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1. Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Objetivo de Aprendizaje
 Resolver sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras funciones no lineales.
Introducción
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones,
o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los
sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados
con las mismas técnicas.
Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con
sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que
estos ejemplos.
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de
intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y.
Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos
ecuaciones lineales:
Una solución No hay solución Soluciones infinitas
Si las gráficas de las
ecuaciones se intersectan,
entonces existe una
solución para ambas
ecuaciones.
Si las gráficas de dos
ecuaciones no se
intersectan (por ejemplo, si
son paralelas), entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
Si las gráficas de las
ecuaciones son la misma,
entonces hay un número
infinito de soluciones para
ambas ecuaciones.
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo,
encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:
Una solución No hay solución Dos soluciones

2. Si la parábola y la recta se
tocan en un sólo punto,
entonces existe una solución
para ambas ecuaciones.
Si las gráficas de las
ecuaciones no se
intersectan, entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
Si la recta se intersecta con
la parábola en dos lugares,
entonces hay dos
soluciones para ambas
ecuaciones.
No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos,
porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.
Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0
(nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para
un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar),
o 2 (se cruzan en dos lugares).
Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.
Ejemplos
Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones
y

3. Graficar cada
ecuación y localizar
los puntos de
intersección
Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos
determinar la posición exacta de los puntos de
intersección a partir de la gráfica, pero son
aproximadamente (-2,0) y (5,22)
Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil
encontrar la posición exacta.
Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos
los siguientes pasos:
1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil
de despejar).
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable
aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable.
Ejemplo
Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución
y
En este caso, ambas ecuaciones
tienen la variable y despejada, por
lo que las podemos igualar
Restar 3x de ambos lados y restar
7 de ambos lados. Ahora queda
una ecuación cuadrática igual a 0

4. por lo que podemos usar
la fórmula
cuadrática, ,
para encontrar la solución
a = 1, b = -3, y c = -12
Sustituir los valores de a, b, y c en
la fórmula
Simplificar
o
Simplificar un poco más,
recordando evaluar
ambos y .
Evaluar cualquiera de las
funciones con cada x para
encontrar el valor
de ycorrespondiente
Solución
(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)
Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos graficando el sistema,
sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución
exacta!
Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.
Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):
Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.
Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.
y = -4x – 4 y y = -0.25x2
– 4

5. A) una solución
B) dos soluciones
C) no hay solución
D) soluciones infinitas
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas
Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las gráficas de las dos
ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).
Una solución No hay solución
Dos ecuaciones cuadráticas que
tienen sólo un punto en común,
como un vértice compartido, tienen
una solución.
Dos ecuaciones cuadráticas que no
se superponen (no tienen valores
comunes de y) no tienen solución.
Dos soluciones Soluciones infinitas
Dos ecuaciones cuadráticas que se
superponen pero tienen ecuaciones
diferentes tienen dos soluciones
Si las gráficas de las ecuaciones
son la misma, entonces hay un
número infinito de soluciones
válidas para ambas ecuaciones.

6. Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando:
Ejemplo
Problema Resolver el sistema graficando las
ecuaciones
y
Graficar ambas
ecuaciones y
encontrar los
puntos de
intersección
Aproximar las
coordenadas de
los puntos de
intersección
Solución (-3, 9) y (3, 9)
Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son exactas. Un método
algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por ejemplo, podemos resolver un sistema de
ecuaciones cuadráticas por sustitución:
Ejemplo
Problema Resolver el sistema usando el
método de sustitución:
y
En este caso ambas
ecuaciones tienen la
variable y despejada,
por lo que las
podemos igualar
Sumar 2x2
y 6 a
ambos lados para
traer todas las
variables a un lado de
la ecuación

7. Aplicar la fórmula
cuadrática. a = 3, b =
0, y c = 10
Simplificar, notando
que la cantidad
debajo de la raíz
cuadrada es un valor
negativo - este es
el[discriminante] - lo
que significa que no
hay solución y las
gráficas no se
intersectan
Solución no hay solución
Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente, pero podemos ver ambas
gráficas para verificar que no hay solución:
También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones, siguiendo estos pasos:
1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen.
2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que los coeficientes de una de
las variables sean opuestos.

8. 3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra variable.
¿Listo para intentarlo?
Ejemplo
Problema Resolver el sistema usando combinación lineal
y
Alinear las ecuaciones
Como ya hay dos variables
que son opuestas (x2
y –x2
),
podemos sumar las dos
ecuaciones
y = 5 Despejar y dividiendo ambos
lados de la ecuación entre 2
Sustituir y en una de las
ecuaciones para encontrar
los valores de x.
Solución
y
Resolver el sistema: Encontrar los puntos de intersección, si existen, de las dos
ecuaciones siguientes:
A) no hay solución, no hay puntos de intersección
B)
C) (1,-4) y (2, -1)
D) (-2, 13) y (-1, 4)
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser aplicadas para resolver
sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales, como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas.
Sumario

9. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de graficar, sustitución
y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos
soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los
lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.
Inecuación
En matemáticas, una inecuacion es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los
miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si
es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.3
Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las
variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se
conocen como inedecuaciones condicionales.4 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
 Ejemplo de inecuación incondicional: .
 Ejemplo de inecuación condicional: .
Índice
[ocultar]
 1Clasificación
 2Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
 3Sistema de inecuaciones
o 3.1Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
 4Véase también
 5Referencias
 6Bibliografía
Clasificación[editar]
Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: .

 De dos incógnitas. Ejemplo: .
 De tres incógnitas. Ejemplo: .
 etc.
 Según la potencia de la incógnita,
 De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno.
Ejemplo: .
 De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos.
Ejemplo: .
 De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres.
Ejemplo: .
 etc.
Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita[editar]
Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de
cero):

10. 



 a ≠ 0
Sistema de inecuaciones[editar]
Véase también: Programación lineal
La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por unsistema de inecuaciones.
En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones
tienen solución.
Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita[editar]
Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:
La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.
Véase también[editar]
 Ecuación
 Desigualdad matemática
 Sistema de ecuaciones | Sistema de ecuaciones lineales
 Programación lineal
Referencias[editar]
1. Volver arriba↑ González García, p.72.
2. Volver arriba↑ Casteleiro Villalba, p.291.
3. Volver arriba↑ del Pozo García, p.203.
4. Volver arriba↑ Fleming, Varberg, p.137.
Bibliografía[editar]

11.  Walter Fleming, Dale Varberg (1991). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Delta
Publicaciones. ISBN 968-880-222-0.
 Eva María del Pozo García (2004). Matemáticas fundamentales para estudios universitarios. Pearson
Educación. ISBN 84-933631-6-2.
 José Manuel Casteleiro Villalba (2008). La matemática es fácil. Esic. ISBN 978-84-7356-533-2.
 Carlos González García (2008). Matemáticas 1° Bachillerato. Editex.
Categoría:
 Álgebra elemental
¿Inecuaciones no lineales?
POR FAVOR AYUDENME CON ESTOS PROBLEMAS ... 5 ESTRELLAS MEJOR RESPUESTA
x^2 - x - 42 > 0
x^2 - 4x > -3
x^3 - x < 0
x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0
x^2 - 14 x ≤ - 49
x^4 - 3x^3 + 2x^2 > 0
1 seguidor
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Respuestas
Mejor respuesta: x² - x - 42 > 0
Lo primero es factorizar el polinomio, para ello debes igualarlo a cero y obtener las soluciones de la siguiente ecuación:
x² - x - 42 = 0
x1 = 7
x2 = -6
Luego el polinomio quedaría (x-x1)(x-x2)
x² - x - 42 = (x-x1)(x-x2) = (x-7)(x+6)
Tenemos la inecuación
(x-7)(x+6) > 0
Para que un producto de positivo ambos factores deben ser o positivos los dos o negativos los dos.
+ · + = +
- · - = +
Luego los valores para los cuales ambos son negativos son:
]-ºº, -6[ el 6 no está incluido porque hace 0 al miembro x+6
Los valores para los cuales ambos son positivos son:
]7, ºº[ el 7 no está incluido porque hace 0 al miembro x-7
La solución es:
x = ]-ºº, -6[ U ]7, ºº[

12. Los demás se hacen igual. Te dejo las soluciones uno a uno:
x² - 4x > -3
SOLUCIÓN x = ]-ºº, -3[ U ]-1, ºº[
x³ - x < 0
x(x² - 1)< 0
x(x-1)(x+1) < 0
SOLUCIÓN x = ]-ºº, -1[ U ]0, 1[
x³ + 2x² - x - 2 > 0
(x-1)(x+1)(x+2)
SOLUCIÓN x = ]-2, -1[U]1, ºº[
x² - 14 x ≤ - 49
(x-7)(x-7) ≤ 0
SOLUCIÓN x = 7 En este caso será positivo siempre salvo en el punto x = 7 que será 0
x^4 - 3x³ + 2x² > 0
x²(x-1)(x-2) > 0
SOLUCIÓN x = ]0, 1[U]2, ºº[
Te dejo el siguiente enlace por si no te basta con mi explicación: http://es.scribd.com/doc/41231/DESIGUALD...
Aldaris · hace 4 años
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Son muchos ejercicios te voy a esplicar el primero:
x^2 - x - 42 > 0 la inecuacion debe quedar despejada ax^2+bx+c>0
luego factorizamos:
(x+6)(x-7)>0 porque +6-7 =-1 y si multiplicas (+6)(-7)=-42
entonces para que (x+6)(x-7) sea mayor que cero debe ser (+)(+)>0 y (-)(-)>0 en otras palabras y mas facil cada vez que
sea >0 la respuesta la escribes como:
(-∞, x1) u (x2, +∞) para este ejercicio quedaria como:
(-∞, -6) u (+7, +∞) nota que cambian los signos si tienes dudas. ing_luis_roberto@yahoo.com Suerte!!!!!!
Luis · hace 4 años
Resoluciónnumérica de ecuaciones no lineales

13. En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar
las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A
la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función.
Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver la ecuación f − g = 0, es decir, encontrar las
raíces de la función f - g.
Este artículo trata sobre cómo encontrar raíces reales ó complejas, aproximadas por números de punto flotante.
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen
una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos
métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o varias
aproximaciones iniciales.
El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces se estudia en análisis numérico. Funcionan mejor
cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saber que método debemos aplicar, hay que
tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evit ando errores
numéricos graves y orden de convergencia.
Índice
[ocultar]
 1Algoritmos generales para ecuaciones de una variable
 2Véase también
 3Referencias
 4Enlaces externos
Algoritmos generales para ecuaciones de una variable[editar]
Los siguientes métodos son para calcular las raíces reales de una ecuación dada por f(x) = 0 donde se exige al
menos que la función f sea una función continua para garantizar la existencia de solución. La mayoría de métodos
se obtienen de interpolar la función, generalmente mediante un polinomio de primer grado (interpolación lineal) y
despuésaproximar la solución mediante alguna de las raíces del polinomio.
El algoritmo más simple de búsqueda de raíces es el método de bisección. Requiere un intervalo inicial que
contenga alguna raíz de la ecuación (de forma que la función tome en los extremos del mismo valores de distinto
signo; véase el teorema de Bolzano). Dicho intervalo inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se
bisecta) tomándose el intervalo que contiene a la raíz. A pesar de ser un método que siempre converge a una
solución, converge muy lentamente.
El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la
función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si
converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el
número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se
generaliza para problemas de dimensiones más altas.
Reemplazando la derivada del método de Newton por un cociente incremental, obtenemos el método de la secante.
Este método no requiere el cálculo (ni la existencia) de laderivada, pero el precio que se debe pagar es un orden de
convergencia más bajo (aproximadamente 1.6).

14. El método de la regla falsa (o regula falsi) es un método que combina lo mejor del método de bisección y del
método de la secante. El método corta el intervalo en dos partes como en el método de bisección, pero a diferencia
de éste, lo corta por el valor obtenido aplicando el método de la secante a los extremos del intervalo, no siendo
generalmente las partes iguales. El método converge siempre a una raíz de la ecuación, generalmente de forma
más rápida que el método de bisección pero más lenta que el método de la secante.
Finalmente, hay una familia de métodos conocidos como métodos de punto fijo. Estos métodos se basan en
obtener a partir de la ecuación f(x) = 0 una ecuación equivalente de la forma g(x) = x cuya solución se convierta en
un punto fijo de g e iterando a partir de un valor inicial hasta que se alcance.