El documento describe la construcción de los números reales según Cantor. Explica que los números irracionales no pueden expresarse como fracciones pero que igualmente se usan para representar cantidades. Luego detalla que Cantor definió los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de números racionales que cumplen el criterio de Cauchy, convergiendo a un único punto en la recta real.

1. Construcción del conjunto R de los números reales Motivación de la construcción de Cantor (para algunos alumnos de bachillerato con inquietudes) Construcción de Cantor

2. Construcción del conjunto R de los números reales La profunda necesidad de expresar medidas de cantidades en términos de lo que nosotros quisiéramos llamar números nos obliga a extender el concepto de número de manera que podamos describir una graduación continua de las medidas. Esta extensión es llamada el continuo de los números o el sistema de números reales (un nombre no descriptivo pero aceptado generalmente).

3. Construcción del conjunto R de los números reales La densidad de los puntos racionales garantiza que un punto arbitrario P en el eje numérico pueda ser localizado con el grado de precisión que deseemos utilizando puntos racionales. P El error > 0 cometido al aproximar P por el racional puede hacerse tan pequeño como se quiera

4. Construcción del conjunto R de los números reales En la realidad física las cantidades nunca se conocen con absoluta precisión, sino sólo con un grado de incertidumbre Pueden ser consideradas como medidas mediante números racionales .

5. Construcción del conjunto R de los números reales Sin embargo, desde época tan remota como la de los siglos V o VI a. C., los matemáticos y filósofos griegos hicieron un sorprendente y profundo descubrimiento : Existen cantidades que no son conmensurables con una unidad dada (no pueden ser expresadas como múltiplos enteros de esa unidad).

6. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡su razón NO es un número racional!!

7. Construcción del conjunto R de los números reales Estos números se llaman irracionales A pesar de ello, cualquier estudiante ha razonado y operado con números que representan cantidades inconmensurables ( , , sen39º, log7, etc.) sin conocer, por tanto, el valor exacto.

8. Construcción del conjunto R de los números reales Estos cálculos se aproximan de manera razonable a cálculos de un tipo ideal, concebibles pero no efectivamente realizables, debido a que sería necesario utilizar un número infinito de decimales. Esta aproximación garantiza su validez

9. Construcción del conjunto R de los números reales Ilustración del procedimiento de inscribir polígonos regulares de 4, 8, 16, …, ,... lados para aproximar el valor de . Fue utilizado por Antiphon (siglo V a.C.) como intento de medir la longitud de la circunferencia Se trata, por ejemplo, de calcular un número irracional por medio de un algoritmo ( mediante el algoritmo de la raíz cuadrada, mediante el procedimiento de los polígonos regulares de lados, etc).

10. Construcción del conjunto R de los números reales En cada etapa obtendremos un racional x i , con aproximaciones cada vez mejores del número x Los valores obtenidos diferirán cada vez menos entre sí, pudiendo hacer esta diferencia arbitrariamente pequeña a partir de cierta etapa: fijado un número racional se cumple

11. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡Se dice que la sucesión de números racionales así obtenida cumple el criterio de Cauchy !!

12. Construcción del conjunto R de los números reales No deberíamos ligar un número a una única sucesión Pero el mismo número x puede definirse a partir de diferentes algoritmos (por ejemplo, calculado por el sistema duodecimal; a partir del hexágono y de polígonos de lados), lo que conduciría a otras sucesiones

13. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡Se necesita definir una relación de equivalencia entre las sucesiones!!

14. Construcción del conjunto R de los números reales Si representamos en la recta real una sucesión de números racionales que cumple el criterio de Cauchy Es fácil imaginarse cómo van acumulándose los puntos en torno a un punto fijo, no necesariamente racional X P X q P

15. Construcción del conjunto R de los números reales El método de Cantor consiste en definir una equivalencia entre las sucesiones cuyos puntos se acumulan en torno al mismo punto fijo y definir el número real como cada clase de equivalencia