Teorema fundamental del cálculo

1. TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CALCULO
Medición aproximada de figuras amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea
muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud,
anchura u otras cantidades en la fórmula produciría
el resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de
las funciones no es tan sencilla ya que existen
figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar
esta área.
Notación sumatoria
El sumatorio o sumatoria (también conocido como operación de
suma, notación sigma o símbolo suma), es una notación matemática
que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso
infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o
de una explícita notación de paso al límite . Se expresa con la letra
griega sigma mayúscula ( Σ , Σ).
Sumas de Riemann
La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno
de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración
numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error
muy grande.
Definición de integral definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación.
La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio.
Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración
indefinida y la integración definida. Una integración
indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que
una integración definida es aquella que está integrada con
respecto a ciertos límites.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de
signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la
integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la
integral definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones
es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por
una función es igual a la constante por la
integral de la función.
Función primitiva
Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la
primitiva se define como cualquier otra función la cual
cuando es diferenciada nos da de nuevo la función
original f(x).
Esto significa que f(x) es la derivada de su función
primitiva o que la función primitiva es la integral de la
presente función f(x).
Teorema de existencia
un teorema de existencia
es un teorema con un
enunciado que comienza
‘existe(n, o más
generalmente ‘para todo
x, y,. Existe(n) . Esto es,
en términos más
formales de lógica
simbólica, es un teorema
con un enunciado
involucrando el
cuantificador existencial.
Teorema fundamental del calculo
La primera parte del teorema, a veces llamado el
primer teorema fundamental del cálculo , que
muestra una integración indefinida puede ser
revertida por una diferenciación. Esta parte del
teorema también es importante, ya que garantiza la
existencia de primitivas para funciones continuas .
La segunda parte, a veces llamado el segundo
teorema fundamental del cálculo , le permite a uno
calcular el integral definida de una función mediante
el uso de cualquiera de sus infinitas primitivas . Esta
parte del teorema tiene aplicaciones prácticas
inestimables, ya que simplifica notablemente el
cálculo de integrales definidas .
Integrales impropias
es el límite de una integral definida
cuando uno o ambos extremos del
intervalo de integración se acercan a un
número real específico, a ∞, o a −∞.
Además una integral definida es
impropia cuando la función integrando
de la integral definida no es continua
en todo el intervalo de integración.
También se pueden dar ambas
situaciones.
Calculo de integrales
definidas
se denomina a menudo como
integración numérica o
cuadratura numérica o
simplemente cuadratura.
Sin embargo, este es utilizado
generalmente más para una
ecuación dimensional, para las
ecuaciones con más de una
dimensión, el uso de la
palabra cuba tura es más
adecuado.
Se utiliza para calcular la
solución numérica aproximada
de una integral definida dada.