En esta unidad, estudiamos medidas de tendencia central y de dispersión para variables aleatorias, así como indicadores de correlación entre las mismas.

1. Probabilidad y Estad´ıstica:
Esperanza Matem´atica, Varianza y
Covarianza
Dr. Juliho Castillo
26 de septiembre de 2017
Universidad LaSalle Oaxaca
1

2. 1 Definici´on de Esperanza Matem´atica
2 Funciones de Variables Aleatorias
3 Algunos temas sobre esperanza matem´atica
4 Varianza y Desviaci´on Est´andar
5 Covarianza
2

3. Definici´on de Esperanza
Matem´atica
3

4. Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la
esperanza matem´atica se define como
E(X) =
n
j=1
xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =
n
j=1
xjf(xj) =: xf(x), (1.2)
donde f(x) = P(X = x).
4

5. Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, la
esperanza matem´atica se define como
E(X) =
n
j=1
xjP(X = xj) =: xP(X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =
n
j=1
xjf(xj) =: xf(x), (1.2)
donde f(x) = P(X = x).
4

6. Como un caso especial, cuando f(x) ≡ 1
n
, obtenemos la
media aritm´etica:
E(X) =
n
i=1 xi
n
. (1.3)
5

7. Caso Discreto Numerable
En el caso en que X tome un cantidad (infinita) numerable de
valores x1, x2, ..., definimos
E(X) =
∞
i=1
xif(xi),
siempre y cuando dicha serie converja.
6

8. Caso Continuo
Para una variable aleatoria continua X que tenga funci´on de
densidad f(x), la esperanza de X se define como
E(X) =
∞
−∞
xf(x)dx (1.4)
siempre y cuando dicha integral converja.
7

9. La esperanza de X es llamada a menudo media de X y es
denotada por µx, o simplemente µ, cuando la variable
aleatoria subyacente se sobreentiende.
8

10. La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa
el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que
es una medida de tendencia central.
9

11. La media o esperanza de X da un ´unico valor que representa
el promedio de los valores de X,y por esta raz´on decimos que
es una medida de tendencia central.
9

12. Ejemplo 1.1.
Supongamos que un juego se juega con un dado ´unico que se
suponen justos. En este juego, un jugador gana $20 si un sale
un 2; $40 con un 4; $30 con un 6; y no gana ni pierde con
cualquier otra cara. Encuentre la suma esperada de dinero que
ganar´ıa.
10

13. Ejemplo 1.2.
La funci´on de densidad de una v.a. X est´a dada por
f(x) =



1
2
x 0 < x < 2
0 en otro caso
Encuentre el valor esperado de X.
11

14. Funciones de Variables
Aleatorias
12

15. Sea X una v.a. discreta con funci´on de probabilidad f(x).
Entonces Y = g(X) es una v.a. discreta con funci´on de
probabilidad
h(y) = P(g(X) = y) =
{x|g(x)=y}
g(x)f(x) (2.1)
13

16. Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =
∞
−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
14

17. Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =
∞
−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
14

18. Ejemplo 2.1.
Si X es la v.a. del ejemplo 1.2, encuentre E (3X2
− 2X) .
15

19. Algunos temas sobre esperanza
matem´atica
16

20. Linealidad
Teorema 3.1.
Si c, d son constantes y X, Y son variables aleatorias, entonces
E (cX + dY ) = cE (X) + dE (Y ) (3.1)
17

21. Esperanza e independencia
Teorema 3.2.
Si X, Y son v.v.a.a. independientes, entonces
E (XY ) = E(X)E(Y ) (3.2)
18

22. Varianza y Desviaci´on Est´andar
19

23. Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una
medida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante
definiremos
µ = µX = E(X).
20

24. Ya vimos que la espereza matem´atica de una v.a. X es una
medida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observaci´on: Por esta raz´on, de aqu´ı en adelante
definiremos
µ = µX = E(X).
20

25. Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se
define como
σ2
X = Var(X) = E (X − µX)2
(4.1)
Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como
σX =
√
Var X (4.2)
21

26. Otra cantidad de gran importancia es la varianza que se
define como
σ2
X = Var(X) = E (X − µX)2
(4.1)
Entonces, la desviaci´on est´andar se definir´a como
σX =
√
Var X (4.2)
21

27. Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende
del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es
decir,
µ = µX, σ = σX, σ2
= σ2
X.
22

28. Observaci´on: Si la variable aleatoria X se sobreentiende
del contexto, omitiremos el sub´ındice correspondiente, es
decir,
µ = µX, σ = σX, σ2
= σ2
X.
22

29. Si X es una v.a. discreta, la varianza est´a dada por
σ2
= E (X − µ)2
= (x − µ)2
f(x), (4.3)
siempre y cuando esta suma converja.
23

30. En el caso de que todas las probabilidades sean iguales y la
v.a. X sea finita tenemos
σ2
=
(x1 − µ)2
+ ... + (xn − µ)2
n
(4.4)
24

31. Si X es una v.a. continua con funci´on de densidad f(x),
entonces la varianza est´a dada por
σ2
= E (X − µ)2
=
∞
−∞
(x − µ)2
f(x)dx (4.5)
siempre y cuando la integral converja.
25

32. Tanto la varianza como la desviaci´on est´andar es una medida
de dispersi´on.
26

33. Ejemplo 4.1.
Encuentre la varianza y la desviaci´on est´andar de la v.a. del
ejemplo 1.2.
27

34. Algunos teoremas sobre Varianza
σ2
= E X2
− µ2
(4.6)
Var (cX) = c2
Var (X) (4.7)
σ2
= m´ına
E (X − a)2
(4.8)
Si X, Y son independientes
Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) (4.9)
28

35. Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0.
Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por
X∗
=
X − µ
σ
. (4.10)
E (X∗
) = 0, Var(X∗
) = 1. (4.11)
29

36. Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviaci´on est´andar σ > 0.
Diremos que la v.a. estandarizada asociada est´a dada por
X∗
=
X − µ
σ
. (4.10)
E (X∗
) = 0, Var(X∗
) = 1. (4.11)
29

37. Covarianza
30

38. Los resultados dados anteriormente para una variable aleatoria
pueden extenderse a dos variables.
31

39. µX = E(X) =
∞
−∞
∞
−∞
xf(x, y)dxdy
µY = E(Y ) =
∞
−∞
∞
−∞
yf(x, y)dxdy
(5.1)
32

40. σ2
X = E (X − µX)2
=
∞
−∞
∞
−∞
(x − µX)2
f(x, y)dxdy
σ2
Y = E (Y − µY )2
=
∞
−∞
∞
−∞
(y − µY )2
f(x, y)dxdy
(5.2)
33

41. Covarianza
σXY = Cov(X, Y ) = E ((X − µX)(Y − µY )) (5.3)
34

42. σXY =
∞
−∞
∞
−∞
(x − µX)(y − µY )f(x, y)dxdy (5.4)
35

43. Caso Discreto
µX =
x y
xf(x, y)
µY =
x y
yf(x, y)
(5.5)
σXY =
x y
(x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
36

44. Caso Discreto
µX =
x y
xf(x, y)
µY =
x y
yf(x, y)
(5.5)
σXY =
x y
(x − µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
36

45. σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
37

46. σXY = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(XY ) − µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
37

47. Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2
X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2
Y (5.10)
38

48. Var(X ± Y ) = Var(X) ± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2
X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2
Y (5.10)
38

49. Coeficiente de correlaci´on
ρ =
σXY
σXσY
(5.11)
39

50. Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
40

51. Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
40

52. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

53. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

54. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

55. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

56. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

57. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

58. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

59. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

60. Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



2x + y
42
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.
(5.14)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
41

61. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

62. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

63. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

64. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

65. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

66. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

67. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

68. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

69. Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de
probabilidad conjunta
f(x, y) =



1
210
(2x + y) 2 < x < 6, 0 < y < 5
0 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estad´ısticos:
(a) E(X)
(b) E(Y )
(c) E(XY )
(d) E(X2
)
(e) E(Y 2
)
(f) Var(X)
(g) Var(Y )
(h) Cov(X, Y )
42

70. Bibliograf´ıa
M. Spiegel, L. Stephens; Estad´ıstica; Serie Schaum;
McGraw-Hill/Interamericana Editores; 4a edici´on; 2009.
M. Spiegel, J. Schiller, R. Alu Srinivasan; Probability and
Statistics; Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill; 4th
Edition; 2013.
43