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- 1. TRIGONOMETRÍA Presentado por: Ing. Fabiola Gutierrez Rosas CORREO: rosasfabiola739@gmail.com 73739049 CURSO PREFACULTATIVO
- 2. ÁNGULOS ··Sistemas de medición de ángulos ·Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante ·Teorema de Thales ·Longitudes de arco. TRIÁNGULOS ·Rectas y puntos notables de un triángulo ·Semejanza de triángulos ·Razones y proporciones. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ·Teorema de Pitágoras ·Razones trigonométricas ·Razones exactas de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º y 180º.
- 3. TRIANGULO OBLICUÁNGULO ·Ley de senos ·Ley de Cosenos. ÁREA Y PERÍMETRO DE TRIÁNGULOS ·Ley de Heron ·Áreas y perímetros de triángulos. RELACIONES FUNDAMENTALES E IDENTIDADES. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
- 4. TEMA 1. ÁNGULOS 4 Un ángulo es el espacio (interior o exterior) limitado por dos semirectas que tienen un origen común que se llama vértice. • Ángulos rectos: sus lados son perpendiculares entre sí. • Ángulos agudos: Menores que un recto • Ángulos obtusos: Mayores que un recto TIPOS DE ÁNGULOS
- 5. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 5 Los sistemas de medida de ángulos mas importantes son el sexagesimal, centesimal y radial, estos sistemas están en relación a las partes de una circunferencia. Sistema Sexagesimal Centesimal Radial Unidad de Medida Grado sexagesimal Grado centesimal Radian Partes en la circunferencia 360 partes 400 partes Equivale 2𝜋 rad
- 6. CAMBIO DE SISTEMAS 6 Representando por S,C y R la medida de un mismo arco en los tres sistemas y relacionando con una circunferencia se tiene: 𝑆 360º = 𝐶 400𝑔 = 𝑅 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 = 𝑅 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 300𝑔 = 3𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 = 0𝑔 = 0𝑟𝑎𝑑 = 100𝑔 = 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 200𝑔 = 𝜋𝑟𝑎𝑑 = = 400𝑔 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
- 7. 7 EJEMPLO Transformar 29º36´18´´ a centesimales Solución: 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 C = 200𝑔 × 𝑆 180º simplificamos C = 10𝑔 × 𝑆 9º reemplazamos C = 10𝑔 ×29º36´´18´ 9º C = 32𝑔 89𝑚 44𝑠
- 8. 8 EJERCICIOS 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 130º 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 2,5 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 = 𝑅 𝜋 𝑟𝑎𝑑
- 9. 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 130º 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 = 𝑅 𝜋 𝑟𝑎𝑑
- 10. 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 = 𝑅 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
- 11. 𝑆 180º = 𝐶 200𝑔 = 𝑅 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 2,5 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
- 12. ÁNGULOS FORMADOS POR RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE 12 Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta que no es paralela a ellas, se forman varios ángulos de interés. SECANTE: La secante a una curva o a una figura geométrica es una recta que la corta. La secante también se conoce como transversal cuando corta a varias rectas. PARALELO: Son dos líneas que siempre mantienen la misma distancia y si se prolongasen hacia el infinito nunca se tocarían.
- 13. ÁNGULOS FORMADOS POR RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE 13 ÁNGULOS IGUALES Se forman dos grupos de ángulos iguales 𝛼, 𝛿, 𝜃, 𝜖 𝛽, 𝛾, 𝜂, 𝜁 ÁNGULOS INTERNOS Ángulos que quedan entre las rectas paralelas. 𝛾, 𝛿, 𝜖, 𝜍 ÁNGULOS EXTERNOS Ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas. 𝛼, 𝛽, 𝜂, 𝜃
- 14. 14 EJEMPLO Hallar el valor de X: x 2x-15º 𝑥 + 2𝑥 − 15º = 180º 3𝑥 = 195º 𝑥 = 195 3 𝑥 = 65º
- 15. 15 EJERCICIO Hallar el valor de X: x + 10º 2x-30º
- 16. 16 EJERCICIO Hallar el valor de X: x + 10º 2x-30º
- 17. 17 EJERCICIO Hallar el valor de X: x +20 3x-10
- 18. 18 EJERCICIO Hallar el valor de X: x +20 3x-10
- 19. 19 EJERCICIO Hallar el valor de X: 10+4x 2x+40
- 20. 20 EJERCICIO Hallar el valor de X: 10+4x 2x+40
- 21. 21 EJERCICIO Hallar el valor de X:
- 22. TEOREMA DE TALES 22 TRIÁNGULOS SEMEJANTES: • Misma forma • Ángulos iguales • Lados proporcionales • Distinto tamaño 1º Ley teorema de Tales: Si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo tendremos como resultado un triángulo semejante el triángulo original. 𝐴𝐵 𝐴´𝐵´ = 𝐴𝐶 𝐴´𝐶 = 𝐵𝐶 𝐵´𝐶 A B C A´ B´
- 23. 23 EJEMPLO ¿Qué altura tiene el faro según el grafico? R. 9.3 m 13.3 m 18 m 21 m 4m 14 m 6m 𝐴𝐵 𝐴´𝐵´ = 𝐴𝐶 𝐴´𝐶 = 𝐵𝐶 𝐵´𝐶 14 ത 6 = 𝑋 4 𝑋 = 14 × 4 6 𝑋 = 9.3 𝑚 X
- 24. 24 EJERCICIO ¿Qué altura tiene el faro según el grafico? 5 m X 6 m 𝐴𝐵 𝐴´𝐵´ = 𝐴𝐶 𝐴´𝐶 = 𝐵𝐶 𝐵´𝐶 10 m
- 25. 25 EJERCICIO Hallar X 5 m X 3 m 15 m
- 27. TEOREMA DE TALES 27 2º Teorema de Tales: Si dos rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales.
- 28. LONGITUD DE ARCO 28 Es la magnitud del arco expresada en unidades lineales que pueden ser centímetros, pulgadas, pies, metros, etc. Se calcula multiplicando el ángulo central en radianes, por su radio. De la siguiente forma 𝑆 = 𝜃𝑟
- 29. 29 EJEMPLO Calcular el valor de radio del círculo, sabiendo que L=6,28 m L 2𝜃 + 𝜃 = 60 𝜃 = 20º = 𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 De la fórmula 𝑅 = 𝐿 𝜃 𝑅 = 6,28 𝜋/9 = 18 𝑚 𝜃 2𝜃 300º 𝑆 = 𝛼𝑟
- 30. 30 EJEMPLO Calcular el valor de radio del círculo, sabiendo que L=6,28 m L 2𝜃 + 𝜃 = 60 𝜃 = 20º = 𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 De la fórmula 𝑅 = 𝐿 𝜃 𝑅 = 6,28 𝜋/9 = 18 𝑚 𝜃 2𝜃 300º 𝑆 = 𝛼𝑟
- 31. 31
- 32. 32 𝑣 = 12 𝑚𝑖 ℎ𝑟 × 5280 𝑝𝑖𝑒𝑠 1 𝑚𝑖 × 1 ℎ𝑟 60 𝑚𝑖𝑛 = 1056 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛 𝐿 = 𝜃𝑅 𝜃 = 𝐿 𝑅 = 1056 × 2 4000 = 0,528 𝑟𝑎𝑑
- 33. TEMA 2. TRIÁNGULOS 33 Un ángulo es la posición de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. VÉRTICES Son los puntos de intersección de las rectas que forman los triángulos LADOS Son segmentos AB, BC, CA o a, b y c. ÁNGULOS INTERIORES Son los ángulos que se encuentran dentro del triangulo ÁNGULOS EXTERIORES Son los ángulos formados, por un lado, vértice y la prolongación del lado adyacente ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULOS
- 34. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS POR SUS LADOS 34 EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Tiene lados iguales Dos de sus lados son iguales y un lado distinto NO tiene lados iguales 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 𝑎 = 𝑐; 𝑎 ≠ 𝑏 ;𝑏 ≠ 𝑐 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐
- 35. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS POR SUS ÁNGULOS 35 RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO Ángulo recto de 90º Ángulos agudos menor a 90º 1 Ángulo obtuso mayor a 90º
- 36. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 36 Bisectriz Mediana Mediatriz Altura Divide el ángulo en dos partes iguales Va desde el vértice hasta el punto medio de su lado opuesto Perpendicular trazada desde el punto medio de cada lado Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto 3 bisectrices en un triángulo Se forma Baricentro G Se forma Circuncentro H Se forma Ortocentro O
- 37. TEOREMA SOBRE LOS ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO 37 TEOREMA 1: La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º TEOREMA 2: La suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º TEOREMA 3: Todo ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de ángulos interiores no adyacentes.
- 38. 38 EJERCICIO Hallar 𝜶 𝒚 𝜷: 𝛽 es ángulo exterior de I 𝛽 = 45 + 20 𝛽 = 65º 𝛼 es ángulo exterior de II 𝛼 = 𝛽 + 65 𝛼 = 65 + 65 𝛼 = 130 65º 20º 45º 𝛽 𝛼
- 39. 39 EJERCICIO Hallar 𝜶 𝒚 𝜷: 60º 55º 𝛽 𝛼
- 40. 40 EJERCICIO Hallar 𝜶 𝒚 𝜷: 120º 𝛽 𝛼
- 41. 41 EJERCICIO Hallar 𝜶 𝒚 𝜷: 120º 𝛽 𝛼
- 42. GRACIAS