vectores

1. Vectores
Los científicos emplean el término vector para indicar una cantidad (por ejemplo, un
desplazamiento o velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección. Un vector se representa
por lo común mediante una flecha o un segmento de recta dirigido. La longitud de la flecha
representa la magnitud del vector y la flecha apunta en la dirección del vector. Un vector se
denota por medio de una letra en negrita (𝑣) o escribiendo una flecha sobre la letra 𝑣.
Por ejemplo, suponga que una partícula se mueve a lo largo de un segmento de recta del punto
A al punto B. El vector de desplazamiento 𝑣 correspondiente, mostrado en la siguiente figura
tiene un punto inicial A (la cola ) y un punto final B
B D
𝑣
Vectores 𝑢
equivalentes
A C

2. Escribiendo 𝑣 = 𝐴𝐵 observe que el vector 𝑢 = 𝐶𝐷 tiene la misma longitud y dirección que 𝑣 aún cuando
está en diferente posición. Se dice que 𝑢 𝑦 𝑣 son equivalentes o iguales y se escribe 𝑢 = 𝑣. El vector cero ,
denotado por 0, tiene longitud 0. Es el único vector sin dirección específica.
Combinaciones de vectores
Suponga que una partícula se mueve de A a B, así que su vector de desplazamiento es 𝐴𝐵. Entonces la
partícula cambia de dirección y se mueve de 𝐵𝐶 como se muestra en la siguiente figura:
A
B
C
El efecto combinado de estos dos desplazamientos es que la partícula se ha movido de A a C. El vector
de desplazamiento resultante es 𝐴𝐶 se llama suma de 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 y se escribe :
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶

3. En general, si se empieza, con vectores 𝑢 𝑦 𝑣 , primero se mueve a 𝑣 de modo que su cola coincida con la punta
𝑢 y se define la suma de 𝑢 𝑦 𝑣 como sigue:
Definición de suma vectorial . Si 𝑢 𝑦 𝑣 son vectores colocados de modo que el punto inicial de 𝑣
esté en el punto terminal de 𝑢, entonces la suma 𝑢 + 𝑣 es el vector del punto inicial de 𝑢 al punto terminal de 𝑣
La definición de suma vectorial se ilustra en la siguiente figura . Se puede ver por qué esta definición a veces se
llama
Ley del triángulo.
𝑢
𝑣
𝑢 + 𝑣
𝑣
𝑢
𝑣 + 𝑢
𝑢 + 𝑣
𝑢
𝑣
Ley del triángulo
Ley del
paralelogramo

4. Ejemplo 1. Dibuje la suma de los vectores 𝑎 𝑦 𝑏 mostrados en las siguientes figura
𝑎 𝑏
Solución. Primero se traslada 𝑏 y se coloca su cola en la punta de 𝑎, teniendo cuidado de dibujar una copia
de b que tiene la misma longitud y dirección. Luego se dibuja el vector 𝑎 + 𝑏 empezando el punto inicial
de 𝑎 y terminando en punto terminal de la copia de 𝑏.
De manera alternativa, se podría colocar 𝑏 para que empiece donde comienza 𝑎 y construir 𝑎 + 𝑏mediante
la ley del paralelogramo como se muestra en las siguiente figura
𝑏
𝑎
𝑎 + 𝑏 𝑏
𝑎
𝑎 + 𝑏

5. Es posible multiplicar un vector por un número real c (En este contexto llamamos al
número real c un escalar para distinguirlo de un vector.) Por ejemplo, se desea que 2𝑣 sea el mismo
vector que 𝑣 + 𝑣, que tiene la misma dirección que 𝑣, pero tiene el doble de
largo. En general, se multiplica un vector por un escalar como sigue.
Definición de multiplicación por un escalar Si 𝑐 es un escalar y 𝑣 es un vector, entonces el múltiplo
escalar 𝑐𝑣 es el vector cuya longitud es 𝑐 multiplicado por la longitud de 𝑣 y cuya dirección es la
misma que 𝑣 si 𝑐 > 0 y es opuesta a 𝑣 si 𝑐 < 0. Si 𝑐 = 0 o 𝑣 = 0, entonces 𝑐𝑣 = 0.
𝑣
2𝑣
1𝑣
2
−𝑣
−3𝑣
2
En la definición anterior se ve que los números reales funcionan como factores de
escala ; esa es la razón del porque se le llaman escalares. Observe que los dos vectores
no cero son paralelos si son múltiplos escalares entre si. En particular el vector −𝑣 =
−1 𝑣 tiene la misma longitud que 𝑣 pero apunta en dirección opuesta. Se le llama
negativo de 𝑣.

6. Así que se puede construir 𝑢 − 𝑣 si se dibuja primero el negativo de 𝑣, −𝑣 y luego se suma a 𝑢 por la ley del
paralelogramo como en las figura anterior. De manera alternativa, puesto que 𝑣 + 𝑢 − 𝑣 = 𝑢, 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 − 𝑣,
cuando se suma a 𝑣, da 𝑢. Así que podrías construir 𝑢 − 𝑣 por medio de la ley del triángulo.
Ejemplo 2.- Si 𝑎 𝑦 𝑏 son los siguientes vectores dibuje 𝑎 − 2𝑏
𝑎 𝑏
Solución.- Primero dibuje el vector −2𝑏 que apunta en dirección opuesta a 𝑏 con el doble de largo. Se
coloca la cola en la punta de 𝑎 y luego se usa la ley del triángulo para dibujar 𝑎 + (−2𝑏)
−2𝑏 𝑎
𝑎 + (−2𝑏)

7. Componentes
Para ciertos propósitos es mejor introducir un sistema de coordenadas y tratar los
vectores algebraicamente. Si se coloca el punto inicial de un vector 𝑎 en el origen de
un sistema de coordenadas de la forma 𝑎1, 𝑎2 o 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , lo cual depende de un
sistema de coordenadas es de dos o tres dimensiones.
𝑎
𝑎1, 𝑎2
𝑎
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3
Escriba aquí la ecuación.
0 0
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3

8. Estas coordenadas se llaman coordenadas de 𝑎 y se escriben:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3
Se emplea la notación para el par ordenado que se refiere a un vector, para no confundirlo con el
par ordenado 𝑎1, 𝑎2 que se refiere a un punto en el plano
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2
Por ejemplo, los vectores mostrados en este plano son equivalentes al vector 0𝑃 =
3,2 cuyo punto terminal es P(3,2). Lo que tienen en común es que el punto
terminal se alcanza desde el punto inicial mediante un desplazamiento de tres
unidades a la derecha y dos hacia arriba. Se puede considerar a estos vectores
geométricos como representaciones de un vector algebraico a = 3,2 . La
representación particular de 0𝑃 del origen al punto P(3,2) se llama vector de
posición del punto P.

9. Dados los puntos 𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 𝑦 𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , el vector 𝑎 con la representación 𝐴𝐵 es
a = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
Ejemplo.- Encuentre el vector representado por el segmento de recta dirigido con un punto inicial 𝐴 2, −3, 4
y el punto terminal 𝐵(−2, 1, 1).
Solución: El vector correspondiente 𝐴𝐵 = −2 − 2,1 + 3, 1 − 4 = −4, 4, −3
La magnitud o longitud del vector 𝑣 es la longitud de cualesquiera de sus representaciones, y se denota por
el símbolo 𝑣 o 𝑣 . Al usar la fórmula de distancia para calcular la longitud del segmento 𝑂𝑃, se obtiene las
siguientes fórmulas.
Longitud del vector bidimensional 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 es 𝑎 = 𝑎1
2 + 𝑎2
2
Longitud de un vector tridimensional 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 es 𝑎 = 𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2