3. Longitudes de los segmentos
Las longitudes de los diversos tramos de la cercha se
calculan por medio de relaciones trigonométricas. A
continuación, se especifica cómo se halla cada tramo
en la siguiente tabla.
Desarrollando los cálculos
anteriores, se obtiene:
AB 2.207 AL 2 BL 0.933 EI 1.865
BC 2.207 LK 2 BK 2.207 IF 2.207
CD 2.207 KJ 2 CK 1.865 FH 0.933
DE 2.207 JI 2 DJ 2.798 METROS
EF 2.207 IH 2 CJ 2.735 TOTAL 43.520
FG 2.207 HG 2 JE 2.735
AB
2 𝑚
cos 25
AL
12 𝑚
6
BL
2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛(25) EI
2 2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛(25)
BC
2 𝑚
cos 25
LK
12 𝑚
6
BK
2 𝑚
cos 25
IF
2 𝑚
cos 25
CD
2 𝑚
cos 25
KJ
12 𝑚
6
CK
2 2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛(25) FH
2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛(25)
DE
2 𝑚
cos 25
JI
12 𝑚
6
DJ
3 2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛(25) METROS
EF
2 𝑚
cos 25
IH
12 𝑚
6
CJ 12 𝑚
6
2
+
2 2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛 25
2
TOTAL
FG
2 𝑚
cos 25
HG
12 𝑚
6
JE 12 𝑚
6
2
+
2 2 𝑚
cos 25
𝑠𝑒𝑛 25
2
4. Especificaciones
del proyecto
En el proyecto de diseño se especifica
que la cercha se construirá con vigas de
acero de perfil de piernas iguales de
doble acomodamiento, como se muestra
en la siguiente figura.
La configuración exacta para las vigas
usadas en el presento diseño
corresponde a: acero estructural a-36:
ángulo de piernas iguales l64x64x9.5.
Las dimensiones y propiedades de este
material se encuentran en el siguiente
catálogo:
5. Tabla especificaciones de las tejas
Las tejas que se usarán se deben escoger en catálogos comerciales. A continuación, un catálogo de Eternit.
Se elige como teja a usar la N° 6 que tiene una longitud útil de 1.69 m. ahora, se calcula cuántas tejas son
necesarias para cubrir la longitud 𝐿𝐶𝑆.
# 𝑡𝑒𝑗𝑎𝑠 (𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜) =
13.24 𝑚
1.69 𝑚
= 7.83 ≈ 8
10. Método de los nodos
A partir de los principios de cuerpos rígidos en
equilibrio se sabe que 𝐹𝑥 = 0 y 𝐹𝑦 = 0.
Se aplica este principio a cada nodo, resulta un
sistema de ecuaciones algebraicas y se dispone su
resolución para hallar cada una de las fuerzas.
15. Los resultados son resumidos en la tabla
a continuación:
NODOS GEMELOS FUERZA (kN) TENSIÓN O COMPRESIÓN
AB = FG -39,575 COMPRESIÓN
AL = HG 35,867 TENSIÓN
LB = HF 0 ELEMENTO DE AMARRE
LK = HI 35,867 TENSIÓN
BC = FE -31,66 COMPRESIÓN
BK = FI -7.915 COMPRESIÓN
KJ = JI 28,694 TENSIÓN
KC = EI 3,345 TENSIÓN
CD = DE -23,745 COMPRESIÓN
CJ = EJ -9.809 COMPRESIÓN
DJ 13,38 TENSIÓN
17. Las fuerzas a las que están sometidos cada uno de los
elementos de cada cercha son resumidas en la tabla a
continuación:
NODOS GEMELOS FUERZA (kN) TENSIÓN O COMPRESIÓN
AB = FG -39,575 COMPRESIÓN
AL = HG 35,867 TENSIÓN
LB = HF 0 ELEMENTO DE AMARRE
LK = HI 35,867 TENSIÓN
BC = FE -31,66 COMPRESIÓN
BK = FI -7.915 COMPRESIÓN
KJ = JI 28,694 TENSIÓN
KC = EI 3,345 TENSIÓN
CD = DE -23,745 COMPRESIÓN
CJ = EJ -9.809 COMPRESIÓN
DJ 13,38 TENSIÓN
18. Esfuerzos normales sobre los elementos
de la cercha
Ahora, se deben calcular los
esfuerzos normales admisibles para
cada elemento, teniendo en cuenta
la clasificación anterior que se hizo
entre tensión y compresión.
Para calcular los esfuerzos, se
utiliza la siguiente ecuación:
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝐹
𝐴
Donde F es la fuerza (en kN) para
cada elemento calculado en la fase
anterior y A es el área de cada
elemento, como todos los
elementos son del mismo material
y de las mismas dimensiones, el
área será igual en todos los casos y
esta se encuentra definida en la
tabla de las propiedades de los
perfiles de acero.
19.
20. Factor de seguridad para elementos en
tensión
Para estos mismos elementos se tiene en cuenta la resistencia de cedencia para determinar el
factor de seguridad para elementos en tensión. Siendo esta:
𝜎𝑦 = 250000 𝑘𝑃𝑎
Entonces, el factor de seguridad para los elementos de tensión se define a través de la
siguiente fórmula:
𝐹𝑆 =
𝜎𝑦
𝜎𝑎𝑑𝑚
Así, para el primer elemento en tensión, el factor de seguridad es:
𝐹𝑆𝐴𝐿 𝑦 𝐻𝐺 =
250000 𝑘𝑃𝑎
16012.0536 𝑘𝑃𝑎
𝐹𝑆𝐴𝐿 𝑦 𝐻𝐺 = 15.61324
Para todos los elementos de tensión se aplica el mismo procedimiento anterior, con la misma
resistencia de cedencia, pues esta depende del material de los elementos y para todos es la
misma.
21. Resultados
Nodos
gemelos
Fuerza (kN)
Tensión o
comprensión
Área de perfil
(m2)
Esfuerzo
admisible (kPa)
Resistencia a
cedencia (kPa)
Factor de
seguridad
AL - HG 35.867 TENSION 0.00224 16012.05357 250000 15.6132378
LK - HI 35.867 TENSION 0.00224 16012.05357 250000 15.6132378
LB - HF 0 AMARRE 0.00224 0 250000 AMARRE
KJ - JI 28.694 TENSION
0.00224 12809.82143 250000 19.51627518
KC - EI 3.345 TENSION
0.00224 1493.303571 250000 167.4140508
DJ 13.38 TENSION
0.00224 5973.214286 250000 41.85351271
22. Factor de seguridad para elementos en
comprensión
Habiendo separado los elementos en compresión, se calcula para ellos su factor de seguridad.
Para calcular el factor de seguridad en este caso, se debe obtener la carga crítica, pues la fórmula a
utilizar es:
𝐹𝑆 =
𝑃𝑐𝑟
𝑃𝑎𝑑𝑚
Donde se considera la carga admitida 𝑃𝑎𝑑𝑚 como la fuerza recibida que ya fue calculada en la fase
anterior.
Entonces, la carga crítica se calcula por medio de la fórmula de Euler:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2
𝐸 𝐼
𝐿2
El módulo de elasticidad para este caso es:
E=200 GPa=200000000 kPa
Para calcular los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, se aplica el teorema de
Steiner, el cual es:
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥
′
+ 𝐴𝑦2
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦
′
+ 𝐴𝑥2
23. Factor de seguridad para elementos en
comprensión
Nodos
gemelos
Carga
admitida
(kN)
Tensión o
comprensión
Área de perfil
(m2)
Módulo de
elasticidad (kPa)
Longitud del
elemento (m)
Mínimo momento
de inercia (m4)
Carga crítica (kN)
Factor de
seguridad
AB – FG -39.575 COMPRENSION 0.00224 200000000 2.207 0.00000081 328.2540504 8.29448011
BK – FI -7.915 COMPRENSION 0.00224 200000000 2.207 0.00000081 328.2540504 41.47240055
BC – FE -31.66 COMPRENSION 0.00224 200000000 2.207 0.00000081 328.2540504 10.36810014
CD – DE -23.745 COMPRENSION 0.00224 200000000 2.207 0.00000081 328.2540504 13.82413352
CJ – EJ -9.809 COMPRENSION 0.00224 200000000 2.735 0.00000081 213.7470347 21.79090985
Finalmente, para los elementos en compresión, se calcula el factor de seguridad escogiendo el menor
momento de inercia posible. En la siguiente tabla se resumen todos los resultados obtenidos.
Ya que todos los factores de seguridad son mayores a 3.0, se considera que el diseño es exitosamente
realizado y no se hace necesario ningún rediseño ni sobredimensionamiento.
