 1
1
+
= + +  −
+
x
x x x
x
III.
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) (2 )
+ − − =
x y x y xy
Las verdaderas son:
a) I y III
b) I y II
c) II y III
d) Solo I
e) Solo II
6. Si 2
10 24 49
mx m x
+ + + es un trinomio
cuadrado perfecto, el valor de " "
m , es:
a) 9
b) 24
c) 25
d) 600
e) 5
7. Si 5
a b c
= − + y 5
ab bc ac
+ = + , entonces
el valor de 2 2 2
a b c
+ + , es:
a) 35
b) 28
c) 25
d) 12
e) 5
8. Si
2 2 2
+ + = + +
x y z xy xz yz , entonces el
valor de
( )
10
9
10 10 10
+ +
=
+ +
x y z
E
x y z
, es:
a) 1
b) 6
c) 3
d) 10
3
e) 9
3
9. Si 2
4 1 0
x x
− + = , entonces el valor de
4 4
x x−
+ , es:
a) 192
b) 196
c) 194
d) 200
e) 4
10. Si 3 3
a b
= , entonces el valor de:
2
( )
ab
E
a b
=
−
, es:
a)
1
2
b)
1
2
−
c)
1
3
d)
1
3
−
e)
1
6
11. Si se cumple que: 2
2
1
6 ; 1
x x
x
+ =  ,
entonces el valor de:
2
1 1
( ) 2( ) 6 ; 1
= + − − + 
E x x x
x x
, es:
a) 36
b) 4
c) 24
d) 6
e) 12
12. Al reducir la expresión
3 3 3 3
4 4
( )( ) ( )( )
a b a b a b a b
E
a b
+ − + − +
=
−
, se
obtiene:

PLANA DOCENTE 25
a) 3
b) 4
c) 2
d) 6
e) 2
−
13. Sabiendo que
2
1
3
a
a
 
+ =
 
 
, entonces el
valor de: 3
3
1
E a
a
= + , es:
a) 3
b) 3
−
c) 1
d) 1
−
e) 0
14. Si 62
n n
x y
y x
   
+ =
   
 
 
, entonces el valor de
3
n n
n n
x y
E
x y
+
= , es:
a) 2
b) 8
c) 2
−
d) 8
−
e) 64
15. Sabiendo que 7
a b c
+ + = y
2 2 2
31
a b c
+ + = , el valor de
18 2ab
E
ac bc
−
=
+
,
es:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 7
e) 2
−
16. Si:
2
( )( )
x z z
z y x y z y
−
+
− + −
, entonces el valor
de:
2 2 2
z x x y z y
M
y z x
 
− + −
   
= + +
     
   
 
, es:
a) 3
b) 2
c) 3
−
d) 2
−
e) 6
17. Si se cumple que:
2 2
3( )
x y
x y
y x
− = − ,
entonces el valor de
4
, 0, 0
y x
x y
x y
C x y
y x
 
= +   
 
 
, es:
a) 4
b) 2
c) 16
d) 8
e) 3
( ) ( )
2 2
2 2
ax by ay bx
E
x y
+ + −
=
+
, se obtiene:
a) 2 2
a b
+
b) ( )
2 2
2 a b
+
c) 4ab
d) 2 2
x y
+
e) 1
19. Dadas las expresiones
( )( )
P a b c a c b
= + + − + y
( )( )
Q a c b a c b
= + − − − , la expresión
4
P Q
E
−
= , es igual a:
a) 2 2
a b
+
b) 2 2
a c
+
c) ab
d) ab
−
e) 2ab
−
20. Al reducir la expresión
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
p p q p q p q p q
M
p q p q
 
+ − + − + −
 
=
+ − −
resulta igual a:

PLANA DOCENTE 26
a) 2p
b) 2q
c) 2pq
d) 2pq
−
e) pq
( )( )
2 2
4 2
1 1
1
x x x x
E
x x
+ + − +
=
+ +
, se obtiene:
a) 2
x
b) 4
x
c) 4
d) 2
e) 1
22. Si 2 2 2
4 4 4 12
x y z x y z
+ + = + − − ,
entonces 2
E x y z
= + − , es igual a:
a) 2x
b) 3y
c) 0
d) 2
e) 1
23. Si 2 2
x x
a a−
+ = + , entonces el valor de
4 4
x x
M a a−
= + es:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 2 2
e) 2
24. Si 2 2
11
x x−
+ = , entonces el valor de
1
P x x−
= − ,es:
a) 3
b) 2
c) 3
−
d) 2
−
e) 5
25. Sabiendo que
1
7
x
x
+ = , entonces el
valor de
1
2
−
+
= x x
A , es:
a) 7
b) 32
c) 16
d) 64
e) 35
7
26. Si 1
5
x x−
− = , entonces el valor de
3 3
A x x−
= − , es:
a) 140
b) 110
c) 125
d) 125
−
e) 5
27. Si 2
a b
+ = y 3
ab = , entonces el valor de
3 3 2 2
M a b a b
= + + + , es:
a) 12
b) 16
c) 12
−
d) 8
e) 36
28. Si 3 3
5
x y
+ = y ( )
1 1
xy x + = , entonces el
valor de ( )
2
P x y
= + , es:
a) 125
b) 111
c) 4
d) 16
e) 25
29. Si 5
a b c
+ + = y 2 2 2
7
a b c
+ + = , entonces
el valor de E ab ac bc
= + + , es:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 9
−
e) 3
−
30. Si
1
3
x
x
+ = , entonces el valor de
( )
1 1
1 1
( ) ( )
x x
x x
A x x
x x
  
= + +
  
 
 
, es:

PLANA DOCENTE 27
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
DEFINICIÓN. Sean los polinomios ( )
d x y
( )
D x , definimos la operación de división de
polinomios como aquella que consiste en
encontrar dos polinomios ( )
D x y ( )
r x que
satisfacen:
( ) ( ) ( ) ( )
D x q x d x r x
= +
Donde:
• ( )
d x : Dividendo
• ( )
D x : Divisor
• ( )
D x : Cociente
• ( )
r x : Residuo
CLASES DE DIVISION
A. DIVISIÓN EXACTA
La división de polinomios se dice que es exacta,
cuando el residuo es idénticamente nulo( 0
r  ).
Luego se tiene que:
B. DIVISIÓN INEXACTA
La división de polinomios se dice inexacta,
cuando el residuo no es idénticamente nulo (
0
r  ), tenemos:
PROPIEDAD DE GRADOS
METODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
A) METODO DE HORNER
Este método se utiliza cuando el divisor es de
segundo grado o mayor. Para realizar el método
tenemos que usar el siguiente cuadro donde
ubicaremos los coeficientes.
PROCEDIMIENTO:
1. Verificar que los polinomios dividendo y
divisor estén ordenados y completos, en
caso de que no los estén, se debe completar
y ordenar.
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la
parte superior del cuadro con sus
respectivos signos.
3. Anotar los coeficientes del divisor en la parte
izquierda del cuadro, colocando el primer
coeficiente con su respectivo signo y los que
siguen con el signo opuesto.
TEOREMA
Dados los polinomios ( )
D x y ( )
d x con ( ) 0
d x 
, entonces existen los únicos polinomios ( )
q x y
( )
r x tal que:
( ) ( ) ( ) ( )
D x q x d x r x
= +
m x
. .( ) . .( ) . ( )
. .( ) . .( ) 1
. .( ) . .( )
á
G A q G A D G A d
G A r G A d
G A r G A d
= −
= −

( ) ( ). ( )
D x d x q x
=
( ) ( ). ( ) ( )
D x d x q x r x
= +

PLANA DOCENTE 28
4. Trazar la línea vertical que divide los
coeficientes del cociente y residuo. Para
ubicar esta línea debemos recorrer de
derecha a izquierda tantos espacios como el
grado máximo del residuo.
5. El primer término del cociente (q) se obtiene
dividiendo el primer coeficiente del
dividiendo (D) entre el primer coeficiente del
divisor (q).
6. El primer coeficiente del cociente obtenido
debe multiplicar a cada uno de los
coeficientes del divisor que cambiaron de
signo y los resultados se colocan en forma
horizontal partir de la siguiente columna
hacia la derecha.
7. Las cantidades que se encuentran en la
segunda columna se suman y el resultado se
divide entre el primer coeficiente del divisor
(d) y continuando así con el procedimiento
hasta coincidir con la última columna del
dividendo.
8. Para concluir se deben de sumar las
columnas correspondientes del residuo.
Ejemplo 1:
Dividir:
5 4 2
2
8 4 6 6 1
4 4 2
x x x x
x x
+ + + −
− +
4 8 4 0 6 6 1
8 4
4
12 6
8 4
2
8 4
2 3 2 2 10 5
COCIENTE RESIDUO
−
−
−
−
−
−
−
Luego tenemos:
3 2
( ) 2 3 2 2
( ) 10 5
q x x x x
r x x
= + + +
= −
2 2 2
( ) 2
x y x xy y
+ = + +
B) METODO DE RUFFINI
Este método se utiliza cuando el divisor es de
primer grado ( ( )
d x ax b
= + ). Para realizar el
método tenemos que usar el siguiente cuadro
donde ubicaremos los coeficientes.
PROCEDIMIENTO:
1. Verificar que los polinomios dividendo y
divisor estén ordenados y completos, en
caso que no los estén se debe completar y
ordenar.
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la
parte superior del cuadro con sus
respectivos signos.
3. El divisor ( )
d x ax b
= + debemos igual a
cero y despejar la variable " "
x y anotar el
resultado en la parte izquierda del cuadro.
4. Se baja el primer coeficiente del dividendo y
se multiplica por el valor de
b
x
a
= − , el
resultado obtenido se coloca en la siguiente
columna, debajo del segundo coeficiente del
dividendo.
5. Se suman las cantidades de la segunda
columna y continuamos con el mismo
procedimiento hasta obtener un término
debajo del último coeficiente del dividendo.
6. El resto es la suma de la última columna.
7. Para obtener el cociente dividimos entre el
coeficiente principal del divisor cada columna
a excepción de la columna del residuo.
Ejemplo 1:
Dividir:
4 2
2 2 9
2 4
x x
x
− +
−

PLANA DOCENTE 29
Solución:
2 0 2 0 9
2 4 8 12 24
2 2 4 6 12 33
1 2 3 6
RESIDUO
COCIENTE
x
−
=

Luego tenemos:
3 2
( ) 2 3 6
( ) 33
q x x x x
r x
= + + +
=
TEOREMA DEL RESTO
Este teorema permite calcular el residuo de una
división de manera directa. El enunciado es el
siguiente.
Ejemplo 1:
Encontrar el resto de la división:
4 2
2 2 9
2 4
x x
x
− +
−
Solución:
Igualemos el divisor a cero:
2 4 0
2
x
x
− =
=
Luego tenemos que:
4 2
2(2) 2(2) 9
33
residuo
residuo
= − +
=
EJERCICIOS
1. Sea ( )
q x el cociente y ( )
r x el residuo de
dividir
4 3 2
2
6 7 4 10 3
3 2
x x x x
x x
− − + −
+ −
, el
polinomio ( ) ( )
q x r x
+ es igual a:
a) 2
2 6
x x
+
b) 2
2x
c) 2
2 3 2
x x
+ +
d) 2
2 2
x +
e) 2
2 6 2
x x
+ +
2. El residuo luego efectuar la división
5 3 2
3 2
12 9
6 3 1
x x x x
x x
− − +
+ +
es:
a) 2 1
x
− +
b) 2
2 1
x x
+ +
c) 2 1
x +
d) 2
2 1
x x
− + −
e) 2
2
x x
+
3. Si la división:
4 3 2
2
6 16 25
3 2 1
x x x Mx N
x x
+ + + +
+ +
es exacta, entonces el valor de Z M N
= +
es:
a) 5
b) 9
c) 14
d) 19
e) 20
4. El residuo de dividir: 3 2
3 4 5 6
x x x
− + + entre
3 2
x + es:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 1
e) 1
−
5. El resto de dividir:
28 7 21
7
2 14 2 5
3
x x x
x
− + −
−
es:
a) 144
b) 169
c) 121
d) 154
e) 136
6. El valor de " "
n , para que el residuo de la
división
3 2 2
2
x nx nx n
x n
− − −
− −
sea 3 2
n+ , es:
a) 2
−
TEOREMA
Dada la división ( ) )
(
P x ax b
 + , entonces
tenemos que el resto de la división viene dada
por:
Resto = ( )
/
P b a
−

PLANA DOCENTE 30
b) 1
−
c) 0
d) 1
e) 2
7. El resto luego de dividir:
2 4 5
( 3 1) 2( 3)
4
x x x x
x
− − + − +
−
es:
a) 88
b) 89
c) 87
d) 95
e) 98
8. El valor numérico del polinomio:
5 4 3
( ) (2 2 2) 4 2 5 3 2
P x x x x x
= + − − + −
para 2 2
x = es:
a) 8 2
b) 2 7
+
c) 7 2
d) 13 2
e) 9 2
9. El valor de " "
p q
+ para que la división
4 2
2
3 3
2 2
x px qx x
x x
− + +
− +
sea exacta, es:
a) 15
b) 13
c) 11
d) 16
e) 6
10. Si el polinomio 5 3
( ) 3 6 3
P x x x x
= + − se
divide entre 1
x + se obtiene un cociente de
grado " "
m , termino constante " "
b y resto
" "
a . El valor de “ m b a
+ + ” es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. El resto que se obtiene al dividir
5
2
1
( 1)
x x
x
− +
−
es:
a) 4 3
x −
b) 4 3
x +
c) 3
x +
d) 3
x −
e) 8 3
x +
12. Si la división
4 3 2
2
5
2 2
x x x mx n
x x
+ − + +
− +
, tiene
resto 4 . Entonces el valor de 3
n m
+ es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13. Si la división
4 3 2
2
11 3 5
2 1
mx nx x x
x x
+ + − +
− +
es
exacta, el valor de " "
m n
+ es:
a) 7
b) 11
c) 5
d) 0
e) 21
14. Si el resto de la división:
3 2
2
( 4) (12 )
2 1
ax b x a x b a
x x
+ + + − + −
+ −
es
( ) 2 10
r x x
= + . El cociente de la división
viene dado por:
a) ( ) 5
q x x
= − +
b) ( ) 4 91
q x x
= +
c) ( ) 4 5
q x x
= +
d) ( ) 5
q x x
= +
e) ( ) 5
q x x
= −
15. Si: ( )
r x ax b
= + es el residuo de la división
5
2
( 1) 1
2
x
x x
+ +
+
, El valor numérico (3)
r es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16. Al efectuar la división:
5 4 3 2
3 2
2 1
2 3
mx nx px x x
x x x
+ + + − +
− + −

PLANA DOCENTE 31
Se tiene que el resto es "7 2"
x − . El valor de
" "
m n p
+ + es:
a) 5
−
b) 1
−
c) 1
d) 0
e) 9
17. La división algebraica:
5 3 2
2
2 2 4 3
1
x ax bx x
x x
+ + + −
+ +
Deja resto 0
r  . El valor de ab es:
a) 7
b) 0
c) 5
d) 5
−
e) 6
18. Si la división algebraica:
5 4 3 2
3
72 19 5
4 3 1
Ax Bx Cx x x
x x
+ + + + +
+ +
es
exacta, entonces el valor de A B C
+ − es:
a) 11
b) 13
c) 17
d) 19
e) 23
19. Dada la división algebraica
50
1
1
x ax b
x
+ + +
−
,
con a y b reales, si la suma de coeficientes
del cociente es el triple del residuo e igual a
54, La relación
b
a
esta dado por:
a) 2
b)
1
2
c)
1
4
d) 4
e) 3
20. En la división siguiente
5 4 3 2
2
2 3 6
x x bx bx x a
x x b
+ + + + +
− +
Se sabe que el resto es 2 3
x + y la suma de
coeficientes del cociente es mayor que 15. El
valor de “ ab ” es:
a) 4
b) 9
c) 7
d) 2
e) 8
21. El residuo de la división:
2021 2020
( 2) ( 1) 7
( 2)( 1)
x x
x x
− + − +
− −
es:
a) 3
b) 2 1
x −
c) 3 2
x +
d) 2 4
x −
e) 2 4
x +
22. Si la división:
4 3 2
2
( ) ( ) ( )
mx m n x m n s x n s x m n
mx nx s
+ + + + + + + − −
+ +
no deja resto. El valor de “ m n s
+ + ” es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
23. Sabiendo que el polinomio
2
( ) 1
n n
P x x mx −
= + + es divisible entre
2
( 1)
x− , entonces el valor " "
mn es:
a) 8
−
b) 6
−
c) 4
−
d) 2
−
e) 1
−
24. Si la división 2
2 1
a
x bx c
x x
− +
− +
es exacta, entonces
el valor de
1
a b
H
c
+
=
+
es:
a) 2
b) 4
c)
1
2
d) 256
e) 8

PLANA DOCENTE 32
25. En la siguiente división:
2 2 1 2 2 3 2
2 2 2 ... 2 2 2 1
2 2
n n n
x x x x x x n
x
− −
+ + + + + + − +
−
La suma de los coeficientes del cociente que
resulta, es igual a 10 veces su resto. El grado
del cociente es:
a) 39
b) 37
c) 35
d) 31
e) 33
26. Un polinomio ( )
P x mónico y de cuarto grado,
es divisible separadamente entre ( 5)
x + y
2
( 5)
x − . Si lo dividimos entre ( 5)
x − el resto
es 3000. El resto de dividir ( )
P x entre ( 1)
x +
es:
a) 145
−
b) 144
−
c) 140
−
d) 138
−
e) 136
−
27. Hallar el valor de " "
m tal que Si la suma de
coeficientes del cociente de la división
1
2
( 1)
( 1)
m
x m x m
x
−
− + +
−
es igual a 210 , entonces
el valor de " "
m es:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
28. Al dividir un polinomio ( )
P x separadamente
por ( 1)
x − y ( 2)
x − se obtiene como restos
6 y 18 respectivamente. El resto que se
obtiene al dividir el polinomio ( )
P x entre el
producto: ( 1)( 2)
x x
− − es:
a) 3 12
x −
b) 2 12
x −
c) 6 12
x −
d) 6
x −
e) 12 6
x −
29. Un polinomio mónico de tercer grado es
divisible por ( 2)
x − y ( 1)
x + al dividirlo por
( 3)
x − da resto 20 . El resto que se obtiene
al dividir dicho polinomio entre ( 3)
x + es:
a) 10
−
b) 30
c) 20
−
d) 30
−
e) 20
COCIENTES NOTABLES
DEFINICIÓN. La división
n n
x y
x y


, donde
n , es un cociente notable si y solamente sí,
es una división exacta y su cociente respectivo
se determina por simple inspección, es decir
podemos obtener el cociente sin efectuar la
división.
Ejemplo 1:
3 3
2 2
x y
x xy y
x y
−
= + +
−
Ejemplo 2:
4 4
3 2 2 3
x y
x x y xy y
x y
−
= + + +
+
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LOS
COCIENTES NOTABLES:
I) PRIMER CASO
Es cociente notable solo para " "
n
e par o impar
El desarrollo del cociente notable es:
1 2 3 2 2 1
n n
n n n n n
x y
x x y x y xy y
x y
− − − − −
−
= + + + + +
−
Ejemplo 1:
n n
x y
x y
−
−
•

PLANA DOCENTE 33
4 4
3 2 2 3
x y
x x y xy y
x y
−
= + + +
−
II) SEGUNDO CASO
Es cociente notable solo para " "
n
impar
El desarrollo del cociente notables es:
1 2 3 2 2 1
n n
n n n n n
x y
x x y x y xy y
x y
− − − − −
+
= − + − + −
+
Ejemplo 1:
3 3
2 2
x y
x xy y
x y
+
= − +
+
III) TERCER CASO
Es cociente notable solo para
" "
n par
El desarrollo que se obtiene es:
1 2 3 2 2 1
n n
n n n n n
x y
x x y x y xy y
x y
− − − − −
−
= − + − + −
+
Ejemplo 1:
4 4
3 2 2 3
x y
x x y xy y
x y
−
= − + −
+
IV) CUARTO CASO
Nunca es cociente notable
NÚMERO DE TÉRMINOS DE UN
COCIENTE NOTABLE:
TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE
NOTABLE:
Donde:
• " "
n es el número de términos.
• " "
k lugar del término.
El signo se determina según el caso que se
tenga:
divisor
Signo de k
T
" "
k es par " "
k es impar
x y
+ − +
x y
− + +
EJERCICIOS
1. En el siguiente cociente notable
16 16
2
( 2) ( 2)
2( 4)
x x
x
+ − −
+
. El valor numérico del
quinto término para 1
x = es:
a) 729
−
b) 126
c) 81
d) 243
e) 729
2. Si el cociente
6 1 5
2 3
n n
n n
x y
x y
+
−
−
−
es exacto,
entonces el valor de " "
n , donde n , es:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
n n
x y
x y
+
+
•
n n
x y
x y
−
+
•
n n
x y
x y
+
−
• ( ; ) ( ; )
a b f a c f b c
    =
Dado cociente notable , el termino de
lugar viene dado por:
Dado el cociente notable , el número de
términos viene dado por:
Nro. de términos=

PLANA DOCENTE 34
e) 10
3. Si el cociente de
432
3
p
p
x y
x y
−
−
es exacto, indicar
el total de sus términos.
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30
4. Dada la división algebraica
19 19
x y
x y
−
−
; indique
cuál de las siguientes expresiones no es un
término del desarrollo del cociente notable
dado:
a) 12 6
x y
b) 10 8
x y
c) 9 9
x y
d) 14 3
x y
e) 7 11
x y
5. Si el quinto término del desarrollo del siguiente
cociente notable:
14 35
2 5
x y
x y
−
−
es 9 12
a b
x y
− +
. El
valor de " "
a b
+ es:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 13
e) 11
6. El coeficiente del cuarto término del desarrollo
de
5 5
32 243
2 3
x y
x y
+
+
es:
a) 108
−
b) 27
−
c) 54
−
d) 81
−
e) 12
−
7. Sabiendo que 24
a
x y es el término central del
desarrollo del cociente exacto:
75
2
b
c
x y
x y
−
−
. El
valor de E a b c
= + + está dado por:
a) 39
b) 49
c) 59
d) 69
e) 89
8. Si 2
1
1
n
x
x
−
−
es un cociente notable de 4
términos. La suma de los términos 3ro y 4to
es:
a) 4
1
x +
b) 4 2
x x
+
c) 2
1
x +
d) 2
x x
+
e) 1
x +
9. El coeficiente del tercer término del desarrollo
del cociente
12
3
16
2 4
x
x
−
+
es:
a) 2
b)
1
2
c) 8
d) 6
e) 1
10. El grado absoluto del primer término central
del cociente notable
15 50 15 10
1 2
n n
n n
x y
x y
+ −
+ −
−
−
es:
a) 11
b) 106
c) 63
d) 40
e) 72
11. Si 195 140 190 147
x y x y
+ son términos
consecutivos del desarrollo de un cociente
notable. El número de términos que posee es:
a) 61
b) 100
c) 63
d) 72

PLANA DOCENTE 35
e) 60
12. El número de términos que tiene el siguiente
cociente notable
2 21
2 2
( ) (2 )
n n
x a ax
x a
−
− −
+
es:
a) 3
b) 7
c) 11
d) 17
e) 22
13. Dado el siguiente cociente notable
20 30
2 3
x y
x y
−
−
. El lugar que ocupa el término que contiene a
10
x es:
a) Sexto.
b) Quinto.
c) Octavo.
d) Cuarto.
e) Décimo.
14. Si el 25
T del desarrollo de:
129 86
3 2
m n
m n
x a
x a
−
−
viene
dado por 270 288
x a , entonces el valor de
( )
m n
+ es:
a) 11
b) 13
c) 21
d) 15
e) 31
15. En el desarrollo del cociente notable:
148 296
2 4
m p
m p
x y
x y
−
−
. El termino de lugar 60 es
56 708
x y , entonces el grado del término de
lugar 21es:
a) 234
b) 432
c) 214
d) 532
e) 452
16. Dado el cociente notable 3 4
x y
x y
 
−
−
. Si:
12 28
6 9
7
.
T T
x y
T
= , entonces el valor de " "
 
+
es:
a) 20
b) 84
c) 48
d) 36
e) 42
17. El cociente de la división:
95 90 85 80 5
80 60 40 20
1
1
x x x x x
x x x x
+ + + + + +
+ + + +
es:
a) 15 10 5
( ) 1
q x x x x
= − + −
b) 15
( ) 1
q x x
= +
c) 15 10 5
( ) 1
q x x x x
= + + +
d) 15 5
( ) 1
q x x x
= − +
e) 15
( ) 1
q x x
= −
18. Si en el desarrollo del cociente notable
3 7
2 4
n m m
x y
x y
+
−
−
hay 14 términos, entonces el
grado absoluto del término que ocupa el lugar
( )
m n
− , es:
a) 8
b) 16
c) 32
d) 64
e) 72
19. Dado el siguiente cociente notable
3 2 5 1
2 5
n n
n
x y
x y
+ −
−
−
−
, entonces el grado absoluto del
décimo primer término en el cociente notable,
es:
a) 25
b) 32
c) 30
d) 28
e) 34
20. La expresión
8 2 2 8
2 2
( )
1
x x y y
x y
−
+
+
genera un
cociente notable. Si n n
k
T x y−
= es un término
de esta división, entonces el término k
T es:
a) 8 8
k
T x y−
=
b) 4 4
k
T x y−
=
c) 10 10
k
T x y−
=
d) 5 5
k
T x y−
=

PLANA DOCENTE 36
e) 2 2
k
T x y−
=
21. Si al dividir
25 25
3 1 3 1
n n
n n
x y
x y
− −
−
+
se obtiene como
segundo término 16 8
x y
− . El número de
términos que tiene el cociente es:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
22. Si el desarrollo del siguiente cociente notable
11 11
( 1) ( 1)
x x
x
+ + −
tiene un término de la
forma 2
( 1)b
a x − , entonces el valor de
T a b
= + es:
a) 3
b) 8
c) 5
d) 7
e) 11
23. El número de términos que tendrá el cociente
notable
5 10 5 50
2 9 2 5
;{ ; }
m m
n n
x y
m n
x y
+ −
+ +
−

−
es:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
24. Sabiendo que al dividir:
2 2
3 1 3 1
n n
m m
x y
x y
− −
−
+
se obtiene un cociente cuyo
segundo término es 8 8
x y
− . El número de
términos del cociente notable es:
a) 4
b) 3
c) 5
d) 6
e) 7

PLANA DOCENTE 37
CAMPO NUMÉRICO
DEFINICIÓN. Un campo es un conjunto no
vacío " "
K , que está dotado de dos operaciones
binarias, que se denominan suma y
multiplicación y que son representadas por los
símbolos " "
+ y " "
 respectivamente y se
cumplen las siguientes propiedades:
PARA LA ADICIÓN:
1. Propiedad de la clausura
, ,
a b K a b K
  + 
2. Propiedad asociativa
, , , ( ) ( )
a b c K a b c a b c
  + + = + +
3. Propiedad conmutatividad
, ,
a b K a b b a
  + = +
4. Propiedad de la existencia del elemento
neutro aditivo
!0 / , 0
K a K a a
    + =
5. Propiedad Existencia del elemento
inverso aditivo
; ! / ( ) 0
a K a K a a
   −  + − =
PARA LA MULTIPLICACIÓN:
6. Propiedad de la clausura
, ,
a b K a b K
   
7. Propiedad asociativa
, , , ( ) ( )
a b c K a b c a b c
    =  
8. Propiedad conmutatividad
, ,
a b K a b b a
   = 
9. Existencia del elemento neutro
multiplicativo
!1 / , 1
K a K a a
     =
10. Existencia del elemento inverso
multiplicativo
1 1
{0}; ! / 1
a K a K a a
− −
  −    =
11. Propiedad Distributiva
( )
, , ,
( )
a b c a b a c
a b c K
a b c a c b c
 + =  + 

  
+  =  + 

Ejemplo 1:
El conjunto de los números racionales ( ),
reales ( ) y complejos( ) constituyen
ejemplos de campos.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
DEFINICIÓN. La factorización es la
transformación de un polinomio, como el
producto de dos o más factores primos dentro de
un cierto campo numérico.
En este caso factorizaremos mayormente en el
campo de los números racionales.
FACTOR PRIMO
DEFINICIÓN. Un factor primo es aquel
polinomio que no es posible transformar en el
producto de dos polinomios, es decir, es aquel
polinomio que no es posible factorizar.
NUMERO DE FACTORES DE UN
POLINOMIO
Sea: ( )
, ,
P x y z x y z
  
= un polinomio
expresado en el producto de sus factores.
a) El número de factores del polinomio es:
)
. ( ) ( ) (
1 1 1
Nro de factores   
= + + +
b) El número de factores primos del polinomio
es:
. 3
Nro de factores = , estos son ,
x y y z .
c) El número de factores algebraicos del
polinomio es:
. . 1
( ) ( ) ( )
1 1 1
Nro Fact algebraicos   
= + + + −
Ejemplo 1:
Dado el polinomio ( ) ( ) ( )
2
2
, , 1 1
P x y z x y z
= + +
determinar el número de factores, factores
primos y factores algebraicos.

PLANA DOCENTE 38
Solución:
✓ ( ) ( ) ( )
. 1 1 2 1 2 1 18
Núm Factores = + + + =
✓ . . 3
Núm Fact Primos = y estos son
( ) ( )
1 , , 1
x y z
+ −
✓ ( )( )( )
. . 1 1 2 1 2 1 –1 17
Núm factores algeb = + + + =
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN
Este método consiste en extraer un factor
común monomio o un factor común
polinomio a todos los términos del polinomio.
Ejemplo 1:
Factorizar ( ) 2 2
2 4 6
P x a x ax ax
+ −
=
Solución:
Factorizando ( ) ( )
2 2 3
P x ax a x
= + −
Ejemplo 2:
Factorizar ( )
;
P x y ax by ay bx
= + + +
Solución:
Agrupando ( ) ( ) ( )
,
P x y ax ay bx by
= + + +
Factorizando
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
,
,
P x y a x y bx y
P x y x y a b
= + + +
= + +
2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
Recibe el nombre de las identidades, porque
se utiliza las identidades algebraicas o
productos notables.
Ejemplo 1:
Determinar el número de factores primos del
polinomio
( ) 9 6 3
64 64
P x x x x
−
= − +
Solución:
Agrupando y factorizando el factor común:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
6 3 3
3 6
2
3 3 2
2 3 3
2 2 2
1 64 –1
–1 64
–1
)
8
( )
( )
( )
( –1 1 –8 8
–1 1 2 2 4 2 – 2
) (
( ) ( 4
)
P x x x x
x x
x x
x x x x x
x x x x x x x x x
= − −
= −
= −
= + + +
 
 
 
= + + − + + + +
El número de factores primos es 6 .
3. ASPA SIMPLE
Este método es aplicable para polinomios que
tienen la forma general:
( ) 2
;
n n
P x Ax Bx C n +
= + + 
o cualquier otra expresión transformable a esta.
Ejemplo 1:
Factorizar:
2
( ) 6 5 21
P x x x
= − −
Solución:
2
( ) 6 5 21
2 3 (3 )( 3) 9
3 7 (2 )( 7) 14
5
( ) (2 3)(3 7)
P x x x
x x x
x x x
x
P x x x
= − −
+ + = +
− − = −
−
= + −
4. ASPA DOBLE
Este método se aplica para polinomios que
tienen la forma:
2 2
( ; ) m m n n m n
P x y Ax Bx y Cy Dx Ey F
= + + + + +
con ,
n m +
 o cualquier otra expresión
transformable a esta.
Para factorizar el polinomio por este método se
procede los siguientes pasos.
a) Se ordena el polinomio a la forma general,
en caso falte uno o más términos se
completa con ceros.
b) Se forma el primer trinomio con los tres
primeros términos y se aplica aspa simple,
para comprobar el segundo término.
c) Luego se forma otro trinomio con los
términos (3,5 y 6) para comprobar el quinto
termino.

PLANA DOCENTE 39
d) Finalmente se aplica un aspa simple con los
términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto
término.
e) Los factores serán sumas horizontales.
Ejemplo 1:
Factorizar
( ) 2 2
, 15 19 6 5 4 10
P x y x xy y x y
= + + + + −
Solución:
( ) 2 2
, 15 19 6 5 4 10
P x y x xy y x y
= + + + + −
3 2 2
5 3 5
x y
x y
−
Comprobando: Aspa simple con los términos
(1,4 y 6) 15 –10 5
x x x
=
Los factores son:
( ) ( )( )
, 3 2 2 5 3 5
P x y x y x y
= + − + +
5. ASPA DOBLE ESPECIAL
Este método se aplica para factorizar polinomios
que adoptan a forma:
( ) 4 3 2
;
n n n
P x Ax Bx Cx Dx E n +
= + + + + 
También puede ser:
( ) 4 3 2 2 3 4
, m m m n n n
P x y Ax Bx y Cx y Dxy Ey
= + + + +
Con ,
m n +
 o cualquier otra expresión
transformable a estas.
Para factorizar este polinomio se tomará en
cuenta los siguientes pasos:
a) Se ordena el polinomio a la forma general,
en caso de que falte uno o más términos se
completa con ceros.
b) Se descompone convenientemente los
extremos, se efectúa el producto en aspa y
se suman los resultados.
c) Se compara el resultado anterior con el
término central del polinomio y lo que sobre
o falte para que sea igual o éste, será la
expresión que se tenga que descomponer en
las partes centrales de los futuros nuevos
dos factores.
d) Los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo 1:
Factorizar
( ) 4 3 2
5 22 21 16 6
P x x x x x
= + + + +
Solución:
( ) 4 3 2
2
2
5 22 21 16 6
5 3
2
P x x x x x
x
x
= + + + +
multiplicando los extremos y sumando los
resultados se tiene 2
13x para 2
21x falta 2
8x
( ) 4 3 2
2
2
5 22 8 16 6
5 2 3
4 2
P x x x x x
x x
x x
= + + + +
Los factores son:
( ) ( )( )
2 2
5 2 3 4 2
P x x x x x
= + + + +
6. MÉTODO DE EVALUACIÓN DE
DIVISORES BINOMIOS
Este método se emplea para factorizar
polinomios de una sola variable y de cualquier
grado y que admitan factores de primer grado de
la forma general ax b
+ .
Los ceros de un polinomio son el conjunto de
valores que puede tomar la variable de un
polinomio y hacer que su valor numérico sea
cero.
Para determinar los posibles ceros de un
polinomio se considera:
a) Si el polinomio tiene como coeficiente
principal a la unidad, en este caso los
posibles ceros racionales (P.C.R) estarán
dados por los divisores del término
independiente con su doble signo ( )
 .
Por ejemplo:
Par el polinomio:
( ) 3 2
3 11 6
P x x x x
= + + +
Los posibles ceros estarán determinados por
los divisores de 6 : 1, 2, 3, 6
   

PLANA DOCENTE 40
b) Si el coeficiente principal del polinomio es
diferente que la unidad, en este caso se
toman los valores fraccionarios que resultan
de dividir los divisores del término
independiente entre los divisores del primer
coeficiente.
.( . )
. .
( . )
Div T I
P C R
Div C P
= 
Donde:
• P.C. R : Posibles ceros racionales.
• T. I : Termino independiente.
• C.P : Coeficiente principal.
Por ejemplo:
Para el polinomio
( ) 3 2
6 11 6 1
P x x x x
= + + +
Los posibles ceros son:
1 1 1 1
. . 1, , , ,
2 2 3 6
P C R =    
Para factorizar el polinomio por este método se
procede los siguientes pasos.
a) Se ordena el polinomio, en caso que falte
uno o más términos se completa con ceros.
b) Se determina los ceros del polinomio, (el
número de ceros debe estar de acuerdo con
el grado del polinomio)
c) Se deduce el factor que da lugar al cero del
polinomio; si un polinomio ( )
P x se anula
para x a
= o ( ) 0
P a = , entonces ( )
x a
−
será un factor primo del polinomio.
Es decir, ( ) ( ) ( )
P x x a q x
= −
d) Los factores se determinan utilizando el
método de Ruffini, el cual se emplea tantas
veces como ceros tenga el polinomio.
Ejemplo 1:
Factorizar
4 3 2
( ) –7 – 6
P x x x x x
= + +
Solución:
Los posibles ceros son: 1, 2, 3, 6
    ,
Donde:
( ) ( ) ( ) ( )
1 0, 1 0, 2 0, 3 0
P P P P
= − = = − =
1 1 -7 -1 6
1 1 2 -5 -6
1 2 -5 -6 0
-1 -1 -1 6
1 1 -6 0
2 2 6
1 3 0
Entonces:
( )
( )( )( )( )
4 3 2
7 6
1 1 2 3
P x x x x x
x x x x
= + − − +
= − + − +
EJERCICIOS
1. Con relación a la factorización del polinomio
( ) 4
– 49
P x x
= . En las siguientes
proposiciones escribir (V) si es verdadero o
(F) si es falsa:
I. Al factorizar en el conjunto de los números
racionales, tiene dos factores primos.
II. Al factorizar en el conjunto de los números
reales, tiene tres factores primos.
III. Factorizando en el conjunto de los
números complejos, tiene 4 factores
primos.
La secuencia correcta, es:
a) FVF
b) FFV
c) VVV
d) VFF
e) FFF
2. En las siguientes proposiciones, indicar con
(V) si es verdadero o con (F) si es falso.
I. El polinomio ( ) ( )( )
5 2
P x x x
= + + está
factorizando en el campo de los números
naturales.
II. El polinomio ( ) ( )
2
5
P x x x
= − esta
factorizado en el campo de los números
racionales.

PLANA DOCENTE 41
III. El polinomio ( ) ( )( )
5 5
P x x x
= + −
está factorizando en el campo de los
números racionales.
IV. El polinomio ( ) ( )
2
– 9
P x x x
= está
factorizando en el campo de los números
racionales.
V. El polinomio ( ) ( )( )
2
– 4 3 9
P x x x x
= + +
está factorizando en el campo de los
números reales.
VI. El polinomio ( ) 4 2
– 5 – 36
P x x x
= , tiene 3
factores primos en el campo de los
números reales.
a) FVFFVV
b) VVFFVV
c) FFVVFF
d) VVFVFF
e) FFFVFV
3. Al factorizar el polinomio:
( ) 5 4 2
2 –1
P x x x x
= + +
el factor primo de mayor grado es:
a) 3
– 1
x x +
b) 3
1
x x
+ −
c) 3
1
x x
+ +
d) 3
– 1
x x −
e) 3
2 1
x x
+ +
( ) 4 2
–16 24 – 9
P x x x x
= +
la suma de los coeficientes de los términos
lineales de los factores primos lineales es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 2
−
e) 1
−
5. El número de factores primos de
( ) 2 2 6
, , 2 –
P x y z x xy y z
= + + , es:
a) 4
b) 3
c) 1
d) 2
e) 5
6. El número de factores primos de
( ) 9 6 3
– 64 64
P x x x x
= − + , es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
7. Al factorizar:
( ) ( ) ( )
2 2
2 – 4 – 5 – 25
P x x x x x
= +
La suma de coeficientes de factores primos
lineales es:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 5
e) 2
8. La suma de los términos independientes de
los factores primos de
( ) 2 2
, 20 – 33 –17 7 6 22
P x y x x y y xy
= + + +
, es:
a) 3
−
b) 4
c) 8
−
d) 4
−
e) 5
9. La suma de los términos cuadráticos de los
factores primos del polinomio
( ) 4 3 2
5 16 6 22 21
P x x x x x
= + + + + , es:
a) 2
6x
b) 2
2x
c) 2
5x
d) 2
– 3x
e) 2
4x
10. La suma de factores primos del polinomio
( ) 4 3 2
48 20 – 20 – 5 2
P x x x x x
= + + , es:

PLANA DOCENTE 42
a) 10 2
x +
b) 11 1
x +
c) 10 3
x +
d) 10 2
x −
e) 11 2
x +
11. El número de factores de:
( ) 5 4 3 2
5 7 – –8 – 4
P x x x x x x
= + + , es:
a) 16
b) 12
c) 18
d) 14
e) 10
12. Uno de los factores primos del polinomio
( ) 2 2
, 5 – 10 – 2 +4
P x y x y x y xy
= + , es:
a) – 2
x y
+
b) 2
x y
− +
c) –3
x y
+
d) –1
x y
−
e) 3
x y
− +
( ) 3 2
30 – 97 92 – 21
P x x x x
= + , la suma de
sus factores primos es:
a) 9 –10
x
b) 10 –11
x
c) 10 10
x +
d) 9 10
x +
e) 11 –10
x
14. La suma de los factores primos del polinomio
( ) 3 2
3 – 7 – 22 8
P a a a a
= + , es:
a) 5 –3
a
b) 5 2
a +
c) 5 – 2
a
d) 5 1
a +
e) 5 3
a +
15. Al factorizar el polinomio 4 2
–11 1
x x + , la
suma de los factores primos es:
a) 2
2 – 2
x
b) 2 2
x +
c) 2
2 2
x +
d) 2
2 – 3
x
e) 2
2 1
x +
16. Al factorizar el polinomio,
( ) ( )( ) ( ) ( )
10 11
5
2 2
1 1 – 1 1
P x x x x x
= + + + +
La suma de los términos independientes de
los factores primos lineales es;
a) 2
b) 3
c) 1
d) 4
e) 5
( )
, 4 – 2 6 – 3
P x y ax bx ay by
= + , es:
a) 2 3
x y
+
b) x y
−
c) 3 2
x y
+
d) y x
−
e) 3
zx y
−
los factores primos del polinomio.
( ) 2
, 21 – 39 56 – 92 32
P x y xy y x y
= + + ,
es:
a) 10
b) 9
c) 12
d) 11
e) 8
19. Después de factorizar el polinomio
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1
P x x x x
= + − + + , la suma de
los términos independientes de sus factores
primos es:
a) 2
b) 4
c) 3
d) 1
−
e) 2
−
20. Luego de factorizar el polinomio
( ) ( )
2
4 2 4 2
1 3 3 –15
P x x x x x
= + + + + . Uno
de los factores primos es:
a) 2
x+
b) 1
x −
c) 2
x −
d) 1
x +
e) 3
x −

PLANA DOCENTE 43
21. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos del polinomio:
( ) 5 3 2
– 4 – 4
P x x x x
= + , es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. El número de factores primos del polinomio
( ) 3 2 3 2 3 2 5
, – –
P x y x y y z x z y
= + ; es
a) 3
b) 2
c) 4
d) 5
e) 1
23. Al factorizar el polinomio
( ) 2 2
6 20 23 6 – 2
P x x y xy x y
= + + + + , Ia
suma de coeficientes de sus factores primos
es:
a) 10
b) 5
c) 15
d) 12
e) 8
24. La suma de sus términos independientes de
los factores primos del polinomio
( ) 4 3
2 5 2
P x x x x
= + + + , es:
a) 2
b) 3
c) 3
−
d) 2
−
e) 4
25. Al factorizar: 2 2
2 –5 –3 – –9 4
x xy y y x + ,
resulta igual a:
a) ( )( )
2 –1 – 3 4
x y x y
+ +
b) ( )( )
2 –1 – 3 4
x y x y
+ −
c) ( )( )
2 1 3 4
x y x y
− + + −
d) ( )( )
2 –1 3 4
x y x y
− + +
e) ( )( )
2 –1 – 2 4
x y x y
+ +
26. Al factorizar: ( ) 5 4 2
4 –10 – 6
P x x x x x
= + +
resulta:
a) ( ) ( )( )( )
2
–1 1 2 3
x x x x
+ + +
b) ( )( )( )( )
–1 1 3 2
x x x x
+ − −
c) ( ) ( )( )( )
2
1 1 3 2
x x x x
+ − + −
d) ( ) ( )( )
2
1 2 3
x x x
+ − +
e) ( ) ( )( )( )
2
–1 1 3 2
x x x x
+ − −
27. El equivalente al polinomio
( ) 4 2
8 36
P x x x
= + + , es:
a) ( )( )
2 2
– 2 6 2 6
x x x x
+ + +
b) ( )( )
2 2
2 6 2 6
x x x x
+
+ − +
c) ( )( )
2 2
– 2 6 2 6
x x x x
− − −
d) ( )( )
2 2
– 2 6 2 6
x x x x
+ − −
e) ( )( )
2 2
2 6 2 6
x x x x
− +
+ +
28. Luego de factorizar el polinomio
( ) 5 4 3 2
2 – –12 22 –14 3
P x x x x x x
= + + la
suma de sus factores primos es:
a) 3 –1
x
b) 4 –1
x
c) 3 1
x +
d) 4 1
x +
e) 2 –1
x
( ) ( ) ( )
2
2 2
–18 72
P x x x x x
= + + + , es:
a) x – 1
b) x + 2
c) x + 3
d) x + 4
e) x – 2
30. Al factorizar el polinomio
( ) 7 4 3
27 – – 27
P x x x x
= + , el número de
factores primos es:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 1

PLANA DOCENTE 44
( ) 3
2 – 84 – 72
P x x x
= , es:
a) 3 4
x +
b) 3 5
x −
c) 3 2
x −
d) 3 3
x +
e) 3 5
x +
( ) 2 2
, 10 11 – 6 – –11 – 3
P x y x xy y x y
= + ,
es:
a) ( )
5 2 3
x y
+ +
b) ( )
5 2 3
x y
− +
c) ( )
5 2 3
x y
− −
d) ( )
4 2 3
x y
+ +
e) ( )
4 2 3
x y
− +
( ) 3 2
6 –13 4
P x x x
= + ; es:
a) 5 3
x −
b) 6 3
x −
c) 7 3
x −
d) 5 3
x +
e) 6 3
x +
( ) 2 2
, 10 – 7 –12 – 21 – 26 –1
P x y x xy y x y
=
, es:
a) 7 –3
x y
+
b) 7 2
x y
− −
c) 7 – 2
x y
+
d) 7 3
x y
− +
e) 7 2
x y
− +
35. La suma de factores primos lineales de
( ) 3 2
3 2
P x x x x
= + + , es:
a) 2 2
x +
b) 3 3
x +
c) 2 4
x +
d) 3 3
x +
e) 2 3
x +
36. Uno de los factores primos de polinomio
( ) 4 3 2
– 4 11 –14 10
P x x x x x
= + + es:
a) 2
– 2 5
x x +
b) 2
3 5
x x
+ +
c) 2
– 2 3
x x +
d) 2
2 2
x x
+ +
e) 2
– 2 5
x x −
los factores primos lineales del polinomio
( ) 5 3 2
–10 – 20 –15 – 4
P x x x x x
= , es:
a) 3
b) 2
c) 4
d) 3
−
e) 1
−
38. La suma de los coeficientes de los factores
primos del polinomio
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2
3 5 1 5 4 2 3
P x x x x x x
= − − − − − − +
es:
a) 1
b) 2
c) 2
−
d) 3
−
e) 1
−
39. Al factorizar ( ) 8 4
4 –16 9
P x x x
= + . El
número de factores primos es:
a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
40. Un factor primo del polinomio:
( ) ( )
2 2 2 2 2
( ; ; ) 2 – (
5 – )
2
P x y z x y z x y z x y z xy
+

= + + + + +

 
+
es:
a) 3 –3
x y z
+
b) 3 –3
x y z
−
c) 3 3
x y z
+ +
d) 3 3
x y z
+ −
e) 3 – 2
x y z
+

PLANA DOCENTE 45
DEFINICIÓN. La racionalización es el proceso
que consiste en transformar el denominador (o
numerador) irracional de una expresión
fraccionaria, en otra expresión racional a través
de un factor denominado factor racionalizador.
FACTOR RACIONALIZADOR (FR)
DEFINICIÓN. Es una expresión irracional cuyo
objetivo es transformar una expresión irracional
en otra racional, para ello se multiplica tanto al
numerador y denominador de la fracción por este
factor racionalizador, obteniendo de esta forma
un denominador racional.
CASOS DE RACIONALIZACIÓN
Para racionalizar fracciones con radicales en los
denominadores, estudiaremos los siguientes
casos:
CASO I:
Cuando el denominador irracional es un
monomio de índice radical de cualquier orden.
El FR es un radical que tenga el mismo índice,
pero cuyos exponentes del radicando estarán
expresados por la diferencia existente entre el
índice origina de la raíz y los exponentes que
afectan a sus variables esto es:
-
; ,
m m n
m n
N
FR a m n m n
a
 =   
Ejemplo 1:
Racionalizar
3 5
7 3 5 7
4 2 4 2 3 5
7 7 7
.
A x y
A A x y
xy
x y x y x y
= =
donde:
3 5
7
FR x y
=
Ejemplo 2:
Racionalizar
1 2
2
8 5 7 2
9
. .
B FR FR
B
x y
x x y
=
donde:
8 3 2 7
9
1 2
FR x y FR x y
= =
Ejemplo 3:
Racionalizar
2 2
8 6 3 3 3
3 5
.
C C C FR
x y z
x y z xy x yz
= =
donde:
2 4 2
5
FR x y z
=
CASO II:
binomio (o transformable a binomio) cuyos
radicales son de segundo orden (o índice par)
El FR es la conjugada del denominador que se
empleará tantas veces hasta que el denominador
quede transformado en una expresión racional.
N
FR a b
a b
 = −
+
N
FR a b
a b
 = +
−
Ejemplo 1:
Racionalizar
5 .
25
5 5 5
A A x A FR
x
x x x
−
= =
−
+ + −
donde: 5
FR x
= −
Ejemplo 2:
Racionalizar
4 4
4 4 4
4 4 4
.
x y
B B
x y x y x y
+
= =
− − +

PLANA DOCENTE 46
4 2
4 2
1 2
2 2
2 2
. .
.
B x y x y B FR FR
x y
x y x y
+ +
= =
−
− +
donde:
4 2
4 2
1 2
,
FR x y FR x y
= + = +
CASO III:
radical de tercer orden de las formas:
3 3
2 2
3
3 3
N
FR a ab b
a b
 = +

3 2 3
3 3
2 2
3
N
FR a b
a b b
 =
 
Para este caso se debe tener en cuenta las
siguientes equivalencias algebraicas:
3 3
2 2
3 3 3
( )( )
a b a b a ab b
+ = + − +
3 3
2 2
3 3 3
( )( )
a b a b a ab b
− = − + +
Ejemplo 1:
Racionalizar
3
.
7
6 1
A A FR
=
+
donde:
3
3 2 2
3
6 (6)(1) 1
FR = − +
Ejemplo 2:
Racionalizar
3 3 3
.
28
25 15 3
B B FR
=
− +
Donde: 3 3
5 3
FR = +
EJERCICIOS
1. El denominador racionalizado de:
4
2 2 2
A
+ −
es:
a) 4
b) 3
c) 6
d) 2
e) 5
2. Evaluar:
2 2 2
3 3 3
3 3
( 1) ( 1 ( 1)
2( ( 1 ( 1)
x x x
E
x x
+ + − + −
=
+ + −
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
3. El denominador racional de la fracción
6
3 18 2 3
+
es:
a) 10
b) 20
c) 15
d) 25
e) 5
2
11 5
+
es:
a) 4
b) 3
c) 6
d) 2
e) 5
3
3 3
1
81 36 3 2
+ +
es:
a) 6
b) 9
c) 3
d) 12
e) 1
3 3 3
1
81 16 2 36
+ −
es:
a) 3
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2

PLANA DOCENTE 47
13 14 3
5
18
6
y
y z
es:
a) 2
12y z
b) 6yz
c) 2
3yz
d) 3yz
e) 2
12yz
8. El denominador racional de:
3
1
4 2
−
es:
a) 20
b) 10
c) 15
d) 25
e) 5
9. El denominador racionalizado y simplificado
de la expresión:
7 23
3 5 10
11
2
2 3 4
es:
a) 6
b) 8
c) 12
d) 10
e) 7
10. El denominador de la fracción
3
3 3
1
3 3 2 2 36
E =
+ −
es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2
e) 1
de
4 3
10 4
5
8
3
x y z
E
x y z
=
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 5
12. El denominador racional de
3
3 3
1
3 3 36 2 2
E =
+ +
es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3
4 2 2 3
x
E
y x y x
=
+
es:
a) 5y
b) 10y
c) 6y
d) 3y
e) 2y
2
16
9 14
x
x x
−
+ +
con 0
x  , es:
a) 49
x−
b) 12
x−
c) 7
x−
d) 3
x−
e) x
de la fracción
3 3 3
10
3 5 7
+ +
es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
f)
16. Al racionalizar el denominador de
3
3
3 3
3
27 18 12
E =
+ +
La expresión
simplificada es:
a) 2
b) 9
c) 1
d) 4
e) 6

PLANA DOCENTE 48
17. El denominador racional de:
2
E
a b a b
=
+ − −
es:
a) 2b
b) a
c) b
d) 1
e) 2a
18. Si
2
2
x
x x
+
es una expresión irracional el
denominador, racionalizado y simplificado, es:
a) 2x
b) 1
c) x
d) 2 x
−
e) 2
de la expresión:
3
3 3
8
18 12 8
E =
− +
es:
a) 4
b) 5
c) 7
d) 6
e) 1
20. Si , ,
x y z +
 entonces en la expresión
3 8
4
xyz
E
xy z
= , el denominador racionalizado y
simplificado, es:
a) z
b) xy
c) y
d) x
e) xz
21. Indique el denominador luego de racionalizar
la expresión
2 1
( )
1 2 1
x
F x
x x x
+
=
− − + +
, con 1
x  ,
es:
a) 1
x+
b) 1
x−
c) 2
x+
d) 2
x−
e) 2x
22. El denominador racional de la expresión
3
3 3 3
5 3
108 48 72
E =
+ −
, es:
a) 1
b) 5
c) 3
d) 2
e) 4
2
11 2 3
+ +
es:
a) 6
b) 12
c) 18
d) 3
e) 9
de la expresión
3
5 15 10 6
N =
− + −
, es:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
20
3 3 5
x x
−
− + +
es:
a) 1
x−
b) 1
x+
c) 4
x−
d) 4
x+
e) 2
x−
de
2 2
5
2 6
8 6 9
x y
x xy y
−
− +
es:

PLANA DOCENTE 49
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27. Después de racionalizar y simplificar la
expresión:
1 2 1
2 2 2 6 2 2 6
E = + +
+ + +
el
denominador es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
28. Al racionalizar y simplificar la expresión
-1 1
1 1
x x
P
x x
− +
=
+ + −
el denominador es:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 1
e) 4
29. Después de racionalizar y simplificar el
denominador de:
3
3
12
7 2
N =
+
es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
30. Al racionalizar:
3 3
3
25 5 5 25
+ +
el
denominador es:
a) 4
b) 3
c) 6
d) 5
e) 7

PLANA DOCENTE 50
ECUACIONES
DEFINICIÓN. Una ecuación es una igualdad
condicional de polinomios (o expresiones) que
contiene una o más variables.
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA
ECUACIÓN
DEFINICIÓN. Se llama conjunto solución de
una ecuación, al conjunto de valores o
soluciones que sustituidos en lugar de las
incógnitas transforman a las ecuaciones en
identidades.
Ejemplo 1:
En 5 3
x + = , 2
x = − es la raíz o solución de la
ecuación cuyo  
. 2
C S = − .
ECUACIONES EQUIVALENTES
DEFINICIÓN. Son aquellas ecuaciones que
tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo 1:
✓ 5 3
x + = , sólo se verifica para 2
x = −
✓ 2 5 1
x + = , sólo se verifica para 2
x = −
Las ecuaciones: 5 3
x + = y 2 5 1
x + = , Son
equivalentes, puesto que para ambas:
. { 2}
C S = −
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
SEGÚN SU SOLUCIÓN
A. ECUACIÓN COMPATIBLE:
Es aquella ecuación que tiene al menos una
solución y esta a su vez pueden ser:
a) Ecuación compatible determinada
Es cuando la ecuación admite un número
finito de soluciones.
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación:
2
5 24 0
x x
− − =
( )( )
3 8 0
x x
+ − =
3 0 8 0
x x
+ =  − =
Entonces 3 8
x x
= −  =
Por lo tanto, el conjunto solución es:
 
. 3;8
C S = −
b) Ecuación compatible indeterminada
Es cuando la ecuación admite un número
infinito de soluciones.
Ejemplo 1:
Dada la ecuación:
2 2
( 2) 1 ( 3) 2 4
x x x
+ + = + − −
Luego tenemos que:
2 2
4 5 4 5
0 0 ;
x x x x
x
+ + = + +
=  
Por lo tanto, el conjunto solución es:
.
C S = (Infinitas soluciones)
B. ECUACIÓN INCOMPATIBLE
(INCONSISTENTE)
Es aquella ecuación que no admite solución.
Ejemplo 1:
Dada la ecuación:
2 2
2 2
( 2) 1 4 12
4 3 4 12
3 12
x x x
x x x x
+ − = + +
+ + = + +
=
Lo es que un absurdo.
Por lo tanto, la ecuación no admite solución
alguna, luego se tiene que: .
C S = 

PLANA DOCENTE 51
ECUACIÓN DE PRIMER
GRADO CON UNA
VARIABLE REAL
DEFINICIÓN. Es una ecuación que se
reducen a la forma 0
ax b
+ = ; 0
a  y
,
a b , siendo " "
x la variable o incógnita
que pertenece a los reales, la ecuación se llama
forma general de la ecuación de primer grado
con una variable real.
la solución de la ecuación es:
b
x
a
−
= , luego el
conjunto solución es: .
b
C S
a
 
= −
 
 
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
Dada la ecuación: 0
ax b
+ =
I. Si 0
a b
   , la ecuación es
compatible determinada y tiene solución
única.
II. Si 0 0
a b
=  = , la ecuación es
compatible indeterminada y tiene infinitas
soluciones, entonces .
C S =
III. Si 0 0
a b
=   , la ecuación es
incompatible y no tiene solución, entonces
.
C S = 
ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO CON UNA VARIABLE
REAL
DEFINICIÓN. Una ecuación de segundo grado
con una variable real " "
x es de forma general:
.
2
0; , , 0
ax bx c a b c a
+ + =    
La forma normal de la ecuación cuadrática es:
2
0; 0
b c
x x a
a a
+ + = 
ANÁLISIS DE LA SOLUCION DE UNA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Dada la ecuación cuadrática:
2
0
ax bx c
+ + = .
I. Si 0 ;
a b c
   , entonces la ecuación
cuadrática es compatible determinada.
II. Si 0
a b c
= = = , entonces la ecuación
cuadrática es compatible indeterminada.
III. Si 0 0
a b c
= =   , entonces la ecuación
cuadrática es incompatible (inconsistente).
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
La ecuación cuadrática:
2
0 ; 0
ax bx c a
+ + =  se puede resolver
mediante una factorización o utilizando la
fórmula de Baskara.
1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Este método se utiliza cuando el trinomio
2
ax bx c
+ + es factorizable luego se utiliza
el teorema:
Sean " "
p y " "
q expresiones algebraicas
. 0 0 0
p q p q
=  =  =
En la ecuación
2
0; 0
ax bx c a
+ + = 
debemos aplicar aspa simple al primer
miembro, es decir:
2
0
ax bx c
+ + =
1 1
2 2
a x c
a x c
1 1 2 2
( )( ) 0
a x c a x c
+ + =
Se cumple sólo cuando
1 1 2 2
0 0
a x c a x c
+ =  + = de donde el
conjunto solución es:
1 2
1 2
. ;
c c
C S
a a
 
= − −
 
 

PLANA DOCENTE 52
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación
2
2 3 9 0
x x
− − =
Solución:
2
2 3 9 0
x x
− − =
2 3
3
x
x −
Se cumple sólo cuando
1 2
2 3 0 3 0
3
3
2
x x
x x
+ =  − =
= −  =
Luego el conjunto solución es:
3
. ;3
2
C S
 
= −
 
 
2. FÓRMULA DE BASKARA
Se utiliza cuando el trinomio
2
ax bx c
+ + no
es factorizable en . Luego las raíces
(soluciones) de la ecuación esta dado por la
fórmula:
2
4
; 0
2
b b ac
x a
a
−  −
= 
donde se obtienen las raíces:
2 2
1 2
4 4
2 2
b b ac b b ac
x x
a a
− + − − − −
=  =
Donde el número real
2
4
b ac
− se llama
DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación:
2
2 3 10 0
x x
− − = .
Solución:
Identificando 2; 3; 10
a b c
= = − = − ,
reemplazando en la fórmula cuadrática
2
( 3) ( 3) 4(2)( 10)
2(2)
3 9 80
4
3 89
4
x
x
x
− −  − − −
=
 +
=

=
Donde las raíces son:
1 2
3 89 3 89
4 4
x x
+ −
=  =
NATURALEZA DE SUS RAICES
En la ecuación
2
0; 0
a x bx c a
+ + =  de
coeficientes reales, con raíces 1
" "
x y 2
" "
x , se
cumple:
1) Si
2
4 0
b ac
−  , entonces las raíces 1
" "
x
y 2
" "
x , son raíces reales y diferentes.
Ejemplo 1:
2
5 6 0
x x
− + =
Solución:
Tenemos que:
1; 2 ; 3
a b c
= = − =
Luego:
2
( 5) 4(1)(6)
1 0
 = − −
 = 
Es decir, la ecuación tiene dos raíces reales y
diferentes y estas se calculan usando el método
de factorización:
2
5 6 0
x x
− + =
3
2
x
x
−
−
Luego se tiene: 3 0 2 0
x x
− =  − =
1 2
3 2
x x
 =  =
Luego el conjunto solución es: . {3;2}
C S =
2) Si
2
4 0
b ac
− = , entonces las raíces 1
" "
x
y 2
" "
x , son raíces reales e iguales.
OBSERVACIÓN:
La ecuación cuadrática
2
0
a x bx c
+ + = ,
tiene dos raíces reales e iguales o solución
única, si el trinomio
2
0
a x bx c
+ + = es un
trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo 1:
2
4 12 9 0
x x
− + =
Solución:
Se tiene que:
4 ; 12 ; 9
a b c
= = − =
Luego:
2
( 12) 4(4)(9)
0
 = − −
 =

PLANA DOCENTE 53
Es decir, la ecuación posee raíces reales e
iguales y estas se calculan usando el método de
factorización:
2
4 12 9 0
x x
− + =
2 3
2 3
x
x
−
−
2
(2 3) 0
x − = , Se cumple cuando
2 3 0 2 3 0
x x
− =  − =
Donde
3 3
2 2
x x
=  =
Luego el conjunto solución es:
3
.
2
C S
 
=  
 
3) Si
2
4 0
b ac
−  , entonces las raíces 1
" "
x
y 2
" "
x , son raíces complejas y diferentes.
Ejemplo 1:
2
4 12 9 0
x x
− + =
Solución:
Se tiene que:
1; 2 ; 3
a b c
= = − =
Luego:
2
( 2) 4(1)(3)
2 0
 = − −
 = − 
Es decir, la ecuación no posee raíces reales,
pues son complejas y estas se determinan
mediante el uso de la fórmula de Baskara.
2
1 2
( 2) ( 2) 4(1)(3)
2(1)
2 8 2 8
2 2
2 2 2
2
1 2
1 2 1 2
x
i
x
i
x
x i
x i x i
− −  − −
=
 − 
= =

=
= 
= +  = −
donde: ( )
1 i
− = número imaginario.
PROPIEDADES
En toda ecuación cuadrática,
2
0; 0
ax bx c a
+ + =  de coeficientes reales,
con raíces 1
" "
x y 2
" "
x , se cumple:
1. Suma de raíces: 1 2
b
x x
a
−
+ =
2. Producto de raíces: 1 2
.
c
x x
a
=
3. Diferencia de raíces:
2
1 2
4
b ac
x x
a
−
− =
4. Suma de las inversas de las raíces
1 2
1 2
1 1
; 0 0
b
x y x
x x c
+ =−  
5. La ecuación que dio origen a las 1
" "
x y
2
" "
x , es:
2
2
2
0
0
0
ax bx c
b c
x x
a a
b c
x x
a a
+ + =
+ + =
 
− − + =
 
 
( )
2
1 2 1 2
. 0
x x x x x x
− + + =
Ejemplo 1:
Sean 1
" "
x y 2
" "
x raíces de
2
3 7 2 0
x x k
+ + =
El valor de " "
k , si 1 2
( 3)( 3) 0
x x
+ + = , es:
Solución
2 2
1 2 1 2
7 2
3 7 2 0 0
3 3
7 2
.
3 3
k
x x k x x
k
x x x x
 
+ + =  − − + =
 
 
+ = −  =
Nos pide:
1 2 1 2 1 2
( 3)( 3) 0 . 3( ) 9 0
2 7
3 9 0 3
3 3
x x x x x x
k
k
+ + =  + + + =
 
+ − + =  = −
 
 

PLANA DOCENTE 54
RAICES ESPECIALES
Sean 1
" "
x y 2
" "
x , raíces de la ecuación
cuadrática
2
0
ax bx c
+ + =
1. Si una de las raíces es el inverso aditivo de
la otra entonces las raíces son simétricas.
Es decir: 1 2 0
x x
+ = o 0
b =
Si 1
x p
= es una de las raíces, entonces la
otra raíz será 1
x p
= − talque 1 2 0
x x
+ = .
2. Si una de las raíces es el inverso
multiplicativo de la otra entonces las raíces
son recíprocas.
Es decir: 1 2
. 1
x x = o a c
=
Si 1
x p
= es una de las raíces, entonces la
otra raíz será 1
1
x
p
= tal que 1 2 1
x x = .
Ejemplo 1:
La suma de los cuadrados de las raíces de la
ecuación:
2
(2 2) (4 4 ) 2 0
k x x x k
+ + − + − = , sabiendo
que las raíces son reciprocas, es:
Solución:
2 2
2
(2 2) 4 4 2 0
(2 2) 4 2 0
k x x x k
k x x k
+ + − + − =
− + + − =
Identificando 2 2; 4; 2
a k b c k
= − = = − y
como las raíces son reciprocas, entonces se
cumple:
a c
=
2 2 2 0
k k k
− = −  = ,
luego la ecuación cuadrática queda:
2
2
1 2
2 2
1 2
2 4 2 0
2 1 0
1 1
2
x x
x x
x x
x x
− + − =
− + =
 =  =
 + =
TEOREMA DE LAS ECUACIONES
EQUIVALENTES
Sean las ecuaciones
2
2
0
0
ax bx c
mx px n
 + + =


+ + =


, de
modo que tengan las mismas raíces (son
equivalentes), entonces:
se verifica:
a b c
m p n
= =
Ejemplo 1:
Dada las ecuaciones equivalentes
2 2 2
2
( ) ( 1) 7 0
( ) 1 0
a b x ab x
a b x x
 − + + + =


− + + =


con a b
 el valor de 3 3
a b
+ , es:
Solución:
Por ser equivalentes las ecuaciones se cumple:
( I ) ( II ) ( III )
2 2
1 7
1 1
a b ab
a b
− +
= =
−
De ( I ) y ( II ):
2 2
7 2 49
a b a b ab
+ =  + + =
De ( II ) y ( III )
2 2
6
49 12 37
ab
a b
=
+ = − =
Luego
3 3 2 2
( )( ) 7(31) 217
a b a b a ab b
+ = + − + = =
EJERCICIOS
1. Dada la ecuación 0; 0
ax b a
+ =  . De las
siguientes proposiciones las verdaderas son.
I. Si 0 0
a b
   ,entonces la ecuación es
compatible determinado y se tiene un
único valor para " "
x .
II. Si 0 0
a b
=  = ,entonces la ecuación
admite solución única.
III. Si 0 0
a b
=   , entonces la ecuación
admite infinitas soluciones.

PLANA DOCENTE 55
IV.Si 0 0
a b
  = , entonces la ecuación es
compatible y no se puede determinar el
valor de " "
x .
V. Si 0
a b
   , la ecuación es
incompatible.
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo IV
d) Todas
e) I IV

2. De las siguientes ecuaciones:
I. 2
1 0
− − =
x x
II. 2
2 3 0
− + =
x x
III. 2
3 2 0
+ − =
x x .
Los que no admiten raíces reales son:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I III

e) II III

3. De las siguientes proposiciones:
I. La ecuación 2 ( 3)
x x n
= + en la variable
real " "
x es compatible determinado
 
2
n
  −
II. Si la ecuación ( 2) ( 1)
x a x b
+ = + , para
0
a  en la variable real " "
x no admite
solución, entonces " "
a b
 .
III. La ecuación 7 8 7( 7) 1
x x
− = − −
es compatible indeterminada.
Las verdaderas son:
a) Solo I
b) Solo II
c) I II

d) I III

e) Todas
4. De las siguientes proposiciones:
I. Si 1 2 0
+ =
x x , entonces las raíces son
simétricas.
II. Si 1 2
. 1
=
x x , entonces las raíces son
reciprocas.
III. La suma de raíces es 1 2
+ =
b
x x
c
IV. La suma de las inversas de las raíces, es
1 2
1 1
+ = −
b
x x c
, 1 2
0, 0
 
x x
El número de proposiciones falsas es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0
5. La ecuación
2
1
2 2
= +
− −
x
x x
; es:
a) Compatible determinado.
b) Compatible indeterminado.
c) Incompatible.
d) Tiene como solución 2
x = .
e) Compatible.
6. Si la ecuación cuadrática
2
7( 18) 10( ) 5 0
m n x m n x mn
+ + + − + = es
incompatible, entonces el valor de
2
E m n
= − , es:
a) 9
b) 9
−
c) 18
d) 18
−
e) 27
7. Si la ecuación de primer grado
2
9 15 0
3 6 4
a a a
x
 
+ − + + =
 
 
es mónico.
entonces el valor de" "
x , es:
a) 9
b) 6
c) 18
d) 18
−
e) 2

PLANA DOCENTE 56
8. Si la ecuación
2 1
x m x m
m
x x
+ −
+ =
− −
, es de
primer grado, entonces el valor de " "
x es:
a)
1
3
b)
2
3
c)
1
3
−
d)
2
3
−
e) 6
2
(2 1) 3( 1) (5 2) 0
x m x x m
− − − − − = , tiene
infinitas soluciones, entonces el valor de
" "
m , es:
a) 9
b) 6
c) 3
d) 3
−
e) 6
−
5 1
5 1
x x a
x x a
− +
=
+ −
, tiene infinitas soluciones, entonces el valor
de " "
a , es:
a)
1
5
b)
1
5
−
c)
2
5
d)
2
5
−
e) 5
11. Si a y b son las soluciones de la ecuación
cuadrática 2
2 7 0
x x
− + = , entonces el valor
de:
2 2
5 5
1 1
a b
E
a b
+ +
= +
− −
, es:
a) 8
b) 4
c) 2
d) 7
e) 14
12. Si las raíces de la ecuación:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
x a x b c x c
− + − + = + son
iguales, entonces el valor de " "
x , es:
a) 2 2 2
a b c
+ +
b) 2 2
ab ac bc
+ +
c) ab ac bc
+ +
d) ab ac bc
+ +
e) a b c
+ +
13. Dada la ecuación cuadrática 2
0
x Ax B
+ + =
, donde " "
A y " "
B son sus raíces, el valor
de " "
A y " "
B en ese orden es:
a) 2 1
−  −
b) 1 2
 −
c) 2 1
− 
d) 1 2
− 
e) 1 2
−  −
14. Si la ecuación de primer grado,
6 3
( 2) 4 1
3
nx m
n x m
− +
+ + − = , es
compatible determinado: el valor de " "
n , es:
a)  
3
−
b)  
3
− −
c)  
2
−
d)  
2
− −
e)  
3,2
− −
15. Al resolver la ecuación de primer grado
7 1 3( 1) 2( 1)
10 10 5
x x x
+ − +
= + , se determina
que:
a) Es compatible indeterminada.
b) Es compatible determinada.
c) Es incompatible.
d) Tiene por solución a 2.
e) Tiene por raíz a 5.
16. El conjunto solución de la ecuación
2 2
7 2 3 1
9 3 9 3
x x
x x x x
− = +
− + − +
, es:

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