Solucionario Uni

1. 1
Pregunta N.º 1
En una biblioteca municipal existen en total 72
libros de matemática y literatura, los que están
en relación de 5 a 3 respectivamente. El número
de libros de literatura que deben agregarse para
que la relación sea de 9 a 10 es:
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución
Tema
Razones
Análisis y procedimiento
N.º de
libros de
matemática
N.º de
libros de
literatura
Total de
libros
Lo que
se tiene
5×(9) 3×(9) 8×(9)=72
(Dato)
Se observa que hay lo siguiente:
• 45 libros de matemática y
• 27 libros de literatura
Luego, si agregamos x libros de literatura, ten-
dríamos:
• 45 libros de matemática
• 27+x libros de literatura
Tema P
Matemática
Por condición del problema, tenemos
45
9
27
10
=
+ x
→ x=23
Respuesta
El número de libros de literatura que deben
agregarse es 23.
Alternativa C
Pregunta N.º 2
Un libro se ofrece en venta recargándose el r por
ciento del precio del costo, pero a un estudiante
al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el
vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron
al estudiante?
A)
100
100 +( )r
B)
r
r
+100
100
C)
100 +( )r
r
D)
1
0 01
1
, +






r
E)
1
0 01
1
, −






r
Examen de Admisión UNI 2010-I

2. 2
Matemática
Resolución
Tema
Tanto por ciento
Análisis y procedimiento
Sea
PC: Precio de costo
PF: Precio fijado
Según el enunciado tenemos
Si el vendedor no ganó ni perdió, entonces
(Precio de costo) = (Precio de venta)
Reemplazando, tenemos:
P p r PC C= − +( )%( )%·100 100
1
100
100
100
100
=
− +( ) ( )p r
p
r
r
=
+
100
100
Equivale a
p
r
=
+
1
0 01
1
,
Observación
En el problema piden cuánto le rebajaron al estudiante,
es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo cual
se necesita conocer el precio de costo, y no habría
alternativa. Sin embargo, el problema sólo debe pedir
el valor de p. Considerando eso, habría clave.
Respuesta
El valor de p es
1
0 01
1
, +
r
.
Alternativa D
Pregunta N.º 3
Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La
primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 días;
la segunda de S/.200 000 pagadera en 60 días y
la tercera de S/.400 000 con un plazo de 90 días.
¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada
una letra única cuyo valor nominal sea la suma de
los valores nominales de las tres letras? Suponga
que la tasa de interés es constante.
A) 70 días B) 71 días C) 72 días
D) 73 días E) 74 días
Resolución
Tema
Regla de descuento
Análisis y procedimiento
De los datos se tiene
Como el valor nominal de la única letra es igual a
la suma de los valores nominales de las tres letras
anteriores y todas son descontadas a la misma
tasa, aplicamos tiempo de vencimiento común
y obtenemos
x =
( )+ ( )+ ( )30 80000 60 200000 90 400000
680000
∴ x=74,11...
Observación
Como el problema pide el tiempo en días se
considerará 74 días.

3. 3
Matemática
Respuesta
La única letra que debe pagarse es dentro de
74 días.
Alternativa E
Pregunta N.º 4
¿En cuántos sistemas de numeración el número
1234 se escribe con tres cifras?
A) 23 B) 24 C) 25
D) 26 E) 27
Resolución
Tema
Numeración
Análisis y procedimiento
Si el número 1234 se escribe con tres cifras en
el sistema de numeración de base n, entonces,
tenemos
100(n) ≤ 1234 < 1000(n)
→ n2
≤ 1234 < n3
→ 10 1234 1234 353
,... ,...= < ≤ =n
Luego, los valores de n son
11 12 13 35
35 10 25
; ; ;...;
− = números
Respuesta
Hay 25 sistemas de numeración, en los cuales el
número 1234 se escribe con tres cifras.
Alternativa C
Pregunta N.º 5
Indique la secuencia correcta después de
determinar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
I. La suma de un número natural y un número
entero es un número natural.
II. Sean a y b dos números enteros, entonces
existe un número c entero tal que a=bc.
III. La cantidad de elementos del conjunto de
los números enteros positivos múltiplos
de siete, es igual a la cantidad de elementos
del conjunto de los números naturales.
A) VVV B) VFF C) FVV
D) FFV E) FFF
Resolución
Tema
Conjuntos
Análisis y procedimiento
I. Falsa
Porque no cumple en todos los casos.
Ejemplo
• 4: es un número natural.
• – 7: es un número entero.
Entonces
4 7 3+ − = −( )
suma
(no es un número natural)
II. Falsa
Porque no cumple en todos los casos.
Ejemplo
Si a=3 y b=6
entonces, reemplazamos en a=b × c.
3=6 × c
∴ c=0,5 (no es entero)
III. Verdadera
Como los dos conjuntos son infinitos y
se puede establecer una relación de uno
a uno (bionívoca) entre los elementos
de ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual
cantidad de elementos.
Respuesta
La secuencia correcta de las proposiciones es FFV.
Alternativa D

4. 4
Matemática
Pregunta N.º 6
Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si m y n son números enteros no divisibles por
3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un
múltiplo de tres.
II. Si m y n son múltiplos de 3 con m > n > 0
entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres.
III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0
entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFF
Resolución
Tema
Divisibilidad
Análisis y procedimiento
I. Como m y n no son divisibles por 3, entonces
(m= 3
o
+1 ó m=3
o
+2) y (n=3
o
+1 ó n=3
o
+2)
Analizamos dos casos
(*) Si los residuos son iguales
→ m+n ≠ 3
o
y m – n=3
o
(*) Si los residuos son diferentes
→ m+n = 3
o
y m – n≠3
o
Entonces, la suma o diferencia de m y n es un
múltiplo de 3; por lo tanto, la proposición (I)
es verdadera (V).
II. Como m y n son múltiplos de 3 y m > n >0,
tomaremos un ejemplo para analizar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
Sean m=42 y n=21 ambos múltiplos de 3
(m > n).
→ = ≠
m
n
2 3
o
Como se puede observar, el cociente no
resultó 3
o
.
Por lo tanto, la proposición (II) es falsa (F).
III. Como m y n son múltiplos de tres con m,
n > 0.
→ m=3k y n=3p; (k > p).
Luego, tenemos
MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3×MCD(k, p)= 3
o
por propiedad
→ MCD(m, n)= 3
o
Por lo tanto, la proposición (III) es verda
dera (V).
Respuesta
La secuencia correcta de las proposiciones es VFV.
Alternativa B
Pregunta N.º 7
Sean los números
N1=63a+1
×8a
, N2=8a
×33a+1
donde la cantidad de los divisores de N1 es igual
a la cantidad de los divisores de N2 aumentado
en 20. Entonces el valor de 2a –1 es
A) 1. B) 3. C) 5.
D) 7. E) 9.
Resolución
Tema
Números primos y compuestos

5. 5
Matemática
Análisis y procedimiento
Por dato tenemos los números
N1=63a+1
×8a
y N2=8a
×33a+1
Cuyas descomposiciones canónicas son
N1=26a+1
×33a+1
N2=23a
×33a+1
Además, por condición se tiene que
CD(N1)=CD(N2)+20
→ (6a+2)×(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ 2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ (3a+1)(3a+2)=20=4×5
4 5
→ 3a+1=4
∴ a=1
Luego, 2a –1=2(1) –1=1.
Respuesta
Por lo tanto, el valor de (2a – 1) es 1.
Alternativa A
Pregunta N.º 8
Determine el valor de a+b – c si se tiene que
(ab)3
=1c8ab.
A) – 1 B) – 2 C) 1
D) 2 E) 3
Resolución
Tema
Potenciación
Análisis y procedimiento
Por dato
1c8ab=ab
3
Luego, por terminación de cifra,
b ∈ {1; 4; 5; 6; 9} (I)
Tenga en cuenta que si b=0, el numeral termi-
naría en tres ceros.
Además
203
< 1c8ab < 303
→ a=2
Luego
1c82b=2b
3
1c800=2b
3
– 2b
1c800=(2b –1)×2b×(2b+1)=
8
25
o
o





De (I): b=4 → c=3
∴ a+b – c=3
Respuesta
El valor de (a+b – c) es 3.
Alternativa E

6. 6
Matemática
Pregunta N.º 9
Dada la siguiente relación:
y – |y|=x –|x|;
diga cuál de las siguientes gráficas es la que le
corresponde:
A) B)
C)
D) E)
Resolución
Tema
Gráfica de relaciones
Análisis y procedimiento
En la resolución del problema, aplicamos la
definición de valor absoluto.
x
x x
x x
=
≥
− <



;
;
si
si
0
0
En el problema nos piden la gráfica de
y –|y|=x –|x| (1)
Caso 1: y ≥ 0
Reemplazamos en 1
y – y=x –|x| → x=|x| → x ≥ 0
cuya gráfica será
Caso 2: y < 0
Reemplazamos en 1
y+y=x –|x| → y
x x
=
−
2
y
x
x x
=
≥
<



0 0
0
;
;
si
si
pero como y < 0 → y=x; x < 0
Luego, la gráfica pedida es la unión del gráfico 1
con el gráfico 2.
Respuesta
La gráfica de la relación es
Alternativa D

7. 7
Matemática
Pregunta N.º 10
Si las raíces de la ecuación
x2
– (a+d)x+ad – bc=0
son x1=3, x2=5; y las raíces de la ecuación
y2
– (a3
+d3
+3abc+3bcd)y+(ad – bc)3
=0
son y1, y2. Entonces el valor de y2
1 y2+y1y2
2 es:
A) 213 000
B) 313 000
C) 413 000
D) 513 000
E) 613 000
Resolución
Tema
Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
En la ecuación
x2
–(a+d)x+ad – bc=0, de raíces x1=3 y x2=5
aplicamos el teorema de Cardano
x1+x2=8=a+d (α)
x1x2=15=ad – bc
En la ecuación
y2
–(a3
+d 3
+3abc+3bcd)y+(ad – bc)3
=0, de
raíces y1, y2
aplicamos el teorema de Cardano:
y1 · y2=(ad – bc)3
=153
=3375
y1+y2=a3
+d 3
+3abc+3bcd (b)
De (α):
a+d=8, elevamos al cubo
a3
+d 3
+3ad(a+d)=83
a3
+d 3
=83
–3ad(a+d)
Reemplazamos en (b).
y1+y2=83
– 3ad(a+d)+3bc(a+d)
= − +( ) −[ ]8 33
8 15
a d ad bc
y1+y2=83
–3(8)(15)=152
Nos piden
y y y y y y y y1
2
2 1 2
2
1 2 1 2+ = +( )
y y y y1
2
2 1 2
2
3375 152 513 000+ = ( ) =
Respuesta
El valor de y y y y1
2
2 1 2
2
+ es 513 000.
Alternativa D
Pregunta N.º 11
Sean A, B conjuntos no-vacíos.
Señale la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la proposición
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si
(x, y); (x, z) ∈ f={(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} ⊂ A×B
implica que y=z, entonces podemos decir
que f es un función de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyec-
tiva.
III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyec-
tiva.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FFF
Resolución
Tema
Funciones

8. 8
Matemática
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para determinar el valor de verdad recordemos
la definición de función.
f es una función de A en B
↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x; y) ∈ f
I. Verdadero
Pues si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f implica y=z.
Significa que dos pares ordenados diferentes
de f no tienen la misma primera componente.
Por lo tanto, f es una función.
II. Falso
Pues tenemos la siguiente función constante
f : R → {k}, para f(x)=k
f es sobreyectiva, pero no es inyectiva.
III. Falso
Pues si tenemos la función lineal
f : [0; 5] → [0; 6] tal que f(x)=x
f es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva,
pues el Ranf=[0; 5] es diferente al conjunto
de llegada B=[0; 6].
Respuesta
La secuencia correcta es VFF.
Alternativa C
Pregunta N.º 12
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de ein
– 1=0, pertenecen a un
polígono regular de n lados, ∀ n ∈ N
II. Si eiθ
=a+bi y θ ∈
π π
4
3
4
; , entonces
a ∈ −
2
2
2
2
; y b ∈
2
2
1; .
III. Dados α, β ∈ 〈0; 2π〉, tales que β > α, si
cos(a)=cos(β), entonces ei(a+b)
=1.
Indique cuáles son correctas.
A) solo I
B) solo II
C) solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución
Tema
Números complejos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
En el problema aplicaremos la definición de
exponencial compleja.
Veamos cada una de las afirmaciones:
I. Falso
Resolvemos
ein
– 1=0 (considerando e=2,718281...
ein
=e2kpi
y i = −1 )
→ n=2kp; k ∈ Z
Las soluciones de la ecuación no forman un
polígono de n lados.
II. Falso
Veamos un contraejemplo:
De q ∈
π π
4
3
4
; tomamos θ
π
=
2
entonces, a=0 y b=1 ∉
2
2
1;

9. 9
Matemática
III. Verdadero
Como a, b ∈ 〈0; 2p〉; b > a
además, cosa=cosb; entonces, a+b=2p
de donde ei(a+b)
=ei(2p)
=1
Respuesta
La proposición verdadera es solo III.
Alternativa C
Pregunta N.º 13
Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R,
x x x
x
3 2
7 15 9
1
3
5
− + − =





log
.
Halle la cantidad de elementos de S.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución
Tema
Ecuación logarítmica
Análisis y procedimiento
Para determinar el número de soluciones reales
usaremos gráficas de funciones. Para ello reduci-
mos las expresiones; así:
x x x
x
3 2
7 15 9
1
3
5
− + − =





log
∧ x > 0; x ≠ 1
→ −( ) −( ) = 





x x x1 3
2
3
5
log
f(x) g(x)=
∧ x > 0; x ≠ 1
Graficamos
Se observa que las gráficas se cortan sólo en un
punto; entonces, solo tiene una solución real.
Respuesta
La cantidad de elementos de S es 0.
Alternativa A
Pregunta N.º 14
Si A =
− − −









1 1 1
0 0 0
0 0 1
. Calcule S=A42
+A55
.
A) A =










0 0 1
0 0 0
0 0 2
B) A =
−









0 0 1
0 0 0
0 0 2
C) A =
−










0 0 1
0 0 0
0 0 2
D) A =
−
−










0 0 1
0 0 0
0 0 2
E) A =










0 0 1
0 0 0
0 0 3

10. 10
Matemática
Resolución
Tema
Matrices
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para determinar potencias de una matriz, una de
las formas es mediante el polinomio característico:
P(x).
Si A ∈ Rn×n
: P(x)=det(A – xI)
Hallemos el polinomio característico de A.
P(x)=det(A – xI)
P
x
x
x
x( ) =
− − −









−










1 1 1
0 0 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
P
x
x
x
x( ) =
− −( ) − −
−
−( )
1 1 1
0 0
0 0 1
P(x)=x – x3
Entonces, P(A)=A – A3
=f (f: matriz nula)
↔ A3
=A ↔ A3k
=A; ∀ k ∈ Z+
Reemplazamos en A42
+A55
=(A3
)14
+(A3
)18
A
=A+(A)A=A+A2
Determinamos
A2
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0
0 0 1
=
− − −









− − −









=










→ A A2
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 1
0 0 0
0 0 1
+ =










+
− − −









=
−









0 0 1
0 0 0
0 0 2
Respuesta
La matriz A42
+A55
es
0 0 1
0 0 0
0 0 2
−









Alternativa B
Pregunta N.º 15
Dado el sistema
2x – y+z=1
x+4y+2z=– 1
¿Cuál de las siguientes ecuaciones
I. x – 5y – z=2,
II. 3x+3y+3z=2,
III. 5x+2y+4z=1,
puede agregarse al sistema anterior de modo que
el conjunto solución no varíe?
A) solo I B) I y II C) I y III
D) solo II E) solo III
Resolución
Tema
Sistema de ecuaciones lineales
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Una característica de los sistemas es que si
sumamos o restamos las ecuaciones en una
cantidad finita no se altera el conjunto solución.

11. 11
Matemática
Del dato:
2x – y+z=1
x+4y+2z=–1
• Al restar las ecuaciones
2x – y + z=1
x+4y+2z=–1
–
se obtiene x – 5y – z = 2. (*)
• Al sumar las ecuaciones
2x – y + z=1
x+4y+2z=–1
+
se obtiene 3x+3y+3z=0. (**)
• Multiplicamos por 2 a la primera ecuación y
sumamos con la segunda ecuación.
4x – 2y + 2z=2
x + 4y + 2z=–1
+
Se obtiene 5x + 2y + 4z=1. (***)
Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***)
son equivalentes a las primeras.
Entonces, podemos indicar que las proposiciones
I y III del problema coinciden con (*) y (***); en
cambio, II no coincide con (**); entonces, no
podemos agregarlo al sistema.
Respuesta
Podemos agregar las ecuaciones I y III.
Alternativa C
Pregunta N.º 16
En relación a un programa lineal, indique la se-
cuencia correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad significan
que todas las variables de decisión deben ser
positivas.
II. El número de puntos extremos de la región
admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden variarse los
coeficientes de la función objetiva y aún
mantenerse la solución óptima.
A) VFV B) FFF C) FFV
D) FVV E) VFF
Resolución
Tema
Programación lineal
Análisis y procedimiento
En el problema debemos recordar las definiciones
básicas de programación lineal.
I. Falso
Si x, y son variables de decisión, entonces por
la condición de no negatividad se cumple que
x ≥ 0; y ≥ 0
II. Verdadero
Pues el número de vértices de toda región
factible es finito.
III. Verdadero
Pues dada la región factible S y la función
objetivo f(x; y)=ax+by+c. Supongamos
que (x1; y1) ∈ S es la solución óptima del
problema, entonces puede ser también
solución óptima de g(x; y)=cx+dy+k.

12. 12
Matemática
Respuesta
La secuencia correcta es FVV.
Alternativa D
Pregunta N.º 17
Sea la sucesión
a1=0, a2=1, a a a3 4 5
1
2
3
4
5
8
= = =, , ;
a a a6 7 8
11
16
21
32
43
64
= = =; ; ;..., entonces la
sucesión {an} converge a:
A)
7
12
B)
5
8
C)
2
3
D) 1 E) ∞
Resolución
Tema
Sucesiones reales
Análisis y procedimiento
Por dato se tiene
a1; a2; a3; a4; a5; a6
0 ; 1;
1
2
3
4
5
8
11
16
; ...
Múltipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada
término.v
1
3
0 3
3
2
9
4
15
8
33
16
; ; ; ; ; ; ...






1
3
0
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
1 2
1
3
2
4
3
5
6
; ; ; ; ; ;...º
+ − + − +







Entonces, tenemos la regla de formación
a nn
n
= +
−













≥
−
1
3
2
1
2
2
2
;
Tomando límite:
0
2
1
3
2
1
2
2
3
lím lím
n
n
n
N
a
→+∞ →+∞
−
= +
−





















=
Es decir, {an} converge a
0
2
3
.
Respuesta
[an] converge a
0
2
3
Alternativa C
Pregunta N.º 18
En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32%
aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y
álgebrarepresentanel60%delosquenoaprobaron
ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron
aritmética y álgebra, calcule el número de alumnos
del colegio.
A) 340 B) 350 C) 360
D) 370 E) 380
Resolución
Tema
Conjuntos
Análisis y procedimiento
Los datos del problema representaremos gráfica-
mente mediante los conjuntos.
Por dato
42=60%(8%N+42)
∴ N=350

13. 13
Matemática
Respuesta
La cantidad de alumnos del colegio es 350.
Alternativa B
Pregunta N.º 19
Dadas las funciones
f={(3; 1), (2; – 3), (5; 0), (4; – 4), (1; 1)},
g={(– 4; 3), (– 2; 7), (0; 0), (1; 5), (2; 1)} y
h= {(1; – 4), (3; – 2), (5; 0), (7; 2)}.
Determine la función compuesta f o g o h.
A) {(1; 0), (5; 1)}
B) {(3; – 3), (5; – 4)}
C) {(1; 1), (7; 1)}
D) {(1; 1), (2; – 3)}
E) {(3; – 1), (7; 1)}
Resolución
Tema
Composición de funciones
Análisis y procedimiento
Para la resolución del problema haremos uso del
diagrama sagital.
De la figura se deduce que la función
f g ho o = ( ) ( ){ }1 1 7 1; , ;
Respuesta
La función compuesta f o g o h es 1 1 7 1; , ; .( ) ( ){ }
Alternativa C
Pregunta N.º 20
Considere la ecuación matricial
X
1 3
2 7
4 0
1 2





 =
−





, donde X es una matriz.
Calcule det(X).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 11 E) 19
Resolución
Tema
Determinantes
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para la resolución del problema aplicamos la
siguiente propiedad:
Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden,
entonces |AB|=|A| · |B|.
Por dato se tiene que
X
1 3
2 7
4 0
1 2





 =
−






→





 =
−





X
1 3
2 7
4 0
1 2
X
1 3
2 7
4 0
1 2
=
−
|X| · 1=8
|X|=8
Respuesta
El determinante de la matriz X es 8.
Alternativa C

14. 14
Matemática
Pregunta N.º 21
Halle la medida del ángulo b indicado en la figura
mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas.
A) 51º B) 53º C) 55º
D) 57º E) 59º
Resolución
Tema
Ángulos determinados entre rectas paralelas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para calcular la medida del ángulo determinado
entre rectas paralelas, podemos citar los siguientes
teoremas:
L L1 2// → = +x α β
L L1 2 180// º→ + + + =α β θ γ
Dato:
L L1 2//
Indicando las medidas de los ángulos en A y B,
aplicamos el teorema:
70º+b+35º+22º=180º
b=53º
Respuesta
La medida b es 53º.
Alternativa B