Actividad 3

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION BARINAS
Integrantes:
Joan Toro
Brando Delgado
Barinas. Febrero del 2017

2. La Distribución Normal
Se trata, sin duda, del modelo continuo más
importante en estadística, tanto por su
aplicación directa, veremos que muchas
variables de interés general pueden
describirse por dicho modelo, como por sus
propiedades, que han permitido el desarrollo
de numerosas técnicas de inferencia
estadística. En realidad, el nombre
de Normal proviene del hecho de que durante
un tiempo se creyó, por parte de médicos y
biólogos, que todas las variables naturales de
interés seguían este modelo.

3. Su función de densidad viene dada por la fórmula:
que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier
valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora
indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo
Normal así: X ~ N(μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución
Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N(0, 1).
A continuación presentamos la gráfica de esta función de densidad (donde se
pueden cambiar los parámetros):
Como se puede ver, la función de densidad del modelo Normal tiene forma
de campana, la que habitualmente se denomina campana de Gauss. De
hecho, a este modelo, también se le conoce con el nombre de distribución
gaussiana.

4. Propiedades del modelo Normal
1- Su esperanza es μ.
2- Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ.
3- Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la
representación anterior.
4- Media, moda y mediana coinciden (μ).
5- Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal
seguirá también el modelo Normal. Si X ~ N(μ, σ) y
definimos Y = aX + b (con a ≠ 0), entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ).Es decir, la
esperanza de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ.
6- Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también
una distribución Normal. Es decir, dadas n variables aleatorias independientes con
distribución Xi ~ N(μi, σi) para i = 1, 2, ..., n la combinación lineal: Y = anXn + an−1Xn−1+ ...
+ a1X1 + a0 sigue también el modelo Normal:

5. La distribución normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la
distribución continua que se utiliza más comúnmente en estadística. La
distribución normal es de vital importancia en estadística por tres razones
principales:
Muchas variables continuas comunes en el mundo de los negocios tienen
distribuciones que se asemejan estrechamente a la distribución normal.
La distribución normal sirve para acercarse a diversas distribuciones de
probabilidad discreta, como la distribución binomial y la distribución de
Poisson.
La distribución normal proporciona la base para la estadística inferencial
clásica por su relación con el teorema de límite central.

6. En la distribución normal, uno puede calcular la probabilidad de que varios
valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos. Sin embargo, la
Probabilidad exacta de un valor particular dentro de una distribución continua,
como la distribución Normal,es cero. Esta propiedad distingue alas variables
continuas, que son medidas, de las variables discretas, las cuales son
contadas. Como ejemplo, el tiempo (en segundos) se
mide y no se cuenta. Por lo tanto, es factible determinar la probabilidad de que
El tiempo de descarga para una página principal en un navegador de la Web
esté entre 7 y 10 segundos o que la probabilidad de que el tiempo de descarga
esté entre 8 y 9 segundos, o la probabilidad de que el tiempo de descarga esté
entre 7.99 y 8.01 segundos. Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de
descarga sea exactamente de 8 segundos es cero.

7. La distribución normal tiene importantes propiedades teóricas:
• Tiene una apariencia de forma de campana (y, por ende, es simétrica).
• Sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas
idénticas.
• Su “50% central” es igual a 1.33 desviaciones estándar. Esto significa
que el rango intercuartil está contenido dentro de un intervalo de dos
tercios de una desviación estándar por debajo de la media y de dos
tercios de una desviación estándar por encima de la media.
• Su variable aleatoria asociada tiene un rango infinito (-∞ < X < ∞).
En la práctica, muchas variables tienen distribuciones que se asemejan
a las propiedades teóricas de la distribución normal.

8. La Distribución Binomial
• Una distribución binomial es una distribución de probabilidad
ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la
distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para
los administradores.
• Describe datos discretos, resultantes de un experimento
denominado proceso de Bernoulli en honor del matemático suizo
Jacob Bernoulli, quien vivió en el siglo XVII.
Empleo del proceso de Bernoulli.
• Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de
lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de
Bernoulli. Este proceso lo describimos así:
• Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos
resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.
• La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento)
permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la
probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada
lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda
sea arrojada.
• Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el
resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro
lanzamiento.

9. Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica.
Pongamos el caso en que siete décimas partes de las personas que
solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces
que la probabilidad característica fue de 0.7 pero podemos describir los
resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos
la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados
permaneció constante con el tiempo.
Des de luego, la otra característica del proceso de Bernoulli también
deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos
resultados (éxito o fracaso = y los resultados de las pruebas habrán de
ser estadísticamente independientes.
En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de
un éxito y el símbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso.
Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r y
para simbolizar el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.
Entonces tenemos que :
P = Probabilidad de éxito.
Q= Probabilidad de fracaso.

10. • r= Número de éxitos deseados.
• n=Número de ensayos efectuados.
Existe una fórmula binomial:
• Probabilidad de r éxitos en n ensayos es :
N! / R! (N-R)! PR QN-R
Recordemos que el símbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1= 6
Los matemáticos definen 0! = 1.
La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica
Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde
menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva
tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de
que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de
que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo
trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las
probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde
simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula
binomial donde :

11. P= 0.4
Q= 0.6
N= 5
Realicemos el cálculo de cada valor de R:
Para R= 0 obtenemos que :
P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5
P(0) = 0.07776
Para R= 1 obtenemos que :
P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4
P(1) = 0.2592
Para R=2 obtenemos que:
P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3
P(2) = 0.3456
Para R= 3 obtenemos que :
P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2
P(3) = 0.2304
Para R= 4 obtenemos que :
P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1
P(4) = 0.0768
Para R= 5 obtenemos que :
P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0
P(5) = 0.01024
Representando estos resultados en una gráfica:

12. Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución
binomial
La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( m ) y una
desviación estándar ( s ) y deberemos ser capaces de calcular esas dos
medidas estadísticas.
.
Podemos representar la media de una distribución binomial de la siguiente
forma: m = n p
donde :
n= número de ensayos.
p= probabilidad de éxitos.

13. Y la desviación de la siguiente forma:
s = Ö npq
donde :
n= número de ensayos.
P= probabilidad de éxito.
Q= probabilidad de fracaso.
Ejemplo:
Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes
defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes,
podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución
binomial de ese proceso en la forma que sigue:
m = np
= 10*0.2
= 2 Media
s = Ö npq
= Ö (10) (0.2) (0.8)
= Ö 1.6
= 1.265 Desviación estándar.

14. La Distribución Poisson
La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos,
entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un
conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución
asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y
automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un
cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común,
pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume
Valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis
Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución
basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo
de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero.

15. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una
caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.
Características de los procesos que producen una distribución de la
probabilidad de Poisson
El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de
mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una
distribución de probabilidad de Poisson.
El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico
puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.
Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo
cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:

16. • a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por
segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es
constante para que cada intervalo de un segundo.
• b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un
intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un
valor cero.
• c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de
un segundo es independiente del momento en que el intervalo de
un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.
• d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no
depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un
segundo.
Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones
que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen
nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para
describirlos.

17. La Distribución Poisson
La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos,
entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un
conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución
asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y
automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un
cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser
descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros
(0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis
Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución
basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo
de
tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera
análoga, si
se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro
durante
un periodo de diez minutos, el número será entero.

18. Características de los procesos que producen una distribución de
la probabilidad de Poisson
El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las
horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las
características de una distribución de probabilidad de Poisson.
El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran
tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.
Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un
segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son
verdaderos:
a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por
segundo
b) a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante
para que cada intervalo de un segundo.

19. • c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de
un segundo es independiente del momento en que el intervalo de
un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.
• d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no
depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un
segundo.
Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones
que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen
nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para
describirlos.
• Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson
La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos
procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta.
La letra X suele representar esa variable y puede además asumir
valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para
representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor
específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de
exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula
mediante la fórmula:

20. • P(x) = l x * e-l / x!
• l x = Lambda (número medio de ocurrencias por intervalo de
tiempo) elevada a la potencia x.
• e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.
• x! = x factorial.
Ejemplo
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy
peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco
accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido
conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en
carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4
accidentes en un mes determinado.

21. Aplicando la fórmula anterior:
• P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
• P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370
• P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
• P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
• P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las
probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a :
• P(0)=0.00674
• P(1)=0.03370
• P(2)=0.08425
• P(3)=0.14042
• P(3 o menos) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de
0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser =
1–0.26511 = 0.73489

22. La distribución de Poisson como una aproximación a la
distribución binomial.
Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular
las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de
Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como:
• n=>20
• p=<0.05
En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos
sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media
de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría
así:
• P(x) = (np) X * e-np /x!

23. Ejercicio Propuesto
Distribución Normal
7. Las calificaciones de los 500 aspirantes
presentados a un examen para contratación laboral,
se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.
a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8
puntos.
b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores
a 5 puntos.
c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre
5 y 7'5 puntos

24. Nos encontramos ante una distribución normal N(6'5,)= N(6'5,2)
• A) Tipificamos el valor 8 : z =8-6’5/2 =0,75
• La probabilidad pedida es el área a la derecha de z = 0'75.
• Consultando las tablas obtenemos : 0'22663

25. b) Tipificamos el valor 5 : z =5 - 6' 5/2= -0' 75
•
Calculemos el área (probabilidad) a la
izquierda de z = -0'75. Consultando las
tablas obtenemos : 0'22663
En términos de porcentajes será 0'22663 x 100 :
• el 22'663 %
c) Tipificamos los valores 5 y 7'5 :z = (5 - 6' 5)/2 = -0' 75
z = (7' 5 - 6' 5 )/2= 0' 5
El área comprendida entre ambos es , consultando las tablas :
Pr(5 < X < 7'5) = Pr(-0'75 < z < 0'5) = 0'46483
Multiplicando la probabilidad por el total de aspirantes, obtenemos el número
de ellos que tienen calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos :
0'46483 x 500 = 232'415 @ 232 aspirantes

26. Distribución Binomial
7.- La probabilidad de que un artículo producido por una
fábrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió un
cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.
Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la
varianza y la desviación típica.