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Probabilidad y Estad´ıstica:
Esperanza Matem´atica, Varianza y
Covarianza
Dr. Juliho Castillo
26 de septiembre de 2017
Universidad LaSalle Oaxaca
1
1 Definici´on de Esperanza Matem´atica
2 Funciones de Variables Aleatorias
3 Algunos temas sobre esperanza matem´atica
4 Varianza y Desviaci´on Est´andar
5 Covarianza
2
Definici´on de Esperanza
Matem´atica
3
Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la
esperanza matem´atica se define como
E(X) =
n
j=1
xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =
n
j=1
xjf(xj) =: xf(x), (1.2)
donde f(x) = P(X = x).
4
Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la
esperanza matem´atica se define como
E(X) =
n
j=1
xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =
n
j=1
xjf(xj) =: xf(x), (1.2)
donde f(x) = P(X = x).
4
Como un caso especial, cuando f(x) ≡ 1
n
, obtenemos la
media aritm´etica:
E(X) =
n
i=1 xi
n
. (1.3)
5
Caso Discreto Numerable
En el caso en que X tome un cantidad (infinita) numerable de
valores x1, x2, ..., definimos
E(X) =
∞
i=1
xif(xi),
siempre y cuando dicha serie converja.
6
Caso Continuo
Para una variable aleatoria continua X que tenga funci´on de
densidad f(x), la esperanza de X se define como
E(X) =
∞
−∞
xf(x)dx (1.4)
siempre y cuando dicha integral converja.
7
La esperanza de X es llamada a menudo media de X y es
denotada por µx, o simplemente µ, cuando la variable
aleatoria subyacente se sobreentiende.
8
La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa
el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que
es una medida de tendencia central.
9
La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa
el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que
es una medida de tendencia central.
9
Ejemplo 1.1.
Supongamos que un juego se juega con un dado ´unico que se
suponen justos. En este juego, un jugador gana $20 si un sale
un 2; $40 con un 4; $30 con un 6; y no gana ni pierde con
cualquier otra cara. Encuentre la suma esperada de dinero que
ganar´ıa.
10
Ejemplo 1.2.
La funci´on de densidad de una v.a. X est´a dada por
f(x) =



1
2
x 0 < x < 2
0 en otro caso
Encuentre el valor esperado de X.
11
Funciones de Variables
Aleatorias
12
Sea X una v.a. discreta con funci´on de probabilidad f(x).
Entonces Y = g(X) es una v.a. discreta con funci´on de
probabilidad
h(y) = P(g(X) = y) =
{x|g(x)=y}
g(x)f(x) (2.1)
13
Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =
∞
−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
14
Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =
∞
−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
14
Ejemplo 2.1.
Si X es la v.a. del ejemplo 1.2, encuentre E (3X2
− 2X) .
15
Algunos temas sobre esperanza
matem´atica
16
Linealidad
Teorema 3.1.
Si c, d son constantes y X, Y son variables aleatorias, entonces
E (cX + dY ) = cE (X) + dE (Y ) (3.1)
17
Esperanza e independencia
Teorema 3.2.
Si X, Y son v.v.a.a. independientes, entonces
E (XY ) = E(X)E(Y ) (3.2)
18
Varianza y Desviaci´on Est´andar
19
Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una
medida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante
definiremos
µ = µX = E(X).
20
Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una
medida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante
definiremos
µ = µX = E(X).
20
Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se
define como
σ2
X = Var(X) = E (X − µX)2
(4.1)
Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como
σX =
√
Var X (4.2)
21
Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se
define como
σ2
X = Var(X) = E (X − µX)2
(4.1)
Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como
σX =
√
Var X (4.2)
21
Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende
del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es
decir,
µ = µX, σ = σX, σ2
= σ2
X.
22
Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende
del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es
decir,
µ = µX, σ = σX, σ2
= σ2
X.
22
Si X es una v.a. discreta, la varianza est´a dada por
σ2
= E (X − µ)2
= (x − µ)2
f(x), (4.3)
siempre y cuando esta suma converja.
23
En el caso de que todas las probabilidades sean iguales y la
v.a. X sea finita tenemos
σ2
=
(x1 − µ)2
+ ... + (xn − µ)2
n
(4.4)
24
Si X es una v.a. continua con funci´on de densidad f(x),
entonces la varianza est´a dada por
σ2
= E (X − µ)2
=
∞
−∞
(x − µ)2
f(x)dx (4.5)
siempre y cuando la integral converja.
25
Tanto la varianza como la desviaci´on est´andar es una medida
de dispersi´on.
26
Ejemplo 4.1.
Encuentre la varianza y la desviaci´on est´andar de la v.a. del
ejemplo 1.2.
27
Algunos teoremas sobre Varianza
σ2
= E X2
− µ2
(4.6)
Var (cX) = c2
Var (X) (4.7)
σ2
= m´ına
E (X − a)2
(4.8)
Si X, Y son independientes
Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) (4.9)
28
Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0.
Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por
X∗
=
X − µ
σ
. (4.10)
E (X∗
) = 0, Var(X∗
) = 1. (4.11)
29
Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0.
Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por
X∗
=
X − µ
σ
. (4.10)
E (X∗
) = 0, Var(X∗
) = 1. (4.11)
29
Covarianza
30
Los resultados dados anteriormente para una variable aleatoria
pueden extenderse a dos variables.
31
µX = E(X) =
∞
−∞
∞
−∞
xf(x, y)dxdy
µY = E(Y ) =
∞
−∞
∞
−∞
yf(x, y)dxdy
(5.1)
32
σ2
X = E (X − µX)2
=
∞
−∞
∞
−∞
(x − µX)2
f(x, y)dxdy
σ2
Y = E (Y − µY )2
=
∞
−∞
∞
−∞
(y − µY )2
f(x, y)dxdy
(5.2)
33
Covarianza
σXY = Cov(X, Y ) = E ((X − µX)(Y − µY )) (5.3)
34
σXY =
∞
−∞
∞
−∞
(x − µX)(y − µY )f(x, y)dxdy (5.4)
35
Caso Discreto
µX =
x y
xf(x, y)
µY =
x y
yf(x, y)
(5.5)
σXY =
x y
(x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
36
Caso Discreto
µX =
x y
xf(x, y)
µY =
x y
yf(x, y)
(5.5)
σXY =
x y
(x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
36
σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
37
σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
37
Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2
X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2
Y (5.10)
38
Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2
X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2
Y (5.10)
38
Coeficiente de correlaci´on
ρ =
σXY
σXσY
(5.11)
39
Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
40
Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
40
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42
Bibliograf´ıa
M. Spiegel, L. Stephens; Estad´ıstica; Serie Schaum;
McGraw-Hill/Interamericana Editores; 4a edici´on; 2009.
M. Spiegel, J. Schiller, R. Alu Srinivasan; Probability and
Statistics; Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill; 4th
Edition; 2013.
43

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Esperanza,Varianza y Covarianza

  • 1. Probabilidad y Estad´ıstica: Esperanza Matem´atica, Varianza y Covarianza Dr. Juliho Castillo 26 de septiembre de 2017 Universidad LaSalle Oaxaca 1
  • 2. 1 Definici´on de Esperanza Matem´atica 2 Funciones de Variables Aleatorias 3 Algunos temas sobre esperanza matem´atica 4 Varianza y Desviaci´on Est´andar 5 Covarianza 2
  • 4. Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la esperanza matem´atica se define como E(X) = n j=1 xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1) o de manera equivalente E(X) = n j=1 xjf(xj) =: xf(x), (1.2) donde f(x) = P(X = x). 4
  • 5. Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la esperanza matem´atica se define como E(X) = n j=1 xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1) o de manera equivalente E(X) = n j=1 xjf(xj) =: xf(x), (1.2) donde f(x) = P(X = x). 4
  • 6. Como un caso especial, cuando f(x) ≡ 1 n , obtenemos la media aritm´etica: E(X) = n i=1 xi n . (1.3) 5
  • 7. Caso Discreto Numerable En el caso en que X tome un cantidad (infinita) numerable de valores x1, x2, ..., definimos E(X) = ∞ i=1 xif(xi), siempre y cuando dicha serie converja. 6
  • 8. Caso Continuo Para una variable aleatoria continua X que tenga funci´on de densidad f(x), la esperanza de X se define como E(X) = ∞ −∞ xf(x)dx (1.4) siempre y cuando dicha integral converja. 7
  • 9. La esperanza de X es llamada a menudo media de X y es denotada por µx, o simplemente µ, cuando la variable aleatoria subyacente se sobreentiende. 8
  • 10. La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que es una medida de tendencia central. 9
  • 11. La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que es una medida de tendencia central. 9
  • 12. Ejemplo 1.1. Supongamos que un juego se juega con un dado ´unico que se suponen justos. En este juego, un jugador gana $20 si un sale un 2; $40 con un 4; $30 con un 6; y no gana ni pierde con cualquier otra cara. Encuentre la suma esperada de dinero que ganar´ıa. 10
  • 13. Ejemplo 1.2. La funci´on de densidad de una v.a. X est´a dada por f(x) =    1 2 x 0 < x < 2 0 en otro caso Encuentre el valor esperado de X. 11
  • 15. Sea X una v.a. discreta con funci´on de probabilidad f(x). Entonces Y = g(X) es una v.a. discreta con funci´on de probabilidad h(y) = P(g(X) = y) = {x|g(x)=y} g(x)f(x) (2.1) 13
  • 16. Entonces, en el caso discreto. E (g(X)) = x g(x)f(x) (2.2) De manera similar, en el caso continuo E (g(X)) = ∞ −∞ g(x)f(x)dx. (2.3) 14
  • 17. Entonces, en el caso discreto. E (g(X)) = x g(x)f(x) (2.2) De manera similar, en el caso continuo E (g(X)) = ∞ −∞ g(x)f(x)dx. (2.3) 14
  • 18. Ejemplo 2.1. Si X es la v.a. del ejemplo 1.2, encuentre E (3X2 − 2X) . 15
  • 19. Algunos temas sobre esperanza matem´atica 16
  • 20. Linealidad Teorema 3.1. Si c, d son constantes y X, Y son variables aleatorias, entonces E (cX + dY ) = cE (X) + dE (Y ) (3.1) 17
  • 21. Esperanza e independencia Teorema 3.2. Si X, Y son v.v.a.a. independientes, entonces E (XY ) = E(X)E(Y ) (3.2) 18
  • 22. Varianza y Desviaci´on Est´andar 19
  • 23. Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una medida de tendencia central y que generaliza a la media µ. Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante definiremos µ = µX = E(X). 20
  • 24. Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una medida de tendencia central y que generaliza a la media µ. Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante definiremos µ = µX = E(X). 20
  • 25. Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se define como σ2 X = Var(X) = E (X − µX)2 (4.1) Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como σX = √ Var X (4.2) 21
  • 26. Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se define como σ2 X = Var(X) = E (X − µX)2 (4.1) Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como σX = √ Var X (4.2) 21
  • 27. Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es decir, µ = µX, σ = σX, σ2 = σ2 X. 22
  • 28. Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es decir, µ = µX, σ = σX, σ2 = σ2 X. 22
  • 29. Si X es una v.a. discreta, la varianza est´a dada por σ2 = E (X − µ)2 = (x − µ)2 f(x), (4.3) siempre y cuando esta suma converja. 23
  • 30. En el caso de que todas las probabilidades sean iguales y la v.a. X sea finita tenemos σ2 = (x1 − µ)2 + ... + (xn − µ)2 n (4.4) 24
  • 31. Si X es una v.a. continua con funci´on de densidad f(x), entonces la varianza est´a dada por σ2 = E (X − µ)2 = ∞ −∞ (x − µ)2 f(x)dx (4.5) siempre y cuando la integral converja. 25
  • 32. Tanto la varianza como la desviaci´on est´andar es una medida de dispersi´on. 26
  • 33. Ejemplo 4.1. Encuentre la varianza y la desviaci´on est´andar de la v.a. del ejemplo 1.2. 27
  • 34. Algunos teoremas sobre Varianza σ2 = E X2 − µ2 (4.6) Var (cX) = c2 Var (X) (4.7) σ2 = m´ına E (X − a)2 (4.8) Si X, Y son independientes Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) (4.9) 28
  • 35. Variables Aleatorias Estandarizadas Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0. Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por X∗ = X − µ σ . (4.10) E (X∗ ) = 0, Var(X∗ ) = 1. (4.11) 29
  • 36. Variables Aleatorias Estandarizadas Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0. Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por X∗ = X − µ σ . (4.10) E (X∗ ) = 0, Var(X∗ ) = 1. (4.11) 29
  • 38. Los resultados dados anteriormente para una variable aleatoria pueden extenderse a dos variables. 31
  • 39. µX = E(X) = ∞ −∞ ∞ −∞ xf(x, y)dxdy µY = E(Y ) = ∞ −∞ ∞ −∞ yf(x, y)dxdy (5.1) 32
  • 40. σ2 X = E (X − µX)2 = ∞ −∞ ∞ −∞ (x − µX)2 f(x, y)dxdy σ2 Y = E (Y − µY )2 = ∞ −∞ ∞ −∞ (y − µY )2 f(x, y)dxdy (5.2) 33
  • 41. Covarianza σXY = Cov(X, Y ) = E ((X − µX)(Y − µY )) (5.3) 34
  • 42. σXY = ∞ −∞ ∞ −∞ (x − µX)(y − µY )f(x, y)dxdy (5.4) 35
  • 43. Caso Discreto µX = x y xf(x, y) µY = x y yf(x, y) (5.5) σXY = x y (x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6) 36
  • 44. Caso Discreto µX = x y xf(x, y) µY = x y yf(x, y) (5.5) σXY = x y (x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6) 36
  • 45. σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7) Si X, Y son independientes, entonces σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8) 37
  • 46. σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7) Si X, Y son independientes, entonces σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8) 37
  • 47. Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9) De manera equivalente, σ2 X±Y = σ2 X ± 2σXY + σ2 Y (5.10) 38
  • 48. Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9) De manera equivalente, σ2 X±Y = σ2 X ± 2σXY + σ2 Y (5.10) 38
  • 49. Coeficiente de correlaci´on ρ = σXY σXσY (5.11) 39
  • 50. Teorema 5.1. |σXY | ≤ σXσY (5.12) |ρ| ≤ 1. (5.13) 40
  • 51. Teorema 5.1. |σXY | ≤ σXσY (5.12) |ρ| ≤ 1. (5.13) 40
  • 52. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 53. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 54. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 55. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 56. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 57. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 58. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 59. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 60. Problema Resuelto 5.1. Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    2x + y 42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 0 en otro caso. (5.14) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 41
  • 61. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 62. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 63. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 64. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 65. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 66. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 67. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 68. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 69. Problema Resuelto 5.2. Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad conjunta f(x, y) =    1 210 (2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5 0 en otro caso. (5.15) Encuentre los siguientes estad´ısticos: (a) E(X) (b) E(Y ) (c) E(XY ) (d) E(X2 ) (e) E(Y 2 ) (f) Var(X) (g) Var(Y ) (h) Cov(X, Y ) 42
  • 70. Bibliograf´ıa M. Spiegel, L. Stephens; Estad´ıstica; Serie Schaum; McGraw-Hill/Interamericana Editores; 4a edici´on; 2009. M. Spiegel, J. Schiller, R. Alu Srinivasan; Probability and Statistics; Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill; 4th Edition; 2013. 43