Ecuaciones

1. L2 Secundaria

2. Ecuación De Segundo Grado

3. Algunas aplicaciones
 En el campo de la economía usan las ecuaciones
cuadráticas para representar modelos
económicos de oferta y demanda.
 En el campo de la física para determinar el
movimiento parabólico.
 En el ámbito militar lo utilizan en la artilleria de
cañones para hallar las trayectorias de las balas.

4. Halla las raíces de una
ecuación cuadrática.
Aplica las propiedades de
las raíces y forma una
ecuación conociendo sus
raíces.

5. Ecuación de Segundo Grado.
Ejemplo:
Denominada también Ecuación Cuadrática, es
aquella ecuación cuya forma general es :
a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con a≠0 y a,b,c є R
* 2𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎 a= b= c=
2 7 6
* 𝒙𝟐
− 𝟗𝒙 + 𝟖 = 𝟎 a= b= c=
1 -9 8

6. Observación:
Toda Ecuación Cuadrática a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 posee
2 raíces o soluciones denotadas por: 𝑥1 y 𝑥2
𝑥1
𝑥2
Donde:
Primera raíz
Segunda raíz

7. I) Métodos para resolverla
* Por Factorización (Aspa Simple)
Ejemplo:
Resolver: 2𝒙𝟐
− 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎
2x
x -4
-5
(2x-5)(x-4)=0
2x-5=0 y x-4=0
𝒙𝟏=
𝟓
𝟐
𝒙𝟐= 4
CS={
5
2
; 4}

8. * Por Fórmula General
X= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
2a
-b +
Calcule “x”: 𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟑=0
a= b= c=
1 3
-5
…(φ)
En (φ): X= +
-(-5) (−𝟓)𝟐−𝟒(𝟏)(𝟑)
2(1)
X=
5 + 𝟏𝟑
2
Ejemplo:
𝒙𝟏 =
𝟓+ 𝟏𝟑
𝟐
𝒙𝟐 =
𝟓− 𝟏𝟑
𝟐

9. II) Discriminante (∆)
Se llama así a la expresión: “𝒃𝟐
-4ac”
 Se cumplirá: ∆=𝒃𝟐
-4ac
Ejemplo:
* Calcule la discriminante de: 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟐=0
Resolución
a= b= c=
1 -4 2
Como : ∆=𝒃𝟐
-4ac
∆=(−𝟒)𝟐
-4(1)(2)
∆= 8

10. III) NATURALEZA DE LAS RAÍCES
La naturaleza de las raíces “𝑥1” y “𝑥2” de
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 viene caracterizada por el
valor que asume la discriminante (∆)
Es decir:
* Si: ∆>0 La ecuación presenta raíces reales y diferentes
* Si: ∆=0 La ecuación presenta raíces reales e iguales (raíz única)
* Si: ∆<0 La ecuación presenta raíces imaginarias y conjugadas

11. IV)TEOREMA DE CARDANO VIETE
Sean “𝑥1” y “𝑥2” las raíces de la ecuación
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , entonces se cumplirá:
Suma de Raíces Producto de Raíces
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝒂
𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
Ejemplo :
Sea 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
−𝟓
𝟐
𝟏
𝟐

12. V) FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
A PARTIR DE SUS RAÍCES
Si conocemos las raíces “𝑥1” y “𝑥2” , entonces podemos
conocer su ecuación cuadrática reemplazando en:
𝒙𝟐
− 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
Ejemplo :
Forme la ecuación cuadrática cuyas raíces son 7 y 3
Donde: S= 𝐗𝟏 + 𝐗𝟐 y P= 𝐗𝟏. 𝐗𝟐
S= 𝐗𝟏 + 𝐗𝟐 =
P= 𝐗𝟏. 𝐗𝟐 =
10
21
𝒙𝟐
− 𝒙+ = 𝟎
10 21

13. VI) ECUACIONES EQUIVALENTES
Sean las ecuaciones:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝 = 0
Se dirá que estas ecuaciones son equivalentes , si:
𝒂
𝒎
=
𝒃
𝒏
=
𝒄
𝒑

14. Propiedades Auxiliares
Sean “𝑥1” y “𝑥2” las raíces de la ecuación
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , se dirá que:
*La ecuación presenta raíces simétricas , si: b= 0
*La ecuación presenta raíces recíprocas , si: a= c

15. 1 Halle las raíces al resolver:
3𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 1 = (𝑥 + 2)2
+4𝑥
3𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 −𝒙 − 𝟐 +𝟏 = 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟒 +𝟒𝒙
2𝒙𝟐 +𝟓𝒙 8𝒙 + 𝟒
−𝟏 =
2𝒙𝟐 −𝟑𝒙 −𝟓 = 𝟎
𝟐𝒙
𝒙
−𝟓
1
(2𝒙 − 𝟓)(𝐱 + 𝟏) = 𝟎
2x-5=0 y x+1=0
𝒙𝟏=
𝟓
𝟐
𝒙𝟐= -1
Resolución

16. 2 Resuelva la ecuación:
𝑥−13
𝑥
+
10(5𝑥+3)
𝑥2 = 5
Resolución
𝑥−13
𝑥
+
10(5𝑥+3)
𝑥2 = 5
(
𝒙
𝒙
)
𝑥2 − 13𝑥
𝑥2
+
50𝑥+30
𝑥2
= 5
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+𝟑𝟕𝒙+𝟑𝟎 = 5
𝒙𝟐
+ 𝟑𝟕𝒙 + 𝟑𝟎 =𝟓𝒙𝟐
=4𝒙𝟐
−𝟑𝟕𝒙 −𝟑𝟎
𝟎
𝟎 =(𝟒𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟏𝟎)
𝟎 𝟎
𝒙𝟏=−
𝟑
𝟒 𝟏𝟎
𝒙𝟐=
CS={
−3
4
; 10}

17. 3
Halle el valor de m, si las raíces de la ecuación
(𝑚 + 1)𝑥2
−2𝑚𝑥 + (m − 3) = 0 son iguales
(𝒎 + 𝟏)𝒙𝟐
−𝟐𝒎𝒙 + (𝒎 − 𝟑) = 𝟎
Como las raíces son iguales : ∆=0
𝒃𝟐
-4ac
a= b= c=
m+1 -2m m-3
Resolución
=0
(−𝟐𝒎)𝟐
-4( )( ) =0
m+1 m-3
𝟒𝒎𝟐 = 4 (m+1)(m-3)
𝒎𝟐
= 𝒎𝟐
− 𝟐𝒎 − 𝟑
=
𝟐𝒎 −𝟑
𝒎 =
−𝟑
𝟐

18. 4
Halle el valor de “K”, si la ecuación:
2𝐾 − 1 𝑥2 − 26𝑥 + 5K − 10 = 0
presenta raíces recíprocas.
(𝟐𝒌 − 𝟏)𝒙𝟐
−𝟐𝟔𝒙 + (𝟓𝒌 − 𝟏𝟎) = 𝟎
a= b= c=
2k-1 -26 5k-10
Como tiene raíces
recíprocas, se cumple: a= c
2k-1 = 5k-10
=3k
9
k=3
Resolución