Pandeo

1. Clase N° 14 – TPN° 12
Pandeo
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. Veamos algunos
conceptos preliminares
Se ha comprobado experimentalmente el fenómeno llamado PANDEO en el cual una barra
recta con carga centrada de compresión se mantiene recta hasta un cierto valor de carga y
luego flexa repentinamente con una flecha que puede ser considerable.
Este fenómeno de flexión lateral no solo se debe a inevitables imperfecciones de la barra y
excentricidades de la carga N, sino que presenta también en ausencia de cualquier
imperfección en cuyo caso se debe al hecho que cuando N alcanza un valor crítico NCR y lo
supera, por poco que sea, el equilibrio rectilíneo se hace inestable, y es extremadamente
improbable que el eje de la barra se mantenga recto.
La carga para la cual la barra se pandea es menor que la de rotura estática, se llama carga
crítica de Euler, y su expresión analítica es:
𝑁𝐶𝑅 =
𝜋2𝐸𝐽𝑚𝑖𝑛
𝑙0
2
Por tanto, el principio de la inestabilidad o pandeo equivale técnicamente a la rotura de la
pieza (dado que una vez que este se produce el elemento deja de cumplir las funciones para
las cuales fue diseñado).
(expresión obtenida experimentalmente para
una barra doblemente articulada cargada
axilmente con una carga de compresión)

3. Veamos algunos
conceptos preliminares
La fórmula de Euler es válida siempre que se cumpla la ley de Hooke, o sea que no se supere
el límite de proporcionalidad. Si se resuelven las fórmulas para distintos materiales se ve que
no es válida para piezas cortas, de pequeñas esbelteces.
La esbeltez “λ“ es una propiedad
geométrica del elemento, que depende
de su: • Longitud
• De los tipos de apoyo en sus
extremos
• Del radio de giro
y se calcula con la expresión: 𝜆 =
𝑙𝑝
𝑖𝑚𝑖𝑛
El comportamiento al pandeo varía con
el tipo de apoyo en los extremos por lo
que se trabaja con una longitud de
pandeo lp = K . l0 función de la longitud
física de la barra l0

4. Veamos ahora un
Problema de verificación
Una columna IPN 160 (DIN 1025) se encuentra empotrada–articulada
según el eje x-x y simplemente apoyada con un arriostramiento
intermedio según y-y como se muestra en la figura. ¿Cuál será la carga
crítica según Euler?
DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40); E = 2100000 [kgf/cm2]
Para el acero F-20 se cumple:
𝜎𝐹𝐿 = 2000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
→ 𝜎𝐴𝑑𝑚=
𝜎𝐹𝐿
𝐶𝑆
=
2000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
1,40
≅ 1430 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

5. Una columna IPN 160 (DIN 1025) se encuentra empotrada–articulada
según el eje x-x y simplemente apoyada con un arriostramiento
intermedio según y-y como se muestra en la figura. ¿Cuál será la carga
crítica según Euler?
DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40); E = 2100000 [kgf/cm2]
Para el acero F-20 se cumple:
𝜎𝐹𝐿 = 2000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
→ 𝜎𝐴𝑑𝑚=
𝜎𝐹𝐿
𝐶𝑆
=
2000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
1,40
≅ 1430 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
…mientras que para el perfil
IPN 160 (DIN 1025) es:
𝐹 = 22,8 𝑐𝑚2
𝐽𝑥 = 935 𝑐𝑚4
𝐽𝑦 = 54,7 𝑐𝑚4

6. …calculemos el pandeo
según el eje x-x:
𝐹 = 22,8 𝑐𝑚2
𝐽𝑥 = 935 𝑐𝑚4
𝐽𝑦 = 54,7 𝑐𝑚4
𝑃𝐶𝑅𝑥 =
𝜋2
𝐸 ∙ 𝐽𝑥
𝑙𝑒
2
→ 𝑃𝐶𝑅𝑥=
𝜋2 ∙ 2100000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 ∙ 935 𝑐𝑚4
0,699 ∙ 400 𝑐𝑚 2
≅ 248956 𝑘𝑔𝑓

7. …calculemos el pandeo
según el eje y-y:
𝑃𝐶𝑅𝑦 =
𝜋2
𝐸 ∙ 𝐽𝑦
𝑙𝑒
2
→ 𝑃𝐶𝑅𝑦=
𝜋2
∙ 2100000
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2 ∙ 54,7 𝑐𝑚4
1 ∙ 0,5 ∙ 400 𝑐𝑚 2
≅ 28343 𝑘𝑔𝑓

8. …y la carga crítica será la
menor de ambas:
𝑃𝐶𝑅𝑦 = 28343 𝑘𝑔𝑓
𝑃𝐶𝑅𝑥 = 248956 𝑘𝑔𝑓
𝑃𝐶𝑅 = 𝑚𝑖𝑛 𝑃𝐶𝑅𝑥; 𝑃𝐶𝑅𝑦 = 28343 𝑘𝑔𝑓 → 𝜎𝐶𝑅=
𝑃𝐶𝑅
𝐹
=
28343 𝑘𝑔𝑓
22,8 𝑐𝑚2 ≅ 1243 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
→ 𝜎𝐶𝑅< 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 1430 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
El pandeo se da
respecto del eje y-y

9. Veamos el Método
Omega ()
Es un método sencillo, aplicable indistintamente para cualquier valor de esbeltez λ, y que
considera tensiones en lugar de cargas.
𝜎𝐶𝑅 =
𝑁𝐶𝑅
𝐴
=
𝜋2𝐸𝐽𝑚𝑖𝑛
𝑙0
2
× 𝐴
…y reemplazando ahora el momento de inercia y el área por el radio de giro será:
𝑖𝑚𝑖𝑛
2
=
𝐽𝑚𝑖𝑛
𝐴
⟹ 𝜎𝐶𝑅 =
𝑁𝐶𝑅
𝐴
=
𝜋2𝐸
𝑙0
2 × 𝑖𝑚𝑖𝑛
2
…y ahora reemplazando por la esbeltez resulta:
𝜆2
=
𝑙0
𝑖𝑚𝑖𝑛
2
⟹ 𝜎𝐶𝑅 =
𝑁𝐶𝑅
𝐴
=
𝜋2𝐸
𝜆2
⟹ 𝜎𝐸𝑓= 𝜔 ∙ 𝜎𝐴𝑑𝑚 =
𝜔 ∙ 𝜎𝐶𝑅
𝐶𝑆
=
𝜔 ∙ 𝑁𝐶𝑅
𝐶𝑆 ∙ 𝐴
=
𝜔 ∙ 𝜋2
𝐸
𝐶𝑆 ∙ 𝜆2
donde “ω” es un coeficiente que mayora la tensión normal
correspondiente a la componente de compresión estática; que
depende de la esbeltez (min λ) y del material (E) y está tabulado.
…tomando: 𝜎𝐹𝐿 = 𝜎𝐴𝑑𝑚 ∙ 𝐶𝑆 ≅ 𝜎𝐶𝑅
Calculamos la tensión crítica dividiendo la carga crítica
de Euler por el área, obtenemos:
…podemos definir:
(tensión efectiva de
pandeo)

10. Veamos un Problema de
dimensionamiento
Dimensionar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección U, (UPN) que debe
soportar una carga de 14 t, con una altura de 3,20 m y condición de vínculo empotrado-
articulado.
DATOS DEL MATERIAL: F-24 (CS = 1,71); E = 2,1 x 106 kg / cm2
Desde el punto de vista práctico, para verificar las tensiones y comprobar que son menores a
las admisibles, se procede del siguiente modo:
1. Los datos conocidos son N, l0, las condiciones a los bordes y el material.
2. El problema se resuelve dimensionando la sección para que las tensiones no superen los
valores admisibles de la σCR.
3. Hay que elegir una sección tal que, sin considerar el pandeo, dé una tensión de trabajo
bastante menor que la admisible, o sea seleccionar un área tal: A >> N / σadm del
dimensionamiento estático (entre 2 y 3 perfiles por sobre el que cumple con la sección
mínima)
4. Se calcula o se saca de tabla el radio de giro mínimo (imin) de la sección elegida.
5. Se calcula longitud de pandeo (lp) y la esbeltez máxima: λ = lp / imin.
6. Se saca el coeficiente ω que corresponde a esa esbeltez y material.

11. Veamos un Problema de
dimensionamiento
Dimensionar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección U, (UPN) que debe
soportar una carga de 14 t, con una altura de 3,20 m y condición de vínculo empotrado-
articulado.
DATOS DEL MATERIAL: F-24 (CS = 1,71); E = 2,1 x 106 kg / cm2
Desde el punto de vista práctico, para verificar las tensiones y comprobar que son menores a
las admisibles, se procede del siguiente modo:
1. Los datos conocidos son N, l0, las condiciones a los bordes y el material.
2. El problema se resuelve dimensionando la sección para que las tensiones no superen los
valores admisibles de la σCR.
7. Se verifica que la tensión efectiva de pandeo σEf = ω N/A ≤ σadm
i. Si la tensión es poco menor o igual se adopta la sección elegida.
ii. Si es mayor se debe elegir una sección más grande y recomenzar por el punto 3 -
hasta lograr que se cumpla el punto 7.i
iii. Si es mucho menor se debe elegir una sección menor, recomenzar por 3 - hasta que
se cumpla el 7.i
3. Hay que elegir una sección tal que, sin considerar el pandeo, dé una tensión de trabajo
bastante menor que la admisible, o sea seleccionar un área tal: A >> N / σadm del
dimensionamiento estático (entre 2 y 3 perfiles por sobre el que cumple con la sección
mínima)
4. Se calcula o se saca de tabla el radio de giro mínimo (imin) de la sección elegida
5. Se calcula longitud de pandeo (lp) y la esbeltez máxima: λ = lp / imin.
6. Se saca el coeficiente ω que corresponde a esa esbeltez y material.

12. Dimensionar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección U, (UPN) que debe
soportar una carga de 14 t, con una altura de 3,20 m y condición de vínculo empotrado-
articulado.
DATOS DEL MATERIAL: F-24 (CS = 1,71); E = 2,1 x 106 kg / cm2
Para el acero F-24 se cumple:
𝜎𝐹𝐿 = 2400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
→ 𝜎𝐴𝑑𝑚=
𝜎𝐹𝐿
𝐶𝑆
=
2400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
1,71
=
= 1400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
Calculamos la longitud efectiva de
pandeo (lp). Obtenemos de tablas el
coeficiente de esbeltez (K):
→ 𝑙𝑝= 𝐾 ∙ 𝑙0 = 0,7 ∙ 3,20 𝑚 =
= 2,24 𝑚
Calculamos Fmin (área mínima):
→ 𝐹𝑚𝑖𝑛=
𝑁
𝜎𝐴𝑑𝑚
=
14000 𝑘𝑔
1400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 =
= 10 𝑐𝑚2

13. Veamos la Tabla del Perfil UPN
Buscamos un valor de área mínima que
sea 𝑨 ≥ 𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐
Á𝑟𝑒𝑎: 𝟏𝟕 𝒄𝒎𝟐
𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑼𝑷𝑵 𝟏𝟐𝟎 i𝑚𝑖𝑛: 𝟏, 𝟓𝟗 𝒄𝒎

14. Verificamos las
Tensiones Efectivas
Calculamos la esbeltez (λ).
λ =
𝑙𝑝
𝑖𝑚𝑖𝑛
=
224 𝑐𝑚
1,59 𝑐𝑚
= 168,42
Con este valor vamos a la tabla de Coeficiente de
Pandeo para piezas de acero y obtenemos el valor de ,
este coeficiente puede entenderse como un factor de
mayoración de carga derivado de la aplicación de la
expresión determinada por Euler.
 = 𝟓, 𝟒𝟓
Calculamos la tensión efectiva
(Ef).
𝜎𝐸𝑓 =
𝜔 ∙ 𝑁
𝐴
=
5,45 ∙ 14000 𝑘𝑔
17 𝑐𝑚2
= 6936,36 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝜎𝐸𝑓 > 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 1400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
NO VERIFICA. Debemos
recalcular la sección

15. Volvamos a la Tabla del Perfil UPN
Á𝑟𝑒𝑎: 𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟐
𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑼𝑷𝑵 𝟏𝟖𝟎 i𝑚𝑖𝑛: 𝟐, 𝟎𝟐 𝒄𝒎
Verificamos las
Tensiones Efectivas

16. Verificamos las
Tensiones Efectivas
Calculamos la nueva esbeltez (λ).
λ =
𝑙𝑝
𝑖𝑚𝑖𝑛
=
224 𝑐𝑚
2,02 𝑐𝑚
≅ 111
 = 𝟐, 𝟒𝟓
Calculamos la tensión efectiva
(Ef).
𝜎𝐸𝑓 =
𝜔 ∙ 𝑁
𝐴
=
2,45 ∙ 14000 𝑘𝑔
28 𝑐𝑚2
= 1225 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝜎𝐸𝑓 < 𝜎𝐴𝑑𝑚 = 1400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
VERIFICA

17. Veamos ahora un
Problema de verificación
Verificar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección
U100, (UPN) que debe soportar una carga de 3,5 t, con una altura de 5 m
y condición de vínculo empotrado-empotrado.
DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40)
3,5 t
5 m
Para el acero F-20 se cumple:
𝜎𝐹𝐿 = 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 → 𝜎𝐴𝑑𝑚=
𝜎𝐹𝐿
𝐶𝑆
=
2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
1,40
≅ 1430 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

18. Veamos ahora un
Problema de verificación
Verificar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección
U100, (UPN) que debe soportar una carga de 3,5 t, con una altura de 5 m
y condición de vínculo empotrado-empotrado.
DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40)
3,5 t
5 m
Para el acero F-20 se cumple:
𝜎𝐹𝐿 = 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 → 𝜎𝐴𝑑𝑚=
𝜎𝐹𝐿
𝐶𝑆
=
2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
1,40
≅ 1430 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
Calculamos la longitud efectiva de
pandeo (lp). Obtenemos de tablas el
coeficiente de esbeltez (K):
→ 𝑙𝑝= 𝐾 ∙ 𝑙0 = 0,5 ∙ 5 𝑚 = 2,50 𝑚 = 250 𝑐𝑚

19. A = 𝟏𝟑, 𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐
Verificar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección
U100, (UPN) que debe soportar una carga de 3,5 t, con una altura de 5 m
y condición de vínculo empotrado-empotrado.
DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40)
3,5 t
5 m
Veamos la Tabla del Perfil U100 (UPN)
i𝒚 = 𝟏, 𝟒𝟕 𝒄𝒎
…y obtenemos el área y
el radio de giro mínimo
Calculamos la esbeltez (λ)
λ =
𝑙𝑝
𝑖𝑚𝑖𝑛
=
250 𝑐𝑚
1,47 𝑐𝑚
= 170

20. Verificamos la Carga
Crítica (PK)
Obtenemos de tablas el coeficiente de pandeo (). Tomamos la tabla para aceros F-20
 = 𝟒, 𝟔𝟓
VERIFICA
Ingresamos con el valor de
la esbeltez (λ).
λ = 170
Calculamos la Carga Crítica
(PK).
𝑃𝐾 = 𝜎𝐸𝑓 ∙ 𝐴 =
𝜎𝐴𝑑𝑚
𝜔
∙ 𝐴
∴ 𝑃𝐾=
1430 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
∙ 13,5 𝑐𝑚
4,65
∴ 𝑃𝐾= 4102,26 𝑘𝑔 ≅ 4,1 𝑡
𝑷𝑲 = 4,1 𝒕 > 𝑷 = 3,5 𝒕

21. Bibliografía
Estabilidad I – Enrique Fliess
Estática y Resistencia de Materiales – César M. Raffo

22. Muchas Gracias