3. propagacion

Tema
3:
Propagación
en
ﬁbras
óp4cas

Fibra
Óp)ca

Objetivos
•  Introducir el fenómeno de la propagación en fibras y sus técnicas
de análisis
•  Introducir la teoría de rayos para el análisis simplificado de la
propagación en fibras multimodo, sus ventajas y limitaciones.
Conceptos de AN y dispersión intermodal
•  Estudiar la propagación electromagnética en fibras. Definición de
conceptos fundamentales: modo, kte. de propagación, frecuencia
normalizada
•  Introducir la aproximación de guiado débil que simplifica
notablemente el análisis electromagnético
•  Estudiar la fibra monomodo y sus parámetros fundamentales

Introducción
•  Fibra óptica = medio de transmisión por excelencia
•  Fibra óptica = guiaonda dieléctrica cilíndrica
•  Estudio de propagación de señales
•  Óptica geométrica de rayos
•  Teoría electromagnética
•  Dada las características dieléctricas del material
aparecen modos híbridos
•  Dado que n1 ≠ n2 (PERO NO TANTO) el problema se
reduce notablemente!

4
Ejes y convenio de signos
cubierta
núcleo
Geometría de la fibra óptica Coordenadas cartesianas
y polares
x
y
z
x
y
Propagación según óptica de rayos
SiO2 con dopantes: Germanio (G), Fósforo (P) y Boro (B) caracterizados
por INDICES DE REFRACCION

5
PERFILES DE ÍNDICE
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥=Δ−≈Δ−
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ−≈
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ−
=
arnnn
ar
a
r
n
a
r
n
rn
21
2/1
1
1
2/1
1
1
)1()21(
121
)(
αα
Diferencia
relativa de índices
n r
n r a
n r a
( )=
≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1
2
Ley α
Δ =(n1 −n2 )/n1

6
PRINCIPIO DE PROPAGACIÓN
ϕ1 ϕr
ϕ2
n n
n n
1 1 2 2
1 2 2 1
sen senϕ ϕ
ϕ ϕ
=
> ⇒ >
ϕ ϕ1
= c ϕr
ϕ π2
2= / ϕ
ϕ ϕ
c Arc
n
n
si c
=
>
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
sen 2
1
1
Ángulo crítico
n1
n2
Reflexión Total Interna
Ley de Snell

7
GUIADO DE RAYOS
Rayo guiado
Rayo no guiado

8
CONCEPTO DE APERTURA NUMÉRICA
Ley de Snell
Cono de
Aceptación
Rayo no
guiado
Cubierta n2
Núcleo n1
n
n n
o sen
sen cos
α
θ ϕ
=
= =1 1
El máximo valor del ángulo de entrada se produce bajo
la condición )/arcsen( 12 nncm ==→= ϕϕαα
no senαm = n1
2
−n2
2
= AN = n1 2Δ
Δ =(n1 −n2 )/n1

9
AN está relacionada con la capacidad de aceptación de energía
o potencia luminosa por parte de una fibra
I Io( ) cosθ θ=
θ
Superficie de
emisión ( )P I d I
P AN
n
m
o
m
= = =∫ ( ) sen senθ π θ θ π α
α
2 0
2
0
0
2
2
Potencia total emitida
por la fuente
Fracción de la potencia total
inyectada a la fibra
P I d I0 0
0
2
2= =∫ ( ) sen
/
θ π θ θ π
π

10
ΔT =
n1
c
L
senϕc
− L
#
$
%
&
'
(=
L
c
n1
2
n2
Δ
Diferencia entre
tiempos de llegada L
LIMITACIÓN DE ANCHO DE BANDA POR DISPERSION
INTERMODAL EN FIBRAS DE INDICE ESCALONADO
B.ΔT ≤1→ B.L ≤
n2
n1
2
c
Δ
= 2
n2c
AN2
ϕc
L
senϕc
v = c/n1 t = L/v
Tb = 1/B

11
Se concluye que: la apertura numérica de una fibra define un compromiso
entre la potencia que se puede inyectar a una fibra y la máxima velocidad
de trasmisión que ésta puede transportar
Ejercicio:
Una fibra óptica posee un núcleo con n1=1.450, calcular la fracción total de
la potencia radiada a la fibra y la máxima velocidad de transmisión para
Δ=0.05 y Δ=0.001
R./ Para Δ=0.05 => FP = 0.21 y B.L = 3.93 Mb/s . Km
Para Δ=0.001 => FP = 0.004 y B.L = 207 Mb/s . Km
AN = n1 2Δ
P
P0
=
AN2
no
2
B.L ≤ 2
n2c
AN2
Dadas las relaciones encontradas
Δ =(n1 −n2 )/n1

12
n(r) =
n1 1−2Δ
r
a






α







1/2
≈ n1 1−Δ
r
a






α







r ≤ a
n2 (1−2Δ)1/2
≈ n1(1−Δ) = n2 r ≥ a







α = 2(1-Δ) => Valor que minimiza la dispersión intermodal

13
28 CHAPTER 2. OPTICAL FIBE
Figure 2.4: Variation of intermodal dispersion ∆T/L with the profile parameter α for a gra
index fiber. The scale on the right shows the corresponding bit rate–distance product.
of lightwave systems used graded-index fibers. Further improvement is possible o
Limitación de ancho de banda
Δ ΔT
L
n
c
= 1
2
8
BL
c
n
≤
8
1
2
Δ
LIMITACIÓN DE ANCHO DE BANDA POR DISPERSION INTERMODAL
EN FIBRAS DE INDICE GRADUAL
Tb = 1/B

14
Multimodo
índice
Gradual
Multimodo
Salto de
índice
2
1
8
IG
c
BL
n
≤
Δ
2
2
2SI
n c
BL
AN
≤
Monomodo
IG
BL
SI
BL
M =
BL

Calcular el producto BL para una fibra de índice gradual
con las características de las fibras del ejercicio anterior y
calcular el factor de mejora de capacidad con respecto a lo
obtenido para dichas fibras
Fibra 1
n1= 1.450
Δ=0.05
Fibra 2
n1= 1.450
Δ=0.001
15
Ejercicio
BL ≈ 662 Mb/s.km
BL ≈ 1655 Tb/s.m
MBL ≈ 168.45
MBL ≈ 8x103

16
h k= −2 2
β
∂ ψ
∂
∂ψ
∂
β ψ
2
2
2 2
2
2
1
0
( ) ( )
( )
r
r r
r
r
k
l
r
r+ + − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
Núcleo k 2 2
0− > →β
Cubierta q k= −β2 2
Solución de la función radial
Análisis electromagnético
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
BESSEL
→<− 022
βk
E r t AJ hr e e
H r t BJ hr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ β
E r t CK qr e e
H r t DK qr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ β
ψ(r,θ,z) =ψr (r,θ,z)ˆr +ψθ (r,θ,z) ˆθ +ψz (r,θ,z)ˆz
k: Kte de propagación del medio
β: Kte de propagación de un modo
n2k0 ≤ β ≤ n1k0
k = nk0
k0 =
2π
λ

E r t AJ hr e e
H r t BJ hr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ βNúcleo:
Cubierta:
ECUACIÓN DE DISPERSIÓN
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′ 222
2
2
2
1 11
)(
)(
)(
)(
.
)(
)(
)(
)(
haqak
l
qaK
qaK
q
n
haJ
haJ
h
n
qaqK
qaK
hahJ
haJ
ol
l
l
l
l
l
l
l β
2
2
1
2
22
ββ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
c
wn
h
c
wn
q
Laboratorio de Comunicaciones Ópticas ! Dpto. Tecnología Fotónica
X-10
Para resolver la
ecuación {15} se ha de tener
en cuenta que, para cada
modo guiado, el campo ha
de ser finito en el núcleo, y
en concreto para r@0, mien-
tras que en la cubierta habrá
de tender a 0 cuando r@?.
En estas circunstancias, las
soluciones para r<a (siendo a
el radio del núcleo) habrán
de ser funciones de Bessel
de primera clase y orden >
(Fig. E4-6), para las que
emplearemos la notación J$(ur), siendo
u k k n) * ) *1
2 2 2
1
2 2
# # {16}
Así pues, las expresiones para Ez y Hz en el núcleo quedan como sigue:
E r a AJ ur j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )]! ) * *> >& # + {17}
H r a BJ ur j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )]! ) * *> >& # + {18}
siendo A y B constantes arbitrarias.
En la parte externa (r>a), las soluciones que se adaptan a las condiciones
expuestas son las funciones de Bessel modificadas de segunda clase, para las que
usaremos la notación K$(wr), siendo
w k k n) * ) *# #2
2
2 2 2
2
2
{19}
Las expresiones para Ez y Hz en la cubierta quedan:
E r a CK wr j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )]" ) * *> >& # + {20}
H r a DK wr j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )]" ) * *> >& # + {21}
Las funciones K de Bessel (Fig. E4-7) tienen la particularidad de que, cuando wr@?,
K$(wr) @ exp(-wr). Para que la expresión tenga sentido físico, se tiene que dar que K$
(wr)@0 para wr@?. Por consiguiente, w ha de ser positivo. De ahí se deduce
w k" A B0 2# {22}
Fig. E4-6. Funciones J de Bessel de los tres órdenes más bajos.
Los cortes por 0 determinan los rangos de los modos.
Práctica E4: Modos en Fibras Ópticas
X-11
que es un límite inferior para !. El límite superior viene dado por el comportamiento de
J!(ur). Para que F1 sea real en el núcleo, u ha de ser real. Por lo tanto
! " k1 {23}
Así pues, el rango de soluciones aceptables para ! es:
kn k k kn2 2 1 1# " " #! {24}
siendo k=2$/%=&/c, la constante de propagación en el vacío, y k1=&/v1 y k2=&/v2, las
respectivas constantes de propagación en ambos medios.
X.2.2. Ecuación Modal
Las soluciones para !
pueden determinarse a partir
de las condiciones de
contorno. Las componentes
tangenciales de Ez y E" han
de conservarse a uno y otro
lado de la interfase, tomando
el mismo valor para r=a. Lo
mismo sucede para Hz y H".
Con ello podemos plantear
un sistema de cuatro
ecuaciones que permita
calcular las cuatro incógnitas
A, B, C y D. Así, igualando
{17} y {22} para componen-
tes tangenciales en r=a
(Ez1=Ez2, dentro=fuera)
queda
AJ ua CK wa' '( ) ( )( {25}
La componente ) sale de la segunda ecuación de {9}. El factor q2
dentro del núcleo viene
dado por
q u k n k2 2 2
1
2 2
1
2 2
( ( * ( *! ! {26}
Por otra parte, en la cubierta se cumple
w k2 2
2
2
( *! {27}
Fig. E4-7. Funciones K de Bessel de orden más bajo.
AJ1 ha( )= CK1 qa( )
E r t CK qr e e
H r t DK qr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ β

18
V ha qa2 2 2
= +( ) ( )
CONCEPTO DE FRECUENCIA NORMALIZADA
Las variables ha y qa, para un r = a, no son independientes,
sino que están ligadas por la Frecuencia normalizada de la
forma:
La frecuencia normalizada (adimensional) viene dada por
parámetros constructivos de la fibra óptica, a, n1, n2, y por
la longitud de onda λ:
V =
2πa
λ
n1
2
−n2
2
=
2πa
λ
AN
E r t AJ hr e e
H r t BJ hr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ β
E r t CK qr e e
H r t DK qr e e
z l
jl j wt z
z l
jl j wt z
( , ) ( )
( , ) ( )
( )
( )
=
=
−
−
θ β
θ β

19
~
( , , )
~
( , , )!
~
( , , )! ~
( , , )!E r z E r z r E r z E r z zr zθ θ θ θ θθ= + +
TEORIA EXACTA
Modos híbridos HE ó EH
X.1.4. Modos inclinados
Adem
sopo
Esto
torci
mod
en l
EHlm
o el
cam
X.1.5. Modos débilmente
La resolución exacta de las ecuaciones
guíaondas dieléctricas homogéneas y
matemáticamente complicada (se deben
campo electromagnético) y conduce a res
Fig. E4-2. Trayectoria helicoidal de un
skew ray
Según domine Hz ó Ez
Se denominan: HElm ó EHlm
l: Orden de la función de Bessel => Variación azimut
m: raíz de la función de orden l =>Variación radial
Para resolver la
l=0 l=1 l=2
Jl(r)

20
AN
a
V
λ
π2
=
Curvas β-V
β(λ,a,n1,n2)
Para resolver la
(Fig. E4-6), para las que
emplearemos la notación J$(ur), siendo
u k k n) * ) *1
2 2 2
1
2 2
# # {16}
Así pues, las expresiones para Ez y Hz en el núcleo quedan como sigue:
E r a AJ ur j j z tz ( ) ( )exp( )exp[ ( )]! ) * *> >& # + {17}
H r a BJ ur j j z tz ( ) ( )exp( )exp[ ( )]! ) * *> >& # + {18}
siendo A y B constantes arbitrarias.
En la parte externa (r>a), las soluciones que se adaptan a las condiciones
expuestas son las funciones de Bessel modificadas de segunda clase, para las que
usaremos la notación K$(wr), siendo
w k k n) * ) *# #2
2
2 2 2
2
2
{19}
l=0 l=1 l=2
Jl(r)
J xo ( ) = 0
J x1 0( ) =
J xl ( ) = 0
⇒ J0 (x) = 0
⇒ Jl−2 (x) = 0HElm−1
HE m2
EHlm−1
HE m1
EH m1 1−
TM m0
TE m0
l=0
l=1
l>1
l=2
l>2
Índice modal Modo
Ec. para el cálculo de la
frec. de corte
HE21

21
Aproximación de Guiado débil
La solución exacta de la propagación en una fibra de salto
de índice es, en general, muy compleja, y da lugar a modos
híbridos, en los cuales ninguna de sus componentes
vectoriales es nula.
%1%1.0 <Δ<Sin embargo,
APROXIMACIÓN DE GUIADO DÉBIL
Existen varios modos exactos con la misma cte de propagación (degenerados)
Sólo poseen una componente de
campo eléctrico y otra de campo
magnético no nula
Modos linealmente polarizados
o LP
21 nn ≈

22
FORMA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
−
0
0
)( )(
z
y
zwtjjl
lx
E
E
eehrAJE
E
βθ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
−
0
0
)( )(
z
y
zwtjjl
lx
E
E
eeqrBKE
E
βθ
NUCLEO CUBIERTA
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
= −
0
)(
0
)(
z
zwtjjl
ly
x
E
eehrAJE
E
E βθ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
= −
0
)(
0
)(
z
zwtjjl
ly
x
E
eeqrBKE
E
E βθ
CUBIERTANUCLEO

23
Designación
Modos exactos
que lo componen
Factor de
degeneración
LP01
HE x11 2 2
LP11
TE TM HE x01 01 21 2, , 4
LP21
EH x HE x11 312 2, 4
LP02 HE12 x2 2
LP31 EH x HE x21 412 2, 4
LP12
TE TM HE x02 02 22 2, , 4
ORIGEN DE LOS MODOS LINEALMENTE POLARIZADOS

24
Curvas b-V
Modos LPlm
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
01
11
21 02
31 12
41
22
51
03
32
61
13
Frecuencia Normalizada V
ConstantedePropagaciónNormalizadab(V)
n1
n2
ñ
0 ≤ blm ≤ 1
blm = 0 Condición
de corte del modo
Propagación del
modo
fundamental
0 ≤ V ≤ 2.405
Región
monomodo
Región
multimodo
Designación LPlm
variación en acimut
variación radial

25
LP01
LP11
(variación cos θ)
LP11
(variación sen θ)
LP21
(variación coseno)
LP21
(variación seno)
LP02

¿Qué modo es este?
LP33

¿Qué representan ambas gráficas del LP33?
0 10 20 30 40 50 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
V ariable radial (m icras)
Potencianormalizada
Ditribución de potencia en el nucleo de la fibra

28
NÚMERO DE MODOS PROPAGADOS POR UNA FIBRA OPTICA
• Si V<6: se cuentan sobre la curva b-V multiplicando cada modo por
su factor de degeneración.
• Si V>6 se aplica la expresión:
MSI ≈
V2
2
→ MIG =
α
α +2
MSI
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
01
11
21
02
31 12
41
22
51
03
32
61
13
ConstantedePropagación
Normalizadab(V)
LP 01 (2)
LP 11 (4)
LP 21 (4)
LP 02 (2)
Total: 12 modos

29
GRÁFICAS DE FACTORES DE CONFINAMIENTO vs. V
P
P
nucleo P
P
cubierta
Cuanto mayor es el valor de V más confinado está el modo
en el núcleo de la fibra

30
V=0.7
V=2
V=8
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
01
ConstantedePropagaciónNormalizadab(V)

La expresión aproximada de b(V)
permitirá obtener de forma sencilla
las relaciones:
2
01
0.996
b (V)= 1.1428 -
V
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Constante de propagación
La constante de propagación del modo fundamental LP 01 se puede
expresar de forma aproximada en el rango 1.5 <V<2.5 como:
( )01 2 01 1 2 2 01n =n +b (n -n )»n 1+b Δ
2 2
d(Vb) / dV
Vd (bV) / dV
1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Exacta
01b (V)
V
Funciones necesarias para el cálculo
de la dispersión por guía de onda
Fibras Monomodo
Aproximada

Bz = L
BL
z =
2
B3L
z =
4
z
LB=
4z = 0
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
BIRREFRINGENCIA
La longitud que
define el periodo
de variación del
estado de
polarización se
denomina longitud
de batido:
BL =
B
λ
En general, las fibras ópticas no presentan una geometría
perfectamente cilíndrica. Dicha deformación, implica una
cierta diferencia entre las constantes de propagación para
polarización del modo fundamental.
x y
01 01B= n -n
Birrefringencia
-6 -5
B=10 -10
β01
x
≠ β01
y
Fibras Monomodo

Ejercicio
Una fibra óptica de salto de índice posee unos índices de refracción en
dados por n1=1.45 y n2=1.448. Se pretende que en segunda ventana de
transmisión el 70% de la potencia del modo fundamental se propague por
el núcleo. Determine: el radio del núcleo que se necesita para satisfacer las
condiciones de diseño
V =
2πa
λ
n1
2
− n2
2
a = 5.43µm
Se observa que para
V=2 se cumple
Pcore/P=0.7
P
P
nucleo P
P
cubierta

Calcule el número exacto de modos que propagaría la fibra anterior
si operase en primera ventana
Ejercicio
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
01
11
21
02
31 12
41
22
51
03
32
61
13
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