6. REFLEXIÓN Y DISPERSIÓN
Incident wave
Reflected waves
Transmitted waves
(also refracted)
i r
t
Incident wave
Reflected wave
T
r
a
n
s
m
i
t
t
e
d
w
a
v
e
(
a
l
s
o
r
e
f
r
a
c
t
e
d
)
7. REFRACCIÓN
normal normal
n1 n1
n2
n2
1 1
2
2
reflexion
reflexion
refraccion refraccion
n1 < n2
sin1 > sin2
Rayo refractado se curva
hacia la normal
n1 > n2
sin1 < sin2
Rayo refractado se curva
lejos de la normal
1 1 2 2
sin sin
n n
10. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN
DIFERENTES MEDIOS
Cuando una onda electromagnética que viaja
en el espacio libre es incidente sobre un
medio, las ondas son
Onda transmitida
Onda reflejada
• La onda transmitida se debe a los campos
E y H en la frontera visto desde el lado
incidente.
• La onda reflejada se debe a los campos E y
H en la frontera visto desde el lado
transmitido
• Para el cálculo de los campos transmitidos
y reflejados necesitamos saber los campos
en la frontera
• Estos son determinados por las
condiciones de contorno
11. CONDICIONES DE FRONTERA
En la frontera entre dos medios, los r, er ,s son diferentes a cada lado.
Una variación abrupta de estos valores cambia la impedancia característica que
experimenta las ondas propagandose
La discontinuidad produce reflexión parcial y transmisión de ondas EM
Las características de las ondas reflejadas y transmitidas pueden ser determinados a partir
de una solución de las ecuaciones de Maxwell lo largo de la frontera.
r1, er1 ,s1
r2, er2 ,s2
12. CONDICIONES DE FRONTERA
La componente tangencial de E, es continua en
una superficie discontinua.
E1t, = E2t
Excepto para un conductor perfecto, la
componente tangencial de H es continua en una
superficie de discontinua
H1t, = H2t
•El componente normal de D es continuo en la
superficie de una discontinuidad, si no hay
densidad de carga superficial. Si hay densidad
de carga de superficie D es discontinua en una
cantidad igual a la densidad de carga
superficial.
D1n,= D2n+s
•El componente normal de B es continuo en la
superficie de la discontinuidad
B1n,= B2n
2,e2,s2
1,e1,s1
E2t, H2t
E1t, H1t
2,e2,s2
1,e1,s1
D1n, B1n
D2n, B2n
13. CONDICIONES DE FRONTERA
Forma integral de la ley de Faraday:
2,e2,s2
1,e1,s1
y
x
1
y
E
2
y
E
2
x
E
1
x
E 3
y
E
4
y
E
A
B
s
E d
t
d
A
.
.
y
x
t
B
x
E
y
E
y
E
x
E
y
E
y
E z
x
y
y
x
y
y
2
4
3
1
1
2
2
2
2
2
0
,
0
As
y
x
t
B
y z
0
0 0
0
0
2
1
2
1 0
x
x
x
x
E
E
x
E
x
E
14. CONDICIONES DE FRONTERA
Ley de
Ampere
A
J
D
s
H d
t
d
A
.
.
2,e2,s2
1,e1,s1
y
x
1
y
H
2
y
H
2
x
H
1
x
H 3
y
H
4
y
H
y
x
J
t
D
x
H
y
H
y
H
x
H
y
H
y
H z
z
x
y
y
x
y
y
2
4
3
1
1
2
2
2
2
2
0
,
0
As
y
x
J
t
D
y z
z
2
1
2
1 0
x
x
x
x
H
H
x
H
x
H
0 0
0
0
15. CONDICIONES DE FRONTERA
La forma integral de la ley de Gauss para la electrostática es:
y
2,e2,s2
1,e1,s1
1
n
D
2
n
D
z
x
V
dV
A
Dd
.
y
x
y
x
D
y
x
D s
n
n
edge
2
1
0
,
0
d
As edge
z
s
n
n D
D
2
1
El cambio en el componente normal de D en la frontera
es igual a la densidad de carga superficial
16. CONDICIONES DE FRONTERA
Para un aislador sin carga eléctrica estática s = 0
Para un conductor todos los flujos de carga fluyen en la superficie y para una
superficie plana infinita se distribuye uniformemente con la densidad de carga de área
s.
En un buen conductor, ss es grande, D = eE~0, por tanto, si el medio 2 es un buen
conductor
s
n
n D
D
2
1
2
1 n
n D
D
s
n
D
1
17. CONDICIONES DE FRONTERA
La forma integral de la ley de Gauss para la magnetostática es:
No hay polos magnéticos aislados
El componente normal de B en la frontera es siempre continuo en la frontera.
0
d
.
A
B
2
1
edge
2
1 0
n
n
n
n
B
B
y
x
B
y
x
B
18. CONDICIONES DE FRONTERA EN UN
CONDUCTOR PERFECTO
En un conductor perfecto s es infinito.
Los conductores prácticos (cobre, aluminio o plata) tienen s grandes y suponiendo que
s es infinito la solución del campo puede ser lo suficientemente precisa para muchas
aplicaciones.
Los valores finitos de conductividad son importantes para calcular la pérdida óhmica.
Para un medio conductor
J = sE
Infinito s = infinito J
Prácticamente, s es muy grande, E es muy pequeño (≈0) y J es finito
19. CONDICIONES DE FRONTERA EN UN
CONDUCTOR PERFECTO
19
2,e2,s2
1,e1,s1
y
x
1
y
H
2
y
H
2
x
H
1
x
H 3
y
H
4
y
H
• Ley de Ampere
A
J
D
s
H d
t
d
A
.
.
y
x
J
t
D
x
H
y
H
y
H
x
H
y
H
y
H z
z
x
y
y
x
y
y
2
4
3
1
1
2
2
2
2
2
sz
z
z xJ
y
x
J
y
x
t
D
y
,
0
,
0
As
sz
x
x J
H
H
2
1
Es decir, el componente tangencial de H es
discontinuo en una cantidad igual a la densidad de
corriente superficial
Jszx
0 0
0
0
20. CONDICIONES DE FRONTERA EN UN
CONDUCTOR PERFECTO
De las ecuaciones de Maxwell:
Si en un conductor E = 0 entonces dE / dT = 0
Desde
Hx2 = 0 (no tiene componente variable en el tiempo)
La corriente por unidad de superficie, Js, a lo largo de la superficie de un conductor
perfecto es igual al campo magnético justo fuera de la superficie.
H y J y la superficie normal, n, son mutuamente perpendiculares:
dt
H
E
sz
x J
H
1
H
n
J
s
21. CONCLUSIONES DE LAS CONDICIONES
DE FRONTERA
En la frontera entre medios no conductores
En la frontera entre metales
(gran valor de s)
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
t
t
t
t
B
B
D
D
H
H
E
E
0
.
0
.
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
B
B
D
D
H
H
E
E
n
n
n
n
0
.
.
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
B
B
D
D
H
H
E
E
n
n
n
n
s
• En la frontera entre
metales
perfectos
0
.
.
0
1
1
1
1
B
D
J
H
E
n
n
n
n
s
s
22. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
x
z
i
i
z
t
e
E
t
z a
E 1
0 cos
)
,
( 1
23. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Dada el siguiente grupo de ecuaciones:
Ondas Incidentes
Ondas reflejadas
Ondas transmitidas y
z
j
z
t
t
s
x
z
j
z
t
t
s
y
z
j
z
r
r
s
x
z
j
z
r
r
s
y
z
j
z
i
i
s
x
z
j
z
i
i
s
e
e
E
e
e
E
e
e
E
e
e
E
e
e
E
e
e
E
a
H
a
E
a
H
a
E
a
H
a
E
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
1
0
0
1
0
0
t
r
i
E
E
E 0
0
0 ,
,
Los campos E
en z=0
24. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Asumiendo medios sin perdidas
Onda Incidente Onda Reflejada
Onda transmitida
z
j
i
y
i
z
i
z
j
i
x
i
e
E
a
E
a
H
e
E
a
E
1
1
1
0
1
0
ˆ
ˆ
1
ˆ
1
1
1
1
1
1
e
e
z
j
r
y
r
z
r
z
j
r
x
r
e
E
a
E
a
H
e
E
a
E
1
1
1
0
1
0
ˆ
ˆ
1
ˆ
z
j
t
y
t
z
t
z
j
t
x
t
e
E
a
E
a
H
e
E
a
E
2
2
2
0
2
0
ˆ
ˆ
1
ˆ
2
2
2
2
2
2
e
e
25. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Los campos eléctricos y magnéticos totales en el medio 1 son:
Los campos eléctricos y magnéticos totales en el medio 2 son:
z
j
r
z
j
i
y
r
i
z
j
r
z
j
i
x
r
i
e
E
e
E
a
H
H
H
e
E
e
E
a
E
E
E
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
ˆ
ˆ
z
j
t
y
t
z
j
t
x
t
e
E
a
H
H
e
E
a
E
E
2
2
2
0
2
0
2
ˆ
ˆ
26. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Para determinar las incógnitas Er0 y Et0, debemos aplicar las condiciones de frontera
en z = 0:
Desde las condiciones de frontera tenemos:
Resolviendo Er0 y Et0, en función de Ei0
0
0
0
0
2
1
2
1
z
H
z
H
z
E
z
E
2
0
1
0
1
0
0
0
0
t
r
i
t
r
i
E
E
E
E
E
E
0
1
2
2
0
0
1
2
1
2
0
2
, i
t
i
r E
E
E
E
27. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Definiendo el coeficiente de reflexión como
Definiendo el coeficiente de transmisión como
1
2
1
2
0
0
i
r
E
E
1
2
2
0
0 2
i
t
E
E
28. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
Observe también que:
Las definiciones de los coeficientes de reflexión y transmisión se generalizan al caso
de los medios con pérdidas.
Para medios sin pérdidas, Г y τ son reales.
Para medios con pérdidas, Г y τ son complejos
1
2
0
,
1
1
2
,
1
29. INCIDENCIA, REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
PLANAS EN INCIDENCIA TRANSVERSAL
El campo total en el medio 1 es parcialmente una onda viajera y parcialmente una onda
estacionaria.
El campo total en el medio 2 es una onda viajera pura.
z
j
e
E
a
e
e
e
E
a
e
e
E
a
E
E
E
z
j
i
x
z
j
z
j
z
j
i
x
z
j
z
j
i
x
r
i
1
0
0
0
1
sin
2
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
1
1
1
1
1
Onda viajera
Onda
estacionaria
t
z
E
t
z
E i
T
sin
sin
2
,
t
z
E
t
j
t
z
jE
t
z
E
i
i
T
sin
sin
2
sin
cos
sin
2
Re
,
30. ONDAS ESTACIONARIAS
•Las ondas estacionarias se producen a través de la interferencia de dos ondas idénticas (igual amplitud,
frecuencia y número de onda) que se propagan en sentido contrario.
•Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje X y que tienen por expresión,
•La superposición de ambas ondas viene dada por
•Y teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que establece
Y como se observa la onda estacionaria no es una función dependiente de x±vt que es la característica de las
ondas viajeras.
Esta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado x oscila con un MAS de
amplitud
kx
t
sen
0
1
kx
t
sen
0
2
kx
t
kx
t
kx
t
kx
t
sen
sen
sen
sen 0
0
0
2
1
2
sen
2
cos
2
sen
sen
B
A
B
A
B
A
t
kx
sen
cos
2 0
2
1
kx
cos
2 0
0r
31. ONDAS ESTACIONARIAS
•La amplitud de la onda estacionaria es por tanto una función de la distancia x.
•Adquiere su valor máximo que es igual a,
cuando
•Adquiere su valor mínimo que es igual a,
cuando
0
0r 2
2
2
1
cos
n
x
n
x
kx
0
0r
4
1
2
2
1
2
2
0
cos
n
x
n
x
kx
Vientres o antinodos
Nodos
•La distancia entre dos vientres consecutivos (dAA) o
entre dos nodos consecutivos (dNN) es
2
NN
AA d
d
y la distancia entre un vientre y un nodo
consecutivo (dAN) es
4
AN
d
A Antinodos
N Nodos
32. ONDAS ESTACIONARIAS
Patrón de onda estacionaria para una onda incidente en un
medio sin pérdidas que se refleja en un segundo medio en z = 0
donde Г = 0.5.
1
1
min
max
E
E
SWR
33. EJEMPLO 1
medio 2
medio 1
z
x
z = 0
0
,
, 1
0
1
0
1
s
e
e 0
,
,
4 2
0
2
0
2
s
e
e
0
1
2
0
2
3
1
3
2
2
3
1
1
3
1
1
S
34. EJEMPLO 2
Una onda planar uniforme incide normalmente de un medio 1 (z < 0, σ = 0, µr = 1.0, εr =
4.0) a un medio 2 (z > 0, σ = 0, µr = 8.0, εr = 2.0).
Calcule el coeficiente de reflexion y transmision, ademas de la relacion de onda estacionaria
.
35. EJEMPLO 2
El coeficiente de reflexion es:
2 1
1 2
2 1
120 8
; 60 , 120 240
2
4
e e
Resulta 240 60 3
0.60
240 60 5
Y el coeficiente de transmision,
Siendo el SWR igual a
1 1.60
SWR =
1+ Γ
1− Γ
=
1+0.6
1−0.6
= 4
36. EL VECTOR DE POYNTING
Analizar la conservación de Potencia
1
2
0
2
1
1
2
0
2
*
1
2
0
*
2
1
ˆ
2
ˆ
Re
2
1
2
ˆ
Re
2
1
i
z
r
av
i
av
av
i
z
r
r
r
av
i
z
i
i
i
av
E
a
S
S
S
E
a
H
E
S
E
a
H
E
S
2
2
0
2
*
2
2
ˆ
Re
2
1
i
z
t
t
t
av
av
E
a
H
E
S
S
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
1
1
1
1
1
t
av
r
av
i
av
av
av
S
S
S
S
S
or
2
1
38. REFLEXIONES EN UN CONDUCTOR PERFECTO
• La direccion de propagacion esta dada por
EH
Si la onda incidente es polarisada a lo largo
del eje y: xi
x
i
yi
y
i
H
H
E
E
a
a
xi
yi
z
xi
yi
x
y
H
E
H
E
a
a
a
H
E
entonces
Significa, que la onda viaja en la direccion z.
xi
yi
z H
E
a
H
Ε
Para la onda reflejada se tiene yi
y
r E
E a
Por tanto y el campo
magnetico es reflejado sin cambio de fase
i
xi
x
r H
H
H
a
39. REFLEXIONES EN UN CONDUCTOR PERFECTO
• Dado que
2
cos
j
j
e
e
t
j
i
t
j
z
j
z
j
i
z
t
j
r
z
t
j
i
T
e
z
H
e
e
e
H
e
H
e
H
t
z
H
cos
2
,
Tanto para Ei, Hi son reales.
t
z
H
t
j
t
z
H
t
z
H i
i
T
cos
cos
2
sin
cos
cos
2
Re
,
40. REFLEXIONES EN UN CONDUCTOR
PERFECTO
• El campo magnetico resultante tambien presenta un
fenomeno de una onda estacionaria.
• En contraste de E, H tiene un maximo en la superficie y zeros
en (2n+1)l/4 de la superficie:
t
z
H
t
z
H i
T
cos
cos
2
,
free space silver
resultant wave
z = 0
z [m]
E [V/m]
free space silver
resultant wave
z = 0
z [m]
H [A/m]
41. REFLEXIONES EN UN CONDUCTOR PERFECTO
• ET y HT estan π/2 desfasados
• No hay una potencia total que fluya
– Potencia que fluye en la direccion +z direction es igual a la
potencia en la direccion - z
t
z
H
t
z
H i
T
cos
cos
2
,
t
z
E
t
z
E i
T
sin
sin
2
,
2
/
cos
sin
t
t
42. INCIDENCIA OBLICUA
Consideraremos el problema de una onda plana
Incidencia oblicua en una interfaz plana
Entre dos regiones conductoras con pérdidas
Primero consideraremos dos casos particulares de este problema como :
El campo eléctrico está en el plano xz (polarización paralela)
Para la polarización paralela (TM),
El campo eléctrico está en normal al plano xz (perpendicular polarización)
Para la polarización perpendicular (TE),
43. INCIDENCIA OBLICUA EN UNA INTERFAZ DIELÉCTRICA
POLARIZACIÓN PARALELA (TM A Z)
1
1,
e 2
2 ,
e
0
z
r
i E
E
E
1 t
E
E
2
i
r
t
t
t
r
r
i
i
z
x
jk
t
t
t
z
x
jk
r
r
r
z
x
jk
i
i
i
e
z
x
E
E
e
z
x
E
E
e
z
x
E
E
cos
sin
0
cos
sin
0
cos
sin
0
2
1
1
sin
ˆ
cos
ˆ
sin
ˆ
cos
ˆ
sin
ˆ
cos
ˆ
45. INCIDENCIA OBLICUA EN UNA INTERFAZ DIELÉCTRICA:
POLARIZACIÓN PARALELA (TM A Z)
t
t
r
r
i
i
z
x
jk
t
t
t
z
x
jk
r
r
r
z
x
jk
i
i
i
e
z
x
E
E
e
z
x
E
E
e
z
x
E
E
cos
sin
0
cos
sin
0
cos
sin
0
2
1
1
sin
ˆ
cos
ˆ
sin
ˆ
cos
ˆ
sin
ˆ
cos
ˆ
i
t
i
i
t
i
t
cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
1
2
2
1
2
1
2
Obsérvese también que el índice de refracción de un medio se define como
47. INCIDENCIA OBLICUA EN UNA INTERFAZ
DIELÉCTRICA POLARIZACIÓN
PERPENDICULAR (TE A Z)
1
1,
e 2
2 ,
e
0
z
r
i E
E
E
1 t
E
E
2
i
r
t
t
t
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r
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x
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x
jk
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E
E
e
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e
y
E
E
cos
sin
0
cos
sin
0
cos
sin
0
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
48. INCIDENCIA OBLICUA EN UNA INTERFAZ DIELÉCTRICA
POLARIZACIÓN PERPENDICULAR (TE A Z)
t
t
r
r
i
i
z
x
jk
t
z
x
jk
r
z
x
jk
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e
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e
y
E
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e
y
E
E
cos
sin
0
cos
sin
0
cos
sin
0
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
50. INCIDENCIA OBLICUA EN UNA INTERFAZ DIELÉCTRICA
POLARIZACIÓN PERPENDICULAR (TE A Z)
t
i
i
t
i
t
i
cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
1
2
2
1
2
1
2
Dado que el campo eléctrico es transversal al plano de incidencia
52. LEY DE SNELL
Rige el Angulo de reflexión de la onda electromagnética
En u conductor la componente de t = 0, para cualquiera que sea su ángulo incidente
54. EL ÁNGULO DE BREWSTER
El ángulo de Brewster es un ángulo de incidencia especial para el que Г = 0.
Para los medios dieléctricos, un ángulo de Brewster puede ocurrir solamente
para la polarización paralela
55. EL ÁNGULO CRÍTICO
El ángulo crítico es el mayor ángulo de incidencia para el que k2 es real (es
decir, existe una onda de propagación en el segundo medio).
Para medios dieléctricos, un ángulo crítico sólo puede existir si e1> e2.
56. TRANSMISIÓN Y REFLEXIÓN TOTAL
Transmisión Total
Existe cuando los 2 medios son iguales.
Reflexión Total
Medio 2 es PEC (corto circuito) - Se duplica el campo Magnético H
Medio 2 es PMC (circuito abierto) - Se duplica el campo Eléctrico E
