1 9 i sucesiones y series

Sucesiones Numéricas
• Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
En lugar de utilizar la notación funcional de costumbre f(n), una
sucesión se denota usualmente por el símbolo {an}.
𝑎 𝑛 = 3𝑛 + 2 𝑛 ≥ 1 1,5 2,8 3,11 4,14 …
𝑎1 = 5 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 25 𝑛 ≥ 2 1,5 2,30 3,55 4,80 …

• Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.






n
1
1,1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 …

 2n
1,3 2,4 3,5 4,6 …







2
n
Cos 1, 1 2,0 3, −1 4, 0 5, 1 …

 1
)1( 
 n (1,1)(2, −1)(3, 1)(4, −1) … .






 
2
2
1
n
n
(1,0)(2, 3 4)(3, 8 9)(4, 15 16) … .

Definiciones: 𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∀𝑛: 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1
𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∀𝑛: 𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1
𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∀𝑛: 𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1
𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∀𝑛: 𝑎 𝑛 > 𝑎 𝑛+1
𝐴𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∃𝑀 ∈ 𝑅 ∕ ∀𝑛: 𝑎 𝑛 ≤ 𝑀
𝐴𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∃𝑀 ∈ 𝑅 ∕ ∀𝑛: 𝑎 𝑛 ≥ 𝑀
Sucesion a𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 ∃𝐾 ∈ 𝑅+
∕ ∀𝑛: 𝑎 𝑛 ≤ 𝐾

• Convergencia: Se dice que una sucesión {an} converge a un número L, si para todo
𝜀>0 existe un número entero positivo N tal que: |an-L|< 𝜀 siempre que n>N.
• (La vecindad de L contiene todos los elementos de la sucesión a partir del N)
• Cualquier vecindad de L contiene infinita cantidad de elementos de la sucesion
• Si {an} es una sucesión convergente la definición anterior significa que los números
an se pueden acercar arbitrariamente a L para n suficientemente grande. Indicamos
que una sucesión es convergente, escribiendo:
Cuando este límite no existe se dice entonces que la sucesión es divergente.
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿
Definiciones:

Algunas propiedades:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿1 lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐿2
lim
𝑛→∞
𝑘 = 𝑘
lim
𝑛→∞
𝑘𝑎 𝑛 = 𝑘 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑘𝐿1
lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛±𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 ± lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐿1 ± 𝐿2
lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐿1 𝐿2
lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛/𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 / lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 =
𝐿1
𝐿2
𝑠𝑖 𝐿2 ≠ 0
Entonces:
Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes y sean
Si k=cont

 Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. Además el límite coincide
con el ínfimo del conjunto de los términos de la sucesión.
𝑎 𝑛 =
𝑛
𝑛+1
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 … . .
𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1 𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1
 Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, es único.
 Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, no siempre es verdadero.
 Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente. Además el límite coincide con el supremo
del conjunto de los términos de la sucesión.
𝑎 𝑛 < 1 𝐴𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑎 𝑛−1 < 𝑎 𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎 𝑛 < 2 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑎 𝑛 =
3𝑛2 + 2
2𝑛 − 1
=
𝑛
𝑛
3 + 2 𝑛2
2 − 1 𝑛
→
3
2
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎 𝑛 =
𝑛100
𝑒 𝑛 lim
𝑛→∞
𝑛100
𝑒 𝑛 = lim
𝑛→∞
100𝑛99
𝑒 𝑛 = ⋯ =
100!
𝑒∞ = 0
𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛
𝑛
𝑛 + 2
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑎𝑑𝑜:
𝑆𝑖 𝑎 𝑛 𝑦 𝑐 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 𝐾 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 ≤ 𝑐 𝑛 → 𝑏 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Divergente
𝑎1 = 1, 𝑎 𝑛+1 = 1 +
𝑎 𝑛
2 1,
3
2
,
7
4
,
15
8
,
31
16
,
63
32
…
𝑏 𝑛 =
cos(𝑛𝜋)
𝑛
𝑎 𝑛 = −
1
𝑛
≤
cos 𝑛𝜋
𝑛
≤
1
𝑛
= 𝑐 𝑛 → 𝑏 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑆𝑖 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 − 𝑎 𝑛 → 0 − 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
𝑆𝑖 𝑝 > 0 𝑎 𝑛 =
1
𝑛 𝑝
1,
1
2 𝑝
,
1
3 𝑝
,
1
4 𝑝
, … → lim
𝑛→∞
1
𝑛 𝑝
= 0
𝑆𝑖 𝑝 > 0 𝑎 𝑛 =
ln(𝑛)
𝑛 𝑝 →
1 𝑛
𝑝𝑛 𝑝−1 =
1
𝑝𝑛 𝑝 → 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑛→∞
ln(𝑛)
𝑛 𝑝 = 0
𝑆𝑖 𝑎 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑛
→ 0
𝑆𝑖 𝑎 ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑛→∞
1 +
𝑎
𝑛
𝑛
= 𝑒 𝑎

Denominamos Serie a la sucesión de sumas 𝑠 𝑛 donde cada elemento es obtenido a partir
de la la suma de n elementos de una sucesión de números reales, {an} :
Series Numéricas
Definiciones:
𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 … 𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘
Se dice que la serie 𝑠 𝑛 = 𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, divergente u oscilante según que la sucesión de sumas
parciales {sn} sea convergente, divergente u oscilante.
𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒:
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = 𝐿 =
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 = +∞
El carácter de una serie no se altera si se suprimen un número finito de sumandos
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = −∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 = −∞

Restamos (2)-(1) :
Series Numéricas
Serie geométrica: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑞 ∈ 𝑅 𝑠0 = 𝑎, 𝑠1 = 𝑎 + 𝑎𝑞, 𝑠2 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2, … , 𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎𝑞 𝑘
Elemento n de la serie geométrica (suma de n elementos): 𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎𝑞 𝑘 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 + ⋯ + 𝑎𝑞 𝑛 (1)
𝑞𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎𝑞 𝑘+1 = 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 + 𝑎𝑞3 + ⋯ + 𝑎𝑞 𝑛+1 (2)
𝑞𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑛 = 𝑠 𝑛 𝑞 − 1 = 𝑎𝑞 𝑛+1 − 𝑎 = 𝑎 𝑞 𝑛+1 − 1 → 𝑠 𝑛 =
𝑎 𝑞 𝑛+1−1
𝑞−1
Elemento n de la serie
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 3, 𝑞 = 2 𝑠5 =
3 26
− 1
2 − 1
=
3(63)
1
= 189
Multiplicamos por q:
Suma de la serie geométrica: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞 ≥ 1 lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = ∞ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞 < 1 lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 =
𝑎
1 − 𝑞

Si 𝑞 < 1 entonces a + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2
+ 𝑎𝑞3
+ ⋯ = 𝑛=0
∞
𝑎𝑞 𝑛
=
𝑎
1−𝑞
Si 𝑞 > 1 𝑜 𝑞 = 1 entonces 𝑛=0
∞
𝑞 𝑛
es divergente.
Si 𝑞 = −1 la serie es oscilante (diverge) 𝑛=0
∞
𝑞 𝑛
= −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
Ejemplo: 𝑛=0
∞ 1
2
𝑛
𝑞 =
1
2
→ 𝑛=0
∞ 1
2
𝑛
=
1
1−1 2
= 2
Series Numéricas
Serie geométrica:



 1 1n n
n


1
1
n n
𝑠 𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ ⋯ +
1
𝑛
≥1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+ ⋯ +
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ +→ ∞
Series Numéricas
Propiedades de las series:
Si una serie converge entonces su termino general tiende a cero: 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
Condición necesaria de convergencia (no suficiente). Ej: diverge.
Lo contrario no siempre es verdad. Ej (serie armónica):
La serie armónica es divergente a pesar de que el limite lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0.
1
1

n
n
≠ 0
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 … … .











1111
·)·()(
n
n
n
nn
n
n
n
n lamlbaentoncesmbyla 
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 3
1
6
𝑘
− 2
1
5
𝑘
= 3
1
6
𝑘
− 2
1
5
𝑘
= 3
1
6
1 −
1
6
− 2
1
5
1 −
1
5
=
1
10
La serie llamada serie armónica generalizada.

1
1
n n
Para 𝛼 > 1 usaremos el criterio de la integral:
1
∞
1
𝑛 𝛼
𝑦
1
∞
1
𝑥 𝛼
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Series Numéricas
Propiedades de las series:
Para 𝛼 = 1 es la serie armónica diverge.
Para 0 < 𝛼 < 1, > 𝑛=1
∞ 1
𝑛
la suma es siempre mayor que la serie armónica, diverge.

1
1
n n
1
∞
1
𝑥 𝛼
𝑑𝑥 =
1
1 − 𝛼
−1 =
1
𝛼 − 1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛
𝑛 + 200
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 19
𝑛!
𝑛 + 200
ln(𝑛)
2 𝑛
ln(𝑛)
2 𝑛 <
𝑛
𝑛3 =
1
𝑛2 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos no Negativos
Si se verifica que: 0 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 entonces: 

1n
nb


1n
naSi diverge entonces también diverge


1n
na

1n
nbSi converge entonces también converge.
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
→
𝑛
𝑛 + 200
1
𝑛
<
𝑛
𝑛 + 200
→
𝑛!
𝑛 + 200
𝑛
𝑛 + 200
<
𝑛!
𝑛 + 200

𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 3
𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 3
1
𝑛
→ 1 > 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
3𝑛 + 1
𝑛3 − 4
3𝑛 + 1
𝑛3 − 4
1
𝑛2
→ 3 > 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Series Numéricas
l
b
a
n
n
n


lim

1n
na 

1n
nbSean y dos series con términos positivos tales que:
 lyl 0Si las dos series convergen o divergen simultáneamente:
0l 

1n
nb 

1n
naSi y la serie converge, entonces también converge


1n
nbl 

1n
naSi y la serie diverge, entonces también diverge

Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos no Negativos Criterio de la raíz:


1n
na lan
n
n


limSea una serie con términos positivos tal que 10  lSi la serie es convergente
1lSi la serie es divergente 1lSi el criterio no decide
l
a
a
n
n
n


1
lim

1n
naSea una serie de términos positivos tal que 1lSi la serie es convergente
1lSi la serie es divergente 1lSi el criterio no decide

Series Numéricas

𝑓 𝑘 =
1
1+𝑘2 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 𝑠5 = 𝑎6 + 𝑎7 + ⋯ <
5
∞
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
∞
5
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑡𝑔(5) ≅ 0.1974
Series Numéricas
Propiedades de las series: Error de aproximación para la suma de una serie.
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos positivos. Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la serie, entonces el
error de aproximación será:
𝐸 𝑛 = 𝑠 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 + 𝑎 𝑛+2 + ⋯ <
𝑛
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 𝑘 = 𝑎 𝑘
Siempre que f(x) sea continua y no creciente en 𝑛, ∞ .
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝑘=1
∞
1
1 + 𝑘2
𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 5 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
𝑠10 = 𝑎11 + 𝑎12 + ⋯ <
10
∞
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
∞
10
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑡𝑔(10) ≅ 0.09967

Se verifica que la serie alternada es convergente.
0...321  aaa
0;...)1(
1
321 


n
n
n
n
aaaaa




1
)1(
n
n
n
a
Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos Arbitrarios(Series alternadas)
Criterio de Leibniz:
Modelo de serie alternada:
Sea {an} una sucesión monótona decreciente de números no negativos, es decir,
Y además, convergente a cero. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
por lo tanto converge.
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1
ln 𝑛
𝑛
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 lim
𝑛→∞
ln 𝑛
𝑛
= 0
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 2
3𝑛+1
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 lim
𝑛→∞
2
3𝑛+1
= 0 → converge.

Series Numéricas
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos alternantes 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 𝑎 𝑛 . Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la
serie.
𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑠1 − 𝑎2 𝑠3 = 𝑠2 + 𝑎3 𝑠4 = 𝑠3 − 𝑎4 …
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑠1, 𝑠3, 𝑠5, … 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑠2, 𝑠4, 𝑠6, … 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
𝑠1, 𝑠3, 𝑠5, … → 𝑆′′
𝑠2, 𝑠4, 𝑠6, … → 𝑆′
𝑆′ − 𝑆′′ ≤ 𝑠 𝑛+1 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 → 0
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 1: 𝑆′
= 𝑆′′
= 𝑆
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 2: 𝑆𝑖 𝑆 ≅ 𝑠 𝑛 → 𝑆 − 𝑠 𝑛 ≤ 𝑠 𝑛+1 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1
𝐸𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜.

Series Numéricas
Usaremos la suma 𝑠9 para aproximar la suma 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 1
𝑛
. La serie converge porque es alternante y lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
𝐸 ≤ 𝑎10 =
1
10
= 0,316 𝐸20 ≤ 𝑎21 =
1
21
= 0,218
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos alternantes 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 𝑎 𝑛 . Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la
serie.

Series Numéricas
Propiedades de las series: Criterio del cociente absoluto.
Para una serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 el límite lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌 nos dice: Si 𝜌 < 1 la serie converge.
Si 𝜌 > 1 la serie diverge.
Si 𝜌 = 1 el criterio no dice nada.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛+1
𝑛
2 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
2 𝑛
2 𝑛+1
=
1
2
→ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Series Numéricas
Propiedades de las series: Convergencia absoluta.


1n
na 

1n
naLa serie es absolutamente convergente si la serie es convergente.


1n
naSi es absolutamente convergente, entonces la serie es convergente.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑛=1
∞
1
𝑛2
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

Series Numéricas
Propiedades de las series: Convergencia condicional.


1n
na

1n
na 

1n
naSi la serie diverge y la serie es convergente es condicionalmente convergente.
𝒏=𝟏
∞
(−1) 𝑛 1
𝑛𝑙𝑛 𝑛
es una serie convergente porque es alternante y lim
𝑛→∞
1
𝑛 𝑙𝑛 𝑛
= 0.
Pero la serie: 1
∞ 1
𝑛 𝑙𝑛𝑛
diverge por el criterio de la integral 𝒏=𝟏
∞
(−1) 𝑛 1
𝑛𝑙𝑛 𝑛
es condicionalmente convergente.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑛=1
∞
1
𝑛
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑛=1
∞
(−1) 𝑛1
𝑛
es condicionalmente convergente.

Propiedades de las series: Serie de potencias
Las series de potencias es un caso especial de las series de funciones, es decir series que dependen de dos variables: una
pertenece a los enteros positivos y la otra a los números reales f(x, n) .
𝒇 𝒙, 𝒏 =
𝒏=𝟏
∞
sin(𝑛𝑥)
𝑛
es una serie de funciones 𝑓 𝑥, 𝑛 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛(𝑥 − 1) 𝑛
es una serie de potencias
La suma de la serie es una función de x Para estas series se plantean dos problemas principales:
1. Para que valores de x la serie converge (region de convergencia)
2. Cual es la función suma de la serie (en la región de convergencia).
Ejemplo: La serie geométrica 𝑛=1
∞
𝑎𝑥 𝑛
= 𝑎 + 𝑎𝑥1
+ 𝑎𝑥2
+ ⋯ Región de convergencia: Converge para −1 < 𝑥 < 1
Suma de la serie:
𝑎
1−𝑥
= 𝑓 𝑥 función.
Series de potencias

Las series de potencias es un caso especial de las series de funciones, es decir series que dependen de dos variables: una
pertenece a los enteros positivos y la otra a los números reales f(x, n) .
Series de potencias
La serie 𝑛=1
∞
𝑥 𝑛
/3 𝑛
= 𝑛=1
∞ 𝑥
3
𝑛
Converge para −1 <
𝑥
3
< 1 − 3 < 𝑥 < 3 Region de convergencia.
Suma de la serie:
𝑥 3
1− 𝑥 3
=
𝑥
3−𝑥
= 𝑓 𝑥
𝑳𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆
𝑛=1
∞
(𝑥 + 1) 𝑛
𝑛!
𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ρ = lim
𝑛→∞
(𝑥 + 1) 𝑛+1
(𝑛 + 1)!
𝑛!
(𝑥 + 1) 𝑛 =
𝑥 + 1
𝑛 + 1
→ 0 para cualquier x.
Región de convergencia −∞ < 𝑥 < +∞
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝑛=1
∞
𝑛! 𝑥 + 1 𝑛
𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ρ = lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 ! (𝑥 + 1) 𝑛+1
(𝑛)! 𝑥 + 1 𝑛
= 𝑥 + 1 𝑛 + 1 → 0 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −1

Series de potencias
Las regiones de convergencia suelen ser: Un intervalo (abierto, cerrado o semicerrado)
Todo el eje real
Algunas veces convergen en un solo punto

entonces para todo x en el interior de I:
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
∞ 𝑑 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
para todo x en el interior de I:
0
𝑥
𝑆 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Estas nuevas series convergen en el interior del intervalo I
Series de potencias
Propiedades de las series: Derivación e integración:
Si la función S(x) es la suma de una serie de potencias 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ en un intervalo I
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ −1,1
1
1 + 𝑥
=
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛
→
𝑑
𝑑𝑥
1
1 + 𝑥
= −
1
1 + 𝑥 2
=
𝑛=1
∞
−1 𝑛
𝑛 𝑥 𝑛−1
1
1 + 𝑥 2 =
𝑛=1
∞
−1 𝑛−1 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 < 𝑥 < 1

𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
0
𝑥
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Series de potencias
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ −1,1
1
1 + 𝑥
=
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛
→
0
𝑥
𝑑𝑡
1 + 𝑡
= ln 1 + 𝑥 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
−1 𝑛
𝑡 𝑛
𝑑𝑡
= 𝑥 −
1
2
𝑥2
+
1
3
𝑥3
+ ⋯ =
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − 1 < 𝑥 < 1

𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
0
𝑥
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Series de potencias
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝑆 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑥 𝑛
𝑛!
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑥 𝑆′
𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑛𝑥 𝑛−1
𝑛!
=
𝑛=1
∞
𝑥 𝑛−1
(𝑛 − 1)!
=
𝑛=0
∞
𝑥 𝑛
𝑛!
= 𝑆(𝑥)
𝑆′
𝑥 = 𝑆 𝑥 →
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑆 →
𝑑𝑆
𝑆
= 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛𝑆 = 𝑥 → 𝑆 = 𝑒 𝑥

Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2
+𝑐3(𝑥 − 𝑎)3
+ ⋯ =
𝑛=0
∞
𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼
𝑓′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2(𝑥 − 𝑎)1+3𝑐3(𝑥 − 𝑎)2+ ⋯ + 𝑛𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛−1 + ⋯ =
𝑛=1
∞
𝑐 𝑛 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛−1 𝑓′ 𝑎 = 𝑐1
𝑓′′ 𝑥 = 2𝑐2 + 3(2)𝑐3 𝑥 − 𝑎 1 + 4(3)𝑐4 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯ + 𝑛(𝑛 − 1)𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛−2 + ⋯ =
𝑛=2
∞
𝑐 𝑛 𝑛(𝑛 − 1) 𝑥 − 𝑎 𝑛−2
𝑓′′ 𝑎 = 2𝑐2
𝑓′′′ 𝑥 = 3! 𝑐3 +
4!
1!
𝑐4 𝑥 − 𝑎 1 +
5!
2!
𝑐5 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯ +
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)!
𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑚 + ⋯ =
𝑛=3
∞
𝑐 𝑛 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 𝑥 − 𝑎 𝑛−3
𝑓′′′
𝑎 = 3! 𝑐3

Series de potencias
𝑐1 =
𝑓′(𝑎)
1!
𝑐2 =
𝑓′′(𝑎)
2!
𝑐3 =
𝑓′′′(𝑎)
3!
𝑐4 =
𝑓′ 𝑣(𝑎)
4!
𝑐 𝑛 =
𝑓 𝑛(𝑎)
𝑛!
Con estas constantes se construye la serie a continuación que es una representación única para f(x) en base a que las
derivadas tienen un solo valor:
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2+𝑐3(𝑥 − 𝑎)3+ ⋯ =
𝑛=0
∞
𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼

Series de potencias
Si escribimos una cierta cantidad de términos de la serie como aproximación de la función, entonces el error de la aproximación
será la suma de los términos restantes:
Para estimar este error se demuestra que existe un punto c en la vecindad de a para el cual el resto es igual a:
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎) 𝑘 + 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1
(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 Diremos entonces que la serie converge a la función f(x) si el residuo tiende a cero.

Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin Serie de Taylor de una función:
Si a=0 la serie se denomina serie de Maclaurin:
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎) 𝑘
+ 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Donde c es interior de la región de convergencia.
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(0)
𝑘!
(𝑥) 𝑘 + 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1 (𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛+1
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1 (𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥) 𝑛+1

Series de potencias

Series de potencias
𝑓 𝑥 = tan 𝑥 𝑓′
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑓′′
𝑥 =
2sin(𝑥
𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
…
𝑓 0 = 0 𝑓′
0 = 1 𝑓′′
0 = 0 𝑓′′′
0 = 2 …
tan 𝑥 =
sin(𝑥)
cos(𝑥)
=
𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
− ⋯
1 −
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
− ⋯
= 𝑥 +
𝑥3
3
+ ⋯
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(0)
𝑘!
(𝑥) 𝑘
= tan 𝑥 = 0 + 𝑥 + 0 +
𝑥3
3
+ ⋯

Series de potencias
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 𝑓′
𝑥 = cos x 𝑓′′
𝑥 = − sin 𝑥 𝑓′′′
𝑥 = − cos 𝑥
𝐸𝑛 𝑎 =
𝜋
6
𝑓 𝑎 = 0.5 𝑓′
𝑎 = 0.866 𝑓′′
𝑎 = −0.5 𝑓′′′
𝑎 = −0.866
sin 𝑥 = 0.5 + 0.866 𝑥 − 𝜋 6 − 0.5
𝑥 − 𝜋 6 2
2
− 0.866
(𝑥 − 𝜋 6)3
6
+ ⋯
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 𝑎 = 30°

Series de potencias
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2
) cos x = 1 −
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
−
𝑥6
6!
+
𝑥8
8!
…
𝑓 𝑥 = 1 −
𝑥4
2!
+
𝑥8
4!
−
𝑥12
6!
+
𝑥18
8!
…
0
1
cos 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥 −
𝑥5
2! 5
+
𝑥9
4! 9
−
𝑥13
6! 13
+
𝑥19
8! 19
…
1
0
= 1 −
1
10
+
1
216
−
1
9360
+ ⋯
0
1
cos 𝑥2 𝑑𝑥 ≈ 0.90452
Calcular el integral 0
1
𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑑𝑥

Series de potencias
Serie binomial: 1 + 𝑥 𝑝 = 1 +
𝑝
1
𝑥 +
𝑝
2
𝑥2 +
𝑝
3
𝑥3 + ⋯ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑦 𝑥 < 1
𝑝
𝑘
=
𝑝 𝑝 − 1 𝑝 − 2 … (𝑝 − 𝑘 + 1)
𝑘!
1 + 𝑥 −3
= 1 +
−3
1
𝑥 +
−3
2
𝑥2
+
−3
3
𝑥3
+ ⋯ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1
𝑝
5
=
𝑝 𝑝 − 1 𝑝 − 2 … (𝑝 − 4)
5!
𝑝
10
=
𝑝 𝑝 − 1 𝑝 − 2 … (𝑝 − 9)
10!
1 + 𝑥 −3 = 1 + (−3) 𝑥 +
−3(−4)
2!
𝑥2 +
−3(−4)(−5)
3!
𝑥3 +
−3(−4)(−5)(−6)
4!
𝑥4 …
1 + 𝑥 −3 = 1 − 3𝑥 + 6𝑥2 − 10𝑥3 + 15𝑥4 …
−3
1
=
−3
1!
𝑝
1
=
𝑝
1!
𝑝
2
=
𝑝 𝑝 − 1
2!
−3
2
=
−3 −4
2!
𝑝
4
=
−3 −4 −5 (−6)
4!
−3
3
=
−3 −4 −5
3!

Series de potencias
𝐸𝑗: 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 1.1 −3
1.1 −3
= 1 + 0.1 −3
= 1 +
−3
1
0.1 +
−3(−4)
2
0.12
+
−3(−4)(−5)
2(3)
0.13
+ ⋯
1.1 −3 ≈ 1
1.1 −3
≈ 1 − 3 0.1 = 0.7
1.1 −3
≈ 1 − 3 0.1 + 6 0.12
= 0.76
1.1 −3
≈ 1 − 3 0.1 + 6 0.12
− 10 0.13
= 0.075
Serie binomial:
1.1 −3
= 1 + 0.1 −3
= 1 +
−3
1
0.1 +
−3
2
0.1 2
+
−3
3
0.1 3
+ ⋯

Series de potencias
𝐸𝑗: 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 1.3 1 4
1.3 1 4
= 1 + 0.3 1 4
= 1 +
0.3
4
−
0.75
8
0.32
+
0.75 1.75
24
0.33
+ ⋯
1.3 1 4 ≈ 1
1.3 1 4 ≈ 1 + 0.075 = 1.075
1.3 1 4 ≈ 1 + 0.075 − 0.0084375 = 1.0665625
Serie binomial:
1.3 0,25
= 1 + 0.3 0,25
= 1 +
0,25
1
0.3 +
0,25(−0,75)
2
0.32
+
0,25(−0,75)(−1,75)
2(3)
0.33
+ ⋯
1.3 0.25
= 1 + 0.3 0,25
= 1 +
0,25
1
0.3 +
0,25
2
0.3 2
+
0,25
3
0.3 3
+ ⋯
1.3 1 4
≈ 1 + 0.075 − 0.0084375 + 0,00147656 = 1.068039

Series de potencias
Determine la descomposición en serie de Maclaurin para ln(x+2).
𝑓 𝑥 = ln 2 + 𝑥 𝑓′
𝑥 =
1
2 + 𝑥
𝑓′′
𝑥 = −
1
2 + 𝑥 2 𝑓′′′
𝑥 =
2
2 + 𝑥 3
𝑓(4) 𝑥 = −
6
2 + 𝑥 4 𝑓 5 𝑥 =
24
2 + 𝑥 5 𝑓 6 𝑥 = −
120
2 + 𝑥 6 𝑓(7) 𝑥 =
720
2 + 𝑥 7
𝑓 0 = ln 2 = 0,693 𝑓′
0 = 0,5 𝑓′′
0 = −0,25 𝑓′′′
0 = 0,25
𝑓(4)
0 = −0,375 𝑓 5
𝑥 = 0,75 𝑓 6
0 = −1,875 𝑓 7
𝑥 = 5,625
𝑓 𝑥 = 0,693 + 0,5𝑥 − 0,125𝑥2 + 0,142𝑥3 − 0,0156𝑥4 + 0,00625𝑥5 − 0,00260𝑥6 + ⋯
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(0)
𝑘!
(𝑥) 𝑘
+ 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin Evalúe el ln(2.5)
𝑅6 𝑥 =
720
2 + 𝑐 77!
𝑥7
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 𝑥
𝑅6 0.5 =
720
2 + 𝑐 77!
0.57
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 0.5
𝑅6 0.5 <
720
2 77!
0.57
≈ 8.719𝑥10−6
ln(2 + 𝑥) = 0,693 + 0,5𝑥 − 0,125𝑥2 + 0,142𝑥3 − 0,0156𝑥4 + 0,00625𝑥5 − 0,00260𝑥6 + ⋯
x = 0,5 ln 2,5 ≅ 0,693147 + 0,5 0,5 − 0,125 0,5 2
+ 0,142 0,5 3
− 0,0156 0,5 4
+ 0,00625 0,5 5
− 0,00260 0,5 6
= 0,9288266
Calcule el residuo de orden 6 para ln(2+x)
Evalue una una cota para el residuo de ln(2.5)

Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin Calcule serie de Maclaurin: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑒 𝑥
= 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+ ⋯
𝑓 𝑥 = 1 + 3𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
+ 2
𝑥5
5!
+
𝑥6
6!
+
𝑥8
8!
+…

Series de potencias
Calcule serie de Maclaurin: 𝑓 𝑥 =
𝑐ℎ(𝑥)
1 + 𝑥
ch(x) = 1 +
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
+ ⋯
1
1 + 𝑥
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯
𝑓 𝑥 = 1 +
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
+ ⋯ 1 − 𝑥 + 𝑥2
− 𝑥3
+ ⋯
𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 +
3𝑥2
2
−
3𝑥3
2
+
3𝑥4
4
-…

Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin Calcule el integral y evalúe el residuo:
0.8
1.2
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
ln(1) = 0
1
𝑥
= 𝑓′
𝑥 𝑓′
1 = 1
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥 − 1 −
𝑥 − 1 2
2
+
(𝑥 − 1)3
3
−
(𝑥 − 1)4
4
+ ⋯ + −1 𝑛+1
𝑥 − 1 𝑛
𝑛
+ 𝑅 𝑛(𝑥)
−
1
𝑥2
= 𝑓′′ 𝑥 𝑓′′(1) = −1
2
𝑥3
= 𝑓′′′ 𝑥 𝑓′′′(1) = 2 −
3!
𝑥4 = 𝑓′𝑣
𝑥 𝑓′𝑣
1 = −3!
𝑓 𝑛 𝑥 = −1 𝑛+1
𝑛 − 1 !
𝑥 𝑛
𝑓 𝑛 1 = −1 𝑛+1(𝑛 − 1)!
𝑅 𝑛 𝑥 = −1 𝑛
1
𝑛 + 1 𝑐 𝑛+1
𝑥 − 1 𝑛+1
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑥0 = 1

Series de potencias
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥 − 1 −
𝑥 − 1 2
2
+
(𝑥 − 1)3
3
−
(𝑥 − 1)4
4
+
𝑥 − 1 5
5
+ 𝑅5(𝑥)
0.8
1.2
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥 − 1 2
2
−
(𝑥 − 1)3
2 3
+
(𝑥 − 1)4
3 4
−
(𝑥 − 1)5
5 4
+
(𝑥 − 1)6
5 6
+
0.8
1.2
𝑅5 𝑥 𝑑𝑥
𝑅5 𝑥 =
1
6𝑐6
𝑥 − 1 6
<
0,26
6(0.8)6
≈ 4.07𝑥10−5
𝑥 − 1 2
2
−
(𝑥 − 1)3
2 3
+
(𝑥 − 1)4
3 4
−
(𝑥 − 1)5
5 4
+
(𝑥 − 1)6
5 6
1,2
0,8
= −0.00269867
0.8
1.2
𝑅5 𝑥 𝑑𝑥 < 4.07𝑥10−5(1.2 − 0.8) ≈ 1.63𝑥10−5
Calcule el integral y evalúe el residuo:
0.8
1.2
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

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