MATEMÁTICA

1. PROGRAMACIÓN
LINEAL
SESIÓN 08

2. PROGRAMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN.- Se conoce como programación lineal a la técnica de la
matemática que permite la optimización de una función objetivo a
través de la aplicación de diversas restricciones a sus variables. Se
trata de un modelo compuesto, por lo tanto, por una función
objetivo y sus restricciones, constituyéndose todos estos
componentes como funciones lineales en las variables en cuestión.
Tres se consideran sus padres o creadores: el húngaro-
estadounidense John Von Neumann, el profesor norteamericano
George Dantzig y el matemático de origen ruso Leonid Kantoróvich,
que recibió el Premio Nobel de Economía en 1975..
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3. PROGRAMACIÓN LINEAL
Los modelos de programación lineal contemplan que las
variables de decisión (es decir, la función objetivo y las
restricciones) mantienen un comportamiento de tipo lineal. Esto
hace que, a través de su método, se puedan simplificar los
cálculos y obtener un resultado próximo a la realidad.
Además de todo lo expuesto, no podemos pasar por alto
tampoco la existencia de otra serie importante de conceptos
que están en relación a la citada programación lineal. En este
caso, nos estamos refiriendo a tres en concreto:
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4. PROGRAMACIÓN LINEAL
 Solución factible. Bajo esta denominación se encuentra un
recinto, que puede estar acotado o no y que está determinado
por lo que viene a ser el conjunto de las restricciones de todos
los semiplanos. También es conocida por el nombre de región
de validez.
 Solución óptima. Se da en llamar así a lo que es el conjunto de
todos los vértices del recinto. Hay que subrayar además que,
en concreto, esa puede ser mínima o máxima según cada caso.
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5. PROGRAMACIÓN LINEAL
Valor del programa lineal. En este caso, este viene a ser el valor
que la mencionada función objetivo toma en lo que es el vértice
de la solución óptima.
Ejemplo de programación lineal. Supongamos que un
hombre recibe una herencia de 100,000 unidades
monetarias y toma la decisión de invertir el dinero. Su
Su contador le recomienda dos inversiones: comprar
acciones de una compañía petrolera, que tienen un
rendimiento del 5%, y adquirir bonos del Estado, que
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6. PROGRAMACIÓN LINEAL
El hombre decide invertir no más de 80,000 u.m. en las acciones
petroleras y no menos de 15.000 u.m. en los bonos estatales. Por otra
parte, pretende que la inversión en las acciones nunca duplique la
inversión en bonos. Gracias a la programación lineal, puede estimar
cómo distribuir su dinero entre ambas opciones para que sus
inversiones le ofrezcan el mayor beneficio.
El monto a invertir en acciones puede mencionarse como X, mientras
que el monto a invertir en bonos puede nombrarse como Y. Las
restricciones, por otra parte, serán que X no puede tener un valor
superior a 80,000, que Y no puede tener un valor inferior a 15,000 y que
X+Y no pueden superar el valor de 100,000.
Si se trasladan dichas variables a una tabla o a un gráfico, se podrá
saber cuáles son las opciones más rentables para el individuo
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7. PROGRAMACIÓN LINEAL
• El monto a invertir en acciones puede mencionarse como X, mientras
que el monto a invertir en bonos puede nombrarse como Y. Las
restricciones, por otra parte, serán que X no puede tener un valor
superior a 80,000, que Y no puede tener un valor inferior a 15,000 y
que X+Y no pueden superar el valor de 100,000.
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8. PROGRAMACIÓN LINEAL
Ejercicio 1:
Una confitería es famosa por sus dos especialidades de tartas: la
Imperial y la tarta Lima; la tarta Imperial requiere para su
medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 8
tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un
venta de 10 u.m. En el almacén existe 10 kilos de azúcar y 120
a.- ¿Qué combinaciones de especialidades pueden
Plantea el problema y representa gráficamente el
soluciones.
b.- ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de
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Solución:
a.- sea x = número de tartas de tipo Imperial.
e y = número de tartas de tipo Lima.
Se hace la tabla para establecer las restricciones:
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10. PROGRAMACIÓN LINEAL
La función objetivo, que
representa los ingresos por
ventas, y que considerando
las restricciones anteriores
hay que maximizar:
• z = ƒ(x,y) = 8x + 10y
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11. PROGRAMACIÓN LINEAL
Ejercicio 2:
Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500
ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0.50 u.m. el kilo; y las
B a 0.80 u.m. el kilo. El comerciante tiene su furgoneta que dispone
de un espacio de 700 kilos; como máximo; piensa vender el kilo de
tipo A a 0.58 u.m., y el de tipo B a 0.90 u.m. ¿Cuántos kilos de
naranja de cada tipo deberá comprar para obtener un beneficio
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Ejercicio 3:
Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La de tipo A se hace con 1g de oro y 1.5g
y se vende a 25 u.m. La de tipo B se vende a 30 u.m. y lleva 1.5g de oro y 1g
Para la fabricación de las joyas, únicamente se dispone de 750g de cada metal,
joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Solución:

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Ejercicio 4:
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y
auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas
auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar
sus ingresos.
Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión.

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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del
conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la
función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función
objetivo será la solución óptima.

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(0,60) z = 300(0) + 100(60) = 6,000.
(2,60) z = 300(2) + 100(60) = 6,600.
(12,40) z = 300(12) + 100(40) = 7,600.
(20,0) z = 300(20) + 100(0) = 6,000.
(0,0) z = 300(0) + 100(0) = 0.
Solución óptima:
x1 = 12 auditorías
X2 = 40 liquidaciones
z= 7,600

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Ejercicio 5:
Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes
estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a
consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. Los
de mercado han mostrado que:
1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y
de las familias de ingresos medios por comercial.
2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos
al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.
La publicidad en periódico tiene un costo de 500 u.m. por anuncio y la
publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 u.m. por comercial. La meta
obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias

19. PROGRAMACIÓN LINEAL Pregrado
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OBJETIVO: Minimizar los Costos de
publicidad.
Variable de decisión:
x1 = # anuncios por televisión.
x2 = #anuncios por periódico.
Restricciones: Porcentaje de presentación:
Minimizar z = 2000 x1 + 500 x2
Sujeto a:
2 x1 + 3 x2 ≤ 36
3 x1 + 6 x2 ≤ 60
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

20. PROGRAMACIÓN LINEAL Pregrado
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OBJETIVO: Minimizar los Costos de
publicidad.
Variable de decisión:
x1 = # anuncios por televisión.
x2 = #anuncios por periódico.
Restricciones: Porcentaje de presentación:
Minimizar z = 2000 x1 + 500 x2
Sujeto a:
2 x1 + 3 x2 ≤ 36
3 x1 + 6 x2 ≤ 60
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

21. PROGRAMACIÓN LINEAL Pregrado
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Minimizar z = 2000 x1 + 500 x2
(0,10) z = 2000(0) + 500(10) = 5,000.
(12,4) z = 2000(12) + 500(4) = 26,000.
(18,0) z = 2000(18) + 500(0) = 36,000

22. PROGRAMACIÓN LINEAL Pregrado
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Ejercicio 6:
Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para
con una combinación de carne molida de res y carne molida de
carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a
tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de
32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de
de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para
hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido
grasa no mayor de 25 %?.
Minimizar z = 80 x1 + 60 x2
Sujeto a: 20 x1 + 32 x2 ≤ 25
x1 + x2 ≤ 1

23. PROGRAMACIÓN LINEAL Pregrado
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