CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES +Waymer.pptx

UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
CONTINUIDAD DE
FUNCIONES REALES
Mg. Luis Acevedo Tenorio

CONTINUIDAD DE
FUNCIONES REALES
En matemáticas y ciencias utilizamos
la palabra continuo para describir un
proceso que se lleva a cabo sin
cambios abruptos.
Es esta noción de continuo que con
respecto a funciones es la que ahora
se desea precisar.

DE TRUJILLO
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios
y problemas de continuidad de funciones reales,
usando, las propiedades operacionales de la teoría de
límites siguiendo un proceso fundamentado, ordenado
en el tratamiento de los datos y comunica sus
resultados.

CONTINUIDAD
Definición 1.- La función 𝑓 es continua
en el punto 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 si para cada
𝜀 > 0 , existe un 𝛿 > 0 tal que,
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 < 𝜀 siempre que 𝑥 ∈
𝐷𝑜𝑚𝑓 y 𝑥 − 𝑎 < 𝛿

CONTINUIDAD
Definición 2.- La función 𝑓 es continua
en el punto 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 si y sólo si se
cumplen las siguientes condiciones:
i) Existe 𝑓(𝑎), es decir 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 .
ii) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe.
iii) lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en ese
punto

Continuidad
𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝒇 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝒂

CONTINUIDAD
Observaciones:
1) Por la definición dada, solamente tiene sentido analizar la continuidad de
la función 𝑓 en puntos del dominio de 𝑓.
2) No es necesaria la restricción 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 pues al estar 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓,
para 𝑥 = 𝑎 también se cumple que 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 < 𝜀 pues
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 0 < 𝜀 .
3) Si 𝑎 no es un punto de acumulación del 𝐷𝑜𝑚𝑓 entonces 𝑓 siempre es
continua en 𝑎, pues podemos encontrar un intervalo abierto que contiene al
punto 𝑎 y donde no exista otro punto del 𝐷𝑜𝑚𝑓 diferente de 𝑎 de modo que
la condición 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 es satisfecha por el único punto 𝑥 = 𝑎
y tal que 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 0 < 𝜀 para cualquier ε > 0

CONTINUIDAD
Conclusión:
Para que una función 𝒇 sea continua en 𝒂 se debe verifica que:
1) 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 es decir, 𝑓(𝑎) debe estar definido.
2) Si 𝑎 no es un punto de acumulación del 𝐷𝑜𝑚𝑓 entonces 𝑓 ya es continua
en 𝑎 por (3). Por ejemplo si 𝐷𝑜𝑚𝑓 = −4,0 ∪ {2} entonces 𝑎 = 2 no es un
punto de acumulación de 𝐷𝑜𝑚𝑓, y por lo tanto para 𝑓 es continua en 𝑎 = 2.
3) Si 𝑎 es un punto de acumulación del 𝐷𝑜𝑚𝑓, entonces se calcula el limite de
𝑓 en 𝑥 = 𝑎 el cual debe existir y coincidir con 𝑓(𝑎).

CONTINUIDAD
Ejemplo 1:
Determinar si la función 𝑓 es continua en 𝑥 = −2 , donde:
𝑓 𝑥 =
𝑥3+8
𝑥+2
, 𝑥 ≠ −2
12, 𝑠𝑖 𝑥 = −2
Solución
𝑖) 𝑓 −2 = 12. 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
ii) Veamos si lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) existe
lim
𝑥→−2
𝑥3
+ 8
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4)
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑥2
− 2𝑥 + 4 = 12
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 = 12 = 𝑓(−2)
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −2

CONTINUIDAD
Ejemplo 2:
Determinar en que puntos la función 𝑓(𝑥) es continua o
discontinua, si sabe que:
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
8 − 3𝑥, 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 2
𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
Solución
𝑖) 𝑓 1 = 2 1 + 3 = 5 ∈ ℝ
ii) Veamos si lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) existe
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
2𝑥 + 3 = 2 1 + 3 = 5
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 5 = 𝑓(1)
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 1
Estudiemos en 𝑥 = 1
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
8 − 3𝑥 = 8 − 3(1) = 5
⇒ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 5

CONTINUIDAD
Ejemplo 2:
Determinar en que puntos la función 𝑓(𝑥) es continua o
discontinua, si sabe que:
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
8 − 3𝑥, 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 2
𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
Solución
𝑖) 𝑓 2 = 2 + 3 = 5 ∈ ℝ
ii) Veamos si lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) existe
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
8 − 3𝑥 = 8 − 3(2) = 2
∴ 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 2
Estudiemos en 𝑥 = 2
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑥 + 3 = 2 + 3 = 5
⇒ lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = ∄

CONTINUIDAD
Ejemplo 3:
¿Cómo debe definirse la función 𝑓 𝑥 =
7+3
𝑥−3
𝑥−8
, para que sea
continua en 𝑥 = 8
Solución
lim
𝑥→8
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→8
7 + 3
𝑥 − 3
𝑥 − 8
= lim
𝑥→8
( 7 + 3
𝑥 − 3)( 7 + 3
𝑥 + 3)
(𝑥 − 8)( 7 + 3
𝑥 + 3)
= lim
𝑥→8
3
𝑥 − 2
(𝑥 − 8)( 7 + 3
𝑥 + 3)
=
1
(3 + 3)(4 + 4 + 4)
=
1
72
Para que 𝑓sea continua en 𝑥 = 8 , entonces lim
𝑥→8
𝑓 𝑥 = 𝑓(8)
= lim
𝑥→8
(3
𝑥 − 2)(
3
𝑥2 + 23
𝑥 + 4)
(𝑥 − 8)( 7 + 3
𝑥 + 3)(
3
𝑥2 + 23
𝑥 + 4)
= lim
𝑥→8
1
( 7 + 3
𝑥 + 3)(
3
𝑥2 + 23
𝑥 + 4)
⇒ 𝑓 𝑥 =
7 + 3
𝑥 − 3
𝑥 − 8
, 𝑥 ≠ −8
1
72
, 𝑠𝑖 𝑥 = 8

CONTINUIDAD
Ejemplo 4:
Hallar el valor de K que hace que la función 𝑓 𝑥 =
3𝑥 + 7, 𝑥 ≤ 4
𝐾𝑥 − 1, 𝑥 > 4
,sea continua en todo 𝑥 ∈ ℝ
Solución
i) 𝑓 4 = 3 4 + 7 = 19
ii) Para que 𝑓 𝑥 sea continua en 𝑥 = 4, debe cumplirse que los limites laterales en 𝑥 = 4 sean iguales
lim
𝑥→4+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→4+
𝐾𝑥 − 1 = lim
𝑥→4−
(3𝑥 + 7)
𝐾 4 − 1 = 3 4 + 7
4𝐾 = 20 ⇒ 𝐾 = 5

CONTINUIDAD
Ejemplo 5:
Hallar los valores de 𝐶 y K que hace que la función 𝑓 𝑥 =
𝑥, 𝑥 ≤ 1
𝐶𝑥 + 𝐾, 1 < 𝑥 < 4
−2𝑥, 𝑥 ≥ 4
,sea continua en todo 𝑥 ∈ ℝ
Solución C=-3,
K=4
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑥+
𝑓 𝑥 ∧ lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥)

TIPOS DE DISCONTINUIDAD
Discontinuidad evitable o removible:
Un punto 𝑎 ∈ ℝ se dice que es de discontinuidad removible o evitable si se cumple alguna de las siguientes
condiciones
1) 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y existe 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), pero 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 𝑎
2) 𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y existe 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥).

Discontinuidad inevitable o esencial :
Un punto 𝑎 ∈ ℝ se dice que es de discontinuidad esencial o inevitable si se cumple que:
1) 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y no existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), donde los límites laterales si existen pero 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎´−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)
2) 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞, (𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 + ∞ 𝑜 − ∞).

POLO de f:
Un punto 𝑎 ∈ ℝ se dice que es de discontinuidad llamada POLO o inevitable de segunda especie si se cumple
que:
𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
1
𝑓(𝑥)
= 0

Ejemplo
Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
, estudiar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 0
Solución
i.- f 0 = 0
ii.- Como lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→0−
−𝑥
𝑥
= −1 𝑦 lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= +1 se
tiene que
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) no existe.
Como no se cumple la condición 2 , se tiene que 𝑓 es
discontinua en 𝑥 = 0 y ya que el limite no existe, la
discontinuidad en 𝑥 = 0 es esencial.

Ejemplo
Estudiar la continuidad de 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
2𝑥+8
𝑥2+3𝑥−4
. Determinar los puntos de discontinuidad e identificar
el tipo de discontinuidad y cuando sea posible redefina la función de manera que sea continua.
Solución
La función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
no esta definida en 𝑥 = −4 y en 𝑥 = 1 , en consecuencia 𝑓 es
discontinua en dichos puntos.
Análisis del tipo de discontinuidad
En 𝑥 = −4
lim
𝑥→−4
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→−4
2(𝑥 + 4)
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→−4
2
𝑥 − 1
= −
2
5
Por lo tanto, en 𝑥 = −4 se tiene una discontinuidad removible
⇒ 𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 8
𝑥2 + 3𝑥 − 4
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −4
−
2
5
, 𝑠𝑖 𝑥 = −4

En 𝑥 = 1
lim
𝑥→1+
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
=
10
5 0+
=
10
0+
= +∞
lim
𝑥→1−
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
=
10
5 0−
=
10
0−
= −∞
Por lo tanto, en 𝑥 = 1 se tiene una discontinuidad esencial.

Sea 𝜆 una constante y sean 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones continuas en 𝑥 = 𝑎
entonces
a.- 𝑓 + 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎
b.- 𝑓 − 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎
c.- 𝜆𝑓 continua en 𝑥 = 𝑎
d.- 𝑓. 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎
d.-
𝑓
𝑔
es continua en 𝑥 = 𝑎 siempre que 𝑔(𝑎) ≠ 0
TEOREMA 1

OBSERVACION
Los recíprocos del teorema 1 no se cumplen, ello se muestra en el siguiente ejemplo:
EJEMPLO
Las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por:
𝑓 𝑥 =
0, 𝑥 ≤ 0
1, 𝑥 > 0
y 𝑔 𝑥 =
1, 𝑥 ≤ 0
0, 𝑥 > 0
son discontinuas en 𝑥 = 0 , sin embargo la función 𝑓 + 𝑔 definida por
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 1 ∀𝑥𝜖ℝ
es continua en ℝ.

CONTINUIDAD DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
1. Como una función polinomial esta constituida por multiplicación y adición de la
función identidad y de funciones constantes y estas funciones son continuas sobre el
intervalo −∞, +∞ entonces por el teorema 1, se tiene por inducción que cualquier
función polinomial es continua sobre el intervalo −∞, +∞ .
2. Una función racional es una función que se expresa como el cociente de dos
funciones polinómicas. Por el teorema 1 se tiene que una función racional es
continua en todos los puntos excepto en aquellos puntos que anulan el denominador.
3. Las funciones trigonométricas son continuas en todos los puntos que están definidas.
4. La función raíz n-esima definida por 𝑓(𝑥) = 𝑛
𝑥 es continua sobre todo su dominio.

CONTINUIDAD DE 𝑓 EN UN INTERVALO
3 Definición. Una función 𝑓 es continua en un intervalo abierto 〈𝑎, 𝑏〉 si es
continua en cada punto de ese intervalo.
4 Definición. Una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es
continua en 〈𝑎, 𝑏〉 continua por la derecha en 𝑎 y continua por la izquierda
en 𝑏.

Ejemplo: Determinar la continuidad de la función 𝑓 𝑥 =
|𝑥−2|
𝑥−2
en el intervalo [0, 4]
Solución
La función 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 2, pues para
𝑥 > 2 ⇒ lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2+
𝑥 − 2
𝑥 − 2
= 1
𝑥 < 2 ⇒ lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2−
−(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= −1
Sin embargo 𝑓 es continua sobre el conjunto 𝐴 = [0,2〉 ⊂
𝐷𝑜𝑚𝑓 y también sobre el conjunto 𝐵 = 〈2, 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚𝑓,
por que se cumple las condiciones de la definición.
Además vemos que si 𝑆 = [0, 2〉 ∪ 〈2,4]. La función es
continua sobre cada punto de 𝑆. En consecuencia 𝑓 es
continua en 𝑥 ∈ [0,2〉 ∪ 〈2,4]

De manera intuitiva , que la función 𝑓 sea continua en 𝑎, 𝑏 , significa que la grafica de 𝑓 en 𝑎, 𝑏 no tiene
saltos ,por ello debemos ser capaces de dibujar la grafica de 𝑓 desde el punto 𝑎, 𝑓(𝑎) al punto 𝑏, 𝑓(𝑏)
sin levantar el lápiz del papel.
En consecuencia, la función 𝑓 toma todos los valores entre 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑏 .
Esta propiedad se establece en el siguiente teorema llamado teorema del valor intermedio.
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
TEOREMA 2 (TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO)
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y si 𝑘 es un número real tal que 𝑓 𝑎 < 𝑘 < 𝑓(𝑏)
entonces existe un número 𝑐 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑘.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Geométricamente, este teorema dice que cualquier recta horizontal 𝑦 = 𝑘 que
está comprendida entre las rectas horizontales y = 𝑓(𝑎) e 𝑦 = 𝑓 𝑏 debe cortar
al gráfico de 𝑓 en por lo menos un punto 𝑐, 𝑓(𝑐) , donde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 .

Ejemplo
Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que la ecuación 𝑥3
+ 3𝑥 − 5 = 0 tiene una raíz entre 1 y 2.
Solución
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 3𝑥 − 5 = 0 por ser una función polinómica es continua en todo ℝ y en particular es
continua en el intervalo cerrado 1,2 .
Evaluamos la función en los extremos del intervalo 1,2
𝑓 1 = 1 + 3 − 5 = −1 y 𝑓 2 = 8 + 6 − 5 = 9
La función f cambia de signo en los extremos del intervalo 0,1
Luego,
𝑓 1 < 0 < 𝑓(2)
Por el teorema del valor intermedio con K =0 , existe un 𝑐 ∈ 1,2 , tal que 𝑓 𝑐 = 0.
En consecuencia , la ecuación tiene al menos una raíz en el intervalo 1,2

Ejemplo
Demostrar la existencia del número 2
Solución
TEOREMA 3 (TEOREMA DEL CERO)
Si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y si 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tiene signos opuestos entonces
existe un número 𝑐 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉 tal que 𝑓 𝑐 = 0.
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2 es continua en el intervalo [1, 2], donde
𝑓 1 = −1 y 𝑓 2 = 2 y por el teorema del cero, existe un 𝑐 ∈ 〈1, 2〉
tal que
𝑓 𝑐 = 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑐2 − 2 = 0
Que es la ecuación que define precisamente al número 𝑐 = 2

TEOREMA 4 (TEOREMA DE LA ACOTACION GLOBAL)
Toda función continua definida en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 esta acotada en 𝑎, 𝑏 , es decir, existe una
constante 𝐾 > 0 tal que
𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 ,∀𝑥𝜖 𝑎, 𝑏 .
TEOREMA 5 ( TEOREMA DE WEIERSTRASS )
Toda función continua definida en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 alcanza en 𝑎, 𝑏 su valor máximo y su valor
mínimo.

Ejemplo: Aplicación de continuidad
En una práctica de química se ha medido la temperatura de una sustancia durante el transcurso de
una reacción que dura 24 horas. Las medidas obtenidas se ajustan a la función 𝑇(𝑡), donde 𝑡 es el
tiempo en horas. Estudie si la temperatura es una función continua.
𝑇(𝑡) =
𝑡2 − 11𝑡 − 2, 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 12
2𝑡 − 14, 𝑠𝑖 12 < 𝑡 < 15
64 −
16
5
𝑡, 𝑠𝑖 15 ≤ 𝑡 < 24
Solución
Veamos la continuidad en t= 12
𝑇 12 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ∴ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑇 𝑡 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡 = 12
Estudiemos la continuidad de la temperatura cuando 𝑡 = 15
i) 𝑇 15 = 64 −
16
5
15 = 16
𝑖𝑖) lim
𝑡→15−
𝑇 𝑡 = lim
𝑡→15−
2𝑡 − 14 = 16 lim
𝑡→15+
𝑇 𝑡 = lim
𝑡→15+
64 −
16
5
𝑡 = 16 ⇒ lim
𝑥→15
𝑇 𝑡 = 16
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑡→15
𝑇 𝑡 = 16 = 𝑇(15)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇 𝑡 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡 = 15

Ejemplo: Aplicación de continuidad
Un comerciante vende un determinado producto, y por cada 𝑞 unidades cobra la siguiente cantidad:
𝐶(𝑞) =
5 𝑞, 𝑠𝑖 0 < 𝑞 ≤ 10
𝑎𝑞2 + 500, 𝑠𝑖 𝑞 > 10
. Halle el valor de 𝑎 para que el precio varíe de forma continua al
variar el número de unidades que se compran.
Solución
La función 𝐶 𝑞 es continua, entonces los limites laterales en 𝑞 = 10 deben ser iguales

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