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Solicitud por Torsión - Tensión máxima y ángulo de giro
- 1. Solicitación por Torsión Puesta en Común Problema para discutir Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol
- 2. Problema para discutir en Clase En el siguiente espacio se propone un Problema Conceptual para Discusión y puesta en común al Grupo (luego de recapacitar durante la semana) por los diferentes grupos antes de comenzar con la clase correspondiente al Cronograma de Actividades Programadas y para dar cierre a la explicación del Práctico N° 4 – Solicitación por Torsión. Para facilitar la tareas se adjuntan tres ejercicios conceptualmente similares para que sirvan de referencia. (Problema extraído de la Evaluación Final de la Materia del día 02 de agosto del 2023)
- 3. a) Construir el diagrama de momentos torsores. b) La tensión tangencial máxima (max). c) El ángulo de giro absoluto de la sección A respecto de la C (ϕA-C). Problema 1 Para el sistema de la figura se pide… Resolución Datos: d = 4 cm; a = 40 cm, G = 8x105 kgf/cm2; φB-C = 1° Construimos el diagrama de momentos torsores y calculamos el momento de empotramiento MC 3M M 2M 2M 𝑴𝑻 = 𝟎 = 𝑴𝑪 − 𝑴 + 𝟐𝑴 − 𝟑𝑴 → 𝑴𝑪 = 𝟐𝑴 d d x d a a 2a M 2M 3M A B C d x d
- 4. …el ángulo de giro de la sección C respecto de la B se obtiene como sigue: Para el sistema de la figura se pide… 3M M 2M 2M d d x d a a 2a M 2M 3M A B C d x d 𝝋𝑪−𝑩(𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔) = 𝟐𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 + 𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 = 𝟑𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 …y de tablas obtenemos para a/b = 1: Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse en función del módulo resistente de la sección trasversal de la barra a la torsión (WT) y del momento de inercia de la sección trasversal de la barra a la torsión (JT) mediante las siguientes expresiones 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝑻 𝑾𝑻 = 𝑴𝑻 𝜶 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃𝟐 = 𝑴𝑻 𝜶 ∙ 𝒅𝟑 𝝋 = 𝑴𝑻 𝑮 ∙ 𝑱𝑻 = 𝑴𝑻 𝑮 ∙ 𝜷 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃𝟑 = 𝑴𝑻 𝑮 ∙ 𝜷 ∙ 𝒅𝟒 → 𝜶 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟖 𝜷 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟏 → 𝑾𝑻 = 𝟏𝟑, 𝟑𝟏𝟐 𝒄𝒎𝟑 𝑱𝑻 = 𝟑𝟔, 𝟎𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟒 Problema 1
- 5. …y por lo tanto 3M M 2M 2M d d x d a a 2a M 2M 3M A B C d x d 𝝋𝑪−𝑩(𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔) = 𝟐𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 + 𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 = 𝟑𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 𝝋𝑪−𝑩(𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔) = 𝝋𝑪−𝑩(°) ∙ 𝝅 𝟏𝟖𝟎° = 𝟑𝑴 ∙ 𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 → 𝑴 = 𝝅 ∙ 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑪−𝑩 𝟑 ∙ 𝟏𝟖𝟎° ∙ 𝒂 ≅ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇 ∙ 𝒄𝒎 Por su parte, para el tramo de sección circular será: → 𝑾𝑻𝑩−𝑨 = 𝑱𝟎 𝒅 𝟐 = 𝝅 ∙ 𝒅𝟒 𝟑𝟐 𝒅 𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟔𝟔 𝒄𝒎𝟑 𝑱𝑻𝑩−𝑨 = 𝑱𝟎 = 𝝅 ∙ 𝒅𝟒 𝟑𝟐 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟑𝟑 𝒄𝒎𝟒 Problema 1
- 6. Calculamos de la tensión tangencial máxima (max) … 3M M 2M 2M d d x d a a 2a M 2M 3M A B C d x d La sección más comprometida serán las correspondientes al tramo de sección circular dado que es la que soporta el momento torsor máximo (MTmax = 3M) y posee un módulo resistente de la sección trasversal de la barra a la torsión (WT) menor. Por lo tanto será: 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙 𝑾𝑻𝑩−𝑨 = 𝟑𝑴 𝑾𝑻𝑩−𝑨 ≅ 𝟏𝟎𝟎𝟑 𝒌𝒈𝒇 𝒄𝒎𝟐 El ángulo de giro de la sección A respecto de la C lo calculamos como sigue: 𝝋𝑪−𝑨(°) = 𝝋𝑪−𝑩(°) + 𝝋𝑩−𝑨(°) = 𝟏° + 𝟑𝑴 ∙ 𝟐𝒂 𝑮 ∙ 𝑱𝑻𝑨−𝑩 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝝅 ≅ 𝟑, 𝟖𝟕° Problema 1
- 7. Un eje que debe transmitir una potencia de 300 kW está formado por dos tramos de distinto material rígidamente unidos entre sí: el primero macizo, es de una aleación que tiene un diámetro [D = 6 cm], el segundo, tubular de acero, tiene el mismo diámetro exterior. Tramo macizo de aleación Tramo tubular de acero Problema 2
- 8. Sabiendo que las tensiones tangenciales admisibles en la aleación y en el acero son respectivamente [τadm1 = 600 kgf/cm2] y [τadm2 = 800 kgf/cm2], que el ángulo de torsión por unidad de longitud [] del eje de acero es un 75% del correspondiente al eje de aleación, y la relación entre los módulos de elasticidad transversal del acero y de la aleación es [G2/G1 = 2,2], se pide: Hallar la velocidad angular a la que gira el eje. Calcular el diámetro interior del eje de acero. Problema 2
- 9. Planteando la relación entre las ecuaciones del ángulo de torsión [] de ambos materiales tendremos: 01 1 02 2 1 2 75 , 0 75 , 0 J G M J G M T T cm cm cm D D d 75 , 4 65 , 1 6 6 65 , 1 4 4 4 4 4 4 65 , 1 32 32 65 , 1 2 , 2 75 , 0 75 , 0 4 4 4 1 2 02 01 d D D G G J J …y despejando d se tiene: Problema 2
- 10. Por su parte, la expresión de la tensión tangencial máxima es: 65 , 1 01 02 1 max 2 max 0 max J J D J MT …de esta relación se desprende que, cuando en el acero la tensión tangencial es la máxima admisible [τadm 2 = 800 kgf/cm2], en la aleación la tensión tangencial máxima es: 2 2 2 max 1 max 85 , 484 65 , 1 800 65 , 1 cm kgf cm kgf …que resulta ser inferior a su tensión tangencial máxima admisible [τadm 1 = 600 kgf/cm2] Problema 2
- 11. Por lo tanto, podemos obtener el momento torsor actuante por medio de la siguiente expresión: 16 16 2 32 1 max 3 3 4 1 max D M D M D D M T T T m N kgf N m kgf M m kgf cm kgf cm kgf cm M T T 17 , 2015 8 , 9 63 , 205 63 , 205 20563 16 85 , 484 6 2 3 Problema 2
- 12. Por su parte, la expresión de la potencia es: m N M W N rpm n rpm n m N M W N T T 2 60 60 2 rpm m N W n 1422 17 , 2015 2 10 300 60 3 …y reemplazando valores se obtiene: Problema 2
- 13. a) Reacciones de vínculo. b) Diagrama de tensiones tangenciales máximas. Para el esquema estructural de barras de la figura se pide calcular: Problema 3
- 14. Calculamos las reacciones de vínculo, para ello planteamos las ecuaciones de equilibrio de la estática: 𝐹𝑉 = 0 𝐹𝐻 = 0 𝑀𝑇 = 0 …ecuaciones idénticamente nulas → −𝑀𝐴 + 𝑀𝑇 − 𝑀𝐵 = 0 Tenemos dos incógnitas MA y MB y la estática nos brinda una única ecuación que podemos utilizar… …por consiguiente deberemos plantear una ecuación adicional de contorno que relaciones las deformaciones con las cargas actuantes en el sistema. Esta ecuación nos la dará la Resistencia de Materiales… …dado que ambos vínculos son empotramientos, las rotaciones absolutas de los mismos serán nulas, así: 𝜑𝐴𝐶 + 𝜑𝐶𝐵 = 0 que escrita en términos de las incógnitas resulta: 𝐴 𝐵 𝑀𝐴 𝐺 ∙ 𝐽0 ∙ 𝑑𝑥 + 𝐵 𝐶 𝑀𝐴 − 𝑀𝑇 𝐺 ∙ 𝐽0 ∙ 𝑑𝑥 = 0 (1) (2) (1) y (2) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas MA y MB Problema 3
- 15. Bibliografía Recomendada (en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
- 16. Muchas Gracias