Sistema de ecuaciones lineales, método gausiana

1. Alumna:
Génesis Petrocelli 24218900

2.  En esta sección se introducen los conceptos
básicos referentes a los sistemas de ecuaciones
lineales. Definiremos cuando una ecuación es
una ecuación lineal y cuando se tiene un sistema
de ecuaciones lineales. La matriz aumentada del
sistema se utilizara para representar
convenientemente el total de la información del
sistema y se describirá como la manipulación de
ella equivale a la manipulación del sistema de
ecuaciones. Asimismo, se introducirá la idea de
la estrategia de eliminación gaussiana.

3.  En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es
un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en
donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o
un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el
siguiente:

4.  Proposición: Un S.E.L. homogéneo siempre
admite la solución: x1 = x2 = ... = xn =0, que
recibe habitualmente el nombre de solución
trivial. Por lo tanto, los sistemas
homogéneos son siempre compatibles.
 Proposición: El conjunto de soluciones de un
sistema homogéneo forma un subespacio
 vectorial del especio Rn. Por esta razón, si un
sistema homogéneo es compatible
indeterminado, admitirá necesariamente innitas
soluciones. Si es compatible determinado,
obviamente admitirá solo la solución trivial.
Esta proposición se convierte en obvia si
interpretamos el sistema como una aplicación
lineal f : Rn → Rm, con f(⃗x) = ⃗0. Las
soluciones son entonces el nucleo de f, Ker f, es
decir un subespacio vectorial de Rn.
 Proposición: Si ⃗α = (α1, ..., αn) es una
solución de un S.E.L. no homogéneo, A·X =
Entonces cualquier vector de la forma ⃗α+⃗β,
siendo ⃗β una solución del sistema homogéneo
asociado: A · X = 0, también será solución del
sistema A · X = B.Ademas, es fácil demostrar
que si ⃗α y ⃗γ son dos soluciones del S.E.L. A·X
= B, entonces
 ⃗α −⃗γ es una solución del sistema homogéneo
asociado. Ambos resultados nos llevan a
concluir que si se conoce una solución concreta
de un sistema A · X = B, entonces todas y cada
una de las soluciones del sistema se obtienen
sumando a dicha solución las soluciones del
sistema homogéneo asociado. En particular,
queda demostrado que un sistema compatible
indeterminado posee necesariamente innitas
soluciones.
 Proposición: Si ⃗α = (α1, ..., αn) es una
solución de un S.E.L. no homogéneo A·X = B1
y ⃗β = (β1, ..., βn) es una solución del S.E.L. no
homogéneo A · X = B2 entonces ⃗α + ⃗β es
solución del S.E.L.: A · X = B1 + B2.

5. Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y
S2 son equivalentes si admiten
exactamente las mismas soluciones. Se
trata obviamente de una relación de
equivalencia, escribiremos así: S1 ∼ S2.
 Transformaciones Elementales
Se llaman transformaciones elementales
en un sistema de ecuaciones lineales a
cualquiera de las siguientes:
 1. Fij : Intercambiar el orden de dos
ecuaciones en el sistema.
 2. Fi(λ): Multiplicar la ecuación i-esima
por el escalar λ.
 3. Fij(λ): Sumar a la ecuación i-esima la
la j-esima multiplicada por λ.
Evidentemente, si escribimos la matriz
ampliada de un S.E.L.: A∗ = (A|B),
tendremos que realizar transformaciones
elementales en el sistema de ecuaciones
lineales se corresponde con realizar las
mismas transformaciones por las en la
matriz A∗.
 Proposición: Si un sistema de
ecuaciones lineales S′ ≡ A′X = B′ se
obtiene a partir de otro S ≡ AX = B,
por medio de un numero nito de
transformaciones elementales
(o alternativamente sus matrices
ampliadas son equivalentes por las),
entonces S y S′ son equivalentes: S ∼ S′.
La reciproca de la proposición anterior
también es cierta si matizamos que dos
sistemas pueden ser equivalentes y sus
matrices tener diferente tamaño (siempre
pueden añadirse un numero adecuado de
ecuaciones nulas a uno de ellos, para que
sus matrices ampliadas respectivas sean
realmente equivalentes por las).

6. Un sistema de ecuaciones lineales puede ser:
 Compatible determinado: sólo tiene una
solución.
 Compatible indeterminado: tiene infinitas
soluciones.
 Incompatible: no tiene solución.

7. La forma matricial de un sistema de
ecuaciones lineales es
donde:
 AA es la matriz que en la fila kk contiene
los coeficientes de las incógnitas de la
ecuación kk.
 XX es la matriz columna con las
incógnitas.
 BB es la matriz columna con los términos
independientes de las ecuaciones.
 A∗A∗ es la matriz
ampliada o aumentada del sistema,
formada por las matrices AA y BB:
Ejemplo
 Se trata de un sistema con 3 ecuaciones
lineales y 3 incógnitas. Su forma matricial
es
 Y su matriz ampliada o aumentada es
 Observad que un sistema queda
determinado por su matriz ampliada (o
cualquier matriz equivalente a ésta).

8. El Método de Gauss es el mas simple de los métodos
directos de resolución de S.E.L., fue inventado por Carl
Friedrich Gauss en la primera década del siglo XIX, aunque
ya aparece descrito en Los nueve capítulos del Arte
Matemático", un tratado chino escrito por diversos autores
desde el siglo X A.E.C. hasta el siglo II A.E.C.
El método consiste en utilizar transformaciones elementales
en el sistema de ecuaciones lineales (o equivalentemente
sobre su matriz ampliada) hasta transformarlo en uno que
sea escalonado (y por tanto su matriz escalonada por filas).
Este proceso convierte en casi-trivial la ultima ecuación, con
lo que se resuelve y se sustituye en las anteriores, que se
van resolviendo progresivamente hasta terminar con la
primera de ellas.

9. Recordad que para resolver un sistema de
ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del
sistema:
 Intercambiar el orden de las ecuaciones.
 Sumar algunas de sus ecuaciones.
 Multiplicar alguna ecuación por un número
distinto de 0.
Esto es precisamente lo que se hace en el método
de Gauss: se modifican las ecuaciones para
obtener un sistema mucho más fácil de resolver,
pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se
hace sobre la matriz ampliada del sistema.

10. Si multiplicamos por 2 todas las ecuaciones del ejemplo anterior, tenemos el sistema
La matriz ampliada de este sistema es
Es decir, es la matriz ampliada del ejemplo anterior pero multiplicada por 2.
Obviamente, multiplicar todas las ecuaciones por 2 no sirve de mucha ayuda. Lo que queremos dar a
entender es que realizar operaciones entre las filas de la matriz ampliada es lo mismo que realizarlas
sobre las ecuaciones del sistema.
El método de eliminación de Gauss consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta hallar
la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene un sistema fácil de resolver por
sustitución hacia atrás.
Si finalizamos las operaciones al hallar la forma escalonada reducida(forma lo más parecida a la matriz
identidad), entonces el método se denomina eliminación de Gauss-Jordan.

11. En los ejemplos veremos que una vez terminado el proceso,
resolver el sistema es directo. Además de esto, veremos que
 Si se obtiene la matriz identidad, el sistema es compatible
determinado (como en el sistema 1).
 Si se obtiene alguna fila de ceros con término independiente
distinto de 0, el sistema es incompatible (como en el sistema 2).
 Si se obtiene alguna fila de ceros y no estamos en el caso
anterior, el sistema es compatible indeterminado (como en el
sistema 3).
Nota: La clasificación de los sistemas según la forma escalonada de
su matriz ampliada se deduce del teorema de Rouché-Frobenius.

12.  Nota: durante el método, seguiremos
llamando A∗A∗ a las matrices obtenidas porque son
equivalentes a la matriz ampliada inicial.
Sistema 1
La matriz ampliada del sistema es
A fila 1 le restamos dos veces la fila 3 y a la fila 2 le restamos la fila
3:
A la fila 1 le restamos la fila 2:
Dividimos la fila 1 entre 3:
A la fila 3 le sumamos la fila 1 y a la fila 2 le restamos dos veces la
fila 1:
Dividimos la fila 2 entre 3:
A la fila 3 le sumamos la fila 2:
Reordenamos las 3 filas:
Ya tenemos resuelto el sistema porque la matriz obtenida es la
solución:
El sistema es compatible determinado.

13.  Sistema 2
 La matriz ampliada del sistema es
 A la fila 2 le restamos dos veces la fila 1 y a la fila 3 le restamos tres
veces la fila 1:
 A la fila 3 le restamos la fila 2:
 El sistema es incompatible (no tiene solución) porque la tercera fila
representa la ecuación imposible o igualdad falsa:

14.  Sistema 3
La matriz ampliada del sistema es
Sumamos a las filas 1 y 2 la fila 3:
A la fila 2 le restamos dos veces la fila 1:
Cambiamos el signo de la fila 3:
Cuando tenemos una fila de ceros, el sistema no es
determinado (hay más incógnitas que ecuaciones). Si el
sistema no es incompatible, entonces es indeterminado.
Tenemos la matriz ampliada del sistema
O bien,
Las soluciones del sistema son
Podéis observar que el sistema tiene infinitas soluciones:
para cada valor de αα hay una solución distinta.
Por ejemplo, si α=2α=2, tenemos la solución
Y si α=3α=3, tenemos la solución

15. Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una
serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de
ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para
resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del
sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una
incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que
se conoce como forma escalonada.
Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del
método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las
ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que
la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz
identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución
hacia atrás para conseguir la solución

16. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el
método Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar
los coeficientes de las variables del sistema de
ecuaciones lineales con la notación matricial, por
ejemplo:
También se le llama matriz aumentada.
Luego de realizado lo anterior procederemos a
transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea
una matriz equivalente a la inicial, de la forma:
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas
de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y
divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones
utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila.
En dicha matriz identidad no vemos los términos
independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz
original alcance la matriz identidad, los términos serán la
solución del sistema y verificarán la igualdad para cada
variable que se corresponderán de la forma siguiente:
• d1 = x
• d2 = y
• d3 = z
Ahora teniendo clara esta base, analicemos
detalladamente este método con un ejemplo concreto.

17. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo
anotaremos en forma matricial:
Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas
columnas y filas de la matriz para así convertirla en la
matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:
Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la
matriz original en el 1 de la primera fila de matriz
identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la
fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos
queda:
A continuación debemos obtener los dos ceros de la
primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo
buscaremos el opuesto de los números que se
encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El
opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5. Hecho esto
multiplicaremos los opuestos de estos números por cada
uno de los elementos de la fila primera y estos se
adicionarán a los números de sus respectivas columnas
Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará
a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los
elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con
el número correspondiente de la columna de la segunda
fila. Veamos el ejemplo:

18. A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos
como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la
cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedaría:
x= 1
y= -1
z= 2
Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como último paso:

19.  El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones, a partir de
un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta
llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez
que se desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los
valores anteriores de las x, también utiliza valores actuales de
las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1). La ecuación es la
siguiente:

20. El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste.
El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar para obtener una cierta
precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi.
Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino
también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las
ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión
siguiente:
El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la
convergencia.
Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de
ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

21.  El método de Gauss-Seidel está basado en el concepto de
punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver
sistemas de ecuaciones lineales.Para garantizar la
convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una
diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad
siguiente, si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede
divergir.

24.  En el mundo de la ingeniería, muchos
fenómenos naturales pueden llevar al campo
de las ecuaciones lineales y a las
aproximaciones de un modelo lineal. No es
importante solamente en la ingeniería, ya que
también se usa en la construcción de
circuitos, en las telecomunicaciones y en la
industria espacial, por esta razón es
importante conocer sus conceptos y
características.

25.  http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/
ma1010-01.pdf
 https://www.webyempresas.com/ecuaciones
-
lineales/#Importancia_y_utilidad_del_algebra_
lineal
 https://matematica.laguia2000.com/general/
metodo-de-gauss-jordan