Aplica los conceptos y propiedades del álgebra booleana, para optimizar expresiones booleanas y diseñar circuitos básicos con compuertas lógicas.

1. Unidad IV
Álgebra Booleana
Tecnológico Nacional de México

2. Competencia específica a desarrollar
• Aplica los conceptos y
propiedades del álgebra
booleana, para optimizar
expresiones booleanas y diseñar
circuitos básicos con compuertas
lógicas.

3. Temario
• Representación de expresiones booleanas con
circuitos lógicos.
• Optimización de expresiones booleanas.
• Mini y maxi términos.
• Aplicación del álgebra booleana.

4. Introducción
• El álgebra booleana fue desarrollada por George
Boole; que se representa hoy en día a través de los
circuitos lógicos de control, ya que tienen una gran
importancia, ya que las computadoras, los sistemas
telefónicos, los robots y cualquier operación
automatizada en una empresa, son algunos de los
ejemplos de la aplicación de éstos y del álgebra
booleana.

5. Señal
• Una señal es la representación de información, y puede aparecer en
forma de valor o de una cadena de valores de una magnitud física.
Existen principalmente dos clases de señales: analógicas y digitales.

6. Señales analógicas y digitales
• La señal analógica tiene como característica principal el
continuo cambio de magnitud, de la misma manera que una
corriente eléctrica y una presión de gas.
• En la señal digital los posibles valores de tensión están
divididos en un número finito de intervalos, a cada uno de los
cuales está asignado un valor o una cadena de valores como
información.

7. Expresiones Booleanas
• Se puede decir en general que una expresión booleana es un sistema de símbolos
que incluyen 0, 1, algunas variables (A, B, C, D) y las operaciones lógicas AND,
OR y NOT.

8. Expresiones Booleanas (Cont.)
• Las señales binarias usan un falso (0) o
un verdadero (1) que proviene de sensores
que mandan la información al circuito de
control, mismo que lleva a cabo la
evaluación para obtener un valor que
indicará si se lleva a cabo o no una
determinada actividad, como encender un
foco, arrancar un equipo de ventilación en
un cine o ejecutar una operación
matemática en una computadora.
El álgebra de booleana trabaja con señales binarias (0 y 1).

9. Compuerta NOT (“No”)
• Esta compuerta presenta en su salida un valor que es el
opuesto del que está presente en su única entrada. En
efecto, su función es la negación. Se utiliza cuando es
necesario tener disponible un valor lógico opuesto a uno
dado. La figura muestra el símbolo utilizado en los
esquemas de circuitos para representar esta
compuerta, y su tabla de verdad.

10. Compuerta AND (“y”)
• Con dos o más entradas, esta compuerta realiza
la función booleana de la multiplicación. Su
salida será un “1” cuando todas sus entradas
también estén en nivel alto. En cualquier otro
caso, la salida será un “0”.
• El operador AND se lo asocia a la
multiplicación(x). En efecto, el resultado de
multiplicar entre si diferentes valores binarios
solo dará como resultado “1” cuando todos ellos
también sean 1, como se puede ver en su tabla
de verdad.

11. Compuerta OR (“o”)
• La función booleana que realiza la compuerta
OR es la asociada a la suma, y
matemáticamente la expresamos como “+”.
• Esta compuerta presenta un estado alto en su
salida cuando al menos una de sus entradas
también está en estado alto.
• En cualquier otro caso, la salida será 0.
• Tal como ocurre con las compuertas AND, el
número de entradas puede ser mayor a dos.
Nota: En álgebra booleana la suma de
1+1 siempre dará un 1 como resultado

12. Elaboración de un circuito lógico a partir de una
expresión booleana
• Expresión:
F = (AB) + (AB’)
• Circuito

13. Procedimiento de construcción
• Paso 1. Analizar la expresión. Esto significa identificar cuantas compuertas
vamos a necesitar.
El símbolo de “+” representa
una compuerta “OR”
Cuando vemos dos
variables juntas, se
esta presentando
una multiplicación.
En esta expresión
tenemos dos
paréntesis, por lo
tanto se usarán dos
compuertas “AND”
Aquí existe una negación,
eso significa que vamos a
utilizar una compuerta
“NOT”

14. Procedimiento de construcción
• Paso 2. Se dibuja el circuito a partir del símbolo de “=“ (de izquierda a derecha), esto
significa que primero se dibujará una compuerta “AND” que representará a (AB).
Las compuertas
“AND” representan
una multiplicación
AND

15. Procedimiento de construcción
• Paso 3. Una vez dibujado el primer paréntesis, avanzamos al siguiente (AB’).
Negación de B
AND
NOT
AND

16. Procedimiento de construcción
• Paso 4. Con las dos compuertas AND ya dibujadas terminaremos el circuito utilizando una
compuerta “OR” que representa la suma entre (AB) y (AB’). Al agregar ésta compuerta, el circuito
queda de la siguiente manera:
Representación de la suma
(+) a través de la compuerta
“OR”
Todos los circuitos
llevan salida y se
presenta con una
letra “F” o “X”
AND
AND
NOT
OR

17. Procedimiento de construcción
• Paso 5. El último paso sería la elaboración de la tabla de verdad tanto de la
expresión booleana como del circuito lógico.
A B B' AB AB' F=(AB)+(AB')
1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
AND
AND
NOT
OR

18. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico
• En ocasiones es necesario obtener la expresión booleana de un circuito
lógico. El primer paso es identificar variables que conformarán la
expresión y las compuertas lógicas a utilizar.
A, B, C Variables
2 Compuerta "AND"
1 Compuerta "OR"
1 Compuerta "NOT"

19. Obtener expresión y tabla de verdad

20. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico
• Una vez que se ha analizado el circuito lógico, se debe de tomar en consideración cual es la compuerta que
representa la salida del circuito, para este caso la salida esta representada por una compuerta “OR” es decir
una suma.
• Esta suma tendrá como primer sumando y segundo sumando dos compuertas “AND”. No olvidar que las
compuertas AND son multiplicaciones.

21. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico (Cont.)
• Paso 2. Vamos a obtener el primer sumando, para ello se debe comenzar por la parte
superior del circuito lógico y con esto se obtiene la primer parte de la expresión.
• Primera parte de la expresión:
AB

22. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico (Cont.)
• Paso 3. Vamos a obtener el segundo sumando, para ello se debe comenzar por la parte baja
del circuito lógico y con esto se obtiene la segunda parte de la expresión.
• Segunda parte de la expresión:
BC’
No olvidar la negación de C

23. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico (Cont.)
• Paso 4. Vamos a colocar la expresión completa tomando en cuenta la salida del
circuito que es una compuerta “OR” (suma).
• Primera parte de la expresión:
AB
• Segunda parte de la expresión:
BC’
• Expresión final
X= AB + BC’ o bien X= (AB) + (BC’ )

25. Obtención de una expresión booleana a partir de un circuito lógico (Cont.)
• Paso 5. Para finalizar, vamos realizar la tabla de verdad de la expresión booleana y
el circuito lógico.
A B C C' AB BC' X= AB + BC'
1 1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
• Expresión final
X= AB + BC’ o bien X= (AB) + (BC’ )

26. Simplificación de expresiones booleanas utilizando Mapas de Karnaugh
• El método del Mapa de Karnaugh es un
procedimiento simple y directo para minimizar las
expresiones booleanas, y fue propuesto por Edward
W. Veith y modificado ligeramente por Maurice
Karnaugh.
• El mapa representa un diagrama visual de todas las
formas posibles en que se puede plantear una
expresión booleana en forma normalizada. Las tablas
o mapas se dividen en cierto número de casillas
dependiendo de la cantidad de variables que
intervengan en la expresión.

27. Simplificación de expresiones booleanas utilizando Mapas de
Karnaugh
• El número de casillas se puede calcular con la fórmula:
• Número de casillas = 2n
• En donde n es el número de variables. Así a una expresión de 2
variables le corresponderá un mapa de 4 casillas, a una de 3
variables un mapa de 8 casillas y así sucesivamente.

28. Minitérminos
• Un minitérmino es aquel que forma parte de la expresión que se puede escribir de manera
más simple formando lo que se conoce como álgebra elemental como un monomio.
• Por ejemplo, en la expresión:
F= X’Y + XY
• Consta de dos minitérminos, X’Y y XY y como se muestra a continuación en las casillas
respectivas de la tabla correspondiente se pone un 1 si el minitérmino se encuentra en la
expresión o un 0 si no está.

29. Ejemplo
• Expresión:
F= X’Y + XY
Mapa de Karnaugh con dos
variables
n Resultado:
F= Y

30. Mapa de Karnaugh con tres variables
n Expresión:
F= XY’Z’ + XY’Z + X’YZ’ + XYZ’
n Resultado:
F = XY’ + YZ’

31. Mapa de Karnaugh con tres variables
n Expresión:
F= XY’Z’ + XY’Z + X’YZ’ + XYZ’

32. Mapa de Karnaugh con cuatro variables
n Expresión:
F= W’X’ + W’XY’Z + W’XYZ + WXY’Z’ + WX’Y’Z’ + WX’YZ’
n Combinaciones faltantes:
W’X’ = W’X’YZ + W’X’Y’Z + W’X’YZ’ + W’X’Y’Z’

33. Mapa de Karnaugh con cuatro variables
n Expresión:
F= W’X’ + W’XY’Z + W’XYZ + WXY’Z’ + WX’Y’Z’ + WX’YZ’
n Resultado:
F= X’Z’ + W’Z + WY’Z’

34. Bibliografía
1. Jiménez, J. (2008). “Matemáticas para la computación”.
(2da. Ed.). México: Alfaomega.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). “Matemáticas Discretas”. (6ta.
Ed.). México: Pearson Educación. Rosen, H. (2004).
3. “Matemática Discreta y sus aplicaciones". (5ta. Ed.). Edición.
España: McGrawHill.
4. Universidad Autónoma de México.( 2006) Matemáticas IV
(Matemáticas Discretas). México.
Disponible desde Internet en: http://fcaenlinea.unam.mx/
apuntes/interiores/docs/98/6/mate_4.pdfn [Con acceso el 4
de enero de 2010].