formulas

1. Introducción
La ley de Darcy es un modelo matemático que indica el flujo de fluidos por un medio
poroso.
En el caso de la ingeniería de petróleos, esta ecuación posibilita la determinación de
propiedades importantes en la roca como la permeabilidad, pero es preciso reconocer
que al momento de caracterizar los fluidos de un yacimiento de petróleo presenta
ciertas limitaciones.
En el presento trabajo de investigación, se presentará el diseño de un permeámetro de
carga constante y así determinar la variable de permeabilidad de una roca porosa o un
medio arenoso, basándonos en el experimento que realizó el ingeniero Henry Darcy
en el año de 1856.
A su vez, también se presentará gráficamente el diseño del permeámetro para
visualizar detenidamente el funcionamiento de este dispositivo.
Objetivo
El objetivo del presente trabajo consiste en determinar el coeficiente de permeabilidad
de un suelo a través de la creación y diseño de un dispositivo que mida dicho
parámetro, basándose en el experimento de Darcy.
Marco Teórico
En el año de 1856 en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy se interesó
por los factores que influían en el flujo de agua a través de materiales arenosos una
vez le fue encomendada la misión de estudiar la red de abastecimiento de la ciudad.
Para esto, debía diseñar filtros de arena con los cuales se purificara el agua.
Básicamente el experimento consistía en emplear un recipiente de sección constante
llamado Permeámetro, por el cual se hace circular agua conectando uno de sus
extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula el
caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal
también constante.
Con esto Darcy pudo encontrar que la tasa a la cual el agua fluye a través del medio
poroso es directamente proporcional a la diferencia de altura entre los dos extremos
del lecho filtrante, e inversamente proporcional a la longitud del lecho; es decir:
Q∝ hA-hB y Q∝1L
El flujo es también proporcional al área perpendicular al escurrimiento, A.
Ec. 1
La ley de Darcy describe adecuadamente el flujo de fluidos monofásicos en medios
porosos relacionándolos proporcionalmente con la diferencia de altura aplicada en tres
factores:
* Un factor geométrico dado por la longitud y área del sistema poroso (L y A).

2. * Un factor que sólo depende del fluido: la Viscosidad dinámica ().
* Un factor que depende sólo del medio poroso: La Permeabilidad o Conductividad
hidráulica (), pues es propio y característica de cada arena (más gruesa o fina, o
mezcla de gruesa y fina, etc).
Por tanto la ecuación (1) se modifica a:
Donde (dh/dl) es conocido como el gradiente hidráulico. La cantidad dh representa el
cambio en la altura entre dos puntos situados muy cercanos, y dl es una distancia muy
pequeña. El signo negativo indica que el flujo es en la dirección de la altura
decreciente.
Método para la determinación de la conductividad Hidráulica
Existen diferentes métodos directos e indirectos para el cálculo de coeficiente K
de permeabilidad según Darcy, en este informe solo mencionaremos algunos
métodos indirectos.
Métodos Indirectos para Determinación de K
Sedimentos de grano grueso y no consolidado son los mejores productores de
agua subterránea que existen en la naturaleza.
Asimismo, arcillas son a menudo utilizadas en aplicaciones de ingeniería
debido a su reducida permeabilidad intrínseca.
Rangos típicos de permeabilidad intrínseca y conductividad hidráulica para
distintos tipos de sedimentos no consolidados se presentan en la Tabla 3.1.
La permeabilidad intrínseca es una función del tamaño de los poros en el
sedimento no consolidado. Mientras más pequeño es el tamaño de los
sedimentos, más grande es el área superficial en contacto con el agua
contenida en los poros. Este aumento en el área superficial provoca un
incremento en la resistencia friccional al flujo, lo que disminuye la
permeabilidad intrínseca. En sedimentos bien distribuidos (es decir no
homogéneos) la permeabilidad intrínseca es proporcional al tamaño
representativo del sedimento.
En el caso de depósitos aluviales arenosos es posible identificar una serie de
factores que relacionan la permeabilidad intrínseca y el tamaño representativo
del sedimento. Estos factores se listan a continuación:
El valor de la permeabilidad aumenta a medida que el
tamaño medio de los sedimentos se incrementa. Esto se debe al aumento en el
tamaño de los poros de suelo.
Si seleccionamos un tamaño fijo del diámetro medio de los sedimentos, la
permeabilidad del suelo será inversamente proporcional a la desviación estándar del
tamaño de los sedimentos. En efecto, si la desviación estándar es grande (es decir
una muestra con tamaños bien distribuidos) los sedimentos de menor tamaño

3. ocuparán parte de los poros del suelo lo que reducirá su capacidad de transporte de
agua. Muestras de tipo unimodal (es decir un tamaño de sedimento dominante) tiene
Permeabilidades más grandes que muestras de tipo bimodal (dos tamaños de grano
dominantes).
Valores de Permeabilidad.
Según estas referencias y haciendo una comparación con los valores típicos del
coeficiente de K de la siguientes tablas podremos observar el Arena de Jumbilla a qué
suelo típico correspondería tomando en cuenta las características físicas de la
muestras.
En la siguiente tabla podemos observar una tabla de valores típicos del coeficiente K
según Terzaghi K. y Peck. 1980
Modificaciones a la Ley de Darcy
En el caso de un yacimiento de petróleo, el flujo monofásico ocurre cuando la presión
dinámica de fondo de los fluidos de reservorio está por encima de la presión de punto
de burbuja a la temperatura del reservorio.
Durante la depleción del reservorio, la presión de este continúa cayendo, y puede
mantenerse por la inyección de fluidos en una recuperación asistida. Como
consecuencia, durante la depleción la presión dinámica cae por debajo del punto de
burbuja, lo cual resulta en la combinación de un flujo monofásico con uno bifásico
dentro del reservorio.
Muskat (1949) extendió la ecuación de Darcy a fin de modelar el flujo multifásico
agregando un factor de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una
curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema por lo que la
ecuación toma la forma:
Donde x=o,g,w (aceite, gas y agua)
Métodos directos
Diseño y experimento de un permeámetro
El diseño del siguiente permeámetro está diseñado para arenas sin embargo podría
usarse para suelos finos lo cual no garantizaría debido a que los suelos finos podrían
ser expansivos los cual incrementaría la presión en el tubo saliendo de todo
aproximación real.
Limitaciones o condiciones de validez de la ley de Darcy
La ley es precisa siempre y cuando exista:
* Fluido incompresible.
* Fluido homogéneo y monofásico.

4. * Fluido que no reaccione con el medio poroso.
* Fluido viscoso.
* Flujo lineal, no turbulento.
* Fluido isotérmico.
* Viscosidad independiente de la presión.
* Fluido que satura 100% el medio poroso.
* Medio homogéneo e isótropo.
Aplicación a la ingeniería de petróleo.
La ley de Darcy tiene como principal aplicabilidad en la determinación de la
permeabilidad. La permeabilidad es una propiedad que mide la capacidad de
transferencia que tienen los fluidos para atravesar la roca. En su forma más simple, la
ley de Darcy, se aplica a una losa rectangular de roca de la siguiente forma:
Donde:
q = Caudal en cm3/seg
μ =Viscosidad del fluido en centipoise
k = permeabilidad de la roca en Darcy
L = Largo de la Roca en cm
A = área de la sección transversal al flujo en cm2
(p1 - p2) = diferencia de presión en atm
Esta ecuación asume un estado estacionario, fluido incompresible, flujo lineal de un
fluido monofásico, en un medio poroso homogéneo y saturado con el mismo fluido.
Aunque estas condiciones raramente se encuentran en un reservorio, todos los
métodos prácticos están basados en la ley de Darcy.
Ecuación general de Darcy-Weisbach
Refiriéndonos exclusivamente a las pérdidas de carga por rozamiento o continuas en
tuberías de diámetro constante, flujo permanente de fluido incompresible y trayectorias
rectas o de pequeñas curvaturas, el rozamiento por unidad de sección del tubo, según
determinaciones experimentales crece proporcionalmente con la energía cinética por
unidad de masa y con la densidad del fluido.
en donde λ es un factor de proporcionalidad (adimensional), coeficiente de Fanning,
función a su vez de otros parámetros adimensionales.
Suponemos una tubería por la que circula un líquido incompresible de peso específico
γ, y en ella el volumen comprendido entre las secciones 1 y 2, separadas una distancia
L, formando un ángulo θ respecto a la horizontal, sobre la tubería actúan las siguientes
fuerzas (figura 3.1).

5. Figura 3.1. Elemento de tubería por el que circula un líquido
 Peso de la masa del líquido (P), aplicado en el cdg (G):
 Fuerzas de presión (P1·S y P2·S), que sería la fuerza que ejerce el resto del
líquido sobre las secciones 1 y 2, respectivamente.
 Fuerza de rozamiento (F), en sentido contrario al movimiento y debida al
rozamiento ( ) del líquido con las paredes de la tubería.
F = · Superficie con la que roza = · c · L
La superficie lateral del cilindro considerado es un rectángulo de base L y altura c,
siendo c el perímetro de la sección circular, figura 3.2.
Proyectando sobre el eje hidráulico las fuerzas que actúan sobre el cilindro
considerado:
Dividiendo por S · γ :

6. El primer miembro de la igualdad, , es la diferencia de las
alturas piezométricas entre los puntos 1 y 2, es decir, la pérdida de carga que se
produce en ese trayecto.
Entonces, (1)
Se comprueba experimentalmente que , siendo un factor de
proporcionalidad adimensional conocido como coefiente de Fanning.
Además, el radio hidráulico es y como = ρ · g , entonces
Introduciendo estos valores en (1):
En tubería cilíndrica, , por lo que:

7. Llamando 4 · = f coeficiente de fricción, la ecuación general de Darcy-Weisbach:
La pérdida de carga por unidad de longitud será:
La pérdida de carga continua es directamente proporcional a la velocidad del líquido y
a la longitud del tramo de tubería que estamos considerando, e inversamente
proporcional a su diámetro.
El factor de fricción (f) es adimensional y es función del número de Reynolds y de la
rugosidad relativa de la tubería, parámetro que da idea de la magnitud de las
asperezas de su superficie interior:
Es un hecho demostrado que la rugosidad relativa no influye sobre f en régimen
laminar (Re 2000), ya que el rozamiento se debe fundamentalmente a la fricción de
unas capas de fluido sobre otras y no de éstas sobre las paredes de la tubería. Sin
embargo, para Re 2000 las cosas cambian y la rugosidad relativa adquiere notable
importancia, como veremos posteriormente.
La ecuación de Darcy - Weisbach puede ponerse en función del caudal circulante, ya
que el caudal que fluye por una conducción circular a plena sección está ligado al
diámetro y a la velocidad media por la relación:
donde
Sustituyendo en la ecuación de Darcy - Weisbach:
que es la ecuación de Darcy-Weisbach en función del caudal
La pérdida de carga por unidad de longitud será:
Se deduce que un aumento en el caudal o un aumento en la velocidad del líquido
implica un aumento en la pérdida de carga, mientras que diámetro y pérdida de carga
están inversamente relacionados.

8. Diseño y experimento de un permeámetro
El diseño del siguiente permeámetro está diseñado para arenas sin embargo podría
usarse para suelos finos lo cual no garantizaría debido a que los suelos finos podrían
ser expansivos los cual incrementaría la presión en el tubo saliendo de todo
aproximación real.
Materiales para el Diseño
1. Tubo de agua PVC diámetro de 2 pulgadas 0.5 metro.
2. Tubo de agua de PVC diámetro de 1 pulgadas 0.40 metros
3. Tabla de Picar de plástico o algún otro elemento 1 unidad
4. Codos de PVC de ½ pulgada tipo rosca 2 unidades
5. Llaves de paso de plástico ½ pulgada 2 unidades
6. Pegamento para tubo (gomalaca) 1/8 litro
7. Esponja de 1 pulg de espesor de 30cmx50cm 1 unidad 8. Manguera transparente
de ½ pulgada 2 metros
9. Manguera ½ pulgada de Jebe 4metros
10. Manguera de 3/8 pulgada 3 metro
11. Tubo transparente de ¼ pulgada 3 metro
12. Reducción de PVC de 3 a 1pulg 1 unidad
13. Reducción de 1 a ½ pulgada 1 unidad
14. Cinta aislante para embone 1 unidad
15. Silicona 1 unidad
16. Cinta teflón 1 unidad
17. Galón de plástico 1 unidad
18. Escobilla lavaplatos 1 unidad
19. Abrazaderas de 1 pulgada 2 unidad
20. entre otros
Esquema general del Equipo en imágenes
Flitro nº 1
Alimentación de flujo.
Tanque de Flujo Constante
Modo de Empleo del Dispositivo
Para este dispositivo, se tomaran en cuenta para la medición los siguientes pasos:

9. 1. Se coloca el fluido (agua) en el tanque de flujo constante.
2. Se abre la válvula de paso para que la muestra del suelo se sature.
3. Luego se deja pasar el agua a través del dispositivo.
4. Recolectar el agua y hacer las medición de cantidad de liquido en una cantidad de
tiempo determinada o en un tiempo determinado que cantidad de flujo saldrá.
Conclusión
* El cálculo del parámetro de conductividad es fundamental para predecir el
comportamiento y cuantificar el flujo del agua en los medios porosos.
* El equipo diseñado está en capacidad para realizar los experimentos por el método
de carga variable, bastaría incorporar un tubo vertical transparente y hacer unas
mediciones y toma de datos adicionales.