Este documento presenta la resolución de un ejercicio de estabilidad que involucra el cálculo de tensiones en una estructura sometida a esfuerzos combinados. Se calculan las tensiones debidas a esfuerzos axiales, cortantes, momentos flexores y torsores, y se determinan las tensiones principales en la sección más solicitada. Finalmente, se grafican los diagramas de tensiones.

1. Teoría de Falla
Solicitaciones combinadas
Problema de Aplicación
Resolución del Ejercicio N° 8
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Veamos el siguiente ejemplo:
Hallar las tensiones máximas en el
empotramiento A y el giro alrededor del eje
x, de la sección E (X). Trazar los diagramas
de momentos torsores, los diagramas de
tensiones y los diagramas de esfuerzos
actuantes. Verificar las tensiones máximas
para la fibra más solicitada y calcular el
coeficiente de seguridad () aplicando el
criterio de Von Mises. Nota: El momento
torsor de M está aplicado en la sección B.
Enunciado
y
x
z
A
B
C
D
E
F
4 Tn
10 Tn
5 Tn
M = 8 Tn . m
X
2 m
1 m
1 m
1 m
1 m
Datos:
AC = 40 cm
 CE= 10 cm
 DF= 10 cm
Material: aluminio (6061), G = 2,7x105 kgf/cm2

3. Veamos los datos del material:
Para el aluminio 6061
se tiene:
Resolución
 FL= 150 N/mm2
 FL= 1530 kgf/cm2
por lo tanto:

4. Veamos las características
geométricas de la sección:
Siendo la sección del empotramiento A una sección circular maciza será:
 22
64,256.1
4
cmA E  

 33
33,333.5
12
1
cmS Ex  
 44
71,663.125
64
cmJ E  

 44
0 42,327.251
32
cmJ E  

Resolución

5. x
y
z
A
Calculemos las solicitaciones
actuantes en el empotramiento A:
Solicitación axil:
Resolución
   kgfTnNX 50005  tracción (+)
NX = 5000 kgf
Solicitaciones por corte:
   kgfTnTY 1000010 
   kgfTnTZ 40004 
TY = -10000 kgf
TZ = -4000 kgf
Solicitación por momentos flexores:
       cmkgfmTnmTnMY  5
10222234
       cmkgfmTnmTnMZ  5
103030310
MY = 22x105 kgf.cm
MZ = -30x105 kgf.cm
Solicitación por momento torsor:
         cmkgfmTnmTnmTnM X  5
1012122108
MX = 12x105 kgf.cm

6. Calculemos las tensiones
debidas al esfuerzo axil:
La tensión normal será:
 
 
   
  222
40
5000
4
4
cm
kgfkgfN
cmA
kgfN XX
X






y
z




 2
97,3
cm
kgf
X
 X = 3,97 kgf/cm2
Resolución

7. y
z MZ
MY
MF
Calculemos las tensiones
debidas a los momentos
flexores:
El momento flexor actuante será:
Resolución
         cmkgfMMM ZYF 



  52222
103022
… y el ángulo  que forma con el eje z resulta:
 

 75,143
30
22
arctan
Z
Y
M
M

 cmkgfMF  5
1020,37

Por su parte, la distribución de tensiones normales será:

2


J
M
y
J
M F
MAX
F
XMAX
 
 
 








 24
5
592
2
40
71,125663
1020,37
cm
kgfcm
cm
cmkgf
MAXX
z
y
MF

P

Xmax ≈ 592 kgf/cm2
donde:
  
 

25,36
75,143180



8. …y las tensiones
normales totales serán…
…, por el principio de superposición de efectos, la suma de las tensiones debidas a la
solicitación axil y las debidas al momento flexor:
Resolución
z
y
MF
P

MAX ≈ 596 kgf/cm2
 
 
 
  MAX
FX
FlexiónAxilMAX y
cmJ
cmkgfM
cmA
kgfN


 42









 22
59297,3
cm
kgf
cm
kgf
FlexiónAxilMAX 




 2
596
cm
kgf
MAX
donde:   25,36

9. TY
TZ
T
y
z
Q
Calculemos las tensiones
debidas a los esfuerzos
cortantes:
El esfuerzo cortante actuante será:
Resolución
         kgfTTT ZY
32222
10410 



 
… y el ángulo  que forma con el eje z resulta:
 


 20,68
4
10
arctan
Z
Y
T
T

 kgfT 3
1077,10 
Por su parte, la distribución de tensiones corte será parabólica con una MAX1:
 
  





















 22
3
2
30,114
2
40
1077,10
3
4
2
3
4
3
4
11
cm
kgf
cm
kgfT
A
T
MAXMAX






MAX1

10. Calculemos las tensiones
debidas al momento
torsor:
Las tensiones tangenciales debidas al momento
torsor tendrán distribución radial con un valor
máximo MAX2 :
Resolución
   
  









 24
5
0
49,95
41,251327
2
40
1012
2
2
cm
kgf
cm
cm
cmkgf
J
M X
MAX


y
z
A
B
MAX2
Las tensiones tangenciales máxima total será la suma de las tensiones debidas al esfuerzo
de corte (MAX1)y al momento torsor (MAX2). Esta tensión se verificará en un punto tal
como el A:
  







 22
79,20949,9530,11421
cm
kgf
cm
kgf
MAXMAXMAXAMAX  … y por su parte:




 2
49,952
cm
kgf
MAXPMAXBMAX 
… en el punto P la tensión 1
no es nula por ser P ≠ Q ya
que  ≠ , pero al 1 ser muy
cercana a 0 (cero) puede
despreciarse.

11. Veamos los
diagramas:
Resolución
P
Q




Q
T

P
Graficamos las tensiones
normales
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas al
corte
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas a la
torsión
Definimos P
Trazamos el
diagrama 
Definimos Q
Trazamos el
diagrama Q
Luego analizaremos la tensión P
correspondiente al punto P
El diagrama resultará
independiente del ángulo

12. Analicemos el valor de P:
Resolución
P
Q




Q
P
La expresión de las tensiones tangenciales
P debidas al esfuerzo de corte tendrán
una distribución cuadrática según la
siguiente expresión:
 
4
22
1
3
4
R
yRT





donde y resulta ser:
y
   cosRy
    












 24
22
4
22
1 2,3
cos1
3
4
3
4
cm
kgf
R
RT
R
yRT



 



 2
49,952
cm
kgf
MAX
por lo tanto, P puede despreciarse

13. Calculemos las tensiones principales para la
fibra más solicitada (P)
Resolución El estado tensional del punto P será el siguiente:
y el tensor de tensiones:    MPaT
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
049,950
49,9500
00596




…será el correspondiente a un estado espacial de tensiones. Calculamos
sus invariantes:





















3
2
222
2
2
222
2
70,54345302
34,9118
596
cm
kgfJ
cm
kgfJ
cm
kgfJ
xyzyxzzxyyzxzxyzyx
yzxzxyxzzyyx
zyx



070,543453034,91185960
2323
 iiiiii JJJ 

14. …y aplicando Ruffini:
Resolución
034,911801
70,54345300596596
70,543453034,91185961



   















23,2
21
2
34,9118
596
034,9118596
cm
kgf
cm
kgf
ii

























23
22
21
49,95
49,95
596
cm
kgf
cm
kgf
cm
kgf




15. Los centros y radios de las familias
de circunferencias son:
Resolución
 
 







































223
21
3
222
31
2
21
32
1
75,345
2
49,95596
2
26,250
2
49,95596
2
0
2
49,9549,95
2
cm
kgf
cm
kgfCC
cm
kgf
cm
kgfCC
cm
kgfCC



 
 










































223
21
3
222
31
2
221
32
1
26,250
2
49,95596
2
75,345
2
49,95596
2
49,95
2
49,9549,95
2
cm
kgf
cm
kgfrr
cm
kgf
cm
kgfrr
cm
kgf
cm
kgfrr




16. Tracemos ahora las circunferencias
de Mohr:
Resolución
 [kgf/cm2]
 [kgf/cm2]
R1 (≈95)
R3 (≈250)
R2 (≈345)
C1 (0)
C2 (≈250)
C3 (≈345) 1 (596)2 (95,49)3 (-95,49)

17. Apliquemos ahora el criterio de Von
Mises:
Resolución
“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los
esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de
distorsión por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tracción en el momento
de producirse la fluencia”
 
          






2
2222
313221
2
3
2
2
2
1
52,618
46,9559646,9546,9559646,9546,95596
cm
kgf
Adm
Adm
Fl
Adm






Para el aluminio (6061) resulta:
 2
1530 cmkgfFl  47,2
52,618
1530
2
2










cm
kgf
cm
kgf
Adm
FlFl
Adm







18. … y el diagrama de Momentos
Torsores es:
Resolución

19. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

20. Muchas Gracias