1. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Estadística III
Tercera Lectura
David Medina
ITSPe
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Estadística III Tercera Lectura
2. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Outline
Bloques
Introducción
Diseño BCA
Introducción
Modelo para el BCA
Modelo
Resumen
Resumen ANOVA
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3. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Introducción
La idea de formar bloques consiste en aislar conjuntos de
unidades experimentales que son razonablemente
homogéneas para asignarles tratamientos al azar.
Para que quede más claro lo que es un bloque, considere un
experimento para comparar cuatro métodos para medir una
propiedad física en particular de una sustancia fluida. Se
decidió que con cada método habrían de tomarse 5
mediciones, por lo que se seleccionaron al azar 20 muestras
de un lote grande y se utilizaron en el experimento para
comparar los cuatro dispositivos de medición.
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4. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Introducción
Si en vez de ocupar las 20 muestras en un sólo día y se eligen
5 días y se prueba cada método, se tiene entonces que cada
día es un bloque.
La manera más directa de los diseños aleatorios de bloques es
aquella donde se asigna al azar un tratamiento por vez en cada
bloque. Un plan experimental así se denomina diseño por
bloques completamente aleatorio, y cada bloque constituye
una sola réplica de los tratamientos.
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5. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Diseño BCA
Un plan clásico del diseño por bloques completamente
aleatorio (BCA) con tres mediciones en cuatro bloques, es el
siguiente:
Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4
t2 t1 t3 t2
t1 t3 t2 t1
t3 t2 t1 t3
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6. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Diseño BCA
Las t denotan la asignación de cada uno de tres tratamientos a
los bloques. Por supuesto, la asignación verdadera de los
tratamientos a las unidades dentro de los bloques se hace al
azar. Una vez que ha finalizado el experimento, los datos se
registran en el arreglo de 3 × 4 que se presenta a continuación:
Tratamiento Bloques 1 2 3 4
1 y11 y11 y13 y14
2 y21 y22 y23 y24
3 y31 y32 y33 y34
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7. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Diseño BCA
donde y11 representa la respuesta que se obtiene usando el
tratamiento 1 en el bloque 1, y12 es la respuesta por usar el
tratamiento 1 en el bloque 2,..., y y34 es la respuesta por
emplear el tratamiento 3 en el bloque 4.
De manera general consideremos el caso de k tratamientos
asignados a b bloques. Los datos se resumen en un arreglo
rectangular de k × b. Se supondrá que las yij son valores de
variables aleatorias independientes que tienen distribuciones
normales con medias µij y varianza común σ2.
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9. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Diseño BCA
Sea µi. el promedio de las b medias poblacionales para el
i-ésimo tratamiento. Es decir:
µi. =
1
b
b
j=1
µij.
De manera similar, el promedio de las medias poblacionales
para el j-ésimo bloque µ.j está dado por:
µ.j =
1
k
k
i=1
µij,
y el promedio de las bk medias poblacionales, µ, está dado por:
µ =
1
bk
k
i=1
b
j=1
µij.
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10. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Introducción
Diseño BCA
Para detrerminar si parte de variación de nuestras
observaciones se debe a diferencias entre los tratamientos se
considera la prueba:
H0 : µ1. = µ2. = · · · = µ,
H1 : No todas las µi son iguales.
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11. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
Modelo BCA
Cada observación puede escribirse en la forma siguiente:
yij = µij + ij,
donde ij mide la desviación del valor observado yij de la media
poblacional µij. La forma preferida de esta ecuación se obtiene
al sustituir
µij = µ + αi + βj,
donde αi es, como antes, el efecto del i-ésimo tratamiento, y βj
es el efecto del j-ésimo bloque. Se supone que el tratamiento y
los efectos de los bloques son aditivos. Por lo tanto, puede
escribirse
yij = µ + αi + βj + ij.
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12. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
Cada una de las pruebas sobre los tratamientos se basará en
comparar estimadores independientes de la varianza común
poblacional σ2. Dichos estimadores se obtendrán con el
desglose de la suma total de cuadrados de los datos en tres
componentes usando la siguiente identidad:
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13. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
Identidad de la suma de cuadrados
k
i=1
b
j=1
(yij − ¯y..)2
= b
k
i=1
(¯yi. − ¯y..)2
+ k
b
j=1
(¯y.j − ¯y..)2
+
k
i=1
b
j=1
(yij − ¯yi. − ¯y.j + ¯y..)2
.
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14. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
La identidad de la suma de cuadrados se representa
simbólicamente con la ecuación
SST = SSA + SSB + SSE,
donde
SST =
k
i=1
b
j=1
(yij − ¯y..)2
,
SSA = b
k
i=1
(¯yi. − ¯y..)2
,
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15. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
SSB = k
b
j=1
(¯y.j − ¯y..)2
,
SSE =
k
i=1
b
j=1
(yij − ¯yi. − ¯y.j + ¯y..)2
.
El cuadrado de la media del tratamiento está dado por:
s2
1 =
SSA
k − 1
.
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16. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
Otro estimador de σ2 está dado por:
s2
2 =
SSB
b − 1
.
Un tercer estimador de σ2 es:
s2
=
SSE
(k − 1)(b − 1)
.
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17. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Modelo
ANOVA
La hipótesis nula se rechaza con el nivel de significancia α
cuando
f1 > fα[k − 1, (k − 1)(b − 1)],
donde
f1 =
s2
1
s2
,
y fα[k − 1, (k − 1)(b − 1)] es el valor de una variable que tiene
una distribución F con k − 1 y (k − 1)(b − 1) grados de libertad.
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18. Bloques Diseño BCA Modelo para el BCA Resumen
Resumen ANOVA
Resumen
F. V. S. C. G. L. M. C. f
Tratamientos SSA k − 1 s2
1 = SSA
k−1 f1 =
s2
1
s2
Bloques SSB b − 1 s2
2 = SSB
b−1
Error SSE (k − 1)(b − 1) s2 = SSE
(k−1)(b−1)
Total SST kb − 1
F. V. Fuente de variación.
S. C. Suma de cuadrados.
G. L. Grados de libertad.
M. C. Media cuadrática.
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