UNI-FIEE

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

2. Cap´ıtulo 1
Propagaci´on de Ondas
Electromagn´eticas
1.1 Ecuaciones de Maxwell
Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de los campos
electromagneticos cuasi estaticos CECE:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.1)
∇ · B(r, t) = 0 Ley de Gauss Magn´etico (1.2)
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) Ley de Faraday (1.3)
∇ × H(r, t) = J(r, t) Ley de Ampere (1.4)
con las ecuaciones constitutivas:
D(r, t) = ε E(r, t) B(r, t) = µ H(r, t) J(r, t) = g E(r, t) (1.5)
donde ε, µ y g son, la permitividad, la permeabilidad y la conductividad
del medio, respectivamente. Maxwell se dio cuenta que la ´ultima ley
fallaba (ecuaci´on 1.4). Como sabemos: La divergencia de un rotacional
siempre es cero. Entonces aplicando la divergencia a la ley de Ampere,
tenemos:
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t) =⇒ 0 = ∇ · J(r, t)
Esto no es verdad, contradice la ley de la conservaci´on de la carga que
se expresa como:
∇ · J(r, t) +
∂
∂t
ρ(r, t) = 0 =⇒ ∇ · J(r, t) = −
∂
∂t
ρ(r, t) (1.6)
1

3. 2CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
Maxwell supuso que a la ley de Ampere le faltaba un t´ermino que
le llamo: Densidad de corriente de desplazamiento Jd(r, t). As´ı, la
correci´on queda:
∇ × H(r, t) = J(r, t) + Jd(r, t) (1.7)
Est´a ecuaci´on no debe contradecir la ley de conservaci´on de la carga.
Aplicando la divergencia a (1.7):
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd(r, t)
0 = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd(r, t)
Para que est´a ecuaci´on sea equivalente a (1.6), debe cumplirse que
∇ · Jd(r, t) =
∂
∂t
ρ(r, t)
reemplazando (1.1), es decir la ley de Gauss en est´a ecuaci´on:
∇ · Jd(r, t) =
∂
∂t
∇ · D(r, t) = ∇ ·
( ∂
∂t
D(r, t)
)
Entonces, la densidad de corriente de desplazamiento ser´a:
Jd(r, t) =
∂
∂t
D(r, t)
Las leyes enunciadas al inicio de la exposici´on con la correcci´on, se
conocen como las ecuaciones de Maxwell en la forma diferencial:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.8)
∇ · B(r, t) = 0 Gauss Magn´etico (1.9)
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) Ley de Faraday (1.10)
∇ × H(r, t) = J(r, t) +
∂
∂t
D(r, t) Ampere-Maxwell (1.11)
Se puede demostrar que las condiciones de frontera entre dos medios
no se modifican debido a este cambio. Aqui un repaso:
D2 n(r, t) − D1 n(r, t) = σ(r, t)
B2 n(r, t) = B1 n(r, t)
E2 t(r, t) = E1 t(r, t)

4. 1.2. ECUACIONES DE MAXWELL FASORIAL 3
H2 t(r, t) − H1 t(r, t) = Kn(r, t)
o la expresi´on equivalente
ˆn2 × [H2(r, t) − H1(r, t)] = K(r, t)
Ejemplo 1 Demostrar que la ley de Gauss magn´etico y la ley de Fara-
day son dependientes
Soluci´on Aplicando divergencia a (1.10), tenemos:
∇ · ∇ × E(r, t) = ∇ ·
(
−
∂
∂t
B(r, t)
)
= −
∂
∂t
∇ · B(r, t)
El lado izquierdo siempre es cero, entonces
0 = −
∂
∂t
∇ · B(r, t)
El lado derecho tambi´en, siempre debe ser cero
∇ · B(r, t) = 0
La contribuci´on de las ecuaciones de Maxwell sirve para fundamentar
la teor´ıa del flujo de potencia electromagn´etico y la teor´ıa de las ondas
electromagn´eticas
1.2 Ecuaciones de Maxwell Fasorial
Cuando los campos electromagn´eticos varian en forma armonica (senoidal)
con frecuencia angular ω = 2πf, (f es la frecuencia en Hz) se puede
trabajar con fasores:



E(r, t)
D(r, t)
H(r, t)
B(r, t)



= Re








E(r)
D(r)
H(r)
B(r)





ej ω t



(1.12)
donde E(r), D(r), H(r) y B(r) son fasores
Ejemplo 2 Expresar el siguiente campo vectorial (onda), en forma
fasorial
H(r, t) = ˆx 2 sen(ω t − β0 z) + ˆy 3 cos(ω t − β0 z) A/m

5. 4CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
Soluci´on Utilizando la notaci´on de Euler
ej θ
= cosθ + j senθ =⇒ Re {ej θ
} = cosθ
El campo H(r, t) puede expresarse como
H(r, t) = ˆx 2 cos(ω t − β0 z − π/2) + ˆy 3 cos(ω t − β0 z)
luego
H(r, t) = ˆx 2 Re {ej(ω t−β0 z−π/2)
} + ˆy 3 Re {ej(ω t−β0 z)
}
simplificando
H(r, t) = Re {[ˆx 2 e−j β0 z−j π/2
+ ˆy 3 e−j β0 z
]ej(ω t
}
Finalmente
H(r, t) = Re {[(−ˆx 2 j + ˆy 3)e−j β0 z
]ej ω t
}
El t´ermino entre corchetes es el fasor
H(r) = (−ˆx 2 j + ˆy 3)e−j β0 z
Ejemplo 3 Para los campos electromagn´eticos que varian con una fre-
cuancia angular ω, expresar la ley de Faraday en forma fasorial
Soluci´on Tenemos la ley de Faraday:
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t)
Utilizando (1.12)
∇ × Re {E(r) ej ω t
} = −
∂
∂t
Re {B(r) ej ω t
}
Transformando
Re {∇ × E(r) ej ω t
} = −Re {B(r) j ω ej ω t
}
El lado izquierdo debe ser igual al lado derecho para cualquier tiempo
∇ × E(r) = −j ω B(r)

6. 1.3. TEOR´IA DEL FLUJO DE POTENCIA ELECTROMAGN´ETICO5
Es la ley de Faraday fasorial. Se puede observar que para pasar de
tiempo real a fasor, basta utilizar la siguiente regla:
∂
∂t
→ j ω
Aplicando est´a regla a (1.8) hasta (1.11). Las ecuaciones de Maxwell
fasorial son
∇ · D(r) = ρ(r) Ley de Gauss (1.13)
∇ · B(r) = 0 Gauss magn´etico (1.14)
∇ × E(r) = −j ω B(r) Ley de Faraday (1.15)
∇ × H(r) = J(r) + j ω D(r) Ampere Maxwell (1.16)
1.3 Teor´ıa del flujo de potencia electro-
magn´etico
Utilizando la identidad vectorial conocida (aplicado a los campos elec-
tromagn´eticos)
∇ ·
(
E × H
)
= H · ∇ × E − E · ∇ × H
Teniendo en cuenta (1.10) y (1.11) es decir:
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) y ∇ × H(r, t) = J(r, t) +
∂
∂t
D(r, t)
Entonces:
∇ ·
(
E × H
)
= −H ·
∂
∂t
B − E · J − E ·
∂
∂t
D (1.17)
Es f´acil demostrar que:
∂
∂t
{
1
2
B · H
}
= H ·
∂
∂t
B y
∂
∂t
{
1
2
D · E
}
= E ·
∂
∂t
D
que reemplazando en (1.17), llegamos a:
−∇ ·
(
E × H
)
=
∂
∂t
{
1
2
B · H
}
+
∂
∂t
{
1
2
D · E
}
+ E · J
Integrando sobre un volumen cerrado y aplicando el teorema de la di-
vergencia al primer lado, llegamos al teorema de Poyting
−
S
E×H·ˆn d S =
∫
V
∂
∂t
{
1
2
B · H +
1
2
D · E
}
d V +
∫
V
E·Jd V (1.18)

7. 6CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
El lado izquierdo de (1.18) es el flujo de potencia que ingresa a un volu-
men a trav´es de su superficie. La primera integral del lado derecho es la
variaci´on temporal de la energ´ıa electromagn´etica dentro del volumen
y la ´ultima integral son las p´erdidas en forma de calor (irreversibles).
Se define la densidad de flujo de potencia S o vector de Poyting como:
S = E(r, t) × H(r, t) (1.19)
1.3.1 Densidad de flujo de potencia promedio tem-
poral
Consideremos dos cantidades:
A = A0 ej ϕA
y B = B0 ej ϕB
En tiempo real ser´a (aplicando (1.12)):
A(t) = A0cos(ω t + ϕA) y B(t) = B0cos(ω t + ϕB)
El producto ser´a:
A(t) B(t) = A0 B0 cos(ω t + ϕA) cos(ω t + ϕB)
A(t) B(t) =
1
2
A0 B0[cos(ϕA − ϕB) + cos(2ω t + ϕA + ϕB)]
Tomando el valor promedio en el tiempo:
⟨A(t) B(t)⟩ =
1
2
A0 B0 cos(ϕA − ϕB)
el simbolo ⟨ ⟩ indica promedio en el tiempo. El lado derecho de la
ecuaci´on anterior, es equivalente a 1/2 Re{A B∗
}:
1
2
Re{A B∗
} =
1
2
Re{A0 ej ϕA
B0 e−j ϕB
} =
1
2
A0 B0 cos(ϕA − ϕB)
Se concluye que en general el valor promedio en el tiempo es:
⟨A(t) B(t)⟩ =
1
2
Re{A B∗
}
Este resultado puede extenderse a un producto cruz, as´ı, la densidad
de flujo de potencia (vector de Poyting) promedio temporal ser´a:
⟨S⟩ =
1
2
Re{E(r) × H∗
(r)} (1.20)

8. 1.4. ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS 7
1.4 Ondas electromagn´eticas
En est´a secci´on, estudiaremos la soluci´on de las ecuaciones de Maxwell
en medios sin fuentes (ρ = 0 y J = 0). A est´a soluci´on se conoce
como propagaci´on electromagn´etica. Cuando se consideran las fuentes
se conoce como radiaci´on electromagn´etica que se estudiar´a en el ´ultimo
cap´ıtulo. El estudio se divide en dos partes:
- Diel´ectrico ideal car´acterizado por ε ̸= 0, µ ̸= 0 y g = 0
- Medio disipativo car´acterizado por ε ̸= 0, µ ̸= 0 y g ̸= 0
Se considerar´a el medio lineal isotr´opo u homog´eneo, es decir, ε (per-
mitividad), µ (permeabilidad) y g (conductividad) son constantes.
1.4.1 Ecuaci´on de onda fasorial en diel´ectricos ide-
ales
Considerando la regi´on libre de fuentes y las ecuaciones constitutivas
D(r) = ε E(r) y B(r) = µ H(r) las ecuaciones (1.13) hasta (1.16) se
transforman en:
∇ · D(r) = 0 ⇒ ∇ · E(r) = 0 (1.21)
∇ · B(r) = 0 ⇒ ∇ · H(r) = 0 (1.22)
∇ × E(r) = −j ω B(r) ⇒ ∇ × E(r) = −j ω µ H(r) (1.23)
∇ × H(r) = j ω D(r) ⇒ ∇ × H(r) = j ω εE(r) (1.24)
Aplicando rotacional a (1.23):
∇ × ∇ × E(r) = −j ω µ ∇ × H(r)
Al primer lado aplicamos una identidad vectorial conocida y al segundo
lado reemplazamos (1.24), tenemos:
∇
(
∇ · E(r)
)
− ∇2
E(r) = −j ω µ
(
j ω εE(r)
)
El primer t´ermino es cero, seg´un (1.21). Finalmente:
∇2
E(r) + ω2
µ ε E(r) = 0 (1.25)
Es la ecuaci´on diferencial vectorial (fasorial) homog´enea para el campo
el´ectrico E(r). Lo mismo se cumple para el campo H(r)
∇2
H(r) + ω2
µ ε H(r) = 0 (1.26)

9. 8CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
1.4.2 Soluci´on de la ecuaci´on diferencial para las
OEM planas en diel´ectricos ideales
La ondas planas no existen, las OEM producidos por las antenas son
esf´ericas. La OEM plana es la soluci´on m´as simple de las ecuaciones
de Maxwell y la caracter´ıstica principal de la onda plana es que en
cualquier plano normal a la direcci´on de propagaci´on de la onda los
campos electromagn´eticos son constantes. Suponemos la soluci´on de la
forma:
E(r) = E0 e−j K·r
(1.27)
donde E0 es constante (condici´on para OEM plana), K es el vector
n´umero de onda y r es el vector posici´on:
K = ˆx Kx + ˆy Ky + ˆz Kz y r = ˆx x + ˆy y + ˆz z (1.28)
Reemplazando (1.28) en (1.27) y luego en (1.25) llegamos a:
(
−K2
x − K2
y − K2
z
)
E(r) + ω2
µ ε E(r) = 0
entonces llegamos a la relaci´on de dispersi´on:
K2
x + K2
y + K2
z = ω2
µ ε
o
K = ω
√
µ ε diel´ectrico ideal (1.29)
Lo mismos se cumple para el campo H(r)
H(r) = H0 e−j K·r
(1.30)
donde H0 es constante (condici´on para onda plana).
Una vez conocida la expresi´on de K, podemos obtener los campos elec-
tromagn´eticos en tiempo real, aplicando (1.12)
E(r, t) = E0 cos(ω t − K · r) H(r, t) = H0 cos(ω t − K · r)
Para las OEM planas en diel´ectricos ideales, el vector n´umero de onda
K tambi´en es conocido (en algunos textos) como la constante de fase
β. Es decir:
K = β = ω
√
µ ε
Ejemplo 4 Demostrar que para las OEM planas en un diel´ectricos
ideales o medios disipativos se cumple:
K × E(r) = ω µ H(r)

10. 1.4. ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS 9
Soluci´on Utilizando la ley de Faraday fasorial (ec. 1.23)
∇ × E(r) = −j ω µ H(r) (1.31)
Para las OEM planas
E(r) = E0 e−j K·r
y H(r) = H0 e−j K·r
Desarrollando el primer lado de (1.31), tenemos:
(
ˆx
∂
∂x
+ ˆy
∂
∂y
+ ˆz
∂
∂z
)
× E0 e−j Kx x−j Ky y−j Kz z
= −j ω µ H(r)
(
−ˆx × E0 (j Kx) − ˆy × E0 (j Ky) − ˆz × E0 (j Kz)
)
e−j K·r
= −j ω µ H(r)
(
−j Kx ˆx − j Ky ˆy − j Kz ˆz
)
× E(r) = −j ω µ H(r)
Finalmente
−j K × E(r) = −j ω µ H(r) ⇒ K × E(r) = ω µ H(r)
Como se observa, este resultado es valido para cualquier medio. Aqui
surge una regla pr´actica, basta reemplazar
∇ → −j K (1.32)
1.4.3 Ecuaciones de Maxwell para las OEM planas
Reemplazando (1.32) en (1.21) hasta (1.24) tenemos:
K · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.33)
K · H(r) = 0 Gauss magn´etico (1.34)
K × E(r) = ω µ H(r) Ley de Faraday (1.35)
K × H(r) = −ω ε E(r) Ampere Maxwell (1.36)
De las ecuaciones anteriores se observa que los vectores E(r), H(r) y
K son perpendiculares entre s´ı. A estas ondas se conocen como ondas
TEM transversal el´ectrico magn´etico
Ejemplo 5 Demostrar que para las OEM planas en diel´ectricos ideales
la relaci´on de las amplitudes del campo el´ectrico y magn´etico es:
E0
H0
=
√
µ
ε

11. 10CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
Soluci´on Considerando la direcci´on del campo el´ectrico en la direcci´on
ˆx, la direcci´on del campo magn´etico en la direcci´on ˆy y la propagaci´on
en la direcci´on del eje z: K = Kz ˆz. Reemplazando (1.27) y (1.30) en
(1.35), tenemos:
Kz ˆz × ˆx E0e−j K·r
= ω µ ˆy H0e−j K·r
Teniendo en cuenta que ˆz × ˆx = ˆy y simplificando:
Kz E0 = ω µ H0
En este caso K = Kz = ω
√
µ ε, entonces:
ω
√
µ ε E0 = ω µ H0 ⇒
E0
H0
=
√
µ
ε
Se define la impedancia intrinseca η del medio, como la relaci´on de la
amplitud del campo el´ectrico y del campo magn´etico:
η =
E0
H0
=
√
µ
ε
(1.37)
Ejemplo 6 Una OEM plana que se propaga en el aire con:
E(r, t) = ˆx 10 cos(ω t − 5 z) V/m
incide en forma normal desde el aire (z < 0) en la frontera plana en
z = 0 de una regi´on de pl´astico (z > 0)con los par´ametros µ = µ0,
ε = 4 ε0 y g = 0
a) obtenga el campo el´ectrico total (en tiempo real) en el aire
b) calcule la densidad de flujo potencia promedio temporal el la regi´on
del pl´astico.
c) La raz´on de onda estacionaria ROE (standing wave ratio SWR)
d) La posici´on del primer m´aximo y del primer minimo
Soluci´on a) Es evidente de (1.12), (1.27) y (1.29) que:
Kz = β0 = ω
√
µ0 ε0 = 5 ⇒ ω =
5
√
µ0 ε0
= 15 × 108
Trabajando con fasores, medio 1:
Ei(r) = ˆx E0 e−j β0 z
onda incidente con E0 = 10
Er(r) = ˆx Er ej β0 z
onda reflejada, a determinar Er

12. 1.4. ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS 11
En el medio 2 tenemos:
Et(r) = ˆx Et e−j β z
onda transmitida, a determinar Et
Los campos magn´eticos ser´an:
Hi(r) = ˆy
E0
η0
e−j β0 z
onda incidente con E0 = 10
Hr(r) = −ˆy
Er
η0
ej β0 z
onda reflejada, a determinar Er
Ht(r) = ˆy
Et
η
e−j β z
onda transmitida, a determinar Et
adem´as
β = ω
√
µ0 4ε0 = 10 η0 =
√
µ0
ε0
≈ 120π η =
√
µ0
4ε0
≈ 60π
Aplicando las condiciones de frontera dadas al inicio:
E1 tot. tang. = E2 tot. tang. H1 tot. tang. = H2 tot. tang.
llegamos a:
E0 + Er = Et y
E0 − Er
η0
=
Et
η
Resolviendo el sistema de ecuaciones y definiendo el coeficiente de re-
flexi´on R y de transmisi´on T:
R =
Er
E0
=
η − η0
η + η0
y T =
Et
E0
=
2 η
η + η0
(1.38)
Expresiones v´alidas solo para dos medios, reemplazando valores obten-
emos:
R = −
1
3
T =
2
3
Er = −
10
3
V/m Et =
20
3
V/m
El campo el´ectrico total en el medio 1 (aire) es:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
− ˆx
10
3
ej 5 z
Para pasar a tiempo real, aplicamos (1.12):
E1(r, t) = ˆx 10 cos(ω t − 5 z) − ˆx
10
3
cos(ω t + 5 z)

13. 12CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
Soluci´on b) De (1.20) llegamos a
⟨S⟩ =
1
2
Re{Et(r) × H∗
t (r)} =
1
2
Re{ˆx Et e−j β z
× ˆy
Et
η
ej β z
} = ˆz
1
2
E2
t
η
⟨S⟩ = ˆz
(20/3)2
2 × 60π
= ˆz 0.1179 watt/m2
Soluci´on c) La raz´on de onda estacionaria ROE se define como:
ROE =
1+ | R |
1− | R |
=
1 + 1/3
1 − 1/3
= 2
Soluci´on d) Como sabemos el campo el´ectrico resultante en el medio
1 es:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
− ˆx
10
3
ej 5 z
Puede escribirse como:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
Tomando el valor absoluto:
| E1(r) |= ˆx | 10 e−j 5 z
||
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
|
| E1(r) |= ˆx 10 |
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
|
La posici´on de los m´aximos ser´a cuando:
10 zmax = −k π k = 1, 3, 5, ...
zmax = −
1
10
k π k = 1, 3, 5, ...
La posici´on del primer m´aximo es:
zmax = −π/10 m.
La posici´on de los m´ınimos ser´a cuando:
10 zmin = −2 k π k = 0, 1, 2, ...
zmin = −
1
5
k π k = 0, 1, 2, ...
La posici´on del primer m´aximo es:
zmin = 0 m.

14. 1.5. LONGITUD DE ONDA, PERIODO 13
1.5 Longitud de onda, Periodo
La longitud de onda lambda es la distancia en la que la fase espacial
experimenta un corrimiento de 2π radianes y puede expresarse como:
λ =
2π
β
m.
El periodo es la inversa de la frecuencia T = 1/f. La relaci´on funda-
mental de las ondas electromagn´eticas es
λf = c
donde c es la velocidad de la luz en el medio
1.6 Velocidad de fase y Velocidad de grupo
La velocidad de fase Vp de una onda plana de frecuencia ´unica, es
la velocidad de propagaci´on de un frente de onda de fase constante.
Cuando la constante de fase es una funci´on lineal de ω que es el caso
de un medio sin p´erdidas, la velocidad de fase representa la velocidad
de la onda.
Vp =
ω
β
velocidad de fase (1.39)
Una senal que transmite informaci´on normalmente tiene un intervalo
de frecuencias (bandas laterales). Est´a senal constituye un grupo de
frecuencias y forma un paquete de ondas. La velocidad de grupo Vg es
la velocidad de propagaci´on de la envolvente del paquete de ondas
Vg =
1
d β/d ω
velocidad de grupo (1.40)
1.7 Polarizaci´on
La polarizaci´on de una OEM plana describe el comportamiento variable
con el tiempo del vector campo el´ectrico en un plano determinado del
espacio.
1.7.1 Polarizaci´on lineal
Es cuando la direcci´on del campo el´ectrico de la OEM varia solo en
una direcci´on; por ejemplo, la siguiente onda, evaluada en el plano XY
(z = 0) ser´a:
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t − β z) = ˆx E0 cos(ω t)

15. 14CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
variando el tiempo, se observa que la direcci´on del campo no cambia
de direcci´on
1.7.2 Polarizaci´on Circular y Eliptica
La polarizaci´on circular (eliptica), es cuando la direcci´on del campo
el´ectrico de la OEM varia formando una circunferencia (elipse)
Ejemplo 9 Indicar la variaci´on de la direcci´on del campo el´ectrico
de la siguiente OEM
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t − β z) + ˆy E0 sen(ω t − β z) (1.41)
Soluci´on El campo el´ectrico en el plano XY (z = 0) es
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t) + ˆy E0 sen(ω t)
Para ω t = 0 la direcci´on del campo es E(r, t) = ˆx E0
Para ω t = π/2 la direcci´on del campo es E(r, t) = ˆy E0
Para ω t = π la direcci´on del campo es E(r, t) = −ˆx E0
Para ω t = 3π/2 la direcci´on del campo es E(r, t) = −ˆy E0
De los resultados anteriores, se puede observar que la amplitud del
campo el ectrico no cambia (radio constante) con lo cual formamos una
circunferencia y la direcci´on cambia en sentido antihorario que cor-
responde al giro de la mano derecha, por tanto, podemos decir que
se trata de una polarizaci´on circular a la derecha (PCD). Si en la ex-
presi´on (1.64) el segundo t´ermino fuera negativo la circulaci´on seria a la
izquierda y si las amplitududes de los t´erminos fuera diferente, en lugar
de una circunferencia tendriamos una elipse. podemos generalizar este
resultado mediante una regla pr´actica. Por ejemplo (1, 64) expresado
como fasor ser´a:
E(r) = E0
(
ˆx − j ˆy
)
e−j β z
(1.42)
El t´ermino entre parentesis indica la polarizaci´on
A ˆx + B ˆy Polarizaci´on lineal (1.43)
A ˆx − j B ˆy A, B > 0 A ̸= B PED A = B PCD (1.44)
A ˆx + j B ˆy A, B > 0 A ̸= B PEI A = B PCI (1.45)
Expresiones validas solamente cuando la propagaci´on es en la direcci´on
Z positiva.

16. 1.8. ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS PLANAS EN MEDIOS DISIPATIVOS15
1.8 Ondas electromagn´eticas planas en medios
disipativos
Ahora el medio est´a caracterizado por µ, ε y g ̸= 0. Por ejemplo el
cobre tiene: µ ≈ µ0, ε ≈ ε0 y g ≈ 5.8 × 107
S/m. Para el agua de
mar µ ≈ µ0, ε ≈ 80ε0 y g ≈ 4 S/m. Ahora cambian las ecuaciones de
Maxwell:
∇ · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.46)
∇ · H(r) = 0 Gauss magn´etico (1.47)
∇ × E(r) = −j ω µ H(r) Ley de Faraday (1.48)
∇ × H(r) = J(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.49)
o
∇ × H(r) = g E(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.50)
Transformando est´a ´ultima ecuaci´on
∇ × H(r) = j ω
(
ε − j
g
ω
)
E(r) ⇒ ∇ × H(r) = j ω εc E(r) (1.51)
donde
εc = ε − j
g
ω
es la permitividad compleja. Ahora las ecuaciones de Maxwell (1.38),
(1.39), (1.40) y (1.43) son similares a (1.21) hasta (1.24), cuya soluci´on
ya se conoce, considerando la soluci´on:
E(r) = E0 e−j K ˆn·r
= E0 e−γˆn·r
= E0 e−(α+j β)ˆn·r
(1.52)
donde, K = K ˆn es el vector n´umero de onda y ˆn es su direcci´on. Con-
siderando la similitud con la soluci´on de las OEM planas en diel´ectricos
ideales (ec. (1.29)), llegamos:
K = ω
√
µ εc = ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
(1.53)
De la ecuaci´on (1.44) llegamos a:
j K = γ = α + j β o K = β − j α (1.54)
Reemplazando (1.45) en (1.46) llegamos a
ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
= β − j α (1.55)

17. 16CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
De est´a ´ultima ecuaci´on obtenemos un sistema de dos ecuaciones:
α2
− β2
= −ω2
µ ε y 2 α β = µ g ω
Resolviendo el sistema de ecuaciones
α =
ω
√
µ ε
√
2
√
1 +
( g
ω ε
)2
− 1 coefic. de atenuaci´on Np/m (1.56)
β =
ω
√
µ ε
√
2
√
1 +
( g
ω ε
)2
+ 1 coefic. de fase rad/m (1.57)
Este es un caso general, un caso particular (diel´ectrico ideal) cuando
g = 0, tenemos:
α = 0 y β = ω
√
µ ε
La impedancia intrinseca, similar a (1.37), ahora es complejo
ηc
=
√
µ
εc
=
√
µ
ε − j g
ω
(1.58)
Ejemplo 7 Demostrar que para las OEM planas en medios disipativos
la relaci´on de las amplitudes del campo el´ectrico y magn´etico (impedan-
cia intrinseca) tambi´en es:
ηc
=
E0
H0
=
ω µ
β − j α
Soluci´on Considerando la direcci´on del campo el´ectrico en la direcci´on
ˆx, la direcci´on del campo magn´etico en la direcci´on ˆy y la propagaci´on
en la direcci´on del eje z: K = Kz ˆz. Reemplazando (1.47) y (1.45) en
(1.35), tenemos:
(β − j α) ˆz × ˆx E0e−j K·r
= ω µ ˆy H0e−j K·r
Teniendo en cuenta que ˆz × ˆx = ˆy y simplificando:
(β − j α) E0 = ω µ H0 ⇒
E0
H0
=
ω µ
β − j α
Tarea Demostrar que la impedancia intrinseca tambi´en est´a dado por
ηc
=
E0
H0
=
√
µ
ε
[
1 +
(
g
ω ε
)2
]1/4
ej 1
2
tan−1
( g
ω ε ) = η∗ ej θ
(1.59)

18. 1.9. CLASIFICACI ´ON DE UN MEDIO 17
Considerando la direcci´on del campo el´ectrico en la direcci´on ˆx, la di-
recci´on del campo magn´etico en la direcci´on ˆy y la propagaci´on en la
direcci´on del eje z. El campo el´ectrico fasorial seg´un () ser´a:
Ex = E0 e−α z
e−j β z
(1.60)
y el campo magn´etico fasorial:
Hy = H0 e−α z
e−j β z
=
E0
η∗ ej θ
e−α z
e−j β z
(1.61)
Los campos electromagn´eticos aplicando (1.12) ser´a:
Ex = E0 e−α z
cos(ω t−β z) Hy =
E0
η∗
e−α z
cos(ω t−β z −θ) (1.62)
1.8.1 Profundidad de Penetraci´on
En un medio conductor la amplitud de la onda decae, se atenua. Cuando
la amplitud de la onda decae en un factor e−1
es hasta donde se con-
sidera la propagaci´on de la onda, esto ocurre cuando
α δ = 1 ⇒ δ =
1
α
m. (1.63)
donde δ es la profundidad de penetraci´on
1.8.2 Resistencia superficial
La resistencia superficial de forma similar a la resistencia que cono-
cemos es proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la
conductividad y a lasecci´on transversal. La resistencia superficial es
proporcional a una longitud unitaria e inversamente proporcional a la
conductividad y la unidad de area
Rs =
1
g δ
=
α
g
(1.64)
1.9 Clasificaci´on de un medio
Podemos clasificar en tres categorias:
Buen conductor cuando g
ω ε
≫ 1
Diel´ectrico con pequenas p´erdidas cuando g
ω ε
≪ 1
Medio disipativo otro caso

19. 18CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
1.9.1 Caso de Buen conductor
Ejemplo 8 Demostrar que cuando g
ω ε
≫ 1 entonces
α = β =
√
π f µ g (1.65)
Soluci´on De (1.48) tenemos:
ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
= β − j α
Transformando
ω
√
µ ε
√
1 − j
g
ω ε
= β − j α
Puesto que g
ω ε
≫ 1 la expresi´on anterior se puede aproximar a:
ω
√
µ ε
√
−j
g
ω ε
≈ β − j α
Simplificando
√
ωµ g
√
−j ≈ β − j α
Sabemos que
√
−j = (1 − j)/
√
2, entonces:
√
ωµ g
2
(1 − j) ≈ β − j α
√
2π f µ g
2
(1 − j) ≈ β − j α
Otras expresiones:
ηc
= (1 + j)
√
π f µ
g
, δ =
1
√
π f µ g
(1.66)
1.9.2 P´erdida de potencia por unidad de ´area
No es d´ıficil demostrar que la p´erdida de potencia por unidad de ´area
PL cuando g
ω ε
≫ 1 es igual a
PL =
1
2
Rs | Htang |2
(1.67)
donde Htang es el campo magn´etico tangencial en la frontera del mate-
rial

20. 1.9. CLASIFICACI ´ON DE UN MEDIO 19
1.9.3 Diel´ectrico con pequenas p´erdidas
Es f´acil demostrar que se cumplen las siguientes relaciones:
α =
g
2
√
µ
ε
, β = ω
√
µ ε, ηc
=
√
µ
ε
(
1 + j
g
2 ω ε
)
(1.68)
Ejemplo 9 Una OEM plana incide desde el aire en forma normal hacia
un material con µr = 1, εr = 55 y g = 10 S/m. La amplitud del campo
el´ectrico incidente es 10 V/m y la frecuencia es 50 MHz. Determine:
a) El coeficiente de reflexi´on y transmisi´on
b) La amplitud de los campos el´ectricos reflejado y transmitido
c) La p´erdida por unidad de a´rea
Soluci´on Primero determinamos la clasificaci´on de un medio (secci´on
1.7)
g
ω ε
=
10
2π × 5 × 107 × 55 × 8.85 × 10−12
= 65.39 ≫ 1
El medio se comporta como buen conductor. Seg´un el ejemplo 8
α = β =
√
π f µ g =
√
π × 5 × 107 × 4π × 10−7 × 10 = 44.43
Calculando las impedancias intrinsecas, medio 1
η1 =
√
µ0
ε0
= 120π en el aire
en el medio 2 aplicamos (1.59)
η2
= (1 + j)
√
π f µ
g
= (1 + j)
√
π × 5 × 107 × 4π × 10−7
10
= 1.98 ej π/4
Aplicando (1.38) del ejemplo 6 tenemos el coeficiente de reflexi´on
R =
η2
− η1
η2
+ η1
≈ 0.99 ej 179.57o
y el coeficiente de transmisi´on
T =
2 η2
η2
+ η1
≈ 0.00105 ej 44.78o
Seg´un (1.38) puede calcularse la amplitud del campo el´ectrico de la
onda reflejada y transmitida
Er = R E0 = 0.99 ej 179.57o
× 10 = 9.92 ej 179.57o

21. 20CAP´ITULO 1. PROPAGACI ´ON DE ONDAS ELECTROMAGN´ETICAS
Et = T E0 = 0.00105 ej 44.78o
× 10 = 0.0105 ej 44.78o
Aplicando (1.60) se c´alcula la p´erdida por unidad de ´area, previamente
calculamos Rs de (1.57):
Rs =
α
g
=
44.43
10
= 4.44
El m´odulo del campo tangencial
| Ht |=
| Et |
| η2
|
= 0.0528
Finalmente las p´erdidas por unidad de ´area
PL =
1
2
Rs | Htang |2
= 0.5 × 4.44 × 0.0528 = 0.00618 watt/m2

22. Contenido
1 Propagaci´on de Ondas Electromagn´eticas 1
1.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ecuaciones de Maxwell Fasorial . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Teor´ıa del flujo de potencia electromagn´etico . . . . . . . 5
1.3.1 Densidad de flujo de potencia promedio temporal 6
1.4 Ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Ecuaci´on de onda fasorial en diel´ectricos ideales . 7
1.4.2 Soluci´on de la ecuaci´on diferencial para las OEM
planas en diel´ectricos ideales . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Ecuaciones de Maxwell para las OEM planas . . . 9
1.5 Longitud de onda, Periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Velocidad de fase y Velocidad de grupo . . . . . . . . . . 13
1.7 Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Polarizaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Polarizaci´on Circular y Eliptica . . . . . . . . . . 14
1.8 Ondas electromagn´eticas planas en medios disipativos . . 15
1.8.1 Profundidad de Penetraci´on . . . . . . . . . . . . 17
1.8.2 Resistencia superficial . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Clasificaci´on de un medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Caso de Buen conductor . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 P´erdida de potencia por unidad de ´area . . . . . . 18
1.9.3 Diel´ectrico con pequenas p´erdidas . . . . . . . . . 19
21