1. FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
LUNES 26 DE ENERO DEL 2015
MATEMATICA 2
INTEGRANTES:
Mirian Tipán
Priscila Zapata
Edison Vargas
Geovanny Guamán

2. TEOREMAS O CRITERIOS DE CONVERGENCIAS O
DIVERGENCIA DE UNA SERIE
OBJETIVO GENERAL
 Analizar las series y su respectivas convergencias y divergencias basados en
los teoremas y criterios que se plantean en el siguiente informe,
profundisando los conocimientos adquiridos anteriores al tema.
OBJETIVO ESPECIFICO
1. Utilizar todos los conocimientos aprendidos en clases anteriores para poder
solucinar problemas propuestos referentes a series
2. Desarrollar ejercicios propuestos para favorecer el aprendisaje del tema y
llegar a la coprencion absoluta
3. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas
adquiridas
4. Usar correctamente el lenguaje matemático de manera clara, concisa,
precisa y rigurosa
INTRODUCCION
SERIES
Una serie es la adición de todos los terminos de la sucesio (an) y se denota
mediante el símbolo
an
∞
𝑛=1
También podemos usar las siguientes notaciones:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
=
lim 𝑛→∞ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +
𝑎𝑛 … =lim 𝑛→∞ 𝑎𝑘∞
𝑘=1
Ademas de la suma: a1+a2+a3+…..+an; denominaremos n- ésima suma parcial de la
serie y la denotaremos por Sn
Ejemplo:
 A partir de la sucesión: {an}: 1/2; 1/4; 1/8; … ; 1/2n
; …

3.  Construimos la serie:
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2 𝑛
+ ⋯ =
1
2 𝑛
∞
𝑛=1
 Luego:
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2 𝑛
+ ⋯ = 𝑠 𝑛
Se denomina n- ésima suma parcial
Clasificación:
 Las series que tienen todas sus sumandos,positivos se denominan series de
terminos positivos.
 Las que los tienen altenativamente positivos y negativos, se denominan
series alternadas
 Aquellas en el orden de aparicion de los terminos positivos y negativos es
arbitrario se denominan serie de terminos cualesquiera
CONVERGENCIA
En matemática, la convergencia es una propiedad de ciertas sucesiones. Es la unión
de dos o más cosas que confluyen en un mismo punto.
Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente (todos los
elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.)
DIVERGENCIA
Es el Alejamiento progresivo entre sí de dos o más líneas o superficies. Es
diferente a la convergencia.
Se dice que la Serie divergente es una serie infinita que no es convergente, ósea
que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite.
La serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero, es una serie
divergente.
TEOREMA 1
Si lim⁡
𝑛→∞
an ≠ 0 entonces ∞
𝑛=1 an es divergente
Ejemplo:
∑
𝒏 𝟐
𝟐𝒏 𝟐−𝟓
=

4. lim⁡
𝑛→∞
𝑛2
2𝑛2−5
=
1
2
≠ 0 ↔ Divergente
 Este límite se resuelve aplicando hoopital para levantar la indeterminada
derivo arriba y abajo
𝟐𝒏
𝟒𝒏
=
𝟏
𝟐
TEOREMA 2
DENOMINADO COMO SERIE ARMÓNICA
Sea una serie de tipo:
1
𝑛 𝑝
∞
𝑛=1
Cumple las siguientes condiciones:
 Si p>1 entonces
1
𝑛 𝑝
∞
𝑛=1 es convergente
 Si p ≤ 1 entonces
𝟏
𝒏 𝒑
∞
𝑛=1 es divergente
Ejemplo:
∞
𝒏=𝟏 𝒏 𝟐
Donde la serie equivale a
𝟏
𝒏−𝟐
∞
𝑛=1
 El cual -2 es el valor de p por ende la serie cumple la segunda condición:
-2 ≤ 1 entonces ∞
𝒏=𝟏 𝒏 𝟐
por lo tanto es divergente
TEOREMA 3
SERIE GEOMÉTRICA
Sea 𝑎. 𝑟 𝑛∞
𝑛=1 una sucesión geométrica de termino a y razón r, se llama serie
Geométrica a la sucesión de sumas parciales.
Donde a ≠ 0 y (a,r)ϵ R
Por lo cual cumple las siguientes condiciones:
1. Si -1<r<1 entonces 𝒂. 𝒓 𝒏∞
𝑛=1 se dice que es convergente

5. 2. Si r ≤ -1 y r ≥ 1 entonces 𝒂. 𝒓 𝒏∞
𝑛=1 se dice que es divergente
Ejemplo:
𝟐
𝟑 𝒏
∞
𝒏=𝟏 Donde la serie equivale a ∞
𝒏=𝟏 𝟐
𝟏
𝟑
𝒏
Donde
𝟏
𝟑
es el valor de r y 2 es el valor de a.
Lo cual cumple la primera condición:
-1 <
𝟏
𝟑
< 1 entonces
𝟐
𝟑 𝒏
∞
𝒏=𝟏 es convergente
TEOREMA 4
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el
intervalo
[1, +∞) tal que f(n) = an para toda n, entonces:
 𝒂 𝒏 es convergente si y sólo si es finita.
 𝒂 𝒏 es divergente si y sólo si es infinito (-∞,+∞)
Se cumplen las siguientes condiciones:
a) Debe ser decreciente an en el intervalo de [1, +∞).
b) Donde el 𝐥𝐢𝐦⁡
𝒏→∞
an =0
c) Que se pueda integrar
EJEMPLO:

6. TEOREMA 5
CONVERGENCIA ABSOLUTA
Si 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 converge ─› la 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 es convergente
Ejemplo:
𝑠𝑒𝑛 (𝑛 4)
𝑛4+1
=∞
𝑛=1 Es convergente
0 <
𝑠𝑒𝑛 (𝑛 4
)
𝑛4 + 1
≤
1
𝑛4 + 1
<
1
𝑛4
=
1
𝑛2
1
𝑛2 Convergente
Toda serie absolutamente convergente es convergente
TEOREMA 6
PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

7. Si lim 𝑛→∞
𝑎 𝑛 +1
𝑎 𝑛
= 𝐿
L = 1 FALLA
L > 1 𝑎 𝑛 ES DIVERENTE
L < 1 𝑎 𝑛 CONVERGENTE
Ejemplo:
𝑛
2 𝑛
=
∞
𝑛=1
lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
2 𝑛+1
𝑛
2 𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
2 𝑛+1
𝑛
2 𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)(2 𝑛
)
(2 𝑛+1)(𝑛)
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)
2𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
2𝑛
= lim
𝑛→∞
1
2
=
1
2
1
2
< 1 →
𝑛
2 𝑛
∞
𝑛=1 Convergente
TEOREMA 7
CRITERIO DE LA RAÍZ
Si lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛
𝑛
= 𝐿
L = 1 FALLA
L > 1 𝑎 𝑛 ES DIVERENTE
L < 1 𝑎 𝑛 CONVERGENTE
Ejemplo:
1
(ln 𝑛 ) 𝑛
=
∞
𝑛=1
lim
𝑛→∞
1
(ln 𝑛 ) 𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
ln⁡(𝑛)
𝑛𝑛
= lim
𝑛→∞
1
ln⁡(𝑛)
=
1
ln⁡(∞)
= 0
0 < 1 →
1
(ln 𝑛 ) 𝑛
∞
𝑛=1 Convergente