Universidad Nacional de Ingeniería 7 ciclo FIEE

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

2. Cap´ıtulo 1
Cavidades Resonantes
Los resonadores de cavidad (cavidades resonantes) son dispositivos muy
utilizados en aplicaciones como, almacenamiento de energ´ıa, filtros, sin-
tonia de osciladores, amplificadores sintonizados, frecuencimetros, me-
dida de caracteristica de materiales, etc. A altas frecuencias (100 MHz
o mayores) los circuitos RLC son ineficientes cuando se utilizan como
resonadores porque las dimensiones del circuito son comparables con
la longitud de onda de operaci´on y, en consecuencia ocurre cierta ra-
diaci´on no deseada. A altas frecuencias, los circuitos resonadores RLC
son reemplazados por cavidades resonadoras electromagn´eticas.
1.1 Cavidades rectangulares
Las cavidades rectangulares es una gu´ıa de ondas rectangular con los
extremos cerrados por paredes conductoras y que se alimentan por un
agujero mediante una sonda. Consideraremos las dimensiones de la
cavidad como a×b×d y el medio dentro de la cavidad (relleno) tiene una
permeabilidad µ y una permitividad ε. Los campos electromagn´eticos
dentro de la cavidad estan dados por:
E(x, y, z) = Ex(x, y, z) ˆx + Ey(x, y, z) ˆy + Ez(x, y, z)ˆz (1.1)
y
H(x, y, z) = Hx(x, y, z) ˆx + Hy(x, y, z) ˆy + Hz(x, y, z)ˆz (1.2)
Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en coordenadas
rectangulares tenemos de ∇ · ⃗E(r) = 0:
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
= 0 (1.3)
1

3. 2 CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES
y de la ley de Gauss magn´etico ∇ · ⃗H(r) = 0:
∂Hx
∂x
+
∂Hy
∂y
+
∂Hz
∂z
= 0 (1.4)
Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de Ampere-
Maxwell obtenemos 6 ecuaciones, si combinamos estas ecuaciones (queda
como tarea) llegamos a:
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Hx = jωε
∂
∂y
Ez +
∂
∂x
∂
∂z
Hz (1.5)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Hy = −jωε
∂
∂x
Ez +
∂
∂y
∂
∂z
Hz (1.6)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Ex = −jωµ
∂
∂y
Hz +
∂
∂x
∂
∂z
Ez (1.7)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Ey = jωµ
∂
∂x
Hz +
∂
∂y
∂
∂z
Ez (1.8)
Se observa que podemos clasificar en dos modos:
modos TE Hz ̸= 0 Ez = 0 (1.9)
modos TM Ez ̸= 0 Hz = 0 (1.10)
1.2 Estudio de los modos TE Hz ̸= 0
Reemplazando (1.5) y (1.6) en (1.4), llegamos a la siguiente E.D.
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
)
Hz(x, y, z) + ω2
µεHz(x, y, z) = 0 (1.11)
Utilizando la t´ecnica de separaci´on de variables: Hz = X(x)Y (y)Z(z)
que reemplazando en la ecuaci´on diferencial y dividiendo por XY Z,
obtenemos tres ecuaciones diferenciales, resolviendo cada una de ellas
y aplicando condiciones de frontera en x = 0, y = 0 y z = 0, llegamos
a:
X(x) = a1 cos(kxx) Y (y) = b1 cos(kyy) Z(z) = c1 sen(kzz) (1.12)
donde
k2
x + k2
y + k2
z = ω2
µε (1.13)

4. 1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TE HZ ̸= 0 3
es la relaci´on de dispersi´on. Aplicando condiciones de frontera en x = a,
y = b y z = d encontramos que
kx =
mπ
a
m = 0, 1, 2, · · · ky =
nπ
b
n = 0, 1, 2, · · · kz =
lπ
d
l = 1, 2, · · ·
(1.14)
m y n no pueden ser a la vez cero. Entonces hemos llegado a la soluci´on
para los modos TE:
Hz(x, y, z) = H0 cos
(
mπ
a
x
)
cos
(
nπ
b
y
)
sen
(
lπ
d
z
)
(1.15)
Tenemos muchas soluciones, cada soluci´on es un modo, la representaci´on
de un modo es TEm n l. Las otras componenetes de los campos electro-
magn´eticos se obtienen reemplazando (1.15) en (1.5) hasta (1.8). La
ecuaci´on que relaciona la frecuencia de la onda con el modo TEm n l se
obtiene de (1.13) y se transforma en:
(
m π
a
)2
+
(
n π
b
)2
+
(
l π
d
)2
= ω2
µε (1.16)
La frecuencia de la onda debe cumplir esta relaci´on, es decir, un valor
particular y se le conoce como la frecuencia de resonancia ω = ωr
(=2 πfr) y para el modo TEm n l esta dado en Hz por
fr =
1
2
√
µε
(
m
a
)2
+
(
n
b
)2
+
(
l
d
)2
Hz a, b, d en m. (1.17)
Tambi´en
fr =
15
√
εr
(
m
a
)2
+
(
n
b
)2
+
(
l
d
)2
GHz a, b, d en cm. (1.18)
La longitud de onda de resonancia se define como frλr = c
λr =
2
√(
m
a
)2
+
(
n
b
)2
+
(
l
d
)2
m. (1.19)
Ejemplo Demostrar que para los modos TM una de las componentes
de los campos electromagn´eticos es:
Ez(x, y, z) = E0 sen
(
m π x
a
)
sen
(
n π y
b
)
cos
(
l π z
d
)
(1.20)
para m = 1, 2, · · ·, n = 1, 2, · · ·, y l = 0, 1, 2, · · ·

5. 4 CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES
1.2.1 Campos Electromagn´eticos modos TE
Es f´acil obtener las componentes de los campos electromagn´eticos para
los modos TE y TM. A continuaci´on muestro un ejemplo como obtener:
Ejemplo Obtener la componente Ex para el modo TE.
Soluci´on De (1.7) obtenemos:
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Ex = −jωµ
∂
∂y
Hz (1.21)
donde, de (1.15): Hz = H0 cos(kxx) cos(kyy) sen(kzz), entonces
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Ex = jωµkyH0 cos(kxx) sen(kyy) sen(kzz) (1.22)
Ex debe contener sen(kzz) entonces:
(
ω2
µε − k2
z
)
Ex = jωµkyH0 cos(kxx) sen(kyy) sen(kzz) (1.23)
despejando Ex y seg´un (1.13), tenemos:
Ex =
jωµky
k2
x + k2
y
H0 cos(kxx) sen(kyy) sen(kzz) (1.24)
Siguiendo este procedimiento, podemos obtener todos los campos elec-
tromagn´eticos para el modo TEm n l
Ex =
jωµky
k2
x + k2
y
H0 cos(kxx) sen(kyy) sen(kzz) (1.25)
Ey = −
jωµkx
k2
x + k2
y
H0 sen(kxx) sen(kyy) sen(kzz) (1.26)
Ez = 0 (1.27)
Hx = −
kx kz
k2
x + k2
y
H0 sen(kxx) cos(kyy) cos(kzz) (1.28)
Hy = −
ky kz
k2
x + k2
y
H0 cos(kxx) sen(kyy) cos(kzz) (1.29)
Hz = H0 cos(kxx) cos(kyy) sen(kzz) (1.30)
Tarea Obtener los campos electromagn´eticos para el modo TMm n l

6. 1.3. FACTOR DE CALIDAD Q 5
1.3 Factor de calidad Q
El factor de calidad Q de una cavidad resonante, es una medida del
ancho de banda de la cavidad resonante. Se puede definir como:
Q = 2π
Energ´ıa media temporal almacenada en la cavidad
Energ´ıa disipada en un periodo
(1.31)
En otras palabras:
Q = 2π
W
PLT
= ω
W
PL
(1.32)
donde:
W = We + Wm =
1
4
ε
∫
v
| E |2
dv +
1
4
µ
∫
v
| H |2
dv (1.33)
y
PL =
1
2
Rs
∫
s
| Htang |2
ds (1.34)
Ejemplo Determinar el factor de calidad Q para el modo TE1 0 1
Soluci´on De (2.11) a (2.16) obtenemos los campos electromagn´eticos.
As´ı:
Ex = 0, Ez = 0, Ey = −
jωµa
π
H0 cos
(
πx
a
)
sen
(
πz
d
)
(1.35)
y
Hx = −
a
d
H0 sen
(
πx
a
)
cos
(
πz
d
)
(1.36)
La energ´ıa el´ectrica es:
We =
ε
4
∫
v
| Ey |2
dv =
εω2
µ2
a2
4π2
H2
0
∫ a
0
cos2
(
πx
a
)
dx
∫ b
0
dy
∫ d
0
sen2
(
πz
d
)
dz
(1.37)
We =
εω2
µ2
a3
b d
16π2
H2
0 =
ε µ2
f2
4
a3
bdH0 (1.38)
La energ´ıa magn´etica es:
Wm =
µ
4
∫
v
{
| Hx |2
+ | Hz |2
}
dv =
µ
16
abd
(
a2
d2
+ 1
)
H2
0 (1.39)
si tenemos en cuenta que la frecuencia de la onda es la frecuencia de
resonancia y esta dado por:
f = fr 1 0 1 =
1
2
√
µε
√
1
a2
+
1
d2
⇒
a2
d2
+ 1 = 4µεa2
f2
(1.40)

7. 6 CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES
que reemplazando en la expresi´on anterior llegamos a:
Wm =
ε µ2
f2
4
a3
bdH2
0 (1.41)
queda claro que la energ´ıa el´ectrica y la magn´etica son iguales. En-
tonces:
W = We + Wm = 2We = 2Wm =
µ
8
abd
(
a2
d2
+ 1
)
H2
0 (1.42)
Las p´erdidas en la superficie de las paredes de la cavidad ser´a:
PL =
1
2
Rs
[
2
∫ a
0
∫ d
0
{
| Hx |2
+ | Hz |2
}
ds + 2
∫ b
0
∫ d
0
| Hz |2
ds + 2
∫ a
0
∫ b
0
| Hx |2
ds
]
(1.43)
que reemplazando las expresiones de Hx y Hz en las integrales anteriores
obtenemos:
PL = RsH2
0
[
b d
2
+
a3
4d
+
a d
4
+
a3
b
4d2
]
(1.44)
reemplazando W y PL en (2.17) obtenemos:
Q =
ωµ(a2
+ d2
)abd
2Rs[2b(a3 + d3) + ad(a2 + d2)]
=
(a2
+ d2
)abd
δ[2b(a3 + d3) + ad(a2 + d2)]
(1.45)

8. Contenido
1 Cavidades Resonantes 1
1.1 Cavidades rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Estudio de los modos TE Hz ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Campos Electromagn´eticos modos TE . . . . . . 4
1.3 Factor de calidad Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7