La distribución binomial describe experimentos con dos resultados posibles (éxito/fracaso), probabilidad constante de éxito p en cada prueba, y un número fijo n de pruebas. La variable aleatoria asociada X cuenta el número de éxitos y solo puede tomar valores enteros de 0 a n.

1. Distribución Binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
•En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su
contrario Ā (fracaso).
•El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
•La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a
otra. La probabilidad de Ā es 1- p y la representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial.
A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos
variable aleatoria binomial.

2. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo
que se han realizado n pruebas.
Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas
por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de probabilidad de la distribución Binomial
o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0  p  1
Probabilidad de obtener K éxitos
qp
knk
k
n
kXp







 )(

3. Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la variable aleatoria Binomial
qpqpqp
knknn
k
nnn
xXpxF



















 ....
10
)()(
110
11
Siendo K el mayor número entero menor o igual a xi
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la
variable X tome valores menores o iguales que xi.

4. Resumen Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una
distribución binomial
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una
distribución binomial

5. Ejemplo
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez
administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

6. Distribución de Poisson
Esta distribución aparece en algunos procesos que tienen una dimensión temporal o espacial, y en fenómenos que
tienen un alto número de experimentos (alto n) y una baja probabilidad de que ocurran (baja p).
Ejemplos:
• número de llamadas telefónicas que recibe un servicio de atención a urgencias durante un intervalo de tiempo
determinado
•número de cultivos infectados por una plaga en una cierta región geográfica
La función de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con media l > 0, que simplificamos con la
notación P(l), es
siendo su función de distribución el sumatorio de cada uno de los valores menores.
La media y varianza de X son ambas iguales a l,
E[S] = V[S] = l.

7. Ejemplo
El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una
media de m = 43,2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el
cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el
servicio de urgencias del hospital?
Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43,2). La probabilidad solicitada es
Pr{X > 50} = 1 - Pr{X <= 50} = 1 - F(50) = 0.13.
El responsable del servicio deberá valorar si esta probabilidad es lo suficientemente alta como para reforzar la
atención de urgencias con más efectivos, materiales, espacios, etc

8. Ejemplo
Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una
ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad.
Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.
Cconsideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un
modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que
Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es
Existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están
enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es: