Mecanica cuantica 1 - vol 1

MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Estructura y el nivel de este texto
No es necesario hacer hincapié en la importancia de la mecánica
cuántica en la física moderna y la química. Los programas actuales
de la universidad, naturalmente, refleja esta importancia. En las
universidades francesas, por ejemplo, una introducción esencialmente
cualitativa fundamental a las ideas de la mecánica cuántica se da en
el segundo año. En el último año del programa de licenciatura de
física, mecánica cuántica básica y sus aplicaciones más importantes
son estudiadas en detalle.
Este libro es el resultado directo de varios años de la enseñanza de
la mecánica cuántica en el último año de la licenciatura, por
primera vez en dos cursos paralelos en la Faculté des Sciences de
París y luego en la Universidades de París VI y VII de París.
Sentimos que es importante para marcar una clara separación, en la
estructura de este libro, entre los dos aspectos diferentes pero
complementarios (conferencias y recitales) de los cursos impartidos
durante este tiempo. Por esta razón, hemos dividido este texto en
dos partes distintas (ver "Instrucciones de uso" al comienzo del
libro). Por un lado, los capítulos se basan en las conferencias
dictadas en los dos cursos, que en comparación, discutido y ampliado
antes de escribir la versión final. Por otro lado, el "complemento"
surgió a partir de las recitaciones, ejercicios y problemas de
atención a los estudiantes, y los informes de que algunos de ellos
fueron preparados. Las ideas también llegaron de otros cursos dados
en otras circunstancias o en otros niveles (sobre todo en los
programas de posgrado). Como hemos señalado en las "Instrucciones de
uso", los capítulos en su conjunto constituyen, más o menos, un
curso que se prevé la enseñanza a los estudiantes universitarios de
cuarto año o aquellos cuyo nivel es equivalente. Sin embargo, los
complementos no están destinados a ser tratados en un solo año. El
lector, profesor o estudiante, debe elegir entre ellos de acuerdo
con sus intereses, gustos y objetivos.
A lo largo de la escritura de este libro, nuestra preocupación
constante ha sido que nos dirigimos a los estudiantes en física,
como las que hemos enseñado durante los últimos años. Excepto en
unos pocos complementos, que no han sobrepasado los límites. Además,
hemos tratado de tener en cuenta lo que hemos visto las dificultades
de los estudiantes en la comprensión y asimilación de la mecánica
cuántica, así como a sus preguntas. Esperamos, por supuesto, que
este libro también será de utilidad para otros lectores como los
estudiantes de posgrado, a partir de los investigadores y profesores
de enseñanza secundaria. El lector no está obligado a estar
2

familiarizado con la física cuántica: algunos de nuestros
estudiantes. Sin embargo, creemos que el curso de la mecánica
cuántica que proponemos (ver "General", más abajo) debe ser
complementado con un ciclo más descriptiva y más orientado de forma
experimental, en la física atómica, por ejemplo.
Enfoque general
Creemos que la familiaridad con la mecánica cuántica mejor puede ser
adquirida mediante su uso para resolver problemas específicos. Por
lo tanto, introducir los postulados de la mecánica cuántica muy
temprano (en el capítulo III), con el fin de ser capaces de
aplicarlos en el resto del libro. Nuestra experiencia en la
enseñanza ha demostrado que es preferible introducir todos los
postulados juntos en el comienzo en lugar de presentar en varias
etapas. Del mismo modo, hemos optado por utilizar los espacios del
Estado y la notación de Dirac desde el principio. Esto evita la
repetición inútil que resulta de la presentación del formalismo más
general de cada formalismo sólo después de haber desarrollado la
mecánica ondulatoria es único en términos de funciones de onda.
Además, un cambio tardío en la notación se corre el riesgo de
confundir al alumno, y que plantea dudas sobre los conceptos que él
más ha adquirió y aún no asimilado por completo.
Después de un capítulo de introducción cualitativa de las ideas
mecánico cuánticas, se utilizan simples analogías ópticas para
familiarizar al lector con estos nuevos conceptos, se presentan, de
manera sistemática, las herramientas matemáticas (capítulo H) y los
postulados de la mecánica cuántica, así como una discusión de su
contenido físico (capítulo III). Esto permite que el lector, desde
el principio, tener una visión global de las consecuencias físicas
de los nuevos postulados. A partir de los complementos del capítulo
III tomamos aplicaciones, empezando por los más simples (de dos
niveles de sistemas, el oscilador armónico, etc) y cada vez es más
complicado (el átomo de hidrógeno, métodos de aproximación, etc.)
Nuestra intención es proporcionar ejemplos de la mecánica cuántica,
tomando muchos ejemplos de diferentes campos como la física atómica,
la física molecular y física del estado sólido. En estos ejemplos se
concentran en el aspecto de la mecánica cuántica de los fenómenos,
descuidando los detalles específicos que se tratan en textos más
3

especializados. Siempre que sea posible, los resultados de la
mecánica cuántica se comparan con los clásicos con el fin de ayudar
al lector a desarrollar su intuición acerca de los efectos de la
mecánica cuántica.
Este punto de vista esencialmente deductivo nos ha llevado a evitar
el estrés en la introducción histórica de las ideas de la mecánica
cuántica, es decir, la presentación y discusión de los hechos
experimentales que nos obligan a rechazar las ideas clásicas. Así,
hemos tenido o renunciar a la aproximación inductiva, que es sin
embargo, necesaria si la física es que fielmente retratada como una
ciencia en continua evolución, provocada por la constante
confrontación con los hechos experimentales. Tal enfoque nos parece
que se adapta mejor a un texto de física atómica o de un curso de
introducción a la física cuántica en un nivel más elemental.
Del mismo modo, hemos evitado deliberadamente cualquier discusión de
la filosofía implicaciones de la mecánica cuántica y de las
interpretaciones alternativas que se han propuesto. Estas
discusiones, si bien es muy interesante (ver sección 5 de la
bibliografía), nos parece que pertenecen a otro nivel. Creemos que
estas preguntas pueden ser fructíferamente consideradas sólo después
de que uno ha dominado los "ortodoxos" teoría cuántica cuyos éxitos
impresionantes en todos los campos de la física y la química
obligados de su aceptación.
Agradecimientos
La enseñanza de las experiencias de las cuales este texto creció
fueron los esfuerzos del grupo, perseguido durante varios años.
Queremos agradecer a todos los miembros de los diversos grupos y, en
particular, Jacques Dupont-Roc y Haroche Serge, por su colaboración
amistosa, por los fructíferos debates que hemos tenido en nuestras
reuniones semanales y de las ideas de los problemas y ejercicios que
se han sugerido. Sin su entusiasmo y su valiosa ayuda, nunca habría
sido capaz de emprender y llevar a cabo la redacción de este libro.
Tampoco podemos olvidar a los físicos que nos introdujeron a la
investigación, Alfred Kastler Brossel y Jean, para dos de nosotros,
y Maurice Levy, para el tercero. Fue en el contexto de sus
laboratorios que se descubrió la belleza y el poder de la mecánica
cuántica. Tampoco hemos olvidado la importancia para nosotros de la
física moderna que se enseña en el CEA por Albert Mesías, Claude
Bloch y Abragam Anatole, en un momento en los estudios de postgrado
no se incorporaron aún en los programas de la universidad francesa.
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Deseamos expresar nuestro agradecimiento a la Sra. Aucher, Baudrit,
Chico, Brodschi, Emo, Heyvaerts, Lemirre, Touzeau para la
preparación del manuscrito.
Prefacio
Este libro es esencialmente una traducción de la edición francesa
que apareció a finales de 1973. El texto ha sido objeto de un cierto
número de modificaciones. La más importante es la adición de una
bibliografía detallada, con sugerencias sobre su uso que aparecen al
final de cada capítulo o complementos.
Este libro fue concebido originalmente para los estudiantes
franceses de terminar sus estudios de pregrado o de comenzar su
trabajo de investigación. Nos parece sin embargo que la estructura
de este libro (la separación en capítulos y complementos - vea la
sección "Instrucciones de uso") que lo hacen adecuado para otros
grupos de lectores. Por ejemplo, para un estudiante primario por
supuesto la Mecánica Cuántica, recomendamos el uso de los capítulos
más importantes con sus simples complementos. Para un curso más
avanzado, se podría añadir el resto de capítulos y un uso más
difícil complementos. Finalmente, se espera que algunos de los más
avanzados complementa ayudará a los estudiantes en la transición de
un curso regular de la mecánica cuántica a temas actuales de
investigación en diversos campos de la Física.
Queremos agradecer a Nicole y Dan Ostrowsky, así como Hemley Susan,
para la atención y el entusiasmo que trajeron a esta traducción. Sus
observaciones a menudo conducen a una mejora del texto original.
Además, estamos agradecidos a la Sra. Mathieu Audoin y la señora por
su ayuda en la organización de la bibliografía.
C. Cohen-Tannoudji
B. Diu
F. Laloë
5

Ondas y
partículas.
Introducción a
las ideas
fundamentales
de la mecánica
cuántica
ESQUEMA DEL CAPITULO I
6

A. Ondas electromagnéticas y
fotones
1. Cuantos de luz y las
relaciones de Planck-
Einstein
2. Dualidad onda-partícula:
a. El análisis del
experimento de Young de
la doble rendija
b. Unificación cuántica de
los dos aspectos de la
luz
3. El principio de la
descomposición espectral
B. Partículas de materia y las
ondas de materia
1. La relación de D’Broglie
2. Funciones de onda, la
ecuación de Schrodinger
C. Descripción cuántica de una
partícula: paquetes de onda
1. Partícula libre
2. Forma del paquete de ondas
en un momento dado
3. Relación de incertidumbre
de Heisenberg
4. Tiempo de evolución de un
paquete de ondas libres
D. Partícula en un potencial
escalar independiente del tiempo
1) Separación de variables.
Estados estacionarios
a) Existencia de estados
estacionarios
b) La superposición de estados
estacionarios
2) Potencial CUADRADO
unidimensional. Estudio
cualitativo
a) Significado físico de los
potenciales cuadrados
b) Analogía óptica
c) Ejemplos
7

En el estado actual del conocimiento científico, la mecánica
cuántica desempeña un papel fundamental en la descripción y
comprensión de los fenómenos naturales. De hecho, fenómenos que se
producen en una pequeña escala (atómico o subatómico), no se puede
explicar fuera del marco de la física cuántica. Por ejemplo, la
existencia y las propiedades de los átomos, el enlace químico y la
propagación de un electrón en un cristal no pueden ser entendidos en
términos de la mecánica clásica. Incluso cuando sólo se ocupan de
los objetos físicos macroscópicos (es decir, cuyas dimensiones son
comparables a los encontrados en la vida cotidiana), es necesario,
en principio, comenzar por el estudio del comportamiento de sus
átomos constituyentes diferentes, iones, electrones, con el fin de
llegar a una descripción científica completa. Hay muchos fenómenos
que revelan, en una escala macroscópica, el comportamiento cuántico
de la naturaleza. Es en este sentido que se puede decir que la
mecánica cuántica es la base de nuestra actual comprensión de todos
los fenómenos naturales, incluidos los tradicionalmente tratados en
química, biología, etc
Desde el punto de vista histórico, la idea cuántica contribuye a una
notable unificación de los conceptos de la física fundamental por el
tratamiento de partículas de materia y la radiación en las mismas
condiciones. A finales del siglo XIX, la gente distingue entre las
dos entes en los fenómenos físicos: la materia y la radiación, Leyes
completamente diferentes se utilizaron para cada uno. Para predecir
el movimiento de los cuerpos materiales, fueron utilizadas las leyes
de la mecánica de Newton (véase el apéndice III). Su éxito, aunque
de larga data, no era menos impresionante. Con respecto a la
radiación, la teoría del electromagnetismo, gracias a la
introducción de las ecuaciones de Maxwell, había producido una
interpretación unificada de un conjunto de fenómenos que habían sido
consideradas como pertenecientes a diferentes dominios: la
electricidad, el magnetismo y la óptica. En particular, la teoría
electromagnética de la radiación había sido espectacularmente
confirmada experimentalmente por el descubrimiento de las ondas
hertzianas. Finalmente, las interacciones entre la radiación y la
materia se explican también por la fuerza de Lorentz. Este conjunto
de leyes había llevado la física a un punto que puede considerarse
satisfactorio, en vista de los datos experimentales a la vez.
Sin embargo, a principios del siglo XX, la física iba a ser marcado
por la profunda transformación que llevó a la introducción de la
mecánica relativista y la mecánica cuántica. La "revolución"
relativista y la "revolución’’ cuántica fueron, en gran medida,
independientes, ya que desafió la física clásica en diferentes
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puntos. Las leyes clásicas dejan de ser válidos para los cuerpos
materiales que viajan a velocidades muy altas, comparable a la de la
luz (dominio relativista). Además, también se encuentran a una
escala atómica o subatómica (cuántica de dominio). Sin embargo, es
importante tener en cuenta que la física clásica, en ambos casos,
puede ser visto como una aproximación de las nuevas teorías, una
aproximación que es válida para la mayoría de los fenómenos a una
escala diaria. Por ejemplo, la mecánica newtoniana nos permite
predecir correctamente el movimiento de un cuerpo sólido, siempre
que sea no-relativista (la velocidad mucho menor que la de la luz) y
macroscópica (dimensiones mucho mayores que las atómicas). Sin
embargo, desde un punto de vista fundamental, la teoría cuántica
sigue siendo indispensable. Es la única teoría que nos permite
entender la existencia de un cuerpo sólido y los valores de los
parámetros macroscópicos (densidad, calor específico, elasticidad,
etc.) Asociados a ella. En la actualidad, todavía no disponemos de
una teoría unificadora plenamente satisfactoria entre la mecánica
cuántica y relativista, ya que las dificultades han surgido en este
ámbito. Sin embargo, la mayoría de los fenómenos atómicos y
moleculares están bien explicados por la no-relativista la mecánica
cuántica que nos proponemos examinar aquí.
Este capítulo es una introducción a las ideas cuánticas y
"vocabulario". No se intenta aquí ser riguroso y completo. El
objetivo esencial es despertar la curiosidad del lector. Fenómeno se
ha descrito que perturban las ideas tan firmemente anclado en la
intuición como el concepto de una trayectoria. Queremos hacer que la
teoría cuántica "plausible" para el lector, mostrando simple y
cualitativamente la forma en que nos permite resolver los problemas
que se encuentran en una escala atómica. Más adelante volveremos
sobre las diferentes ideas presentadas en este capítulo y entrar en
más detalles, ya sea desde el punto de vista del formalismo
matemático (cap. II), o desde el punto de vista físico (cap. III).
En la primera sección (§ A), se introduce la base las ideas
cuánticas (dualidad onda-partícula, el proceso de medición),
basándose en el conocido experimentos ópticos. A continuación se
muestra (§ B) cómo estas ideas pueden extenderse a las partículas
materiales (función de onda, la ecuación de Schrödinger). Estudiamos
junto con más detalle las características del "paquete de ondas"
asociadas a una partícula, y se introducen las relaciones de
incertidumbre de Heisenberg (§ C). Por último, analizamos algunos
casos simples de los típicos efectos cuánticos (§ D).
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A. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y FOTONES
1. Cuantos de luz y las relaciones de Planck-Einstein
Newton consideraba la luz como un haz de partículas, capaces, por
ejemplo, para recuperarse después de una reflexión de un espejo.
Durante la primera mitad del siglo XIX, la naturaleza ondulatoria de
la luz se demostró (interferencia, difracción). Esta óptica más
tarde permitió a integrarse en la teoría electromagnética. En este
marco, la velocidad de la luz, c, está relacionada con las
constantes eléctricos y magnéticos y los fenómenos de polarización
de luz pueden ser interpretadas como manifestaciones de carácter
vectorial del campo eléctrico.
Sin embargo, el estudio de la radiación de cuerpo negro, que la
teoría electromagnética no podía explicar, dirigido Planck sugiere
la hipótesis de la cuantización de la energía (1900): Para una onda
electromagnética de frecuencia v, las energías posibles sólo son
múltiplos enteros cuánticos de hv, donde h es una constante
fundamental nueva. La generalización de esta hipótesis, Einstein
propone un retorno a la teoría de partículas (1905): La luz se
compone de un haz de fotones, cada uno con una energía hv. Einstein
demostró cómo la introducción de los fotones ha permitido entender,
de una manera muy simple, algunos aún sin explicar las
características del efecto fotoeléctrico. Veinte años tuvieron que
transcurrir antes de que el fotón se demostrara en realidad que
existe, como un ente distinto, por el efecto Compton (1924).
Estos resultados llevan a la conclusión siguiente: la interacción de
una onda electro-electromagnética con la materia se produce mediante
procesos elementales indivisible, en el que la radiación parece
estar compuesto de partículas, los fotones. Parámetros de las
partículas (la energía E y el momento p de un fotón) y los
parámetros de onda (la frecuencia angular � = 2πv y el vector de
onda k, donde | k | = 2π /λ, con la frecuencia v y la longitud de
onda λ) están vinculados por las relaciones fundamentales:
Donde = h/2π se define en términos de la constante de Planck h:
10

Durante cada proceso elemental, la energía y la cantidad de
movimiento deben ser conservadas.
2. Dualidad onda-partícula
Así que hemos vuelto a una concepción particular de la luz.
¿Significa esto que debemos abandonar la teoría de las ondas? Por
supuesto que no. Vamos a ver que los fenómenos típicos de onda, como
la interferencia y la difracción no se podían explicar en un marco
puramente de partículas. Analizar bien el conocido experimento de
Young de la doble rendija nos llevará a la siguiente conclusión: una
interpretación completa de los fenómenos que sólo pueden obtenerse
mediante la conservación tanto en el aspecto de las ondas y el
aspecto corpuscular de la luz (aunque parece, a priori,
irreconciliables). A continuación, se mostrará cómo esta paradoja
puede ser resuelta por la introducción de los conceptos
fundamentales de la cuántica.
a. ANÁLISIS DEL EXPERIMENTO DE YOUNG DE doble rendija
El dispositivo utilizado en este experimento se muestra
esquemáticamente en la figura 1. La luz monocromática emitida
por la fuente cae en una pantalla opaca atravesando dos
rendijas estrechas y que iluminan la pantalla de
observación (una placa fotográfica, por ejemplo). Si
bloqueamos obtenemos sobre una distribución de la intensidad
de la luz que es el patrón de difracción de . De la
misma manera, cuando está obstruido, el patrón de difracción
de es descrito por Cuando las dos ranuras y están
abiertas al mismo tiempo, se observa un sistema de franjas de
interferencia en la pantalla. En particular, observamos que la
intensidad correspondiente no es la suma de las intensidades
producidas por y por separado:
¿Cómo se podría concebir de explicar, en términos de una teoría de
partículas (visto en la sección anterior, al ser necesario), los
resultados experimentales se acaba de describir? La existencia de un
patrón de difracción, cuando sólo una de las dos rendijas está
abierta podría, por ejemplo, se explica cómo debido a las colisiones
de fotones con los bordes de la ranura. Tal explicación, por
supuesto, tiene que ser desarrolladas con mayor precisión, y un
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estudio más detallado se lo enseñaría a ser insuficiente. En su
lugar, vamos a concentrarnos en el fenómeno de interferencia.
Podríamos tratar de explicar por una interacción entre los fotones
que pasan a través de la rendija de la F1 y los que pasan a través
de la rendija de F2. Tal explicación podría dar lugar a la siguiente
predicción: si la intensidad de la fuente de S(el número de fotones
emitidos por segundo) se reduce hasta los fotones golpean la
pantalla prácticamente uno por uno, la interacción entre los fotones
deben disminuir y, finalmente, se desvanecen. Las franjas de
interferencia por lo tanto, deben desaparecer.
Diagrama de Young experimento de doble rendija interferencia de la
luz (fig. a). Cada una de las ranuras F1 y F2 produce un patrón de
difracción en la pantalla de S. Las intensidades correspondientes
son I1 (x) e I2 (x) (líneas continuas en la figura b). Cuando las
dos ranuras F1 y F2 están abiertas al mismo tiempo, la intensidad I
(x) observado en la pantalla no es la suma de I1 (x) + I2 (x)
(líneas de trazos en las figuras B y C), pero muestra las
oscilaciones debidas a la interferencias entre los campos eléctrico
radiado por la F1 y F2 (línea continua en la figura c).
Antes de indicar la respuesta dada por la experiencia, recordar que
la teoría ondulatoria proporciona una interpretación totalmente
natural de las franjas. La intensidad de la luz en un momento de la
S pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo
eléctrico en este punto. Si E1 (x) y E2 (x) representan, en notación
compleja, los campos eléctricos producidos en x por aberturas F1 y
F2, respectivamente (los cortes se comportan como fuentes
secundarias), el campo total resultante en este punto cuando la F1 y
F2 son abierto es *:
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Usando la notación compleja, entonces tenemos:
Dado que las intensidades I1(x) e I2(x) son proporcionales,
respectivamente, para y , la fórmula (A-5) muestra que
I(x) difiere de I1(x) + I2(x) por un término de interferencia que
depende de la diferencia de fase entre E1 y E2, y cuya presencia
explica la periferia. La teoría de las ondas lo que predice que la
disminución de la intensidad de la fuente S, simplemente hará que
los márgenes para disminuir en intensidad, pero no desaparecen al.
* Dado que el experimento estudiado aquí se realiza con la luz no
polarizada, el carácter vectorial del campo eléctrico no juega un
papel esencial. En aras de la simplicidad, lo ignoramos en este
párrafo.
¿Qué sucede realmente cuando se emite fotones prácticamente uno por
uno? Ni las predicciones de la teoría de las ondas ni los de la
teoría de las partículas son verificadas.
De hecho:
(i) Si la cubierta de la pantalla de S con una placa fotográfica y
aumentar el tiempo de exposición para captar un gran número de
fotones en cada fotografía, se observa cuando los desarrollan al
margen de que no han desaparecido. Por lo tanto, la interpretación
puramente corpuscular, según la cual los márgenes se deben a una
interacción entre fotones, debe ser rechazada.
(ii) Por otro lado, podemos exponer la placa fotográfica durante un
tiempo tan corto que sólo pueden recibir unos pocos fotones. A
continuación, observar que cada fotón produce un impacto localizado
en $ y no un patrón de interferencia muy débil. Por lo tanto, la
interpretación de onda pura también debe ser desestimada.
En realidad, en forma de fotones cada vez más la huelga la placa
fotográfica, el fenómeno ocurre lo siguiente. Sus impactos
individuales parecen estar distribuidos de forma aleatoria, y sólo
cuando un gran número de ellos han llegado a S tiene la distribución
de los impactos empiezan a tener un aspecto continuo. La densidad de
los impactos en cada punto de S corresponde a las franjas de
interferencia: máximo en una franja brillante y cero en una franja
oscura. Por lo tanto, se puede decir que los fotones, a medida que
llegan, se acumulan el patrón de interferencia.
El resultado de este experimento por lo tanto, lleva, al parecer, a
una paradoja. En el marco de la teoría de partículas, por ejemplo,
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se puede expresar de la siguiente manera. Puesto que las
interacciones de fotones se excluyen, cada fotón debe considerarse
por separado. Pero entonces no está claro por qué los fenómenos
deben cambiar drásticamente en función de que sólo una rendija o
rendijas están abiertas tanto. Para pasar un fotón a través de uno
de los cortes, ¿por qué el hecho de que el otro está abierto o
cerrado tiene tal importancia?
Antes de discutir este problema, tenga en cuenta que en el
experimento anterior, que no tratan de determinar por qué rendija
pasa cada fotón antes de llegar a la pantalla. Con el fin de obtener
esta información, podemos imaginar la colocación de detectores
(fotomultiplicadores) detrás de F1 y F2. A continuación, se observa
que, si los fotones llegan uno a uno, cada uno pasa a través de una
hendidura bien determinada (una señal es registrada ya sea por el
detector colocado detrás de F1 o el F2 que cubre, pero no por ambos
a la vez). Pero, obviamente, los fotones detectados de esta manera
son absorbidos y no llegan a la pantalla. Quitar el
fotomultiplicador que bloquea F1 por ejemplo. El que permanece
detrás de F2 nos dice que, de un gran número de fotones, cerca de la
mitad pasan a través de F2. Llegamos a la conclusión de que los
otros (lo que puede continuar hasta la pantalla) pasan a través de
la F1, pero el patrón que poco a poco construir en la pantalla no es
un patrón de interferencia, ya que F2 está bloqueado. Es sólo el
patrón de difracción de F1.
b. QUANTUM unificación de los dos aspectos de la luz
El análisis anterior muestra que es imposible explicar todos los
fenómenos observados, si sólo uno de los dos aspectos de la luz,
onda o como partícula, se considera. Ahora bien, estos dos aspectos
parecen ser mutuamente excluyentes. Para superar esta dificultad,
por lo tanto se hace indispensable volver a examinar de manera
crítica los conceptos de la física clásica. Tenemos que aceptar la
posibilidad de que estos conceptos, a pesar de nuestra experiencia
cotidiana nos lleva a considerar bien fundada, no puede ser válida
en el nuevo ("microscópica") de dominio que estamos entrando. Por
ejemplo, una característica esencial de este nuevo dominio aparece
cuando se colocó detrás de los mostradores rendijas de Young: cuando
se realiza una medida en un sistema microscópico, uno se perturba de
manera fundamental. Esta es una nueva propiedad, ya que, en el
dominio macroscópico, siempre tenemos la posibilidad de concebir los
dispositivos de medición, cuya influencia en el sistema es
prácticamente tan débil como uno podría desear. Esta revisión
crítica de la física clásica se impone por la experiencia y, por
supuesto, debe ser guiado por la experiencia.
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Vamos a reconsiderar la "paradoja" se ha dicho sobre el fotón que
pasa a través de una rendija, pero se comporta de forma diferente
dependiendo de si la otra rendija está abierta o cerrada. Hemos
visto que si tratamos de detectar los fotones cuando atraviesan las
ranuras, que les impiden llegar a la pantalla. En términos más
generales, un análisis experimental detallado muestra que es
imposible observar el patrón de interferencia y conocer al mismo
tiempo, por qué rendija ha pasado cada fotón (cf. complemento, D).
Por lo tanto, es necesario, con el fin de resolver la paradoja, a
renunciar a la idea de que un fotón pasa inevitablemente a través de
una rendija en particular. Luego se nos llevó a cuestionar el
concepto, que es un derecho fundamental de la física clásica, de la
trayectoria de una partícula.
Además, como los fotones llegan uno a uno, sus impactos en la
pantalla poco a poco construir el patrón de interferencia. Esto
implica que, para un fotón particular, no estamos seguros de
antemano dónde se golpee la pantalla. Ahora bien, estos fotones son
emitidos en las mismas condiciones. Así pues, otra idea clásica ha
sido destruida: las condiciones iníciales determinan completamente
el movimiento posterior de una partícula. Sólo podemos decir, cuando
un fotón es emitido, que la probabilidad de golpear la pantalla en x
es proporcional a la intensidad I (x) calcula utilizando la teoría
de onda, es decir .
Después de muchos esfuerzos tentativos que no se describe aquí, el
concepto de la dualidad onda-partícula se formuló. Podemos resumir
esquemáticamente de la siguiente *:
(i) Los aspectos de partícula y de onda de la luz son inseparables.
La luz se comporta simultáneamente como onda y como un flujo de
partículas, la onda de lo que nos permite calcular la probabilidad
de la manifestación de una partícula.
(ii) Las predicciones sobre el comportamiento de un fotón sólo
puede ser probabilística.
(iii) La información acerca de un fotón en el tiempo t está dada
por la onda
E (r, t), que es una solución de las ecuaciones de Maxwell. Decimos
que esta onda caracteriza el estado de los fotones en el tiempo t. E
(r, t) se interpreta como la amplitud de probabilidad de un fotón
que aparece, en el tiempo t, en el punto r. Esto significa que la
probabilidad correspondiente es proporcional a
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Comentarios:
(i) Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales y
homogéneas, podemos utilizar un principio de
superposición: si E1 y E2 son dos soluciones de
estas ecuaciones, entonces , donde λ1 y
λ2 son constantes, es también una solución. Este es
el principio de superposición, lo que explica los
fenómenos de ondas en la óptica clásica
(interferencia, difracción). En la física cuántica,
la interpretación de E (r, t) como una amplitud de
probabilidad es esencial a la persistencia de estos
fenómenos.
(ii) La teoría sólo permite calcular la probabilidad de
la ocurrencia de un evento dado. Verificaciones
experimentales por lo tanto, debe basarse en la
repetición de un gran número de experimentos
idénticos. En el experimento anterior, un gran
número de fotones, todos producidos de la misma
manera, se emiten sucesivamente y construir el
patrón de interferencia, que es la manifestación de
las probabilidades calculadas.
(iii) Estamos hablando aquí sobre "el estado del fotón",
con el fin de poder desarrollar en el § B una
analogía entre la E (r, t) y la función de onda
ψ(r, t) que caracteriza el estado cuántico de una
partícula material. Esta «analogía óptica" es muy
fructífera. En particular, como veremos en el § D,
que nos permite entender de manera sencilla y sin
necesidad de recurrir al cálculo, diversas
propiedades cuánticas de las partículas materiales.
Sin embargo, no hay que llevarlo demasiado lejos, y
dejar que nos llevan a creer que es rigurosamente
correcto considerar E (r, t) como caracterizar el
estado cuántico de un fotón.
Además, veremos que el hecho de que ψ(r, t) es compleja es esencial
en la mecánica cuántica, mientras que el E(r, t) en notación
compleja se utiliza en la óptica de una cuestión de comodidad (sólo
la parte real tiene un significado físico). La definición precisa
del estado (complejo) cuántica de la radiación sólo se puede dar en
el marco de la electrodinámica cuántica, una teoría que es a la vez
16

la mecánica cuántica y relativista. No vamos a considerar estos
problemas aquí (vamos a tocar en Kv del complemento).
3. El principio de la descomposición espectral
Armados con las ideas introducidas en el § 2, ahora vamos a hablar
de otro experimento óptico simple, cuyo tema es la polarización de
la luz. Esto nos permitirá introducir los conceptos fundamentales
que se refieren a la medición de cantidades físicas.
El experimento consiste en dirigir una onda plana polarizada la luz
monocromática en un analizador de Oz A. designa la dirección de
propagación de esta onda y el Parlamento Europeo, el vector unitario
que describe su polarización (ver fig. 2). El analizador A transmite
luz polarizada paralela a Ox y absorbe la luz polarizada paralela a
Oy.
La descripción clásica de este experimento (una descripción que es
válida por un haz de luz lo suficientemente intensa) es la
siguiente. La onda plana polarizada se caracteriza por un campo
eléctrico de la siguiente forma:
Donde Eo es una constante. La intensidad de la luz (I) es
proporcional a /Eo/2-Después de su paso por el analizador de A, la
onda plana polarizada a lo largo de Ox:
Y su intensidad I ', proporcional a E'0 2, está dada por la ley
de Malus:
[ex es el vector unitario del eje Ox y � es el ángulo entre los ex,
y ep].
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FIGURA 2
Un experimento simple medición en relación a la polarización de una
onda de luz. Un rayo de luz se propaga a lo largo de la dirección Oz
y atraviesa sucesivamente la P polarizador y el analizador de A. �
es el ángulo entre el Oxy el campo eléctrico de la onda transmitida
por el P. Las vibraciones transmitidas por A son paralelas a OX.
¿Qué pasará en el nivel cuántico, es decir, cuando (x) es lo
suficientemente débil como para los fotones para alcanzar el
analizador de uno por uno? (A continuación, coloque un detector de
fotones detrás de este analizador.) En primer lugar, nunca el
detector registra una "fracción de un fotón". Ya sea el fotón
atraviesa el analizador o es totalmente absorbida por él. Siguiente
(excepto en casos especiales que vamos a examinar en un momento), no
podemos predecir con certeza si un fotón incidente dado pasará o ser
absorbido. Sólo podemos conocer las probabilidades correspondientes.
Por último, si enviamos un gran número N de fotones, uno tras otro,
el resultado se corresponde con el derecho clásico, en el sentido de
que alrededor de N fotones se detectan después del analizador.
Nos reservamos las siguientes ideas de esta descripción:
(i) El dispositivo de medición (el analizador, en este caso) puede
dar resultados privilegiada, a sólo algunos, que llamaremos
eigen (o apropiado) los resultados *. En el experimento
anterior, sólo hay dos resultados posibles: el fotón atraviesa
el analizador o se detiene. Se dice que no hay cuantificación
de los resultados de la medición, en contraste con el caso
clásico [cf. la fórmula (A-8)], donde la intensidad transmitida
18

I’ puede variar de forma continua, de acuerdo con el valor de
�, entre 0 y I.
(ii) Para cada uno de estos resultados eigen corresponde un estado
propio. Aquí, los dos estados propios se caracterizan por:
(ey es el vector unitario del eje Oy). Si ep = ex, sabemos con
certeza de que el fotón atraviesan el analizador, y si ep = ey,
será, por el contrario, definitivamente se detuvo. La
correspondencia entre los resultados de eigen y auto estados
tanto, es la siguiente. Si la partícula es, antes de la
medición, en uno de los estados propios, el resultado de esta
medida es cierto: sólo puede ser el resultado eigen asociados.
(iii) Cuando el estado antes de la medida es arbitraria, sólo las
probabilidades de obtener los diferentes resultados de eigen se
puede predecir. Para encontrar estas probabilidades, se
descompone el estado de las partículas en una combinación
lineal de los autos estados diferentes. Aquí, por un ep
arbitraria, escribimos:
La probabilidad de obtener un resultado eigen dado es entonces
proporcional al cuadrado del valor absoluto del coeficiente del
estado propio correspondiente. El factor de proporcionalidad
que está determinada por la condición de que la suma de todas
estas probabilidades debe ser igual a 1. De este modo deducir
de (A-10) que cada fotón tiene una probabilidad de
atravesar el analizador y una probabilidad de ser
absorbida por ella (ya sabemos que + = 1). Esto es
lo que se dijo arriba. Esta regla se denomina en la mecánica
cuántica el principio de descomposición espectral. Tenga en
cuenta que la descomposición que se realiza depende del tipo de
dispositivo de medición se está considerando, ya que uno debe
usar los estados propios que le corresponden: en la fórmula (A-
19

10), la elección de los ejes Ox y Oy es fijado por el
analizador.
(iv) Después de pasar por el analizador, la luz está completamente
polarizada a lo largo de ex. Si ponemos, después de que el
primer analizador de A, un analizador de 2da A ', con el mismo
eje, todos los fotones que atraviesa A también recorrerá A'. De
acuerdo con lo que hemos visto en el punto (ii), esto significa
que, después de haber cruzado A, el estado de los fotones es el
estado propio caracterizado por e ^. Por ello, ha sido un
cambio brusco en el estado de las partículas. Antes de la
medición, este estado fue definido por un vector E(r, t), que
fue alineados con el ep. Tras la medida, contamos con una pieza
adicional de información (el fotón ha pasado) que se incorpora
al describir el estado de un vector diferente, que ahora
alineados con el ex,. Esto expresa el hecho, ya se ha señalado
en § A-2, que la medida altera el sistema microscópico (en este
caso, el fotón) de una manera fundamental.
Comentario:
La predicción de algunos de los resultados cuando ep=ex o ep =ey,
es sólo un caso especial. La probabilidad de que uno de los eventos
es posible entonces, ciertamente igual a 1. Pero, con el fin de
comprobar esta predicción, se debe realizar un gran número de
experimentos. Uno debe estar seguro de que todos los fotones pasan
(o detenido), ya que el hecho de que un fotón en particular cruza
el analizador (o absorbida) no es característica de ep = ex(o ep =
ey).
B. PARTÍCULAS DE MATERIA Y LAS ONDAS DE MATERIA
1. La relación de De Broglie
Paralelo al descubrimiento de los fotones, el estudio de emisión y
de absorción atómica al descubierto un hecho fundamental, que la
física clásica no pudo explicar: estos espectros se componen de
líneas estrechas. En otras palabras, un átomo emite o absorbe dado
sólo fotones con frecuencias bien determinadas (es decir,
energías). Este hecho puede ser interpretado con mucha facilidad si
se acepta que la energía del átomo está cuantizada, es decir, que
sólo puede tomar ciertos valores discretos Ei (i = 1, 2,...,
n,...): la emisión o absorción de un fotón es entonces acompañado
por un "salto" en la energía del átomo de un Ei valor permitido a
otro Ej. Conservación de la energía implica que el fotón tiene una
frecuencia tal que vij:
20

Sólo las frecuencias que obedecen (B-l) por lo tanto, puede ser
emitida o absorbida por el átomo.
La existencia de niveles discretos de energía fue confirmada
independientemente por el experimento de Franck-Hertz. Bohr
interpretó en términos de privilegio órbitas electrónicas y señaló,
con Sommerfeld, una regla empírica que permita el cálculo de las
órbitas, para el caso del átomo de hidrógeno. Sin embargo, el
origen fundamental de estas reglas de cuantización siendo un
misterio.
En 1923, sin embargo, de Broglie propuesto la siguiente hipótesis:
las partículas materiales, así como los fotones, puede tener un
aspecto ondulatorio. A continuación, derivan las reglas de
cuantización de Bohr-Sommerfeld como consecuencia de esta
hipótesis, los distintos niveles permitidos de energía que aparecen
como los análogos de los modos normales de una cuerda vibrante.
Experimentos de difracción de electrones (Davisson y Germer, 1927)
confirmada de la existencia de un aspecto ondulatorio de la
materia, demostrando que los patrones de interferencia se podría
obtener con partículas de materia como los electrones.
Uno por lo tanto, se asocia con una partícula material de energía E
y momento p, una onda cuya frecuencia angular � = 2πv y vector de
onda k vienen dados por las mismas relaciones que los fotones (cf.
§ A-l):
En otras palabras, la longitud de onda correspondiente es:
Comentario:
El valor muy pequeño de la constante de Planck h explica por qué
la naturaleza ondulatoria de la materia es muy difícil de demostrar
en una escala macroscópica. Un complemento, de este capítulo trata
21

de los órdenes de magnitud de las longitudes de onda de De Broglie
asociada a las partículas de diversos materiales.
2. Funciones de onda. Ecuación de Schrodinger.
De acuerdo con la hipótesis de de Broglie, se aplicarán las ideas
introducidas en § A para el caso de los fotones para todas las
partículas materiales. Recordando las conclusiones de este
apartado, nos lleva a la siguiente formulación:
(i) Para la concepción clásica de una trayectoria, debemos
sustituir el concepto de un estado variable en el tiempo. El
estado cuántico de una partícula como el electrón * se
caracteriza por una función de onda ψ(r, t), que contiene toda
la información que es posible obtener sobre la partícula.
(ii) ψ(r, t) se interpreta como una amplitud de probabilidad de la
presencia de la partícula. Desde las posiciones posibles de la
forma de partículas de un continuo, la probabilidad dP(r, t) de
la partícula que, en el tiempo t, en un elemento de volumen
d3r= dx dy dz situado en el punto r debe ser proporcional al
d3r infinitesimal y por lo tanto, |ψ (r, t) 2 se interpreta
como la densidad de probabilidad correspondiente, con:
Donde C es una constante de normalización [véase el comentario
(i) al final del § B-2].
(iii) El principio de la descomposición espectral se aplica a la
medición de una magnitud física arbitraria:
- El resultado que se obtiene debe pertenecer a un conjunto de
resultados eigen {a}.
- Con cada valor una se asocia un estado propio, es decir, una
función propia t ψa(r). Esta función es tal que, si ψ(r, t0)=
ψa (r) (donde t0 es el momento en que se realiza la medición),
la medición siempre dará a.
- Para cualquier ψ(r, t), la probabilidad Pa de encontrar un
valor propio para la medición en el tiempo t0 se encuentra por
la descomposición de ψ(r,t0) en términos de las funciones ψ(r):
* No se tendrán en cuenta aquí la existencia del espín del
electrón (cf. cap. IX).
22

Entonces:
(La presencia del denominador asegura que la probabilidad total
es igual a 1:
)
- Si la medición se obtiene un efecto, la función de onda de la
partícula inmediatamente después de la medición es la
siguiente:
(iv) La ecuación que describe la evolución de la función j / (r,
t) está por escribirse. Es posible que introducir de una manera
muy natural, con la de Planck y las relaciones de De Broglie.
Sin embargo, no tenemos ninguna intención de probar esta
ecuación fundamental, que se llama la ecuación de Schrödinger.
Simplemente se asume. Más tarde, vamos a discutir algunas de
sus consecuencias (cuya verificación experimental probar su
validez). Además, debemos considerar esta ecuación con mucho
más detalle en el capítulo III.
Cuando la partícula (de masa m) se somete a la influencia de un
potencial V * (r, t), la ecuación de Schrödinger toma la forma:
Donde ∆ es el operador laplaciano
Nos damos cuenta de inmediato que esta ecuación es lineal y
homogénea en ψ. En consecuencia, para partículas de materia,
existe un principio de superposición que, junto con la
interpretación de ψ como una amplitud de probabilidad, es la
fuente de los efectos de onda. Tenga en cuenta, además, que la
ecuación diferencial (B-8) es de primer orden con respecto al
tiempo. Esta condición es necesaria si el estado de la
23

partícula en un tiempo t0, que se caracteriza por ψ(r,t0), es
para determinar su estado posterior.
Por tanto, existe una analogía fundamental entre la materia y
la radiación: en ambos casos, una correcta descripción de los
fenómenos exige la introducción de los conceptos cuánticos, y,
en particular, la idea de la dualidad onda-partícula.
Comentarios:
(i) Para un sistema compuesto por una sola partícula, la
probabilidad total de encontrar la partícula en cualquier lugar
en el espacio, en el tiempo t, es igual a 1:
Puesto que d P(r, t) está dada por la fórmula (B-4), se
concluye que la función de onda ψ(r, t) debe ser de cuadrado
integrable:
La constante de normalización C que aparece en (B-4) está dada
por la relación:
(Veremos más adelante que la forma de la ecuación de
Schrödinger implica que C es independiente del tiempo). A
menudo se utiliza funciones de onda que están normalizados, de
tal manera que:
La constante C es entonces igual a 1.
24

* V (t, t) designa una energía potencial. Por ejemplo, puede
ser el producto de un potencial eléctrico y la carga de la
partícula. En la mecánica cuántica, V (r, t) se conoce
comúnmente como un potencial.
(ii) Tenga en cuenta la importante diferencia entre los conceptos de
los estados clásicos y los estados cuánticos. El estado clásico
de una partícula se determina en el tiempo t por la
especificación de los seis parámetros que caracterizan su
posición y su velocidad en el tiempo t: x, y, z, vx, vy, vz. El
estado cuántico de una partícula está determinada por un número
infinito de parámetros: los valores en los diferentes puntos en
el espacio de la función de onda ψ(r, t) que se asocia con él.
De la idea clásica de una trayectoria (la sucesión en el tiempo
de los diferentes estados de la partícula clásica), debemos
sustituir la idea de la propagación de la onda asociada a la
partícula. Consideremos, por ejemplo, el experimento doble
rendija de Young, descrito anteriormente para el caso de los
fotones, pero que, en principio, también se puede realizar con
las partículas materiales como electrones. Cuando el patrón de
interferencia se observa, no tiene sentido preguntar por qué
rendija cada partícula ha pasado, ya que la onda asociada a su
paso por ambos.
(iii) Vale la pena señalar que, a diferencia de los fotones, que
puede ser emitida o absorbida durante un experimento, las
partículas materiales no puede ser creada ni destruida. Los
electrones emitidos por un filamento caliente, por ejemplo, ya
existía en el filamento. De la misma manera, un electrón
absorbe un contador no desaparece, se convierte en parte de un
átomo o una corriente eléctrica. En realidad, la teoría de la
relatividad demuestra que es posible crear y aniquilar a las
partículas de material: por ejemplo, un fotón con energía
suficiente, que pasa cerca de un átomo, puede materializarse en
un par electrón-positrón. A la inversa, el positrón, cuando
choca con un electrón, aniquila con él, emitiendo fotones. Sin
embargo, se señaló en el comienzo de este capítulo que nos
ceñimos aquí al dominio no relativista cuántica, y de hecho
hemos tratado el tiempo y el espacio de coordenadas de forma
asimétrica. En el marco del no-mecánica cuántico relativista,
las partículas materiales no puede ser creada ni aniquilada.
Esta ley de la conservación, como veremos, juega un papel de
primera importancia. La necesidad de abandonar es una de las
25

importantes dificultades cuando se trata de construir una
mecánica cuántica relativista.
C. DESCRIPCIÓN CUÁNTICA DE UNA PARTÍCULA. PAQUETES DE ONDA
En el párrafo anterior, hemos introducido los conceptos
fundamentales que son necesarios para la descripción cuántica de una
partícula. En este apartado, vamos a familiarizarnos con estos
conceptos y deducir de ellos varias propiedades muy importantes.
Empecemos por el estudio de un caso especial muy sencillo, el de una
partícula libre.
1. Partícula libre
Considere la posibilidad de una partícula cuya energía potencial es
cero (o tiene un valor constante) en cada punto del espacio. La
partícula es por lo tanto no sometida a ninguna fuerza, sino que se
dice que es libre.
Cuando V (r, t) = 0, la ecuación de Schrödinger se convierte en:
Esta ecuación diferencial es, obviamente, satisfecho por las
soluciones de la forma:
(Donde A es una constante), a condición de que k y � satisfacen la
relación:
Observe que, de acuerdo con las relaciones de Broglie [véase (B-
2)], la condición (C-3) expresa el hecho de que la energía E y el
momento p de una partícula libre satisfacen la ecuación, que es bien
conocido en el clásico mecánica:
26

Volveremos más adelante (§ C-3) a la interpretación física de un
estado de forma (C-2). Ya hemos visto que, desde
Una onda plana de este tipo representa una partícula cuya
probabilidad de presencia es uniforme a lo largo de todo el espacio
(ver comentario abajo).
El principio de superposición nos dice que cada combinación lineal
de ondas planas satisfactoria (C-3) también será una solución de la
ecuación (C-1). Tal superposición se puede escribir:
(d3k representa, por definición, el elemento de volumen
infinitesimal en el espacio k: dkx.dky.dkz). g (k), que puede ser
compleja, debe ser lo suficientemente regulares para permitir la
diferenciación dentro de la integral. Se puede demostrar, además,
que cualquier solución de cuadrado integrable se puede escribir en
la forma (C-6).
Una función de onda, tales como (C-6), una superposición de ondas
planas, se le llama en tres dimensiones "paquete de ondas". En aras
de la simplicidad, a menudo, se llevó a estudiar el caso de una *
onda unidimensional de paquetes, que se obtiene a partir de la
superposición de ondas planas paralelas se propaguen a todos los Ox.
La función de onda entonces sólo depende de x y t:
* Un modelo simple de un paquete de ondas en dos dimensiones se
presenta en el complemento E,. Algunas propiedades generales de los
paquetes de onda en tres dimensiones que se estudian en F
complemento, que también muestra cómo, en ciertos casos, un problema
en tres dimensiones se puede reducir a varios problemas
unidimensionales.
En el párrafo siguiente, vamos a estar interesado en la forma del
paquete de ondas en un instante dado. Si elegimos este momento como
el origen del tiempo, la función de onda está escrita:
27

Vemos que g (k) es simplemente la transformada de Fourier (véase
anexo I), de ψ (x, 0):
En consecuencia, la validez de la fórmula (C-8) no se limita al
caso de la partícula libre: cualquiera que sea el potencial, ψ(x, 0)
siempre se puede escribir de esta forma. Las consecuencias que se
derivan de esta en los § § 2 y 3 son, pues, perfectamente general.
No es hasta § 4 que vamos a volver de forma explícita a la partícula
libre.
Comentario:
Una onda plana del tipo (C-2), cuyo módulo es constante a lo largo
de todo el espacio [cf. (C-5)], no es de cuadrado integrable. Por lo
tanto, con rigor, no puede representar a un estado físico de la
partícula (en la misma forma, en la óptica, una onda plana
monocromática no es físicamente realizable). Por otro lado, una
superposición de ondas planas como (C-7) puede ser de cuadrado
integrable.
2. Forma del paquete de ondas en un momento dado
La forma del paquete de ondas está dada por la dependencia de ψ(x,
0) definida por la ecuación (C-8). Imagina que g (k) tiene la
forma representada en la figura 3, es decir, tiene un pico
pronunciado situado en k = k0 y un ancho (que se define, por
ejemplo, la mitad de su valor máximo) de ∆k.
FIGURA3
Forma de la función g (k)
[módulo de la transformada de
Fourier de ψ(x, 0.)]: Se supone
que se centra en k = k0, donde
alcanza un máximo, y tiene una
28

anchura de ∆k.
Empecemos por tratar de entender cualitativamente el comportamiento
de ψ(x, 0) a través del estudio de un caso especial muy sencillo.
Sea ψ(x, 0), en lugar de la superposición de un número infinito de
ondas planas en la fórmula (C-8), la suma de las tres ondas
planas. Los vectores de onda de estas ondas planas son k0, k0- ,
k0+ , y sus amplitudes son proporcionales, respectivamente, a 1,
1 / 2 y 1 / 2 entonces tenemos:
Vemos que ψ(x) es máxima cuando x = 0. Este resultado se debe al
hecho de que, cuando x toma este valor, las tres ondas están en fase
e interfieren de manera constructiva, como se muestra en la figura
4. Medida que nos alejamos del valor de x = 0, las olas se hacen más
y más fuera de fase, y ψ(x)/ disminuye. La interferencia se vuelve
completamente destructivo cuando el desfase entre y es
igual a tiende a cero cuando x = ± , ∆x está dado por:
Esta fórmula muestra que cuanto menor sea el ancho ∆k de la función
de g (k) , mayor será el ancho de ∆x de la función ψ(x) (la
distancia entre dos ceros de | ψ(x) |).
Las partes reales de las tres ondas cuya suma da la función ψ(x) de
(C-10). En x = 0, las tres ondas están en fase e interfieren
constructivamente. Medida que nos alejamos de x = 0, se van fuera de
fase e interfieren destructivamente para x = ± .
29

En la parte inferior de la figura, Re {ψ {x)} se muestra. La curva
de línea discontinua corresponde a la función [1 + cos ( )], que,
de acuerdo con (C-10), da | ψ(x) | (y por lo tanto, la forma del
paquete de ondas).
COMENTARIO:
La fórmula (C-10) muestra que | ψ(x) | es periódica en x y por lo
tanto tiene una serie de máximos y mínimos. Esto surge del hecho de
que f (x) es la superposición de un número finito de ondas (en este
caso, tres). Por una superposición continua de un número infinito de
ondas, como en la fórmula (C-8), tal fenómeno no se produce, y | ψ
(x, 0) | sólo puede tener un máximo.
Volvamos ahora al paquete de ondas en general de la fórmula (C-8).
Su forma también el resultado de un fenómeno de interferencia: |
ψ(x, 0) | es máximo cuando las ondas planas diferentes interfieren
constructivamente.
Sea α (k) el argumento de la función g (k):
Supongamos que α (k) varía bastante suave en el intervalo
donde g (k) es apreciable, y luego, cuando ∆k es
suficientemente pequeño, se puede ampliar α (k) en la vecindad de k
= k0:
30

que nos permite reescribir (C-8) en la forma:
Con:
La forma (C-14) es útil para estudiar las variaciones de en
términos de x. Cuando es grande, la función de k, que es para
ser integrado oscila un número muy grande de veces dentro del
intervalo Vemos entonces (cf. fig. 5-A, en el que la parte real
de esta función se muestra) que las contribuciones de las
oscilaciones sucesivas se anulan entre sí, y la integral sobre k se
vuelve insignificante. En otras palabras, cuando x está fijado en un
valor lejos de x0, las fases de las ondas diferentes que componen
varían muy rápidamente en el dominio y estas ondas se
destruyen entre sí por la interferencia. Por otro lado, si , la
función que se integra sobre k oscila apenas en absoluto (véase la
fig. 5-b), y es máximo.
La posición del centro del paquete de ondas es por lo tanto:
En realidad, el resultado (C-16) se puede obtener muy simplemente.
Una integral tal como la que aparece en (C-8) será máxima (en valor
absoluto) cuando las ondas que tienen la mayor amplitud (aquellos
con k cerca de K0) interfieren constructivamente. Esto ocurre cuando
las fases de K-dependientes de estas ondas varían sólo ligeramente
alrededor de . Para obtener el centro del paquete de ondas, una
continuación impone (condición fase estacionaria) que la derivada
con respecto a k de la fase es cero para . En el caso particular
que se está estudiando, la fase de la onda correspondiente a k es
. Por lo tanto, es que el valor de x para que el
derivado es cero en
31

Las variaciones con respecto a k de la función que se integra sobre
k con el fin de obtener . En la figura (a), x está fijado en un
valor tal que , y la función que se integra oscila varias
veces dentro del intervalo de ∆k. En la figura (b), x está fijado de
tal manera que , y la función que se integra apenas
oscila, de modo que su integral sobre k tiene un valor relativamente
grande. En consecuencia, el centro del paquete de ondas [punto donde
es máximo] está situado en
Cuando x se aleja del valor x0, disminuye. Esta disminución
se vuelve apreciable si oscila alrededor de una vez,
cuando k atraviesa el dominio , es decir, cuando:
Si Ax es el ancho aproximado del paquete de ondas, por lo tanto
tenemos:
Llegamos así de nuevo a una relación clásica entre las anchuras de
dos funciones que son transformadas de Fourier de cada otro. El
hecho importante es que el producto tiene un límite
inferior, el valor exacto de esta cota depende claramente de la
definición precisa de los anchos y .
Un paquete de ondas, tales como (C-7) por lo tanto representa el
estado de una partícula cuya probabilidad de presencia, en el
instante t = 0, es prácticamente cero fuera de un intervalo de ancho
aproximado centrado en el valor .
Comentario:
32

El argumento anterior podría llevar a pensar que el producto
es siempre del orden de 1 [cf. (C-17)]. Vamos a subrayar el hecho de
que se trata de un límite inferior. Aunque es imposible construir
paquetes de onda para la cual el producto es insignificante en
comparación con 1, es perfectamente posible construir paquetes para
que este producto es tan grande como se desee [véase, por ejemplo,
complemento , especialmente comentar (ii) de § 3-c]. Esta es la
razón (C-18) está escrito en la forma de una desigualdad.
3. Relación de incertidumbre de Heisenberg
En la mecánica cuántica, la desigualdad (C-18) tiene consecuencias
físicas muy importantes. Tenemos la intención de hablar sobre esto
ahora (nos quedaremos, para simplificar, en el marco de un modelo
unidimensional).
Hemos visto que una onda plana corresponde a una densidad
de probabilidad constante para la presencia de la partícula a lo
largo del eje , para todos los valores de t. Este resultado puede
ser más o menos expresarse diciendo que el valor correspondiente de
es infinito. Por otro lado, sólo una frecuencia angular y un
vector de onda están implicados. De acuerdo con las relaciones de
De Broglie, esto significa que la energía y el impulso de la
partícula están bien definidas: y . Tal una onda
plana puede, además, ser considerado como un caso especial de (C-7),
para el cual es una "función delta" (apéndice II):
El valor correspondiente de es entonces igual a cero.
Pero esta característica también se puede interpretar de la
siguiente manera, utilizando el principio de la descomposición
espectral (cf. § § A-3 y B-2). Para decir que una partícula, que se
describe en el instante t = 0 por la función de onda ,
tiene un impulso bien determinada, es decir que una medición de la
fuerza en este momento definitivamente producirá . De esto
podemos deducir que caracteriza al estado propio que corresponde
a . Dado que existe una onda plana para cada valor real de k,
los valores propios que uno puede esperar encontrar en una medida de
la fuerza de un Estado arbitrario incluyen todos los valores reales.
En este caso, no hay cuantificación de los resultados posibles: como
en la mecánica clásica, todos los valores del impulso están
permitidos.
33

Consideremos ahora la fórmula (C-8). En esta fórmula, aparece
como una superposición lineal de las funciones propias de momento en
el que el coeficiente de es . Llegamos así a interpretar
(dentro de un factor constante) como la probabilidad de
encontrar si se mide, en t = 0, el momento de una partícula
cuyo estado es descrito por . En realidad, los posibles valores
de p, como los de x, forman un conjunto continuo, y es
proporcional a una densidad de probabilidad: la probabilidad de
de la obtención de un valor entre y es, dentro
de un factor constante, .. Más precisamente, si volvemos a
escribir la fórmula (C-8) en la forma:
Sabemos que y satisfacen la relación de Parseval-Bessel
(anexo I):
Si el valor común de estas integrales es C, es la
probabilidad de que la partícula se encuentra, en t = 0, entre x y
. De la misma manera:
Es la probabilidad de que la medición del impulso producirá un
resultado comprendido entre y [relación (C-21) a
continuación, asegura que la probabilidad total de encontrar
cualquier valor es de hecho igual a 1]. Ahora volvamos a la
desigualdad (C-18). Nos puede escribir como:
( es la anchura de la curva que representa ).
Consideremos una partícula cuyo estado es definido por el paquete de
ondas (C-20). Sabemos que la probabilidad de posición en t = 0, es
apreciable sólo dentro de una región de ancho de : su posición
34

es conocida dentro de un hacha incertidumbre . Si se mide el
impulso de esta partícula a la vez, se encontrará un valor entre
y , ya que es prácticamente nula fuera de este
intervalo: la incertidumbre en el momento es por lo tanto, el .
Interpretación de la relación (C-23) es entonces la siguiente: es
imposible definir en un momento dado, tanto la posición de la
partícula y su Momento-impulso a un grado de precisión arbitraria
Cuando el límite inferior impuesta por (C-23.) se alcanza, el
aumento de la precisión en la posición (decreciente ) implica que
la exactitud en el impulso disminuye (aumenta ), y viceversa. Esta
relación se denomina relación de incertidumbre de Heisenberg.
No sabemos de nada como esto en la mecánica clásica. La limitación
expresada por (C-23) surge del hecho de que h no es cero. Es el
valor muy pequeño de h en la escala macroscópica que hace que esta
limitación totalmente insignificante en la mecánica clásica (un
ejemplo se discute en detalle en complemento ).
Comentarios:
La desigualdad (C-18) con la que empezamos no es un principio
inherente mecánica cuántica. Se expresa simplemente una propiedad
general de transformadas de Fourier, numerosas aplicaciones de las
cuales se pueden encontrar en la física clásica. Por ejemplo, es
bien conocido de la teoría electromagnética que no existe ningún
tren de ondas electromagnéticas para los que uno puede definir la
posición y la longitud de onda con una precisión infinita al mismo
tiempo. La mecánica cuántica se presenta cuando uno se asocia con
una onda de una partícula material y requiere que la longitud de
onda y el impulso de la satisfacción respecto de De Broglie.
4. Evolución temporal de un paquete de ondas libres
Hasta ahora, hemos estado preocupados sólo con la forma de un
paquete de ondas en un instante dado, en este apartado, vamos a
estudiar su evolución en el tiempo. Volvamos, por tanto, para el
caso de una partícula libre cuyo estado es descrito por el paquete
de ondas unidimensional (C-7).
Una onda plana dada se propaga por el eje con la
velocidad:
35

Ya que depende de x y t sólo a través de ; se denomina
velocidad de fase de la onda plana.
Sabemos que en el caso de una onda electromagnética que se propaga
en el vacío, es independiente de k e igual a la velocidad de la
luz c. Todas las ondas que forman un paquete de ondas se mueven a la
misma velocidad, de modo que el paquete como un todo también se
mueve con la misma velocidad, sin cambiar de forma. Por otro lado,
se sabe que esto no es cierto en un medio dispersivo, donde se le da
la velocidad de fase por:
Es el índice de del medio, que varía con la longitud de onda.
El caso que estamos considerando aquí corresponde a un medio
dispersivo, ya que la velocidad de fase es igual a [cf. ecuación (C-
3)]:
Veremos que cuando las ondas por lo tanto tienen diferentes
velocidades desiguales de fase, la velocidad máxima de del
paquete de ondas no es el promedio de velocidad de fase ,
contrariamente a lo que uno podría esperar.
Tal y como hicimos antes, vamos a empezar por tratar de entender
cualitativamente lo que sucede, antes de tomar un punto de vista más
general. Por lo tanto, volvamos a la superposición de tres ondas
consideradas en el § C-2. Para un t arbitrario, está dada por:
36

Vemos, pues, que el máximo de , que se encontraba en
en , se encuentra ahora en el punto:
y no en el punto . El origen físico de este resultado aparece
en la figura 6.
Parte a) de esta figura representa la posición en el tiempo t = 0
de tres adyacente máximos (1), (2), (3), para las partes reales de
cada una de las tres ondas. Dado que los máximos denotado por el
índice (2) coinciden en x = 0, hay interferencia constructiva en
este punto, que por lo tanto corresponde a la posición del máximo de
. Dado que los aumentos de velocidad de fase con k [fórmula
(C-26)], el máximo (3) de la onda poco a poco a ponerse al
día con la de la onda , que a su vez ponerse al día con la de la
onda . Después de un cierto tiempo, de este modo, tendrá la
situación mostrada en la figura 6-b: será los máximos (3) que
coinciden y determinar así la posición del máximo de .
Vemos claramente en la figura que no es igual a , y un
simple cálculo de nuevo los rendimientos (C-28).
FIGURA 6
Las posiciones de los máximos de las tres ondas de la figura 4 en
el tiempo t = 0 (fig. a) y en una posterior t (fig. b). En el
instante t = 0, es el máximos (2), situado en el punto x = 0, que
37

interfieren de manera constructiva: la posición del centro del
paquete de ondas es . En el momento t, las tres ondas han
avanzado con diferentes velocidades de fase . Es entonces los
máximos (3) que interfieren de manera constructiva y el centro del
paquete de ondas está situado en el punto . Vemos así que la
velocidad del centro del paquete de ondas (velocidad de grupo) es
diferente de las velocidades de fase de las tres ondas.
El desplazamiento del centro del paquete de ondas (C-7) se pueden
encontrar en una forma análoga, mediante la aplicación del metodo de
"fase estacionaria". Se puede ver de la forma (C-7) del paquete de
ondas libres que, con el fin de pasar de a , todo lo
que necesitamos hacer es cambiar a . El razonamiento
de § C-2 por lo tanto sigue siendo válida, a condición de que se
reemplaza el argumento de por:
De la condición (C-16) a continuación, se obtiene:
Llegamos así de nuevo a resultar (C-28): la velocidad de la máxima
del paquete de ondas es:
se denomina velocidad de grupo del paquete de ondas. Con la
relación de dispersión dada en (C-3), se obtiene:
Este resultado es importante, porque nos permite recuperar la
descripción clásica de la partícula libre, para los casos en que
esta descripción es válida. Por ejemplo, cuando se trata con una
partícula macroscópica (y el ejemplo de la partícula de polvo
discutido en complemento , se muestra cómo puede ser pequeño), la
relación de incertidumbre no introduce un límite observable sobre la
exactitud con la que su posición y el momento son conocidos. Esto
significa que podemos construir, con el fin de describir como una
38

partícula de una manera mecánica cuántica, un paquete de ondas cuyas
anchuras características y son insignificantes. A
continuación, se habla, en términos clásicos, de la posición y
el impulso de la partícula. Pero entonces su velocidad debe ser
. Esto es lo que está implícito en la fórmula (C-32), obtenida
en la descripción cuántica: en los casos en los que y tanto
puede hacerse insignificante, el máximo de los paquetes de onda se
mueve como una partícula que obedece a las leyes de la mecánica
clásica .
comentarios:
Hemos subrayado aquí el movimiento del centro del paquete de ondas
libre. También es posible estudiar la forma en que su forma
evoluciona en el tiempo. Es entonces fácil demostrar que, si el
ancho de es una constante del movimiento, varía con el tiempo
y, para los tiempos suficientemente largos, aumenta sin límite (la
difusión del paquete de ondas). La discusión de este fenómeno se da
en complemento , donde se trata el caso especial de un paquete de
ondas gaussiano.
D. PARTÍCULA EN UN POTENCIAL ESCALAR INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
Hemos visto, en § C, como la descripción de la mecánica cuántica de
una partícula se reduce a la descripción clásica cuando la constante
h de Planck puede considerarse insignificante. En la aproximación
clásica, el carácter ondulatorio no aparece debido a que la longitud
de onda asociada con la partícula es mucho menor que las
longitudes características de su movimiento. Esta situación es
análoga a la encontrada en la óptica. La óptica geométrica, que
ignora las propiedades ondulatorias de la luz, constituye una buena
aproximación cuando la longitud de onda correspondiente se puede
despreciar en comparación con las longitudes con la que uno se
refiere. La mecánica clásica lo que juega, con respecto a la
mecánica cuántica, el mismo papel jugado por la óptica geométrica
con respecto a la óptica ondulatoria. En este apartado, vamos a
estar preocupados con una partícula en un potencial independiente
del tiempo. Lo que acabamos de decir implica que los efectos
cuánticos por lo general (es decir, los de origen de onda) que
surgen cuando el potencial varíe considerablemente en distancias más
cortas que la longitud de onda, que no puede ser descuidado. Es por
eso que vamos a estudiar el comportamiento de una partícula cuántica
colocado en diversos potenciales "cuadrados", es decir, "los
39

potenciales de paso", como se muestra en la figura 7-A. Tal
potencial, que es discontinuo, claramente varía considerablemente
durante intervalos del orden de la longitud de onda, por pequeña que
es: los efectos cuánticos debe por lo tanto siempre aparecen. Antes
de iniciar esta investigación, discutiremos algunas propiedades
importantes de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial no es
dependiente del tiempo.
1. La separación de variables. estados estacionarios
La función de onda de una partícula cuya energía potencial V (r) no
depende del tiempo que satisfacen la ecuación de Schrödinger:
a) Existencia de estados estacionarios
Vamos a ver si existen soluciones de esta ecuación de la forma:
Sustituyendo (D-2) en (D-l), se obtiene:
Si dividimos ambos lados por el producto , nos encontramos con:
Esta ecuación equivale una función de sólo t (lado izquierdo) y una
función de r solamente (lado derecho). Esta igualdad sólo es posible
si cada una de estas funciones es de hecho una constante, que se
fija igual a , donde tiene las dimensiones de una frecuencia
angular.
La configuracion de la mano izquierda igual a , se obtiene para
una ecuación diferencial que se puede integrar fácilmente para
dar:
De la misma manera, debe satisfacer la ecuación:
40

Si el conjunto en la ecuación (D-5) [lo cual es posible si se
incorporan, por ejemplo, la constante ], se logra el resultado
siguiente: la función
es una solución de la ecuación de Schrodinger, con la condición de
que es una solución de (D-6). El tiempo y las variables de
espacio se dice que se han separado.
Una función de onda de la forma (D-7) se llama una solución
estacionaria de la ecuación de Schrödinger: lleva a una densidad de
probabilidad independiente del tiempo . En una
función fija, sólo una frecuencia angular aparece, de acuerdo con
la relación de Planck-Einstein, un estado estacionario es un estado
con una energía bien definida (energía eigenestado). En la
mecánica clásica, cuando la energía potencial es independiente del
tiempo, la energía total es una constante del movimiento, en la
mecánica cuántica, existen también determinados por los estados de
energía. La ecuación (D-6) por lo tanto se puede escribir:
o bien:
donde H es el operador diferencial:
es un operador lineal, ya que, si y son constantes, tenemos:
La ecuación (D-9) es por lo tanto la ecuación de valores propios del
operador lineal H: la aplicación de la H a las «funciones propias»
se obtiene la misma función, multiplicado por los
correspondientes «valores propios» E. Las energías permitidas son
41

por lo tanto, los valores propios del operador H. más adelante
veremos que la ecuación (D-9) tiene cuadrado-integrables soluciones
sólo para ciertos valores de e (cf. § D-2-c, § 2-c del
complemento ): este es el origen de la cuantización de la
energía.
COMENTARIO:
La ecuación (D-8) [o (D-9)] a veces se llama el "tiempo
independiente de la ecuación de Schrodinger", en contraposición a la
"función del tiempo la ecuación de Schrodinger" (D-1). Destacamos su
diferencia esencial: la ecuación (D-1) es una ecuación general que
ofrece la evolución de la función de onda, cualquiera que sea el
estado de la partícula y, por el otro lado, la ecuación de valores
propios (D-9) que nos permite encontrar, entre todos los estados
posibles de la partícula, aquellas que son estacionarias.
b). La superposición de estados estacionarios
Con el fin de distinguir entre los diversos valores posibles de la
energía E (y las funciones propias correspondientes ), se les
etiqueta con un índice n.
Así tenemos:
y de los estados estacionarios de la partícula tiene como funciones
de onda:
es una solución de la ecuación de Schrodinger (D-1). Puesto
que esta ecuación es lineal, que tiene toda una serie de otras
soluciones de la forma:
donde los coeficientes son constantes complejas arbitrarias. En
particular, tenemos:
Inversamente, supongamos que sabemos , es decir, el estado de
la partícula en . Veremos más adelante que cualquier función
42

siempre se puede descomponer en términos de funciones propias
de , como en (D-15). El coeficientes , por lo tanto determinado
por . La solución correspondiente de la ecuación de
Schrodinger está dada por (D-14). Todo lo que necesitamos hacer para
obtenerla es multiplicar cada término de (D-15) por el factor
, Donde es el valor propio asociado con . Hacemos
hincapié en el hecho de que estos factores de fase difieren de un
término a otro. es sólo en el caso de estados estacionarios que la
dependencia t implica sólo un exponencial [fórmula (D-13)].
2. Unidimensionales "cuadrado" potenciales. estudio cualitativo
Dijimos al comienzo del § D que el fin de mostrar los efectos
cuánticos que se va a considerar el potencial que variaban
considerablemente en distancias pequeñas. Nos limitaremos aquí a un
estudio cualitativo, con el fin de concentrarse en las ideas físicas
simples. Un estudio más detallado se presenta en los complementos de
este capítulo (del complemento ). Para simplificar el problema,
vamos a considerar un modelo unidimensional, en el que la energía
potencial depende sólo de x (la justificación de este modelo se da
en el complemento ).
a) Significado físico de un potencial cuadrado
Consideraremos un problema unidimensional con un potencial del tipo
mostrado en la figura 7-a. El eje Ox está dividido en un cierto
número de regiones de potencial constante. En la frontera de dos
regiones adyacentes del potencial hace un salto brusco
(discontinuidad). En realidad, dicha función no se puede representar
un potencial físico, que debe ser continua. Se deberá utilizar para
representar esquemáticamente una energía potencial que en
realidad tiene la forma mostrada en la figura 7-b: no hay
discontinuidades, pero varía muy rápidamente en la vecindad de
ciertos valores de x. Cuando los intervalos sobre los cuales se
producen estas variaciones son mucho menores que todas las otras
distancias implicadas en el problema (en particular, la longitud de
onda asociada con la partícula), se puede sustituir el verdadero
potencial por el potencial cuadrado de la figura 7-uno. Esta es una
aproximación, que dejaría de ser válida, por ejemplo, para una
partícula que tiene una muy alta energía, cuya longitud de onda
sería muy corto.
43

Las predicciones de la mecánica clásica sobre el comportamiento de
una partícula en un potencial tal como la de la figura 7 son fáciles
de determinar. Por ejemplo, imagine que es la energía potencial
gravitatoria. Figura 7-b, entonces representa el perfil real del
terreno en el que la partícula se mueve: los correspondientes
discontinuidades de discontinuidades son las pendientes fuertes,
separados por mesetas horizontales. Tenga en cuenta que, si fijamos
la energía total E de la partícula, los dominios del eje Ox donde
está prohibido a ella (su energía cinética debe ser
positivo).
potencial
"Cuadrado"
El potencial
real
Figura 7
Potencial de
Cuadrado (fig.
a), que
representa
esquemáticamente
un verdadero
potencial (fig.
b) para los que
la fuerza tiene
la forma
mostrada en la
figura c.
Fuerza
COMENTARIO:
La fuerza ejercida sobre la partícula es . En la figura
7-c, hemos representado esta fuerza, que se obtiene a partir del
potencial de la figura 7-b. Se puede observar que esta
partícula, en todas las regiones donde el potencial es constante, no
está sujeto a ninguna fuerza. Su velocidad es constante a
continuación. Es sólo en las zonas limítrofes entre estas mesetas
que una fuerza actúa sobre la partícula y, según el caso, se acelera
o se desacelera hacia abajo.
b). analogía óptico
44

Vamos a considerar los estados estacionarios (§ D-1) de una
partícula en una uni-dimensional "cuadrado" potencial.
En una región donde el potencial V tiene un valor constante, la
ecuación de valores propios (D-9) está escrito:
o bien:
Ahora, en la óptica, existe una ecuación completamente análoga.
Considere la posibilidad de un medio transparente cuyo índice n no
depende de r ni en el tiempo. En este medio, puede haber ondas
electromagnéticas cuyo campo eléctrico es independiente de Y y
Z y tiene la forma:
donde e es un vector unitario perpendicular a O. E (x) debe
satisfacer:
Vemos que las ecuaciones (D-17) y (D-19) llegan a ser idénticos si
ponemos:
Además, en un punto x donde la energía potencial V [y, en
consecuencia, el índice n dada por (D-20)] es discontinua, las
condiciones de contorno para y son los mismos: estos dos
funciones, así como sus derivados en primer lugar, debe permanecer
constante (véase el complemento , § 1-b). La analogía estructural
entre las dos ecuaciones (D-17) y (D-19) así nos permite asociar con
un problema de mecánica cuántica, que corresponde al potencial de la
figura 7.a, un problema óptico: la propagación de una onda
electromagnética de frecuencia angular en un medio cuyo índice
tiene discontinuidades del mismo tipo. De acuerdo con (D-20), la
relación entre los parámetros ópticos y mecánicos es:
45

Para la onda de luz, una región donde corresponde a un medio
transparente cuyo índice es real. La onda es entonces de la forma
.
¿Qué sucede cuando ?. Fórmula (D-20) da un índice imaginario
puro. En (D-19), es negativo y la solución es de la forma :
es el análogo de una "onda evanescente". Ciertos aspectos de la
situación recuerdan la propagación de una onda electromagnética en
un medio * metálico. De este modo podemos incorporar los resultados
conocidos de la óptica ondulatoria a los problemas que estamos
estudiando aquí. Es importante, sin embargo, darse cuenta de que
esto es sólo una analogía. La interpretación que le damos a la
función de onda es fundamentalmente diferente de la que la óptica
clásica de ondas atribuye a la onda electromagnética.
* Esta analogía no debe ser demasiado lejos, ya que el índice n de
un medio metálico tiene tanto una parte real y un complejo (en un
metal, una onda óptica sigue a oscilar como se amortigua a cabo).
c). Ejemplos
α Potencial escalon y de barrera
Consideremos una partícula de energía que, procedente de la
región negativa de x, llega a la potencial "escalon" de altura
que se muestra en la figura 8.
Si , (el caso en que la partícula clásica despeja el
potencial escalon y continúa hacia la derecha con una velocidad más
pequeña), la analogía óptica es la siguiente: una onda de luz se
propaga de izquierda a derecha en un medio de índice :
46

Figura 8
Potencial escalon.
en hay una discontinuidad, y el índice, para es:
Sabemos que la onda incidente procedente de la izquierda se divide
en una onda reflejada y una onda transmitida. Vamos a incorporar
este resultado a la mecánica cuántica: la partícula tiene una cierta
probabilidad de que se refleja, y sólo la probabilidad de
seguir su curso hacia la derecha. Este resultado es contrario a lo
que predice la mecánica clásica.
Cuando , el índice , que corresponde a la región , se
convierte en imaginario puro, y la onda de luz incidente es
reflejada totalmente. La predicción cuántica por lo tanto en este
punto coincide con la de la mecánica clásica. No obstante, la
existencia, para de una onda evanescente, muestra que la
partícula cuántica tiene una probabilidad no nula de ser encontrado
en esta región.
El papel de esta onda evanescente es más notable en el caso de una
barrera de potencial (fig. 9). Para , una partícula clásica
siempre volvera atrás. Pero, en el problema óptico correspondiente,
que tendría una capa de espesor finito, con un índice imaginario,
rodeado por un medio transparente. Si este espesor no es mucho mayor
que el rango de la onda evanescente, parte de la onda incidente
se transmite en la región . Por lo tanto, incluso para
, nos encontramos con una probabilidad no nula de la partícula de
cruzar la barrera. Esto se llama el "efecto túnel".
47

La figura 9
Barrera de potencial.
β Pozo de potencial
La función tiene ahora la forma mostrada en la figura 10. Las
predicciones de la mecánica clásica son los siguientes:cuando la
partícula tiene una energía negativo (pero mayor que ),
solamente puede oscilar entre y , con la energía cinética
, cuando la partícula tiene una. energía positiva y
llega desde la izquierda, se somete a una aceleración brusca al ,
y luego una desaceleración equivalente a , y luego continúa hacia
la derecha.
En el análogo óptico del caso , los índices y , que
corresponden a las regiones y , son imaginarios,
mientras que el índice de , que caracteriza el intervalo ,
es real. Así pues, tenemos el equivalente de una capa de aire, por
ejemplo, entre dos medios reflectantes. Las ondas diferentes refleja
sucesivamente en y se destruyen entre sí a través de la
interferencia, a excepción de ciertas frecuencias bien determinadas
("modo normal") que permiten estables ondas estacionarias que se
establezcan.
48

Desde el punto de vista cuántico, esto implica que las energías
negativas se cuantifican *, mientras que, clásicamente, todos los
valores comprendidos entre y 0 son posibles.
Para , los índices de , y son reales:
Desde n2 es mayor que y , la situación es análoga a la de una
capa de vidrio en el aire. Con el fin de obtener la onda reflejada
para , o la onda transmitida en la región , es necesario
superponer un número infinito de ondas que surgen de las reflexiones
sucesivas a y (interferómetro de ondas múltiples análoga a
una de Fabry-Perot). Encontramos entonces que, para las frecuencias
de ciertos incidentes, la onda es que se transmite. Desde el punto
de vista cuántico, la partícula por tanto, tiene, en general, una
cierta probabilidad de ser reflejada. Sin embargo, existen valores
de energía, llamado energías de resonancia, para lo cual la
probabilidad de transmisión es 1 y, en consecuencia, la probabilidad
de reflexión es 0.
Estos pocos ejemplos muestran la cantidad de las predicciones de la
mecánica cuántica pueden diferir de los de la mecánica clásica.
Asimismo, destacar claramente el papel primordial de las
discontinuidades potenciales (que representan, de forma esquemática,
las variaciones rápidas).
* Los valores de energía permitidos no se les da por la condición
bien conocida: , ya que es necesario tener en
cuenta la existencia de las ondas evanescentes, que introducen un
cambio de fase en la reflexión en y, (vease
complemento , § 2-c).
CONCLUSIÓN
En este capítulo, hemos presentado y discutido, de una manera
cualitativa e intuitiva, algunas ideas fundamentales de la mecánica
cuántica. Más tarde volveremos sobre estas ideas (cap. III) con el
fin de presentarlos en una forma más precisa y sistemática. Sin
49

embargo, ya está claro que la descripción cuántica de los sistemas
físicos difiere radicalmente de la que figura por la mecánica
clásica (aunque este último constituye, en muchos casos, una
excelente aproximación). Nos hemos limitado en este capítulo para el
caso de los sistemas físicos compuestos por una sola partícula. La
descripción de estos sistemas en un momento dado es, en la mecánica
clásica, basados en la especificación de seis parámetros, que son
los componentes de la posición r (t) y la velocidad v (t) de la
partícula. Todas las variables dinámicas (energía, momento lineal,
momento angular) se determinan por la especificación de r (t) y V
(t). Las leyes de Newton nos permiten calcular r (t) a través de la
solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con respecto
al tiempo. En consecuencia, fijar los valores de r (t) y v (f) para
todo tiempo t, cuando se les conoce por el momento inicial.
La mecánica cuántica utiliza una descripción más complicado de los
fenómenos. El estado dinámico de una partícula, en un momento dado,
se caracteriza por una función de onda. Ya no depende de sólo seis
parámetros, pero en un número infinito [los valores de en todos
los puntos del espacio r]. Además, las predicciones de los
resultados de la medición son ahora sólo probabilística (con ellos
se obtienen sólo la probabilidad de obtener un resultado dado en la
medición de una variable dinámica). La función de onda es una
solución de la ecuación de Schrodinger, que nos permite calcular
de . Esta ecuación implica un principio de superposición
que conduce a efectos de onda.
Este trastorno en nuestra concepción de la mecánica se impuso por
la experiencia. La estructura y el comportamiento de la materia a
nivel atómico son incomprensibles en el marco de la mecánica
clásica. La teoría así ha perdido parte de su simplicidad, pero ha
ganado una gran cantidad de la unidad, ya que la materia y la
radiación se describe en términos de la misma estructura general
(dualidad onda-partícula). Hacemos hincapié en el hecho de que este
esquema general, aunque va en contra de nuestras ideas y hábitos
extraídas del estudio del dominio macroscópico, es perfectamente
coherente. Nadie ha tenido éxito en imaginar un experimento que
podría violar el principio de incertidumbre (cf. complemento D, de
este capítulo). En general, ninguna observación, hasta la fecha,
contradice los principios fundamentales de la mecánica cuántica. Sin
embargo, en la actualidad, no existe una teoría global de los
fenómenos relativistas y cuánticos, y nada, por supuesto, impide la
posibilidad de un trastorno nuevo.
Referencias y sugerencias bibliográficas:
50

Descripción de los fenómenos físicos que demuestran la necesidad de
introducir los conceptos cuánticos mecánicos: consulte la subsección
"El trabajo de introducción - la física cuántica" de la sección 1 de
la bibliografía, en particular, Wichmann (1.1) y Feynman III(1.2),
caps. 1 y 2.
Historia del desarrollo de los conceptos de la mecánica cuántica:
las referencias de la sección 4 de la bibliografía, en particular,
Jammer (4..8), ver también referencias (5.11) y (5.12), que
contienen numerosas referencias a los artículos originales.
Experimentos fundamentales: las referencias a los artículos
originales se pueden encontrar en la sección 3 de la bibliografía.
El problema de la interpretación de la mecánica cuántica: la
sección 5 de la bibliografía, en particular, la "Carta de recursos"
5.11), que contiene muchas referencias clasificadas.
Analogías y diferencias entre las ondas de materia y las ondas
electromagnéticas: Böhm (5.1), cap. 4, en particular, la tabla de
"Resumen de probabilidades" al final del capítulo.
Ver también los artículos de Schrodinger (1.25), Gamow (1.26), Born
y Biem (1.28), Scully y Sargent (1.30).
: Orden de magnitud de las
longitudes de onda asociada con
partículas materiales.
: Las restricciones impuestas
por las relaciones de
incertidumbre.
: Las relaciones de
incertidumbre y parámetros
atómicos
:reflexiones muy simples
pero fundamentales en el orden de
magnitud de parámetros cuántico
:Un experimento para ilustrar
la relación de la incertidumbre
: La discusión de un sencillo
experimento mental que trata de
invalidar la complementariedad
51

entre los aspectos de partícula y
onda de la luz (es fácil, pero
podría ser reservado para su
posterior estudio).
: Un tratamiento simple de un
paquete de ondas bidimensional
: La relación entre problemas
mono y tridimensionales
: paquete de ondas gaussiano
unidimensional: difusión del
paquete de ondas
: complementa en los
paquetes de onda (§ C del
capítulo I)
: revela en una manera simple,
cualitativa la relación que
existe entre la extensión lateral
de un paquete de ondas de dos
dimensiones y la dispersión
angular de vectores de onda
(fácil).
: La generalización a tres
dimensiones de los resultados de
§ C del capítulo I, muestra cómo
el estudio de una partícula en el
espacio tridimensional puede, en
ciertos casos, se reduce a
problemas unidimensionales (un
poco más difícil).
: trata en detalle un caso
especial de los paquetes de onda
para la cual se puede calcular
exactamente las propiedades y la
evolución (con algunas
dificultades en el cálculo, pero
conceptualmente simples).
:Estados estacionarios de una
partícula en potenciales
cuadrados unidimensionales
: retoma de una manera más
cuantitativa las ideas de § D-2
del capítulo I. Se recomienda
encarecidamente, ya que los
potenciales cuadrados se utilizan
a menudo para ilustrar
simplemente las implicaciones de
la mecánica cuántica (numerosos
complementos y ejercicios
propuestos más adelante en este
libro se basan en los resultados
52

de ).
:Comportamiento de un paquete
de onda en un potencial escalon
:Ejercicios
: un estudio más preciso, para
un caso especial, del
comportamiento cuántico de una
partícula en un potencial
cuadrado. Puesto que la partícula
es lo suficientemente bien
localizados en el espacio
(paquete de ondas), se puede
seguir su "movimiento" (promedio
de dificultad, importante para la
interpretación física de los
resultados).
Complemento
ORDEN DE MAGNITUD DE LAS LONGITUDES DE ONDA ASOCIADOS CON LAS
PARTÍCULAS MATERIALES
Relación de De Broglie:
Muestra que, para una partícula de masa y velocidad , y
son más pequeños, cuanto mayor sea la longitud de onda
correspondiente.
Para demostrar que las propiedades ondulatorias de la materia son
imposibles de detectar en el dominio macroscópico, tomar como
ejemplo una partícula de polvo, de diámetro y la masa de
. Incluso para una masa tan pequeña y una velocidad de
la fórmula (1) da:
Esta longitud de onda es completamente insignificante en la escala
de la partícula de polvo.
Consideremos, por otro lado, una de neutrones térmicos, es decir, un
neutrón con una velocidad v correspondiente a la
energía térmica media a (absoluta) temperatura . Está dada por la
relación:
53

Donde k es la constante de Boltzman ( ). La longitud de
onda que corresponde a dicha velocidad es:
Para , nos encontramos con:
es decir, una longitud de onda que es del orden de la distancia
entre los átomos en una red cristalina. Un haz de neutrones térmicos
que caen sobre un cristal por lo tanto da lugar a fenómenos de
difracción análogos a los observados con rayos-X.
Examinemos ahora el orden de magnitud de las longitudes de onda de
de Broglie asociadas a los electrones . Si una
acelera un haz de electrones a través de una diferencia de potencial
(expresada en voltios), una da los electrones una energía
cinética:
( Coulomb es la carga del electrón.) Puesto que , la
longitud de onda asociada es igual a:
Es decir, numéricamente:
Con diferencias de potencial de varios cientos de voltios, una vez
más se obtiene longitudes de onda comparables a los de los rayos X,
y los fenómenos de difracción de electrones se puede observar con
cristales o polvos cristalinos.
Los grandes aceleradores que están actualmente disponibles son
capaces de impartir una energía considerable a las partículas. Esto
nos lleva fuera del dominio no relativista a la que hemos hasta
ahora nos limitamos. Por ejemplo, haces de electrones se obtienen
fácilmente por los que la energía sea superior a (
), mientras que la masa en reposo de
54

electrones es igual a . Esto significa que la
velocidad correspondiente está muy cerca de la velocidad de la luz
c. En consecuencia, la mecánica cuántica no relativista que estamos
estudiando aquí no se aplica. Sin embargo, las relaciones:
Siguen siendo válidos en el dominio relativista. Por otro lado, la
relación G) debe ser modificado, ya que, relativísticamente, la
energía de una partícula de masa en reposo ya no es , pero
en su lugar:
En el ejemplo considerado anteriormente (un electrón de energía de
), es insignificante en comparación con , y obtenemos:
( ). Con electrones acelerados de esta manera, se puede
explorar la estructura de los núcleos atómicos y, en particular, la
estructura de los protones; dimensiones nucleares son del orden de
un Fermi.
COMENTARIOS:
(i) Queremos señalar un error común en el cálculo de la longitud de
onda de una partícula material de masa , cuya energía se
conoce. Este error consiste en calcular la frecuencia v utilizando
(9-a) y, a continuación, por analogía con las ondas
electromagnéticas, de tomar c / v, la longitud de onda de De
Broglie. Obviamente, el razonamiento correcto consiste en calcular,
por ejemplo a partir de (10) (o, en el dominio no relativista, de la
relación ) El impulso asociado con la energía y, a
continuación utilizando (9-b) para encontrar .
(ii) De acuerdo con (9-a), la frecuencia v depende del origen
elegido para las energías. Lo mismo es cierto para la velocidad de
fase . Nota, por otro lado, que la velocidad de grupo
no depende de la elección del origen de energía. Esto
es importante en la interpretación física de .
* Nota del traductor: En los Estados Unidos, esta unidad se escribe
a veces GeV.
55

Wichmann (1,1), cap. 5; Eisberg y Resnick (1,3), § 3.1.
Complemento
RESTRICCIONES IMPUESTAS POR LAS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE
1. sistema macroscópico
2. sistema microscópico
Vimos en el § C-3 del capítulo I que la posición y el momento de una
partícula no puede ser al mismo tiempo se define con precisión
arbitraria: las incertidumbres correspondientes y debe
satisfacer la relación de incertidumbre:
Aquí tenemos la intención de evaluar numéricamente la importancia de
esta restricción. Vamos a demostrar que es completamente
insignificante en el dominio macroscópico y que se convierte, por
otro lado, que es crucial en el nivel microscópico.
1. sistema macroscópico
Tomemos de nuevo el ejemplo de una partícula de polvo (véase
complemento A), cuyo diámetro es del orden de y cuya masa
, con una velocidad . Su impulso es entonces
igual a:
Si su posición se mide con una precisión de , por ejemplo, la
incertidumbre en el impulso debe satisfacer:
Así, la relación de incertidumbre introduce prácticamente ninguna
restricción en este caso ya que, en la práctica, un dispositivo de
medición de impulso es incapaz de conseguir la precisión requerida
relativa de .
En términos cuánticos, la partícula de polvo es descrito por un
paquete de ondas cuya velocidad de grupo es y una media
de impulso es . Pero uno puede elegir por ejemplo una
extensión pequeña espacial y dispersión de impulso que ambos
son totalmente insignificantes. La máxima del paquete de ondas a
56

continuación representa la posición de la partícula de polvo, y su
movimiento es idéntico a la de la partícula clásica.
2. sistema microscópico
Ahora vamos a considerar un electrón atómico. El modelo de Bohr lo
describe como una partícula clásica. Las órbitas permitidas están
definidas por reglas de cuantización que se supone a priori: por
ejemplo, el radio de una órbita circular y el impulso del
electrón viajando en que debe satisfacer:
Donde n es un número entero.
Para que nosotros seamos capaces de hablar de esta manera de una
trayectoria de los electrones en términos clásicos, la incertidumbre
en su posición y el momento debe ser insignificante en comparación
con y , respectivamente:
Lo que significaría que:
Ahora la relación de incertidumbre impone:
Si se usa la fórmula (4) para reemplazar por en el lado
derecho, esta desigualdad se puede escribir como:
Vemos entonces que (8) es incompatible con (6), a menos que . La
relación de incertidumbre de lo que nos hace rechazar la imagen
semi-clásico de las órbitas de Bohr (véase § C-2 del capítulo VII).
Bohm (5,1), cap. 5, § 14.
Complemento
LAS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE Y PARÁMETROS ATÓMICOS
57

La órbita de Bohr no tiene realidad física cuando se combina con las
relaciones de incertidumbre (cf. complemento, B). Más adelante (cap.
VII), vamos a estudiar la teoría cuántica del átomo de hidrógeno.
Vamos a mostrar inmediatamente, sin embargo, cómo las relaciones de
incertidumbre habilitar una para entender la estabilidad de los
átomos e incluso para derivar simplemente el orden de magnitud de
las dimensiones y la energía del átomo de hidrógeno en su estado
fundamental.
Vamos a considerar, por tanto, un electrón en el campo culombiano
de un protón, que asumirá como estacionario en el origen del sistema
de coordenadas. Cuando las dos partículas están separadas por una
distancia , la energía potencial del electrón es:
Donde es su carga (exactamente opuesta a la del protón). Vamos a
establecer:
Supongamos que el estado del electrón es descrito por una función de
onda de simetría esférica, cuya magnitud espacial se caracteriza por
(esto significa que la probabilidad de presencia es prácticamente
nula más allá de o ). La energía potencial correspondiente a
este estado es entonces en el orden de:
Para que sea tan bajo como sea posible, es necesario tener tan
pequeño como sea posible. Es decir, la función de onda debe ser tan
concentrada como sea posible sobre el protón.
Pero también es necesario tener la energía cinética en cuenta. Aquí
es donde el principio de incertidumbre entra en juego: si el
electrón está confinado dentro de un volumen de dimensión lineal ,
la incertidumbre en su impulso es por lo menos del orden de .
En otras palabras, incluso si el impulso media es cero, la energía
cinética asociada con el estado bajo consideración no es cero:
Si tomamos menor con el fin de disminuir la energía potencial, la
energía cinética mínima (4) aumenta.
La menor energía total compatible con la relación de incertidumbre
es así el mínimo de la función:
58

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