Variación en las condiciones de sustentación en una barra solicitada a corte y flexión compuesta

1. Estabilidad IIb - Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Flexión Compuesta
Caso de estudio:
Variación en las condiciones
de sustentación

2. Dada la viga que se
muestra en la figura se
pide:
• Plantear el diagrama de cuerpo libre y trazar los diagramas de esfuerzos
característicos colocando los valores correspondientes en los puntos destacados.
• Dimensionar la barra AB mostrando claramente cuál/cuales son las fibras más
comprometidas de la sección más solicitada. ¿A qué tipo de solicitación está
sometida dicha sección?
• Trazar el eje neutro para dicha sección.
• Verificar al corte la sección más solicitada.
Material de la viga F24
Coeficiente de seguridad (cs) = 1.72
𝛕𝐅𝐋 =
𝛔𝐅𝐋
𝟑
𝛔𝐚𝐝𝐦 =
𝛔𝐅𝐋
𝐜𝐬

3. 𝑅𝑉𝐴 = 3,75 𝑡
𝑅𝑉𝐵 = 6,25 𝑡
𝑅𝐻𝐵 = 55 𝑡
Diagrama de cuerpo
libre y diagramas de
esfuerzos:
Calculamos las reacciones de vínculo
planteando las ecuaciones de equilibrio
de la estática:
𝐹𝐻 = 0 = 50 𝑡 + 5 𝑡 − 𝑅𝐻𝐵
𝐹𝑉 = 0 = 10 𝑡 − 𝑅𝑉𝐴 − 𝑅𝑉𝐵
𝑀𝐴 = 0 = 5 𝑡 ∙ 1 𝑚 + 10 𝑡 ∙ 2 𝑚 − 𝑅𝑉𝐵 ∙ 4 𝑚
…y resolviendo:
• Plantear el diagrama de cuerpo libre y trazar los diagramas de esfuerzos
característicos colocando los valores correspondientes en los puntos destacados.
• Dimensionar la barra AB mostrando claramente cuál/cuales son las fibras más
comprometidas de la sección más solicitada. ¿A qué tipo de solicitación está
sometida dicha sección?
• Trazar el eje neutro para dicha sección.
• Verificar al corte la sección más solicitada.
Material de la viga F24
Coeficiente de seguridad (cs) = 1.72
𝛕𝐅𝐋 =
𝛔𝐅𝐋
𝟑
𝛔𝐚𝐝𝐦 =
𝛔𝐅𝐋
𝐜𝐬
3,75 t
6,25 t
55 t

4. -
+
-
+ -
+
M [t.m]
Q [t]
N [t]
Diagrama de cuerpo
libre y diagramas de
esfuerzos:
𝑅𝑉𝐴 = 3,75 𝑡
𝑅𝑉𝐵 = 6,25 𝑡
𝑅𝐻𝐵 = 55 𝑡
Calculamos las reacciones de vínculo
planteando las ecuaciones de equilibrio
de la estática:
𝐹𝐻 = 0 = 50 𝑡 + 5 𝑡 − 𝑅𝐻𝐵
𝐹𝑉 = 0 = 10 𝑡 − 𝑅𝑉𝐴 − 𝑅𝑉𝐵
𝑀𝐴 = 0 = 5 𝑡 ∙ 1 𝑚 + 10 𝑡 ∙ 2 𝑚 − 𝑅𝑉𝐵 ∙ 4 𝑚
…y resolviendo:
3,75 t
6,25 t
55 t
10
55
6,25
3,75
5
5
7,5
12,5
La sección más solicitada será la
sección D, dado que en ella se
verifican los mayores esfuerzos
axiles, de corte y de flexión.
Por lo tanto, la sección D se halla
solicitada a Flexión Compuesta y
Corte. Además dado que la línea de
fuerzas coincide con uno de los ejes
de simetría de la sección (Principal
de Inercia), la flexión será normal o
recta.
Dimensionaremos por Flexión y
verificaremos al corte.

5. Dimensionamiento
por Flexión
Compuesta:
La expresión que define las tensiones
normales en los casos de solicitación
por flexión compuesta es la siguiente:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐽
∙ 𝑑𝑚𝑎𝑥
Donde:
• 𝜎𝑚𝑎𝑥: máxima tensión normal
• 𝑁: solicitación axil
• 𝐴: área de la sección
• 𝑀𝑚𝑎𝑥: momento flexor máximo
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑑𝑚𝑎𝑥: distancia de la fibra más alejada del eje neutro
Tensiones debidas al
esfuerzo axil (tracción “+”;
compresión “-”)
Tensiones debidas a la flexión (el signo
depende de la posición relativa de la
fibra respecto del eje neutro y de la
deformación de la pieza)
La tensión que utilizaremos para el dimensionamiento será la correspondiente a la de la
fibra más comprometida, esto es, la máxima tensión que tendrá el sentido (tracción o
compresión) definido por el del término correspondiente a la tensión originada por la
solicitación axil, siendo su módulo la suma (en valor absoluto) de la tensión originada por la
solicitación axil, más, el término de igual signo correspondiente a la tensión originada por
flexión. Y siendo en este caso:

6. Dimensionamiento
por Flexión
Compuesta:
La expresión que define las tensiones
normales en los casos de solicitación
por flexión compuesta es la siguiente:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐽
∙ 𝑑𝑚𝑎𝑥
Donde:
• 𝜎𝑚𝑎𝑥: máxima tensión normal
• 𝑁: solicitación axil
• 𝐴: área de la sección
• 𝑀𝑚𝑎𝑥: momento flexor máximo
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑑𝑚𝑎𝑥: distancia de la fibra más alejada del eje neutro
Tensiones debidas al
esfuerzo axil (tracción “+”;
compresión “-”)
Tensiones debidas a la flexión (el signo
depende de la posición relativa de la
fibra respecto del eje neutro y de la
deformación de la pieza)
La tensión que utilizaremos para el dimensionamiento será la correspondiente a la de la
fibra más comprometida, esto es, la máxima tensión que tendrá el sentido (tracción o
compresión) definido por el del término correspondiente a la tensión originada por la
solicitación axil, siendo su módulo la suma (en valor absoluto) de la tensión originada por la
solicitación axil, más, el término de igual signo correspondiente a la tensión originada por
flexión. Y siendo en este caso:
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
ℎ = 2,5 𝑏
𝑑𝑚𝑎𝑥 =
ℎ
2
→ 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
2,5 ∙ 𝑏2
+
6 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥
2,52 ∙ 𝑏3
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
…de donde obtenemos el valor de “b”
…módulo de la máxima tensión, en este caso de “compresión”

7. +
-
-
+
-
Grafiquemos
las tensiones
normales…
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
Tensiones debidas al
esfuerzo axil (tracción “+”;
compresión “-”)
Tensiones debidas a la flexión (el signo
depende de la posición relativa de la
fibra respecto del eje neutro y de la
deformación de la pieza)
+
=
= 0
Eje Neutro
La posición del Eje Neutro la obtenemos
hallando la coordenada “z” que hace 0
(cero) a las tensiones normales.
z
𝜎 =
𝑁
𝐴
𝜎 = −
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
𝜎 =
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
𝜎 =
𝑁
𝐴
+
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
𝜎 = −
𝑁
𝐴
−
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
Fibras más
solicitadas

8. Verificación por
Corte:
La expresión que define las tensiones
tangenciales en los casos de solicitación
por corte es la de Jouravsky:
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑄𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑆𝑚𝑎𝑥
𝐽 ∙ 𝑏
Donde:
• 𝜏𝑚𝑎𝑥: máxima tensión tangencial
• 𝑄𝑚𝑎𝑥: corte máximo
• 𝑆𝑚𝑎𝑥: momento estático máximo de la sección por sobre el plano de resbalamiento (momento estático de
media sección)
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑏: ancho de la sección correspondiente al plano de resbalamiento
…y siendo en este caso:
𝑏 = 𝑐𝑡𝑒
𝑆 =
𝑏
2
∙
ℎ2
4
− 𝑧2
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
ℎ = 2,5 𝑏
→ 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3
2
∙
𝑄
2,5 ∙ 𝑏2
∙ 1 −
4 ∙ 𝑧2
2,5 ∙ 𝑏 2
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
…expresión cuadrática

9. 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3
2
∙
𝑄𝑚𝑎𝑥
2,5 ∙ 𝑏2
Tensiones
tangenciales
Grafiquemos las tensiones
tangenciales…
+
-
Eje Neutro z
𝜎𝑚𝑎𝑥(+) =
𝑁
𝐴
+
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
𝜎𝑚𝑎𝑥(−) = −
𝑁
𝐴
−
𝑀
𝐽
∙ 𝑧
Tensiones
normales
+

10. Hagamos ahora el siguiente
análisis…
…que sucedería con la siguiente
configuración en dónde permutamos
los apoyos A y B: (segunda especie)
(primera especie)

11. Hagamos ahora el siguiente
análisis…
…que sucedería con la siguiente
configuración en dónde permutamos
los apoyos A y B: (segunda especie)
(primera especie)
…los diagramas de características
ahora serían:
-
+
-
+ -
+
M [t.m]
Q [t]
N [t]
10
55
6,25
3,75
5
5
7,5
12,5
…obsérvese que ahora la sección
D es la más solicitada a Flexión
Pura pero la sección C, si bien
tiene una solicitación por flexión
menor, está solicitada a Flexión
Compuesta…
…surge de esta manera una duda
razonable sobre cuál de las dos
secciones será la más solicitada,
por ello, para adoptar la correcta
se deberá dimensionar para una
de ellas y verificar los resultados
para la restante.

12. Dimensionemos la
sección D…
…que está solicitada a Flexión Pura, por lo tanto
será: 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐽
∙ 𝑑𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
Donde:
• 𝜎𝑚𝑎𝑥: máxima tensión normal
• 𝑀𝑚𝑎𝑥: momento flexor máximo
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑑𝑚𝑎𝑥: distancia de la fibra más alejada del eje neutro
Y siendo en este caso:
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
ℎ = 2,5 𝑏
𝑑𝑚𝑎𝑥 =
ℎ
2
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝐹𝑙
𝐶𝑠
→ 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
6 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥
2,52 ∙ 𝑏3
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
…de donde obtenemos el valor de “b”
→
𝑏 = 9,51 𝑐𝑚
ℎ = 23,78 𝑐𝑚

13. Ahora verificamos la
sección C…
…que está solicitada a Flexión Compuesta, por lo
tanto será: 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐽
∙ 𝑑𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
Donde:
• 𝜎𝑚𝑎𝑥: máxima tensión normal
• 𝑁: solicitación axil
• 𝐴: área de la sección
• 𝑀𝑚𝑎𝑥: momento flexor máximo
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑑𝑚𝑎𝑥: distancia de la fibra más alejada del eje neutro
Y siendo en este caso:
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
ℎ = 2,5 𝑏
𝑑𝑚𝑎𝑥 =
ℎ
2
𝑏 = 9,51 𝑐𝑚
→ 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
2,5 ∙ 𝑏2
+
6 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥
2,52 ∙ 𝑏3
≅ 1080
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
≤
2400
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
1,72
= 1395
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 𝜎𝑎𝑑𝑚
 verifica

14. Ahora verificamos la
sección C…
…que está solicitada a Flexión Compuesta, por lo
tanto será: 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐽
∙ 𝑑𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
Donde:
• 𝜎𝑚𝑎𝑥: máxima tensión normal
• 𝑁: solicitación axil
• 𝐴: área de la sección
• 𝑀𝑚𝑎𝑥: momento flexor máximo
• 𝐽: momento de inercia de la sección respecto del eje baricéntrico paralelo al eje neutro
• 𝑑𝑚𝑎𝑥: distancia de la fibra más alejada del eje neutro
Y siendo en este caso:
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
ℎ = 2,5 𝑏
𝑑𝑚𝑎𝑥 =
ℎ
2
𝑏 = 9,51 𝑐𝑚
→ 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑁
2,5 ∙ 𝑏2
+
6 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥
2,52 ∙ 𝑏3
≅ 1080
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
≤
2400
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
1,72
= 1395
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 𝜎𝑎𝑑𝑚
 verifica
…observamos que la sección D sigue siendo la más comprometida pero
en este caso la solicitación, con esta configuración de apoyos, será
menor (sólo a Flexión Pura).
(esta configuración de apoyos aprovecha
mejor la distribución de esfuerzos internos y
por consiguiente permite utilizar perfiles de
menos sección)

15. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

16. Muchas Gracias