Balanceenergia 10356

1
Dr. Rogelio Cuevas García 1
Ingeniería de Reactores
Reactores ideales
No isotérmicos
En el calculo de un reactor químico se utiliza necesariamente la
ecuación de diseño.
CSTR
PFR (PBR)
Intermitente
Forma integradaForma diferencial
(o en diferencias)
Tipo reactor
( )= −⎡ ⎤⎣ ⎦
0
,
A A
A A
N dX
R T X
V dt ( )
=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
0
0
,
A
A
X
A
A
A AX
dX
t N
R T X V
( )00 A
= =
C ,
A
A A A
V X
F R T X
τ Δ
⎡− ⎤⎣ ⎦
( )
= −
−⎡ ⎤⎣ ⎦0 ,
A
A A A
dV dX
F R T X ( )
τ =
−⎡ ⎤⎣ ⎦
∫0
0
,
AX
A
A
A A
dX
N
R T X V
Reactores ideales No isotérmicos

2
Por ejemplo, para calcular el tiempo de operación de un reactor
intermitente se utiliza la correspondiente ecuación de diseño en
su forma integral
( )
=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
0 0
,
A
A
X
A
A A AX
t dX
C R T X
El primer requisito para resolver esta integral es plantearla en
función de una variable, como se indica XA. Si la reacción es de
primer orden (-RA)=kCA=kCA0(1-XA), que se substituye en la
ecuación anterior:
=
−∫
0 00
( ) (1 )
A
A
X
A
A A AX
t dX
C k T C X
0 0 0
1
(1 )
A
A
X
A
A A AX
t dX
C kC X
=
−∫
en realidad k es una función de la temperatura, de acuerdo a la
ecuación de Arrhenius:
0( )
AE
RTk T A e
−
=
En el caso isotérmico, el coeficiente cinético (k), puede
considerarse constante y por lo tanto sale de la integral

3
Pero de acuerdo a la discusión anterior, un posible método de
solución es encontrar k(XA)
Para lo cual es suficiente determinar una función donde:
T=T(XA)
( )0 00
(1 )
A
A
X
A
A A AX
t dX
C k T C X
=
−∫
Conservando la suposición de una reacción de primer orden:
(-RA)=k(T)CA=k(T)CA0(1-XA), de esta manera, el caso no
isotérmico la integral que debe resolverse es:
Efectos del cambio de temperatura
Cualquier cambio de temperatura trae consigo cambios en
diversos parámetros relacionados con la reacción química que
se esta analizando, estos son:
a)Velocidad de reacción.
b)Calor de reacción.
c)Constante de equilibrio.
d)Conversión de equilibrio.

4
Formas de control de temperatura en reactores CSTR
(a) enchaquetado, (b) serpentín interno, (c) tubos internos, (d)
intercambiador de calor externo, (e) condensador externo con
reflujo, (f) calentador a fuego directo.
Formas de control de temperatura en reactores CSTR
Nitrador Hough de hierro
fundido con túneles
exteriores (Grogins(1),
cortesía McGraw-Hill book
company, New, York)

5
Formas de control de temperatura en reactores PFR
Horno de Schoenherr
para la obtención de
NO a partir del aire
Formas de control de temperatura en reactores PFR

6
Cambios en el coeficiente cinético con la
temperatura
La función que describe al efecto de la temperatura sobre el
coeficiente cinético es la ecuación de Arrhenius
0
EA
RT
k A e
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
0 0
0
ln ln( ) ln ln
ln ln
A AE E
RT RT
A
k A e A e
E
k A
RT
− −
= = + =
= −
Ecuación de Arrhenius
y = -9913.4x + 24.186
R
2
= 0.9992
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036 0.0037
1/T, K-1
lnk
Cambios en el coeficiente cinético con la
temperatura
A0=2.1(1010), EA=18 Kcal
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0 20 40 60 80
Temperatura, °C
k,seg-1
0
25000
50000
75000
100000
125000
150000
0 100 200 300 400 500 600
Temperatura, °C
k,seg-1

7
Calculo del calor de reacción
Para una reacción dada: aA rR sS⎯⎯→ +
Por convenio se define el calor de reacción (ΔHR) a una
temperatura T, como el calor suministrado al sistema
reaccionante cuando a moles de A desaparecen para formar r
moles de R y s moles de S, permaneciendo el sistema a la
misma temperatura y presión antes y después de la
reacción.
ΔHR (+) Positivo, endotérmico (el sistema recibe calor)
(-) Negativo, exotérmico (el sistema genera calor)
2
1
0
1 2
0
R R
T
R R P
T
P R S A
H H H H
H H C T
C T rCp sCp aCp
Δ = −Δ + Δ + Δ
Δ = Δ + Δ
Δ = + −
∫

8
( )
( ) ( ) ( )
α β γ
α β γ
α β γ
α β γ
β γ
α
Δ = Δ + Δ
Δ = + −
= + +
= + +
= + +
Δ = Δ + Δ + Δ + Δ =
Δ Δ
= Δ + Δ − + − + −
∫
∫
2
1
2
1
0
2
2
2
0 2
0 2 2 3 3
2 1 2 1 2 1
2 3
T
R R P
T
P R S A
A A A A
R R R R
S S S S
T
R R
T
R
H H C T
C T rCp sCp aCp
Cp T T
Cp T T
Cp T T
H H T T dT
H T T T T T T
( ) ( ) ( )β γ
α
α α α α
β β β β
γ γ γ γ
⎯⎯→ +
Δ Δ
Δ = + Δ − + − + −
Δ = + −
Δ = + −
Δ = + −
0 2 2 3 3
2 1 2 1 2 1
2 3
R R
R S A
R S A
R S A
aA rR sS
H H T T T T T T
r s a
r s a
r s a

9
Efecto sobre la constante de equilibrio
La ecuación que define el equilibrio termodinámico es:
0
lnG RT KΔ = −
Para una reacción dada:
aA rR sS⎯⎯→ +
Entonces
y
0 0
0 0 0 0
0
r s
R s
R S A a
A
f f
f f
G r G s G a G K
f
f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Δ = Δ + Δ − Δ =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
En la ecuación anterior
f: es la fugacidad en el equilibrio.
f0 fugacidad del componente en las condiciones de referencia, estas
condiciones son elegidas arbitrariamente; pero corresponden la
misma temperatura elegida para evaluar ΔG0.
Los estados de referencia generalmente elegidos y donde (f0=1) se
asigna corresponden a:
Gas (ideal): 1 atmósfera de presión.
Sólido: componente puro, presión unitaria
Líquido: liquido puro a su tensión de vapor
Soluciones líquidas: solución 1M o la concentración que presenta
una actividad igual a 1.

10
De manera similar, existen otras constantes de equilibrio en
función de diversas variables que expresen composición, así para
la misma reacción;
aA rR sS⎯⎯→ +
Se tiene:
;
r s
R S
f a
A
f f
K
f
= ;
r s
R S
p a
A
P P
K
P
= ;
r s
R S
y a
A
Y Y
K
Y
= ;
r s
R S
C a
A
C C
K
C
=
Al cumplir con los estados de referencia anteriores es posible utilizar
simplificaciones. Por ejemplo, si se tiene un comportamiento de gas ideal,
para cualquier componente i, las bajas presiones permiten que:
i i p T If P y P C RT= = =
Esto implica que, Kf=KP; además:
{ } { }
( )
{ }0 0 0
p =1 atm p =1 atm p =1 atm
nn
y T CP
n n n
K P K RTK
ΔΔ
Δ Δ Δ
= =
Para un componente sólido que participa en la reacción, la presión no tiene
efecto en las variaciones de fugacidad y entonces:
0
1
SÓLIDO
f
f
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠

11
Efectos sobre la conversión de equilibrio
La conversión de equilibrio depende de la constante de
equilibrio, que a su vez presenta una dependencia con la
temperatura de acuerdo a la ecuación de Van’t Hoff
( )
2
R
d lnK H
dT RT
Δ
=
Para resolver la ecuación anterior es necesario conocer el tipo
de función de ΔHR respecto a la temperatura. Cuando se pueda
considerar constante:
2
1 2 1
1 1
ln RK H
K R T T
⎡ ⎤Δ
= − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Efectos sobre la conversión de equilibrio
2
1
2
2
1
1
ln
T
R
T
K H
dT
K R T
Δ
= ∫
Δ = Δ + Δ∫
2
1
0
T
R R P
T
H H C dT
En realidad ΔHR es una función de la temperatura y entonces:
Donde ΔHR se calcula de acuerdo a:
Realizando la integral respectiva:
( ) ( )β γ
α
β γ
α
Δ Δ
= Δ + − + − +
⎛ ⎞Δ Δ⎛ ⎞
Δ Δ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
0
R+ H +
2 22 2
2 1 2 1
1 1
2 3
0 0 0
2 1
ln ln
2 3
1 1
2 3
K T
R T T T T
K T
T T T
T T

12
Balance de energía para reactores
ideales
Balance de Energía
Cuando se trabaja con reactores no isotérmicos se debe de utilizar la
ecuación del balance de energía.
Ec. (1)
De acuerdo a Bird 1: La energía puede entrar y salir del elemento de
volumen por cualquiera de las siguientes causas:
Radiación:QRAD
Flujo convectivo
Conducción de calor
( )j j j
j
M C cp u T⋅∇∑
)( Tλ⋅∇
1. R.B. Bird, W. E. Stewart, L. N. Lightfoot,
“Transport Phenomena”,
John Wiley and son, N. Y. 1964

13
Balance de Energía
Difusión molecular
Donde a su vez
Adicionalmente y dependiendo de las condiciones de operación
particulares se deben considerar los fenómenos asociados a:
Expansión
Disipación viscosa
Efectos de campos externos:
a)Mecánicos.
b)Magnéticos.
Tomando en consideración las condiciones imperantes en un reactor
químico, podemos despreciar el calor de radiación (puesto que no se opera
a temperaturas altas) y la difusión (porque es mucho más importante el
flujo convectivo).
∑ ∇ ji HJ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∇=
f
i
jmfi
C
DJ
ρ
ρ
Balance de Energía
El termino de consumo o desaparición de calor debido a la reacción se
representa como:
Mientras que el termino de acumulación de energía es:
Por lo que podemos reescribir el balance de energía como: (considerando
coordenadas rectangulares)
Se debe recordar que:
j j j
i
T
M C cp
t
∂
∂
∑
( )( ) ,j j j
j
H r T X⎡ ⎤−Δ −⎣ ⎦∑
( ) ( ) ( ), (2)j j j j j j
j j
T
M C cp u T H r T X T
t
λ
∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ ⋅∇ = −Δ − +∇⋅ ∇⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂⎝ ⎠
∑ ∑
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇⋅∇
z
T
zy
T
yx
T
x
T zcycxc ,,, λλλλ

14
Balance de Energía
Aunque la anterior ecuación de la energía representa una forma
completa es conveniente trabajar con una expresión más
simple, para ello se puede proceder de la siguiente manera:
Simplificación de la ecuación de la energía.
a) El flujo predominante en el reactor se presenta en el eje axial
(z) .
b)La transferencia de calor se presenta como flujo convectivo
(en la dirección z) y transferencia a través de las paredes del
recipiente. De tal manera que promediando a lo largo de la
dirección de flujo principal (z) y utilizando coordenadas
cilíndricas, la ecuación del balance de energía se convierte en:
Balance de Energía
c) La transferencia de calor a través de las paredes del recipiente se
introduce como una condición de frontera, representada como:
Donde: n = dirección normal a la pared.
αw= coeficiente de transferencia.
Tw= temperatura en la pared del reactor.
De esta manera para un reactor adiabático:
αw(Tw-TR)=0 (5)
( )
, ,
4
(3)
j j j i i
j i
c z c n
r w
T T
M C cp u H r
t z
T T
z z d n
λ λ
∂ ∂⎛ ⎞
+ = −Δ − +⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
(4))(, Rww
w
nc TT
n
T
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
αλ

15
Balance de Energía
d) Volviendo a la transferencia de calor a través de las paredes del
recipiente, esta transferencia se realiza solo en una capa delgada alrededor
de la pared del reactor.
Donde Tr= temperatura de los alrededores del sistema.
U=Coeficiente de transferencia de energía global
<T>=Temperatura promedio en el reactor.
Por lo tanto la ecuación del balance de energía puede escribirse como:
( ) ( ) (6)w w R rT T U T Tα − = −
( ) ( )
( ),
,
4
(7)
j j j j j j
j j
c z
r
T T
M C cp u H r T X
t z
T U
Tr T
z z d
λ
∂ ∂⎛ ⎞
+ = −Δ − +⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∂⎛ ⎞∂
+ + −⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∑ ∑
Balance de Energía
Finalmente un balance macroscópico riguroso se obtiene al integrar sobre
todo el volumen del reactor.
( )
( ) ( ) ( )π
= − +
⎡ ⎤+ −Δ − + −⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∫ (8)
, , ,
,
j j j j o j o j e
j j
j j j t r
j
dT
m C cp F H H
dt
V H r T X d U T T dz
El término en la integral representa en realidad la superficie de
intercambio de calor, que puede llamarse Ak. Entonces el B.E. Se convierte
en:
( )
( )( ) ( )
= − +
+ −Δ − +
∑ ∑
∑ (8a)-
j j j jo jo j
j j
i i k r
i
dT
m C cp F H H
dt
V H r AU T T
( )π∫ td

16
Reactor Intermitente
Dado que en el reactor intermitente no existen entradas ni salidas del sistema,
el termino de flujo convectivo en la ecuación (8) es igual a cero:
( )− =∑ 0jo jo j
j
F H H
Llamando Q al calor transferido desde (o hasta) los alrededores.
)( TTUQ r −=
Entonces el balance de energía para este tipo de reactores se escribe:
( ) ( ) k, A Q (9)j j j j j j
j j
dT
m C cp V H r T X
dt
⎡ ⎤= −Δ +⎣ ⎦∑ ∑
Se debe recordar que el termino de reacción [-rj(T,Xj)] es función de la
temperatura y conversión (Xi). Pero, a su vez en este reactor, X(θ).
( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤= − + −Δ − +⎣ ⎦∑ ∑ ∑ , -j j j jo jo j i i j k r
j j i
dT
m C cp F H H V H r T X A U T T
dt
En realidad la relación entre la conversión y la velocidad de reacción se
obtiene a través del balance de materia.
( )( ) 0
, , (10)A
A A A
dX
V r T X N
dt
θ⎡ − ⎤ =⎣ ⎦
Substituyendo en el balance de energía (ec. 9) y refiriéndonos a una reacción
simple:
( ) 0 kA Q (11)A
T i A
dT dX
m Cp H N
dt dt
− − Δ =
Separando variables:
( )− −Δ =0 (11 )T i A A km CpdT H N dX AQdt a
Integrando
( ) ( ) ( ) (11b)QAk000 tXXNHTTCpm AAAiT =−Δ−−−

17
Reactor intermitente adiabático.
En condiciones de aislamiento térmico ideal el calor transferido desde (o
hasta) los alrededores es igual a cero (Q=0), en estas condiciones el balance
de energía se escribe:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 (12)T i A A Am Cp T T H N X X− − −Δ − =
De donde:
( ) ( ) ( ) (12b)0
0
0 AA
T
Ai
XX
Cpm
NH
TT −
Δ−
=−
El cambio máximo de temperaturas o cambio máximo adiabático (ΔT)ADB se
presenta cuando XA=1 y XA0=0. Esto es:
( ) ( ) ( ) (13)0
0
Cpm
NH
TTT
T
Ai
MAXADB
Δ−
=−=Δ
Utilizando esta ecuación en la ec. 12, obtenemos el cambio en la temperatura
en función de la conversión:
( ) (14)0 AADB XTTT Δ+=

18
Reactor PFR (o PBR)
El balance de energía presenta la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ),ii i i io io i R i i k r
i i i
dT
mC cp F H H V ΔH r T X A U T - T
dt
⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦∑ ∑ ∑
En este caso las simplificaciones que se pueden realizar
son las siguientes:
1. Este reactor opera de manera continua y en estado
estable; por lo tanto, no existe acumulación de energía:
dt
dT
0= Que implica que 0=∑ dt
dT
cpCm
i
iii
Reactor PFR (o PBR)
recordando que: ( )io io i
i
F H H−∑
representa en realidad los cambios de entalpía de las corrientes de entrada y
salida estas se pueden representar como:
( )
i
mcpdTio io iF H H
•
− =∑ ∑
Entonces la ecuación del balance de materia se reduce a (considerando que
para este tipo de reactor se realiza el balance de manera diferencial):
( ), ( ) 0ik i i R
i
mcpdT A Q r T X H dV
•
⎡ ⎤+ − − −Δ =⎣ ⎦∑

19
Reactor PFR (o PBR)
( ), ( ) 0ik i i R
i
mcpdT A Q r T X H dV
•
⎡ ⎤+ − − −Δ =⎣ ⎦∑
Por otra parte el balance de materia:
0
( , )i
i i
i
dX
r T X
V
d
F
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las ecuaciones deben resolver simultáneamente utilizando métodos
numéricos y entonces la agrupación
cpdTm
i
∑
•
debe de ajustarse en cada cálculo. La alternativa es utilizar Cp medio en todo
el intervalo de cálculo. En ese caso también el ΔHR debe promediarse en el
intervalo de temperaturas trabajado.
Reactor PFR (o PBR)
Para resolver estas ecuaciones un método consiste en
introducir el balance de materia en el balance de energía para
obtener:
0
i
i
i k R
i
i
dX
mcp dT A Q ( ΔH )dV
V
d
F
•
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+ = − ⎢ ⎥⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
De donde: 0
( )ii k R i i
i
mcp dT A Q H F dX
•
+ = −Δ∑
Utilizando cP medio para toda la mezcla, el término ∑
•
i
ii cpm
puede substituirse por y entonces :cpmT
•

20
Reactor PFR (o PBR)
0
( )i
T k R i im cpdT A Q H F dX
•
+ = −Δ
En condiciones adiabáticas AkQ=0. y entonces:
)( 0 iiRT dXFHdTcpm i
Δ−=
•
De donde:
0
( )iR i
i
T
H F
dT dX
m cp
•
−Δ
=
que es una EDO de variables separables
que puede integrarse fácilmente para
obtener:
( ) ( )0
0
)(
0 ii
T
iR
XX
cpm
FH
TT i
−
Δ−
=− •
Reactor PFR (o PBR)
También en este caso el máximo cambio de temperatura se presenta
cuando XJ=1 (XJ0=0)
0
max
( )iR i
AD
T
H F
T T
m cp
λ •
−Δ
Δ = Δ = =
y finalmente
( )00 i iT T X Xλ= + −

21
Reactores CSTR
( ) ( ) ( ) ( )k r
i
, A U T -TT i io io i Ri i i
i
dT
m C cp F H H V H r T X
dθ
⎡ ⎤= − + −Δ − +⎣ ⎦∑ ∑
El balance general de energía nos lleva a la siguiente ecuación
Por otra parte, el balance de materia para este tipo de reactor se escribe
como:
0 0
( )( , )
i
i i i i
V X
C F r T X
τ Δ
= =
−
Dado que este tipo de reactor opera en estado estable entonces: dT/dθ=0,
utilizando otra vez las capacidades caloríficas medias.
( ) ( )0 0 K0 ( ) , A Qif R i i
i
Q cp T T V H r T Xρ ⎡ ⎤= − + −Δ − +⎣ ⎦∑
Pero: 0 [ ]f
vol masa masa
Q m
tiempo vol tiempo
ρ = = = &
Reactores CSTR
Reordenando en balance de materia
0
0
( , )
j jj
j j
j
F XX
r T X
V V
F
ΔΔ
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦Δ
Substituyendo de nueva cuenta en el balance de energía
Se obtiene: ( ) 0
0 0 k( ) A Qj
j j
f R
j
F X
Q cp T T V H
V
ρ
Δ
− = −Δ +∑
( ) ( )ρ ⎡ ⎤= − + −Δ − +⎣ ⎦∑0 00 ( ) ,jf R j j k
j
Q cpT T V H r T X A Q
En condiciones adiabáticas, Q=0. y entonces tenemos una ecuación en
diferencias:
( ) 00 jf R j j
j
Q cp T H F Xρ Δ = −Δ Δ∑

22
Reactores CSTR
De donde:
( ) 0
0
jR j
j
j
f
H F
T X
Q cpρ
−Δ
Δ = Δ
∑
O cuando se analiza solo una reacción:
( ) ( )0
00
0
( )iR j
j j
f
H F
T T X X
Q cpρ
−Δ
− = −
Para este caso, también, el máximo cambio de temperatura se presentaría
cuando XJ=1 y XJ0=0.
0
max
0
( )iR j
AD
f
H F
T T
Q cp
λ
ρ
−Δ
Δ = Δ = =
Reactores CSTR
Y finalmente la línea de operación (en realidad, el punto
de operación) del reactor se escribe de acuerdo a:
( )00 ii XXTT −+= λ

Balanceenergia 10356

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